2014高考数学备考学案(文科)能力提升第72课古典概型

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高中数学教案古典概型

高中数学教案古典概型
教学目标：
1. 了解古典概型的概念和基本原理。

2. 能够应用古典概型解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。

教学重点和难点：
1. 熟练掌握古典概型的计算方法。

2. 能够灵活应用古典概型解决不同类型的问题。

教学内容：
1. 古典概型的概念和性质。

2. 古典概型的计算方法。

3. 古典概型在实际问题中的应用。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入古典概型的概念，并激发学生对此的兴趣。

二、讲解（10分钟）
1. 讲解古典概型的定义和基本原理。

2. 介绍古典概型的计算方法。

三、练习（15分钟）
教师布置几道古典概型的练习题，让学生独立思考和解答。

四、拓展（10分钟）
让学生结合实际问题进行古典概型的应用，培养学生的问题解决能力。

五、总结（5分钟）
总结本节课所学内容，强化学生对古典概型的理解和掌握。

六、作业（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生对古典概型的应用能力。

板书设计：
古典概型
1. 定义和性质
2. 计算方法
3. 应用实例
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握古典概型的基本概念和计算方法，能够灵活应用古典概型解决实际问题。

通过不断练习和实践，可以进一步提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 12.2古典概型教案理新人教A版

§12.2 古典概型2014高考会这样考 1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力．复习备考要这样做 1.掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数；2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ mn.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[难点正本疑点清源]1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card A card I ＝m n.1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是__________．答案 13解析甲共有3种站法，故站在中间的概率为13.2．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 D解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.4．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是 ( )A.23B.14C.25D.15答案 C解析先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.5． (2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19答案 D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝545＝1 9.题型一基本事件例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”．思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．探究提高基本事件的确定可以使用列举法和树形图法．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．解所有可能的基本事件共有27个，如图所示．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图，知事件A 的基本事件有1×3＝3(个)，故P (A )＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图，可知事件B 的基本事件有2×3＝6(个)，故P (B )＝627＝29.题型二古典概型问题例2 有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．思维启迪：确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B ，则其所有可能结果有{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共6种，所以P (B )＝25.探究提高求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．答案 23解析三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法． ∴所求概率为P ＝1827＝23.题型三古典概型的综合应用例3 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．思维启迪：先根据统计图确定样本的男生人数，身高在170～185 cm 之间的人数和概率，再确定身高在180～190 cm 之间的人数，转化成古典概型问题．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥. 从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ＝915＝0.6.探究提高有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.六审细节更完善典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．审题路线图(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题) ↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓P 1＝316↓注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对立事件的概率n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分] 又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[12分]温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序． (2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法．失误与防范1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13B.12C.23D.34答案 A解析甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． (2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )A.136B.19C.536D.16答案 D解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3． (2011·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15B.25C.35D.45答案 B解析第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25. 4．一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( )A.15 B.310C.25D.12答案 C解析从袋中任取两个球，其一切可能结果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝25.二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35.6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案 34解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34. 7．在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．答案 45解析从五个点中任取三个点有10种不同的取法，其中A 、C 、E 和B 、C 、D 共线．故能构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P ＝810＝45. 三、解答题(共22分)8． (10分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15. 9． (12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数的概率．解分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b ，则有(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…；(5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法．由于函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，必有a >0且2b a≤1，即a >0且2b ≤a . 若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16.因此所求概率为1636＝49. B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 C解析复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 2．宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，6家矿泉水企业参与了竞标．其中A 企业来自浙江省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是( ) A.45B.35C.12D.15答案 A解析在六家矿泉水企业中，选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概率为45.3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ________(用数字作答)．答案 35解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类：第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)．第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)．共有144＋216＋72＝432(种)．由古典概型概率公式得P ＝432720＝35.5. 如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．答案 34解析基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG→＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.6．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ↔N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ↔N *}，在A ∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．答案 1667 解析易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667. 三、解答题7． (13分)(2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000.即s 2的最大值为80 000.。

2014高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升12.2《古典概型》学案

12.2古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．基础知识1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝A I ＝mn. 2. (1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一基本事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”．解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二古典概型【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，事件M由C13C12＝6，因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34解析甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三古典概型的综合应用【例3】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90，这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.【变式3】一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点突破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35C.815D.1415解析：记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16 B.15 C.13D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A。

