第十章稳恒磁场

第九章 稳恒磁场9-1 如图所示，无限长载流导线附近，球面Ｓ向导线靠近，穿过Ｓ的磁通量Φ将不变，面上各点磁感应强度的大小将增大。

(均填“增大”或“减小”或“不变”)9-2 如图，载有电流I 的无限长直导线的一侧有一等腰直角三角形的回路ＭＮＯ，回路和长直导线共面，回路的ＭＮ边与导线平行，相距为a ，而且ＭＮ和ＭＯ的长度也等于a ，求通过此回路的磁通量。

解：取如图所示的面积元（阴影部分），通过此面积元的磁通量为dr r a rIS d B d )2(20-=⋅=Φπμ所以，通过三角形面积的磁通量为)12ln 2(2)2(2020-=-=Φ=Φ⎰⎰πμπμIadr r a r I d aa9-3 图示为一张某粒子在均匀磁场B 中运动轨迹的照片，中间阴影区为铅板，粒子通过铅板后速度变小，从图中可以看出左半部轨迹较右半部弯曲得厉害些，则该粒子（Ｂ）（Ａ）不带电。

（）带正电。

（Ｃ）带负电。

（Ｄ）不能判断。

解：从图中可以看出粒子由右向左运动。

设粒子带正电，判断后发现其运动轨迹与图形符合，所以带正电。

9-4 如图，质量m 、电量e -的电子以速度v 水平射入均匀磁场B中，当它在水平方向运动l 距离后，有人计算其横向偏移y 如下（不计重力）：evB f =，加速度m evB a =，时间vlt =，所以 )2/(2122mv eBl at y ==其错误在于电子做匀速圆周运动，不是抛物线运动。

正确答案是___。

解：正确解法如下：设电子作圆周运动的半径为R ，则eBmvR =。

由图可以得出 22l R R y --=-=eBmv 22)(l eBmv - 9-5 图为某载流体（通电导体或半导体）的横截面，电流的方向垂直于纸面向。

若在铅直向上方向加一磁场，发现在载流体左右两侧堆积如图所示的电荷，则该载流体中运动的电荷是（Ｂ）。

（Ａ）正电荷 （Ｂ）负电荷 （Ｃ）正、负电荷都可能9-6 如图，载流Ｉ的无限长直导线附近有导线ＰＱ，载流1I ，如用下面的方法计算ＰＱ受力：Ba I f 1=，b b a I dx x I B ba b+=⋅=⎰+ln 2200πμπμ，所以bb a a II f +=ln 210πμ 则是错误的，正确的解法是_______________________。

解：把PQ 看作许多电流元组成，任找一段电流元x d I1，则它所受的磁场力为dx I xIdxB I df 1012πμ== 所以，PQ 受力为bba II dx I x I f ba b+==⎰+ln 221010πμπμ 9-7 在两条相互垂直的异面直导线ＡＢ和ＣＤ中，分别通以电流1I 、2I ，方向如图所示。

设ＡＢ为无限长。

ＣＤ对ＡＢ的张角为090；两直线间相距为0r 。

ＡＢ固定，Ｏ点是ＣＤ的中点。

求：（1）ＯＣ段电流所受的磁力；（2）ＤＯ段电流所受的磁力；（3）ＣＤ电流将如何运动？ 解：（1）如图所示，在ＯＣ上任找一段电流元l d I2，则它所受的磁场力为θπμθsin 2sin 2102dl I rI dlB I dF == 因为θcos 0r r =，且θtg r l 0=，所以θθ20cos d r dl =。

代入上式得θθπμθθθθπμd tg I I d r I rI dF 2sin cos cos 2210202010=⋅⋅⋅=所以ＯＣ段电流所受的磁力⎰==dF F 2ln 4221040210πμθθπμπI I d tg II =⎰⊙（2）DO 段受力与CO 段大小相等、方向相反。

（3）CD 绕O 点转动。

9-8 载有电流1I 的长直导线旁有一底边长为d 。

载有电流2I 的等腰三角形回路。

三角形顶点Ｃ距直导线为a 。

底边ＤＥ与直导线平行，相距为b ，且回路与直导线共面。

求回路所受的磁力。

解：先求CD 边受力。

在CD 边上任找一电流元l d I2，则其所受磁场力为θπμπμcos 222102102drr I I dl I r I dlB I dF ===由于各F d方向一致，所以CD 边所受力为abI I r dr I I dF F baln cos 2cos 2210210θπμθπμ===⎰⎰方向垂直于CD 边指向左上方。

CE 边受力大小与CD 边相同，方向指向左下方。

DE 边受力bdI I Bd I F DE πμ22102== 指向右边。

在竖直方向上CD 与CE 的分力大小相等方向相反，所以回路所受的合力bd I I a bI I F F F DE CD πμθθπμθ2sin ln cos 22sin 2210210-=-==-=b d I I a b I I πμθπμ2ln tan 210210bdI I a b a b d I I πμπμ2ln )(2210210-- 水平向左。

