专题二次函数中的面积问题-讲义

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九年级数学二次函数综合--面积问题课件

例题：如图，已知抛物线y=-x2-2x+3经过点A（-3，0）、点B（1，0）、点C （0，3），直线y=x+3经过点A（-3，0）、点C（0，3）. （1）P为抛物线在第二象限内的一点，直线PQ⊥x轴，交AC于点Q，若 PQ=2，求P坐标。（2）P为抛物线在第二象限内的一点，直线PQ⊥x轴，交AC于点Q，请问线段PQ是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。
二次函数综合 ---面积类
二次函数综合 ---面积类
1. 中考考查频率自2012年以来几乎每年必考 12年，13年， 14年（线段最值），15年，16年（四边形面积最值），18年， 19年
2. 中考难易程度压轴解答 7：2：1中的 2
3. 本节学习目标铅锤法解决线段，面积定值，最值问题
知识储备1：竖直线段的表示
知识储备2：面积的表示

（3）P为抛物线在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标。
（4）P为抛物线在第二象限内的一点，请问△PAC面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由
巩固练习：
思维导图：
作业布置：

中考数学复习考点知识讲解与练习30 二次函数中的面积问题

中考数学复习考点知识讲解与练习专题30 二次函数中的面积问题进入函数学习以后，面积问题在一直是学习中的一个重点，常考点，因此在二次函数的面积问题必然是中考复习中的一个重要内容，其面积往往有直接计算，割补法计算等，其中基本图形有以下几种：当然，更多的时候利用铅垂高度与水平宽度的一半进行运用，更显方便；通过本中考数学复习考点知识讲解与练习专题的巩固训练，让学生对二次函数的面积问题能形成良好的才思考方法，学会观察、分析、比较、总结，掌握二次函数面积相关问题的计算方法。