高中高三数学古典概型教案

高中高三数学古典概型教案教学目标：
1. 理解古典概型的基本概念和应用。

2. 解决实际问题中的概率计算。

3. 提高学生的数学思维和应用能力。

教学重点：
1. 古典概型的定义和特点。

2. 古典概型在实际问题中的应用。

3. 概率计算和概率分布。

教学难点：
1. 复杂问题的古典概型解题方法。

2. 概率计算过程中的逻辑性。

教学准备：
1. 教师准备课件和教学素材。

2. 学生准备相关教材和笔记。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍古典概型的概念和应用，并提出学习目标。

二、知识讲解（20分钟）
1. 古典概型的定义和特点。

2. 古典概型的应用举例。

3. 概率计算公式和概率分布。

三、示范演练（15分钟）
教师通过几个案例演示古典概型的解题方法和计算过程。

四、分组讨论（15分钟）
学生分组讨论并解决几个古典概型的实际问题。

五、小结（5分钟）
教师复习本节课的重点内容，并总结学习收获。

六、作业布置（5分钟）
布置相关练习和作业，巩固学生对古典概型的理解和运用能力。

教学反思：
本节课通过理论讲解、示范演练和实际问题解决的方式，帮助学生深入理解古典概型的概念和应用，提高了他们的数学思维和实际问题解决能力。

在教学中要注重培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，引导他们灵活运用数学知识解决实际问题。

高三一轮复习古典概型与几何概型教案

教学内容古_典_概_型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0. [试一试]1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是________．古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． [练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为________．考点一古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．2．(2014·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．3．(2014·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？[类题通法]计算古典概型事件的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有： (1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合. 角度一古典概型与平面向量相结合1．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．角度二古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2－(y －b )2＝4相切的概率为________．角度三古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[课堂练通考点]1．(2014·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿几_何_概_型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．[试一试]1．在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是________．2．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．几何概型的常见类型的判断方法1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3．与体积有关的几何概型．(方法参见考点二“类题通法”) [练一练]1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，－1≤y ≤2，x －y －1≥0，表示的平面区域为M ，(x －4)2＋y 2≤1表示的平面区域为N ，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 内的概率是________．考点一与长度、角度有关的几何概型1．(2014·石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为________．2.(2014·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．3．(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．[类题通法]求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．考点二与体积有关的几何概型[典例](2013·深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[类题通法]对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[针对训练]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题.角度一与三角形、矩形、圆等平面图形面积的有关问题1．(2013·陕西高考改编)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．角度二与线性规划交汇命题的问题2．(2013·四川高考改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．角度三与平面向量的线性运算交汇命题的问题3．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．[类题通法]求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．[课堂练通考点]1．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________．2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为________．3．(2014·淄博模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是________．2．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部．现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是________．5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．6．(2014·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．8.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体。

2014高考数学备考学案(文科)能力提升第82课几何证明选讲

EF FG BC AD
．
A
E
F D G
B

【答案】 1 【解析】
EF FG AF FC 1． BC AD AC AC
2．(2012 东莞二模) 如图，已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ，直线 PO 交圆 O 于 B 、
C 两点， AC 2 ， PAB 120 ，则圆 O 的面积为
P
【答案】 6 【解析】设 PO 交圆 O 于 C ， D ，如图，设圆 O 的半径为 r ，则 PA PB PC PD ， ∴ 1 (1 2) (3 r )(3 r ) ，∴ r 6 ．
D O C B A
P
【变式】（2012 西城一模）如图， AC 为圆 O 的直径， OB AC ，弦 BN 交 AC 于点 M ．若 OC 3 ， OM 1 ，则 MN _____． B
∴ tan AOP ∴ AOB 为等边三角形,∴ ABC 60 ．

考点3 与圆有关的比例线段问题
【例 3】（2012 湖南高考）如图，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A ， B 两点．若
PA 1, AB 2, PO 3 ，则圆 O 的半径等于_______．
O B A
B D O A C
．
【答案】 2 【解析】∵ OD CD ，∴ CD OC OD ，
2 2
∵ OC 长为定值，∴ OD 最小时， CD 取得最大值， ∴ CD
1 AB 2 ． 2
典例剖析
考点1 相似三角形的判定与性质
【例 1】（2012 汕头二模）如图所示的 Rt ABC 中有边长分别为 a, b, c 的三个正方形，若 ac 4 ，则 b _______． B

[学案+作业]高三数学文科一轮第十一章概率第72课几何概型学案与教案(教师版)

