3.2 第2课时 等比数列习题课

3. 等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和
为_______. 1008
解析：方法一 1 210 1 24 S S10 S4 =1008; 1 2 1 2
方法二
1 q =.
S
a5 1 q 6
2 2
2
即 b n=
1b . n-1 2 1 为公比的等比数列. 2
所以{bn}是以b1=1为首项，q=
(2)由(1)得bn=an+1-an=( =bn-1+bn-2+…+b1+a1
1 1 ( ) n 1 5 2 1 2 1 ( ) n 1， 1 3 3 2 1 ( ) 2
探究点3 等比数列的实际应用 例3.一个热气球在第一分上升了25m的高度，在以后的 每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解：用 an 表示热气球在第 n 分上升的高度，由题意 ，得
4 an 1 an ， 5 4 因此，数列 {an } 是首项 a1 25 ，公比 q 的等比数列. 5
=q.
(3)如果{an}为公比为q的等比数列，对 m,p∈N+
有Sm+p=Sm+qmSp.
探究点2 等差数列与等比数列的综合应用 例2：(2013·四川高考)在等差数列{an}中,a1+a3=8, 且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及
前n项和.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由 已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差
热气球在 n 分时间里上升的总高度
Sn a1 a2
a1 (1 q n ) an 1 q
4 n 25 [1 ( ) ] 4 n 5 125 [1 ( ) ] 125. 4 5 1 5
答：这个热气球上升的高度不可能超过125m.
例 42.如图所示，作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内 例
n
a1 ＝5，
lg1.6 ，即 n＝ ≈5. 两边取对数，得 nlg1.1＝lg1.6 lg1.1 答：约5 年内可以使总产量达到 30 万吨 .
1.掌握等比数列前n项和的性质，应用等比数列的
性质解题.
2.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 3.学会数学建模的过程.
智者不只发现机会，更要创造机会. ——培根
第2课时 等比数列习题课
【复习回顾】
等比数列前n项和公式
na1 , Sn a1 1 q n a a q 1 n = . 1 q 1 q
q 1 q 1
1．灵活运用等比数列前n项和的性质，进一步理
解等比数列的性质． （重点）
2.能利用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
a11－q10 ＝5，① 1－ q 由已知，得 20 a 1 － q 1 1－q ＝15，②
1－q20 10 10 ②÷ ①，得 ＝ 3 ＝ 1 ＋ q ，所以 q ＝2， 10 1－ q a11－q30 S10 30 所以 S30＝ ＝ (1 － q ) 10 1－ q 1－ q 3 ＝(－5)(1－2 )＝35.
＝an＋1(1＋q＋…＋qn－1)，
所以（S2n－Sn）2= Sn（ S3n－S2n ）， 所以Sn， S2n－Sn， S3n－S2n 是等比数列.
【提升总结】等比数列前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}是等比数列，则Sn=Aqn-A(A≠0).
(2)若等比数列{an}共有2n项，则
S偶 S奇
(2)因为S10＝5，S20－S10＝10，S30－S20＝20. 且(S20－S10)2＝S10· (S30－S20)． 所以S10，S20－S10，S30－S20是等比数列．
(3)因为Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋…＋qn－1)， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋1q＋a2n＋1q2＋…＋a2n＋1qn－1 ＝a2n＋1(1＋q＋…＋qn－1)， S2n－Sn＝an＋1＋an＋1q＋an＋1q2＋…＋an＋1qn－1

24 1 26 1 2
4．某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的 产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几 年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?
解：设每年的产量组成一个等比数列 {an，其中 } q＝1＋10%＝ 1.1，Sn ＝ 30. 所以 5（1－1.1 ） n ＝30 ，整理可得： 1.1 ＝1.6， 1－1.1
1 A. 3 1 C. 9
1 B. 3 1 D. 9
2.(2013 大纲版全国高考) 已知数列a n 满足3a n 1 a n 0, 4 a 2 , 则a n 的前10项和等于 （ C ） 3 1 10 A. 6(1 3 ) B. (1 310 ) 9 C.3(1 310 ) D.3(1 310 )
(
1 2 ) ] n 1 2
1 ( ) n 1 ] 4
4 a2 1 (1 2 n ) 3 12 2 a2 1 (1 2 n ) . 9 2
a2 1 (1 2 n ) . 答：前 n 个内切圆的面积和是 9 2
探究点4 可化为等比数列的求和问题
思考：对于形如an+1=2an+1的非等差、等比数列{an}
为0,或首项为1,公差为3.
3n 2 n 所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn= . 2
【技法点拨】等差数列与等比数列综合题求解策略 解决这类问题的关键点是分清楚哪个数列是等差数 列哪个数列是等比数列，结合点是等差数列与等比 数列的公共问题(如公共项)的表示，方法是利用等 差、等比的基本量(首项、公差、公比等)表示关系， 进行求解.
的求和问题，应如何思考？ 提示：将数列{an}转化为等差或等比数列，然后求 和.如an+1=2an+1可转化为an+1+1=2(an+1)， 这样数列{an+1}为首项是a1+1，公比为2的等比数列， 先求数列{an+1}的前n项和，再求数列{an}的前n项 和 S n.
例5.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2= a n a n 1 , n∈N+.令bn=an+1-an. (1)证明{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. 解析：(1)由已知条件得b1=a2-a1=1, 当n≥2时, bn a n 1 a n a n a n 1 a n a n a n 1 ,
1 a2 a1 ， 2
1 an an 1 . 2
1 3 数列 {an } 是首项为 a ，公比为 的等比数列. 2 6
3 1 n 1 ( ) a . 所以 an 6 2
设前 n 个内切圆的面积和为 Sn ，则
2 Sn (a12 a2
2 an )
1 1 a12 [1 ( ) 2 ( ) 2 2 4 1 1 a12 [1 ( ) ( ) 2 4 4

1 2
)n-1,
当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
5 2 1 n 1 当n=1时,a1=1也满足上式， 所以a n ( ) . 3 3 2
1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n
项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( C )
作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求 前 n 个内切圆的面积和.
解：设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an . 因为从第 2 个正三角形开始，每一个正三角形
1 的边长是前一个正三角形边长的 ，每一个正三角形内 2 1 切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ， 2 1 1 3 3 故 a1 a tan 30 a a， 2 2 3 6
(难点）
3.体会数学建模的思想.
探究点1
等比数列前n项和的性质
例1：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S10＝5，
S20＝15.
(1)求S30；
(2)S10，S20－S10，S30－S20是否是等比数列？
(3)求证：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列．

【解析】 (1)设等比数列{an}的首项为 a1， 公比为 q，