1．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．2y(x3)=+B．2y x9=+C．26y x x=+D．2312y x x=+2．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A．16y x=B．6y x=C．26y x=D．6yx=3．如图ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边,BC EF在同一条直线l上，点C ，E 重合，现将ABC ∆沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．将抛物线y=x 2-4x+1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y=-3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．抛物线234y x x =--与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为（）A ．3B ．4C ．10D ．126．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A ．②③B ．③④C ．①②D ．①④7．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在等腰Rt ABC 中，90C ∠=︒，直角边AC 长与正方形MNPQ 的边长均为2,cm CA 与MN 在直线l 上．开始时A 点与M 点重合，让ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设ABC 与正方形MNPQ 重叠部分(图中阴影部分)的面积为2ycm ，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，用长为24m 的篱笆围成一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为（）A ．48 m 2B ．45m 2C ．16 m 2D ．44m 211．如图，等腰()90Rt ABC ACB ∠=的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，在直角坐标系的第一象限内，AOB 是边长为2的等边三角形，设直线:(02)=l x t t 截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（）A ．B ．C ．D ．13．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大14．如图，在Rt DEF △中，90EFD ∠=︒，30DEF ∠=︒，3EF cm =，边长为2cm 的等边ABC 的顶点C 与点E 重合，另一个顶点B （在点C 的左侧）在射线FE 上．将ABC 沿EF 方向进行平移，直到A 、D 、F 在同一条直线上时停止，设ABC 在平移过程中与DEF 的重叠面积为2ycm ，CE 的长为x cm ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．15．如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=6，点O 是线段BD 上一动点，EF 、GH 过点O ，EF∥AB，交AD 于点E ，交BC 于点F ，GH∥BC，交AB 于点G ，交DC 于点H ，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）A．B．C．D．16．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，现有四种方案供选择(如图)：A方案为一个封闭的矩形；B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽的门；C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽的门．已知计划中的篱笆(不包括门)总长为12m，则能建成的饲养室中面积最大的方案为()A．B．C．D．17．如图，4AB 为半圆的直径，动点P为AB上，点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，速度为2，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．18．如图，ABC 和DEF 都是直角边长为的等腰直角三角形，它们的斜边AB ，DE 在同一条直线l 上，点B ，D 重合．现将ABC 沿着直线l 以2cm/s 的速度向右匀速移动，直至点A 与E 重合时停止移动．在此过程中，设点B 移动的时间为()s x ，两个三角形重叠部分的面积为()2cm y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题19．用一根长为100cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是__________cm 2．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，且5OA =，过抛物线的顶点B 分别作BC x ⊥轴于C 、BD y ⊥轴于D ，则图中阴影部分图形的面积的和为______．21．已知，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，且AC +BD ＝10，当AC ＝_______时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为__________．22．如图，ABC ∆为一块铁板余料，10BC =cm ，高AD=10cm ，要用这块余料裁出一个矩形PQMN ，使矩形的顶点P ，N 分别在边上AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边上BC 上，则矩形PQMN 面积的最大为_________2cm ．23．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A D →方向运动，设AP x =，ABP △的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，12y S S =+，则y 与x 的关系式是________．24．如图，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A 、D 两点的抛物线与以O 为顶点且经过B 、C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是______________．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______26．如图，点P 是双曲线C ：y ＝4x (x ＞0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：y ＝12x ﹣2于点Q ，连结OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是_____．27．如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >．若ABC ∆与ABD ∆的面积比为1:3，则k 值为________．28．如图，将抛物线y=−12x2平移得到抛物线m．抛物线m经过点A（6，0）和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=−12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．29．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝，则图中阴影部分的面积为___30．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.31．已知二次函数y=x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点坐标为________．32．如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．33．如图，有一块三角形土地，它的底边100BC m =，高80AH m =，某房地产公司沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的宽是________m ．34．如图，在等边三角形ABC 中，6,AB D =是线段BC 上一点，以AD 为边在AD 右侧作等边三角形ADE ，连结CE ．（1）若2CD =时，CE =_________（2）设BD a =，当EDC ∆的面积最大时，a =__________．35．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx a =+-经过(1,0)-和(0,3)两点，直线1y x =+与抛物线交于A ，B 两点，P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，当ABP △的面积最大值时，点P 的横坐标为___________．三、解答题36．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM =__________（用含x 的式子表示），x 的取值范围是__________；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．37．如图，在ABC 中，∠B=90°，AB=8米，BC=10米，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1米/秒的速度运动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿BC 向C 以2米/秒的速度运动(不与点C 重合)，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动时间为x 秒，BPQ 的面积为y 平方米（1）填空：BQ=米，BP=米(用含x 的代数式表示)（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为多少时y 有最大值，最大值是多少？38．如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知A D ∠=∠90=︒，120C ∠=︒，其中AD DC 、两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设BC x =米，花圃的面积为y 平方米．（1）用含有x 的代数式表示出DC 的长；（2）求这块花圃的最大面积．39．如图，已知一次函数28y x =-与抛物线2y x bx c =++都经过x 轴上的A 点和y 轴上的B 点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，试求出点D 的坐标和△ABD 的面积；（3）M 是线段OA 上的一点，过点M 作MN x ⊥轴，与抛物线交于N 点，若直线AB 把△MAN 分成的两部分面积之比为1∶3，请求出N 点的坐标．40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ，(0,3)C -，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当PAB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