几何概型学案与教案1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 ①无限性每次试验的基本事件个数是的． ②等可能性每个事件的发生的概率是的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．考点1 与长度或角度有关的几何概型【例1】在ABC ∆中，60ABC ∠= ，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使ABD∆为钝角三角形的概率为（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】B【解析】如图，易求得11BA =， ∴113BA P BC ==．【变式】（2013昌平二模）在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为（） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 34【答案】C【解析】∵1tan cos 2x x ⋅≥，∴1sin 2x ≥， ∵[]0,x π∈，∴5,]66x ππ∈[，∴52663P πππ-==．考点2 与体积有关的几何概型【例2】有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱ABCDA 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为．【答案】23【解析】221412231123P ππ⨯⨯=-=⨯⨯．【变式】(2013江门一模）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11AA AM ⋅≥的概率P =．【答案】43【解析】设1,AA AM θ<>= ，11AA AM ⋅≥，∴1cos 1AA AM θ⋅≥ ，1cos 2AM θ≥ ，∵cos AM θ 表示AM 在1AA 上的投影，点M 的轨迹如图阴影部分： ∴11111111322322224A B C D EFGH A B C D ABCDV P V --⨯⨯===⨯⨯．考点3 与面积有关的几何概型【例3】（2013四川高考）节日里某家房前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯再以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得04,04x y ≤≤≤≤，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：11622232164P -⨯⨯⨯==．【变式】设关于x 的一元二次函数2()41(,)f x ax bx a b R =-+∈．1C C 1A 1（1）设集合{1,2,4}P =和{1,1,2}Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为函数()f x 中a 和b 的值，求函数)(x f y =有且只有一个零点的概率；（2）设点(,)a b 是随机取自平面区域24000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的点，求函数()y f x =在区间(,1]-∞上是减函数的概率.【解析】（1）要使函数)(x f y =有且只有一个零点，当且仅当21640b a ∆=-=，即24a b =．分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，可以是(1,1),(1,1),-(1,2),(2,1),-(2,1),(2,2),(4,1),(4,1),(4,2)-共9个基本事件，其中满足24a b =的事件有(4,1),(4,1)-共2个， ∴所求事件的概率为29. （2）函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2ab x =由函数()y f x =在区间(,1]-∞上是减函数，得2a b ≤且0a >，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为240(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，即三角形区域AOB .且点(2,0)A ，点(0,4)B ．构成所求事件的区域为三角形区域BOC （如图）.由24084(,)255a b C a b+-=⎧⇒⎨=⎩，∴所求事件的概率为1844255422BOC AOBS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯．几何概型课后作业1．（2013海淀二模）如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（） A ．ma nB ．namC ．2ma nD ．2na m【答案】C2．（2013宁夏一模）在球内任取一点,则点在球的内接正方体中的概率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D3．（2013陕西高考）如图, 在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π【答案】A【解析】211211214P ππ⋅=-=-⨯．4．(2013韶关一模）设不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，的概率是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，可行域为阴影部分，∴所求的概率2141114222P ππ⨯=-=-⨯⨯．5．在ABC ∆中，60ABC ∠= ，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使ABD ∆为钝角三角形的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】∵sin 60BMAB=，∴1BM =， ∵cos 60BNAB=，∴4BN =， ∴2NC BC BN =-=，∴12BM NC P BC +==．6．（2013东莞一模）在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数31()2f x x ax b =+-在区间[1,1]-上有且仅有一个零点的概率为（） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】C 【解析】∵31()2f x x ax b =+-，∴23()2f x x a '=+， ∵[0,1]a ∈，∴[1,1]x ∈-时，()0f x '≥， ∴()f x 在区间[1,1]-上单调递增， ∵()f x 在区间[1,1]-上有且仅有一个零点，∴(1)0(1)0f f -≤⎧⎨≥⎩，即102102a b a b ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，∴102a b -+≥，如图，阴影部分为可行域，11(0,),(,1),(0,1),22A B C ，M CB A∴所求的概率111117222118P ⨯-⨯⨯==⨯． 7．（2013湖北高考）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m =______．【答案】3【解析】如图：当2m =时，||x m ≤的概率为46，不合题意；∴2m >，满足||x m ≤的概率为为2566m +=，解得3m =． 8．（2013广州二模）如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为．【答案】14π-【解析】2211121441114222P πππ⨯+⨯⨯=-=-⨯⨯．9．已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+．（1）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为M AB–1–21234Ca 和b ，求函数)(x f y =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【解析】（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为2bx a=，要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当0a >且21ba≤，即2b a ≤，若1a =，则1b =-，若2a =，则1,1b =-，若3a =，则1,1b =-，∴事件包含基本事件的个数是1225++=，∴所求事件的概率为51153=．（2）由（1）知当且仅当0a >且2b a ≤时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008|),(b a b a b a 构成所求事件的区域为三角形部分．由802a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，得交点坐标为168(,)33，故区域A 的面积为 S △POM ==，故所求的事件的概率为 P===．10．设函数2()f x x bx c =++，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率．（1）若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；（2）已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{01}x x ≤≤,,b c 是算法语句4*Rand()b =和4*Rand()c =的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)【解析】由2()f x x bx c =++知，事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”，即43b c c +≤⎧⎨≤⎩．（1）∵随机数,{1,2,3,4}b c ∈，∴共等可能地产生个数对(,)b c ，列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩包含了其中个数对，即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）． ∴63()168P A ==，即事件A 发生的概率为38．（2）由题意，,b c 均是区间[0,4]中的随机数，产生的点(,)b c 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积()16S Ω=．166(,)bc事件A：43b cc+≤⎧⎨≤⎩所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：115 ()(14)322S A=⨯+⨯=．∴15()152()()1632S AP AS===Ω，即事件的发生概率为15 32．A。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第三章§3.2古典概型(一)

