第10章 稳恒磁场

6.2 几种常见电流的磁场(I)
（1）载流直导线的磁场：
D 2
0 Idl sin dB 2 4 r
Idl
l
O C

r r d r l r ctg dl 2 sin sin
r
r
P
0 I dB sin d 4 r
1
B
2
1
0 I 0 I sin d cos 1 cos 2 4 r 4 r
q

r
v
-q

r
v
B
(a)
(b)
B
电流元: Idl
构成: S, n, q, v 0 qv er 每个运动电荷激发的磁场 B 2 4 r 0 q v er dB dN B nSdl 4 r 2 0 Sdl j er 0 Sdl qnv er 2 2 4 r 4 r 0 Idl er dl j j dl 2 jS I 4 r
J
d right dV dV dt V t V
电流连续性方程 的微分形式：
J 0 t
3．稳恒电流
3.1 稳恒电流 导体内各处的电流密度都不随时间变化的电流：
J J (r )

f ( x, y , z ) t

x

P dB|| x
0 Idl sin B B|| dB sin 2 4 r 2 R R Idl 0 R2 I 0 0 2 2 32 4 R x 2 R2 x2


32
0
2 R 2 x 2 3 2
R2 I
x = 0（圆心）：
5.毕奥─萨伐尔定律
毕奥─萨伐尔定律
真空中电流元 Idl 在
r
P点 （由电流元指向 P 点 的矢径 ）产生的磁感应强度 dB 为：
Idl dB : 0 Idl er dB 2 4 r
整段电流 B
Idl

r
dB
P
ˆ 0 Idl r B dB 4 r 2
整个圆环转动形成的电流的等效磁矩为：
1 4 m dm r dr ( R2 R14 ) 4 R1
3
R2
习题10.18 如图，无限长载流平板，宽度为a ，沿长 度方向通以恒定面电流I，电流I 沿宽度方向均匀分 布。求在平板中垂线上到平板距离为x的P点的磁感
应强度。
θ
R
x
R dI dB 2 ( x 2 R 2 )3/2
x2 R2 R2 csc2 0 nI dB sin d 2
0
2
0
2 R 2 x 2 3 2
2
R2 I
x Rcot , dI I ndx I nR csc d
B (
与时间无关
进一步， f ( x, y, z) 0 , 否则(x,y,z)处的电荷集聚会在该 点产生随时间变化的电场，从而J也会随时间变化。
0 t
空间电荷分布 不随时间变化
S
I2
J 0

S
J dS 0
I1
3.2 恒定电场

S
J dS 0 (r ) 恒定 E E (r ) 恒定。
第十章 稳恒磁场
§10-1 稳恒电流
§10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 磁场与磁感应强度 安培环路定理 洛仑兹力 安培力 载流导线在磁场中受到的磁力矩
§10-1 稳恒电流
1.电流强度
1.1 电流 导体内的载流子定向运动而形成电流。
1.2 形成电流的条件 1）导体中有载流子；

2
, 2 0
1 B 0 nI 2
例题：10.3 一内外半径分别为R1和R2的薄圆环均匀带电，电荷 面密度为σ，以角速度ω绕通过环心且垂直于环面的轴转动，求 (1)环心处的磁场；(2)等效磁矩. ω
解：半径为r,宽为dr的细圆环， 所带电量为：
R1 R2
O
dq dS 2 r dr
2 2
r
B
0 q(1 v / c )v er B 2 2 2 2 3/ 2 4 r (1 v / c sin )
方向： 1） q 0, v与Idl 同向 B沿v r 2） q 0, v与Idl 反向 B沿 v r
奥斯特实验（1820年）
安培实验（1820年） （1）磁体附近的载流导线受到力的作用：
（2）电流与电流之间存在相互作用：
（3）磁场对运动电荷的作用：
电子束
S
+
N
1.2 磁现象的本质 磁现象都起源于运动电荷（电流），磁相互
作用的本质是运动电荷（电流）之间的相互作用。
分子环流：电子绕原子核运动和电子自旋所形成。
y
dI ⊙
dy y
dBy r x
dB
O
1

P dBx x
0 I Bx tan d 0 2 2a 0 sin I r cos 0 I dBx d tan d 2 2 r 2a cos 2 2a 0 I 0 I 1 0 I1 0 I 1 a dBy d By 1 d 2 a 2 a tan x 2 2a 2 2a
等效载流圆线圈： dq dI dq rdr T 2 在环心处的磁场
dB
r
dr
o dI
2r

0
2
dr
整个圆环转动在环心处的磁场:
B dB
R2

0
2
dr
0
2
( R2 R1 )
R1
(2)
细环转动形成的圆电流的磁矩为：
dm dI S rdr r 2 r 3dr
S

dS
n
J
闭合曲面:
I
S
J dS J cos dS
S
(c)
2.4 电流的连续性方程 单位时间内流出S面的净电荷量:
I
S
J dS
S
依据电荷守恒:
dq S J dS dt
left J dV
V
dq dt
流） ，而与试验运动电荷无关。
Fmax v
单位：1（T）=10 （G）
4
4.匀速运动点电荷的磁场
0 q v er B 2 4 r
dl
I
+ +
q q
+ +
v
+ +
S^
以上结论只适用于低速 （v<<c）匀速运动的电荷。对 于高速（v～c）匀速运动的电 荷，磁场表达式为：
2.磁场
2.1 磁相互作用的场的观点 运动电荷 2.2 磁场 运动电荷（电流）周围空间存在的一种场。 2.3 磁场的的基本性质 对处在磁场中的运动电荷（电流）产生作用力. 磁场 运动电荷
3.磁感应强度
定义磁感应强度的大小：
B
Fmax B q0 v
定义磁感应强度的方向：
+
v
Fmax
B 磁感应强度只决定于产生磁场的运动电荷（电
1 2
0 nI
2
sin )d
0 nI (cos 2 cos 1 ) 2
0 nI (cos 2 cos 1 ) 2
无限长螺线管中心： 1 , 2 0
B 0 nI
半无限长螺线管端口：
1 , 2
2 ; or 1
dI I （a） J I JS dS^ S
（b） I JS^ JS cos J S
( S Sn )
n J S (a)
n

S^

S (b)
J
（c）一般情况
dI J dS J cos dS
I
S
J dS J cos dS
2）导体中有电场存在或导体两端有电势差。
1.3 电流强度
单位时间里通过导体某一截面的电量：
dq I dt
q Idt
t1
t2
2.电流密度
2.1 电流密度的定义 通过垂直于正电荷运动方向的单位面积的电流
强度:
dI J en dS
dS ^
dI
I
电流密度为矢量, 导体中某点电流密度的方向沿 该点正电荷运动的速度方向:
1 1
§10-3
安培环路定理
1.磁感应线
1.1 定义
切线方向 : B的方向 磁感应线密度 : B的大小 : B N / S^
1.2 性质 1）永远闭合（与电流相互套联） 2）永不相交
各种典型的磁感应线的分布
dI J en dS
电流密度反映了电流在载流导体内的分布:
J J (r ) J ( x, y, z )
电流场
2.2 电流线 在导体中画一系列曲线，使得 1) 曲线上各点的切线方向表示该处电流密度的方向；
2) 曲线的疏密表示该点处场强的大小。
+
-
2.3 电流强度与电流密度的关系
0 I B cos 1 cos 2 4 r
无限长载流导线： 1= 0 , 2 =
0 I B 2 r
（2）环形电流的磁场
0 Idl sin dB 4 r2