9-9 如图所示，有一无限长直线电流1I ，另有一半径为Ｒ的圆形电流)(212I I I >>，其直径AB 与此直线重合，彼此绝缘。

试求在图示位置：⑴半圆弧ACB 所受的作用力（不计半圆弧ADB 对ACB 的作用）；⑵整个圆形电流所受的作用力。

解：由对称分析得，不论是半圆环ACB 还是整个圆环，所受合力均向右。

（1）在半圆弧ACB 上找一电流元l d I2，它所受磁场力θθπμθπμd R RI I Rd I r I dlB I dF sin 222102102===θπμθd I I dF dF x 2sin 210== 半圆弧ACB 所受的作用力为→===⎰⎰2100210212I I d I I dF F x μθπμπ（2）整个圆形电流所受的作用力为→==='⎰⎰210202102I I d I I dF F x μθπμπ9-10 如图，在水平面内，三边质量都为m 、边长都为a 的正方形线框可绕水平轴O O '转动，线框处在与轴垂直的水平方向的均匀磁场中。

在线框中通以电流I ，若线框处于水平位置时恰好平衡，则磁感应强度的大小等于)/(2Ia mg ，方向水平向左。

解：线框所受重力力矩与磁力矩平衡：a BIa amg mga ⋅=⨯⨯+22 Iamg B 2=B的方向水平向左。

9-11 一塑料圆盘，半径为R ，电量q 均匀分布于表面，圆盘绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，角速度为ω，用以下方法计算圆盘磁矩：通过圆盘的电流强度πω2qi =，圆盘的面积2R S π=，所以磁矩 q R R q iS P i 22212ωππω===但这是错误的，因为题目给出的是均匀带电圆盘，而解法中却是按均匀带电圆环来计算磁矩。

正确的解法是____________。

如果将此圆盘放在均匀磁场B中，B的方向与盘面的夹角为ϕ，如图所示，则磁场作用于圆盘的力矩大小为4/cos 2ϕωqB R 。

解：正确解法如下：如图所示，把均匀带电圆盘看作由许多均匀带电同心圆环组成，任取一半径为r 、宽度为dr 的圆环，由于转动它等校的电流为rdr R q rdr R q ds dI ωππππωσπω22222===则它的磁矩为dr r Rq rdr R q r sdI dP m 3222ωωππ===总磁矩为=m P ⎰=Rq R dr r Rq 023241ωω 若把它放入均匀磁场中，圆环电流所受的磁力矩为ϕωϕcos )90sin(320dr r B Rq B dP dM m =-= 总的磁力矩大小为ϕωϕωcos 41cos 2032qB R dr r B Rq dM M R ===⎰⎰9-12 如图，在均匀磁场B 中，半径为R 、圆心角θ的扇形硬导线OAB 线圈，载流I ，线圈平面与B垂直，则圆弧AB 所受到的安培力的大小为2/sin 2θIBR ，方向为垂直于AB且沿径向向外；该线圈的磁矩大小为2/2θIR ，方向为垂直纸面向里；该线圈所受磁力矩大小为0。

解：圆弧AB 所受到的安培力B I B l d I B l Id F d F B AB AB AAB⨯=⨯=⨯==⎰⎰⎰)(其大小为=AB F 2sin2θIBR方向垂直于AB 且沿径向向外。

该线圈的磁矩大小为θ221IR IS P m == 方向垂直纸面向里。

线圈所受磁力矩0=⨯=B P M M。

9-13 如图所示，半径为R 的半圆环导线中通以电流为I ，并置于均匀磁场B中。

试求导线所受安培力对O O '轴的力矩。

解：方法一：如图所示，任找一电流元l Id，其所受的安培力为θθθd IRB IdlB dF cos )90sin(0=-= ⊗它对O O '轴的力矩为θθθθθd IBR d IBR R rdF dM 22cos cos cos =⋅== ↓所以，半圆环导线所受的总的磁力矩为2022021cos IBR d B IR dM M πθθππ==⎰⎰＝ ↓方法二：连接直径CD ，使之构成一封闭电流。

由于CD 中电流与外磁场平行，所以，它不受磁场力作用，因此闭合电流所受的磁力矩等于半圆环导线所受的磁力矩。

根据磁力矩公式B P M m ⨯=，有IB R B P M m 202190sin π== ↓9-14 如图，电流元11l d I 和22l d I 在同一平面内，相距为r ，夹角为1θ、2θ，则22l d I所受的安培力大小为________，方向为_______；11l d I所受的安培力大小为______，方向为______；这两个力大小不相等、方向也不相反，是否说明牛顿第三定律不成立，为什么？ 解：22l d I所受安培力为21110221222sin 4r dl I dl I B dl I dF θπμ== →同理，11l d I所受安培力为22220112111sin 4r dl I dl I B dl I dF θπμ== ↑因为22l d I 所受安培力是11l d I 产生的磁场（而不是11l d I ）施加的，而11l d I所受安培力是22l d I 产生的磁场施加的， 所以1F d 与2F d不是作用力与反作用力的关系，21F d F d -≠不违背牛顿第三定律。

9-15 如图，Ｐ点磁感应强度的大小等于________，方向为____________。

解:MA 、DN 段电流在P 点激发的磁感应强度为0，即021==B BAB 、BC 、CD 段电流在P 点激发的磁感应强度分别为a I a I B πμππμ82)0sin 4(sin 4003=+=⊗ aI a I B πμπππμ42)4sin 4(sin 4004=+=⊗ πμππμa I a I B 82)0sin 4(sin 4005=+=⊗ 故P 点的总磁感应强度为πμa IB B B B B B 22054321=++++= ⊗ 9-16 载流为I 的无限长直导线，在Ｐ点处弯成半径R 的圆周，如图，若缝隙极窄，则圆心O 处磁感应强度B的大小为________，方向为________。