本课时栏化的，在试验前不能确定；(2)概率是
一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关；(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，并在其附近摆动．
问题2 考察抛硬币的实验，为什么在实验之前你也可以想到抛一枚硬币，正面向上的概率为0.5? 答原因：(1)抛一枚硬币，可能出现的结果只有两种；(2)硬币是均匀的，所以出现这两种结果的可能性是均等的．
种情况．
5 小结 (1)由以上问题得到，对于某些随机事件，也可以不通过大量重复实验，而只通过对一次实验中可能出现的结果的分析来计算概率；(2)在一次试验中，可能出现的每一个基本结果称为一个基本事件．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是 1 3 ________ ．
本课时栏目开关
解析用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123, 132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能 1 被2整除的概率为 . 3
研一研·问题探究、课堂更高效
问题3 把“抽到红心”记为事件B，那么事件B含有哪些情况？而 “抽到黑桃”又含有哪些情况？抽到这些情况的可能性是怎样的？答含有“抽到红心1”、“抽到红心2”、“抽到红心3”这3种
情况．而“抽到黑桃”含有“抽到黑桃4”、“抽到黑桃5”这两
本由于是任意抽取的，可以认为出现这5种情况的可能性都相等．课时栏问题4 如何得出事件B发生的概率？目答当出现抽到红心1,2,3这3种情形之一时，事件B就发生，于是开 3 关 P(B)＝ .
小结

高考数学备考学案(文科)能力提升第72课古典概型

整理ppt
10
【解析】（1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红 1 红 2，红 1 红 3，红 1 蓝 1，红 1 蓝 2，红 2 红 3，红 2 蓝 1，红 2 蓝 2，红 3 蓝 1，红 3 蓝 2，蓝 1 蓝 2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，
满足两球颜色为一白一黑有 6 种，故 P 6 2 ．
整1理5ppt 5
8
【变式】（2012 江苏高考）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3 为公
比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是
．
【答案】 3 5
【解析】∵以1为首项， 3 为公比的等比数列的 10 个数为： 1, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39 ， ∵这 10 个数中小于8 的数有 6 个，∴ P 6 = 3 ．
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
【答案】A
整理ppt
5
3．（2012 东莞二模）抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和不大于 4 的概率为（）
A． 1 6
B． 1 9
C． 1 12
D． 1 18
【答案】A
整理ppt
6
4 ．（ 2012 黄埔质检）设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程
3．古典概型的概率公式
P( A)
A包含的基本事件的个数基本事件的总数
．
整理ppt
3
基础自测
1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）
A． 1 2