人教版数学九年级上册《二次函数单元复习专题——二次函数中三角形面积问题》课件

1
2
1
2
= DE·(BF+ CC’) = ×2×3=3
探究五
如图：抛物线y=- 2 +2+3与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。
5.求△BCD的面积.
方法二：
y
E
（0,3）C
解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E.
D
（1,4）
∵B（3,0）、C（0,3）、D（1,4）、E（0,4）
人教版九年级上册
第二十二章
二次函数
二次函数中三角形面积问题
引题
计算下列各三角形的面积
C（0,3）
B（0,3）
O B
A
（-1,0）（1,0）
1
x
S△ABC= 2 ∙ = 2 × 2 × 3 = 3
1
B（1,3）
∟
y
C
1
y
y
A（2,1）
O
x
1
S△ABO= 2 ∙ = 2 × 3 × 2 = 3
与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。
解：∵A（-1,0）、C（0,3）、D（1,4） ∴AO=1，DF=1
∟
F
（0,3）
C
y
D
设直线AD的解析式为：y=+
（1,4）
把点A , D坐标分别代入解析式得：
− + = 0
,解得 = 2
+ =4
=2
∴直线AD的解析式为：y=2+2
E
（3）用代数式表示三角形的底或高；
（4）求出三角形的面积。
拓展延伸
我们如果把△ ABC放在平面直角坐标系中，

二次函数动点的面积最值问题课件

个分支的理解和掌握。
02
掌握解题方法
解决二次函数动点面积最值问题需要掌握一定的解题技巧和方法，包括
数形结合、参数分离、极值法等。通过对这些方法的运用，可以有效地
解决各种复杂的问题。
03
理解问题本质
二次函数动点面积最值问题的本质是寻找函数在某个区间上的最大值或
最小值，以及对应的自变量取值。通过对问题本质的深入理解，可以更
矩形面积的最值
在矩形中找一点，使得该点与矩形顶点的连线将矩形划分为四个面积相等的部分，也可以利用二次函数动点面积最值问题求解。
在实际生活中的应用
土地规划
在土地规划中，经常需要确定土地的分割方式以及各部分的面积，利用二次函数动点面积最值问题可以找到最优的分割方案，使得土地的利用率达到最高。
局。
城市绿化
在城市绿化规划中，通过求解二次函数动点面积最值问题，可以确定最佳的绿化区域和分布方式，提高城市绿化覆盖率和环境质
量。
06
总结和展望
对二次函数动点面积最值问题的理解和总结
01
理解问题背景
二次函数动点面积最值问题是一个经典的数学问题，涉及到几何、代数
和微积分等多个领域的知识。通过对该问题的研究，可以加深对数学各
要点二
代数解法
通过几何方法（如相似三角形、勾股定理等）来求解动点面积的最值。
利用代数公式和不等式，通过代数运算求解动点面积的最值。
二次函数动点面积最值问题的实际应用案例
建筑规划
在建筑规划中，需要考虑土地利用效率与美观性，动点面积最值问题可以帮助规划者找到最佳的
建筑布局方案。
农业种植
农业种植中，为了最大化土地利用率和产量，可以利用二次函数动点面积最值问题来优化种植布

二次函数中的面积问题

二次函数中的面积问题
二次函数中的面积问题是一个广泛应用的数学概念。通过深入研究二次函数，我们可以探索其标准式、图像、交点、对称轴以及顶点等属性，进而应用面积公式解决各种实际问题。
什么是二次函数
二次函数是一个以x的二次项为特征的函数。它的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。二次函数的图像通常呈现开口向上或向下的抛物线形状。
二次函数的变形及面积问题的应用
通过对二次函数进行平移、缩放和翻转等变形操作，可以解决更加复杂的面积问题，例如计算部分面积的问题。
二次函数的导数是代表函数斜率的函数，可以通过求导得到。导函数即为二次函数的一阶导数。
求二次函数的最小值及最大值
二次函数的最小值或最大值是函数的极值点。可以通过求导数和解方程得到最小值或最大值的坐标。
二次函数与勾股定理
二次函数与勾股定理有一定的联系。通过勾股定理，我们可以计算二次函数的斜边长度或直角边长。
要计算二次函数与坐标轴的交点，可以将函数等于零得到二次方程，然后使用求根公式解方程。交点包括x轴与y轴的交点。
二次函数的对称轴
对称轴是二次函数的一个重要属性，通过对称轴可以找到抛物线的对称中心。对称轴的公式为x=-b/2a。
求二次函数的顶点及最值
顶点是二次函数的极值点，可以通过求导数或通过对称轴的坐标计算得出。最值可以是极大值或极小值，具体取决于抛物线的开口方向。
二次函数与坐标系围成的面积
二次函数与坐标系围成的面积可以通过计算二次函数与x轴、y轴围成的矩形面积和差值的方式得到。
求二次函数与x轴围成的面积
要求二次函数与x轴围成的面积，可以将函数转化为标准形式，计算定积分，或通过求解二次方程得到交点坐标进而计算面积。

二次函数中有关三角形面积的求解课件

D
实例二：直角三角形面积的求解
总结词
利用直角三角形性质，结合二次函数图像，求出三角形面积。
详细描述
直角三角形的一边为x轴，另一边与二次函数图像交点构成高，通过求出交点坐标和底边的长度，可以计算出三角形的面积。
公式
$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$
总结词
通过已知条件确定底和高
详细描述
在二次函数和三角形中，底和高通常是通过已知条件确定的。例如，如果知道三角形的两个顶点坐标，可以通过两点间的距离公式计算底和高的长度。
问题二：如何确定三角形的底和高？
总结词
通过作图确定底和高
详细描述
在二次函数的图像上，可以通过作图的方式确定三角形的底和高。例如，可以作一条与$x$轴平行的线段，与二次函数的图像交于两点，这两点间的距离即为三角形的底，线段的高度即为三角形的高。
问题三：如何利用二次函数求三角形的面积？
总结词
利用公式计算面积
详细描述
三角形的面积可以通过公式 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$计算得出。如果已知三角形的底和高，可以直接代入公式计算面积
。
总结词
通过图像观察面积
详细描述
在二次函数的图像上，可以通过观察的方式确定三角形的面积。例如，可以观察抛物线与$x$轴围成的图形，其
详细描述
二次函数的顶点可以通过公式$-frac{b}{2a}$计算得出，其中$a$、 $b$、$c$分别为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的系数。
总结词
通过图像确定顶点
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线，顶点是抛物线的最低点或最高点。通过观察图像，可以确定顶点的位置。

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

人教版九年级数学上册二次函数应用题之面积问题讲义

面积问题有些实际问题并不直接表现出抛物线，却把二次函数相关的知识隐含在其中，我们可以用二次函数来解决面积问题例1、爷爷退休后在乡下养鸡，他用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙（墙的最大长度为20米）。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？请你帮爷爷设计一下，并说明理由例2、小李同学帮奶奶养鸭，想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？2、卢爷爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．3、用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2。

(1)求出y与x的函数关系式。

（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．5、在城市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)。

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件

根据几何图形的特性，选择合适的二次函数模型来表示面积。
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量，利用二次函数的性质求圆的最大面积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现在二次函数最值处，可以通过求导数或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所

专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

二次函数应用-几何图形的最大面积问题精品PPT课件

∵a＜0， ∴抛物线开口向下 C
Q1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是C，AD⊥BC， BC=160cm ,AD=120cm,
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
最值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
自学教材20页 “动脑筋”
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
（四）课堂小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数的自变量的取值范围。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要符合实际题意，要注意数与形结合。
1.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是( ) A.y=(60+2x)(40+2x)
（一）思前想后
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。（2）求函数y＝x2+2x－3 （0≤x ≤ 3）

《二次函数专题提优》：二次函数有关面积问题

《二次函数提优专题》：二次函数有关面积问题2、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）、求抛物线的解析式．（2）、设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①、如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②、是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（二）、三角形面积最值：3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB 。

(1)、求该抛物线的解析式；(2)、在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得BCD △的面积最大?若存在，求出D 点坐标及BCD △面积的最大值；若不存在，请说明理由。

(3)、在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得QMB △与PMB △的面积相等?若存在，直接写出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（三）、有关三角形面积倍数关系：4、如图，已知：m 、n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，•抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）．（1）、求这个抛物线的解析式；（2）、设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；（3）、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数5-x 6-x y 2+=的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l 。

专题58 二次函数中的面积问题(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义

例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S AE BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下面求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．变式训练【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在何处时，△ACE面积最大．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：（2）若点P在抛物线上，点在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．（1）求此抛物线的表达式．（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P 的坐标及四边形BDCP面积的最大值．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B （1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式．（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．。

第六讲二次函数中的面积全等问题

1.如图，AB 为⊙O 的弦，点C 为弧AB 的中点，点D 是⊙O 上一动点，连接CD 交AB 于点E ，点P 为BA 的延长线上一点，连接PD ，得到PD=PE 。

（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）当AB 经过圆心O 时，连接BC ，若tan ∠APD=43，求tan ∠BCD.2.如图，把一张长10cm,宽8cm 的矩形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不大于32，设四周小正方形的边长为xcm 。

（1）求盒子的侧面积S 侧与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求当正方形的边长x 为何值时侧面积S 侧有最大值？最大值是多少？（3）若要求侧面积不小于28cm 2，底面积不超过8cm 2，请直接写出正方形的边长x的取值范围。

二次函数——面积、全等问题模块一实战模拟（20分钟）方法一：补形法图①ABC OBC OAC OAB S S S S =+-△△△△，图②ABC BCD AOBACDO S S S S =--△△△梯形图③+ABC ACD AOB BODE S S S S =-△△△梯形，图④ABC ADEO ACD BCE AOBS S S S S =---△△△△矩形方法二：分割法（铅锤高法）图⑤+ABC ACD BCD S S S =△△△，图⑥+ABC BCD ABDS S S =△△△12ABC A B S CD x x =⋅△－,12ABC A C S BD y y =⋅△－方法三：平行线转化法图⑦ABC BDA S S =△△（过C 点作AB 的平行线CD ,则两三角形同底等高）知识点睛模块二二次函数与面积相关【例1】（1）如图1，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，直线y=﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y=ax 2+bx 与直线y=﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．如图2，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15°交抛物线对称轴于点C,点P 为线段OA 上的一个动点（与点O 、点A 不重合），以点O 为圆心、以OP 为半径的圆弧与线段OC 交于点M ，以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点N ，连接MN ．在点P 运动的过程中，四边形OMNA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值.（2）在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y=x 2+4x+4，将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴相交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 2相交于C 、D （C 在第三象限）且S △BOD =4S △AOC 。

二次函数与面积问题

二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。

其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。

在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。

一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。

2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。

当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。

3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。

变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。

二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。

在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。

2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。

例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。

中考数学专题复习教案二次函数中的面积问题

教学目标1.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长,利用割补法求图形的面积,会将非轴边图形转化为轴边图形.2.通过解决二次函数背景下的三角形面积问题,体会数形结合思想和转化思想的应用.3.通过解决已知三角形的面积关系得出相关线段的长,从而求出点的坐标的问题,体会分类讨论思想和数形结合思想的应用.教学重点解决二次函数背景下的三角形面积问题，体会分类讨论思想、转化思想的运用.教学难点由已知面积问题,转化为点线距问题,通过作平行线,得出等面积,体会平行条件下的等积变形.问题情境师生活动设计意图活动一活动一.已知抛物线223y x x=+-与x轴交于A、B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P.(1)写出下列点的坐标:A____,B___,C____,P____.(2)求出下列线段的长:AO=____,CO=___,AB=___.(3)写出下列三角形的面积S△AOC=____,S△PAB=____,S△COP=____.(4)求出△APC的面积.师:本节课我们进行一个专题学习：二次函数中的面积问题－－－－－三角形面积.教师板书课题.学生独立完成第(1)(2)(3)小题,并口答.教师板书知识框图.师生得出第(3)小题中的三角形的共同特征, 总结求轴边三角形面积的方法.第（4）小题学生独立进行求解，教师巡视，了解学生采用的不同方法，然后让学生讲解思路.师生共同总结:利用割补法,将非轴边图形转化为轴边图形求面积.并观察特征，发现它是直角三角形，可直接求解.体会通法与特法.通过活动一的学习,学生掌握已知二次函数的解析式,求出相关点的坐标,得出线段的长,研究三角形的面积的问题,总结利用割补法将非轴边图形转化为轴边图形求解.课题二次函数中的面积问题－－－－三角形面积第1页共3页第2页共3页（请尝试用不同的方法求解）活动二活动二.已知抛物线的顶点P 的坐标为（1，4），交y 轴于点C （0,3）．(1) 求抛物线的解析式，并求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标（Ａ点在Ｂ点的左侧）.(2)抛物线上是否存在一点D ,使△ABD 的面积等于△ABC 的面积,如果存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)抛物线上是否存在一点E ，使△ECB的面积等于△PCB 的面积，如果存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.学生独立完成第(1)小题,并回答.学生独立思考第(2)小题,然后由学生来讲解解题思路.教师关注由线段的长转化为点的坐标时,是否进行了分类讨论.利用平行线间的距离处处相等,体会平行条件下的等积变形,得出“过已知点作已知线段的平行线”的方法，并根据位置进行分类讨论，得出另一条平行线,突破本题的难点. 学生先独立思考第（3）小题,教师了解情况,及时进行引导,仍然运用“平行线间距离处处相等”的性质，得出过已知点作已知线段的平行线的方法，然后根据图形位置，进行分类讨论.活动二已知三角形的面积关系，得出线段的长,利用平行线间的距离处处相等，得出作平行线的方法,体会平行条件下的等面积问题.运用分类讨论思想，求出符合条件的所有点的坐标.活动三小结:由学生总结本节课的收获.学生结合框图和例题进行总结, 教师强调:由线段的长到点的坐标需进行分类讨论,体会数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的应用.总结本节课的内容板书设计：二次函数中的面积问题－－－－－三角形的面积绝对值第3页共3页例2．（2）解：（3）点的坐标分类讨论非轴边图形线段的长图形面积轴边图形转化割补二次函数解析式（及其它函数点线距点点距。

中考数学专题讲义二次函数之面积与相似类

二次函数之面积与相似类ax”的值，所以说明：从与代数式的关系上看，表示二次函数的y就是二次整式“2+bx+c只要能出现二次整式，就可以产生二次函数。

图形面积，勾股定理，相似比等，与几何图形相关的问题，都可以与二次函数相关，其最大、最小面积，最长、最短线段，都可以借助二次函数的性质来解决。

解法归一：面积问题用面积公式与部分等于整体减去部分；线段问题用相似建立线段关系，或找直角三角形用勾股定理。

一、图形面积类[9]例21-1 1．某房地产开发公司准备在一块长80米，宽60米的长方形空地上建两幢n层住宅楼，楼房的地基为长方形且每层一样大．设计要求：两楼房平行，楼房与空地边界平行且保留5n米距离，两幢楼房之间保持5n米的距离．设计人员设计了如图所示的两种方案．设每幢楼的宽度为x（m），总建筑面积（两幢楼房各层面积总和）为S（m2）（1）请你分别求出两种方案中楼层数n与宽度x（m）之间的函数关系式；（2）请你分别求出两种方案中总建筑面积s（m2）与宽度x（m）之间的函数关系式；（3）请问哪种设计方案中楼房总建筑面积最大，此时每幢楼房高为多少层？交流分享：首先把两图中右楼(或楼右)的空白宽5米标出，再用楼边距(2个5米)加2个楼宽、加楼间距建立方程，就可以解决第一问了：第二问另忘了是两栋楼，注意用第一问的结果替代n;第三问用顶点公司或配方法都可以。

体验与感悟21-11、把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体形状的盒子（纸板厚度忽略不计）⑴如图21—1—2，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。

cm，那么剪掉的正方形的边长是多少？①要使折成的长方体盒子的底面积为4842②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，请说明理由。

⑵若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上）将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子。