2014届高考数学一轮复习名师首选第10章58《古典概型》学案

学案58 古典概型导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．自主梳理1．古典概型一般地，一次试验有下面两个特征(1)有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性．每个基本事件的发生都是等可能的，称这样的概率模型为古典概型．2．古典概型的概率公式如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是________；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝________.自我检测1．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x ＋y＝5下方的概率为________．2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是________．3．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________．5．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表示).探究点一写出基本事件例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”．变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问：(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？探究点二古典概型的概率计算例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．变式迁移2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．探究点三古典概型的综合问题例3 汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．变式迁移3 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．分类讨论思想例(14分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．多角度审题本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I 包含的基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件个数m ，用公式P(A)＝mn求解．【答题模板】解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．[6分](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.[10分](3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．[14分]【突破思维障碍】(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响．【易错点剖析】1．题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注． 2．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．1．基本事件的特点主要有两条：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型的基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个数n ，以及所求事件A 包含的基本事件的个数m ；③代入公式P(A)＝mn，求概率值．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为________．2．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为________．3．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．4．连续掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率为________．5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．7．在集合{x|x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝12的概率为________． 8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．二、解答题(共42分)9．(14分)袋子中装有编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (3)求至少摸出1个黑球的概率．10．(14分)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．11．(14分)已知实数a ，b∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．学案58 古典概型答案自主梳理 2．1n m n 自我检测 1．16 2．12125 3．13 4．0.14解析卡号是7的倍数有：7,14,21， (98)共有m ＝98－77＋1＝14，总共n ＝100.∴P＝mn ＝0.14.5．45解析 ∵A、C 、E 在直线y ＝x 上，B 、C 、D 在直线y ＝－x ＋2上，任取三点列举知有10种取法，共线有2种取法．∴取三点能构成三角形的概率为10－210＝45.课堂活动区例1 解题导引计算古典概型所含基本事件总数的方法：(1)树形图；(2)列表法；(3)另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件．解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．变式迁移1 解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为A ，B 号，从中摸出2只球，有如下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A ，B)，因此，共有10个基本事件．(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310.例 2 解题导引古典概型的概率计算公式是P(A)＝mn.由此可知，利用列举法算出所有基本事件的个数n 以及事件A 包含的基本事件数m 是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举基本事件．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2) ＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝0.2.一个5点或6点的概率为P ＝2036＝59.方法二利用对立事件求概率．“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表，“没有5点或6点”包含16个基本事件，没有5点或6点的概率为P ＝1636＝49.∴至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.例3 解题导引本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知识解决实际问题的能力．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000.则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车．用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8. 2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝68＝34，即所求概率为34.变式迁移3 解 (1)总体平均数为16×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．所以所求的概率为P(A)＝715.课后练习区 1．38解析共23＝8(种)情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种．∴P＝38.2．1936解析 b 2≥4c.由此可见，为P ＝1936.3.310解析在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果：{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为310.4．512解析由题意知，(m ，n)·(－1,1)＝－m ＋n<0， ∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝1536＝512.5．310解析由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字之和为3的事件为1,2.取出小球标注数字之和为6的事件为1,5或2,4.∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为 P ＝1＋210＝310.6．120解析设男教师有n 人，则女教师有(n ＋12)人．由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率P ＝n 2n ＋12＝920，得n ＝54，故参加联欢会的教师共有120人． 7．15解析 cos π3＝cos 5π3＝12，共2个．x 总体共有10个，所以概率为210＝15.8．0.2解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m 的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，∴概率P ＝210＝0.2.9．解 (1)ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.(5分)(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6个基本事件．所以P(A)＝610＝0.6.所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. (10分)(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共7个基本事件，所以P(B)＝710＝0.7.所以至少摸出1个黑球的概率为0.7.(14分)10．解设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法．(4分)(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种： (0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．故P(A)＝416＝14.(10分)(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(12分) 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，P(B)＝416＋316＋216＝916.(14分)11．解由于实数对(a ，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．(5分)设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B.(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a≥0，b≥0，即满足条件的实数对(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(2, 1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝416＝14.故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(9分)(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则必须满足|b|a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1.(11分)若a ＝－2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值；若a ＝－1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值；若a ＝1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值．∴满足条件的实数对(a ，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.(14分)。

2014人教A版高中数学必修三321《古典概型》课时提能训练

3、2、1 古典概型(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1、(2011·新课标全国高考)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相等,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )1123（）（）（）（）A B C D32342、(2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球与3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )1234（）（）（）（）A B C D55553、(2011·浙江高考)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率就是( )1339（）（）（）（）A B C D10105104、设a就是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b就是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b)、记“这些基本事件中,满足log b a≥1”为事件E,则E发生的概率就是( )1511（）（）（）（）A B C D21234二、填空题(每小题4分,共8分)5、(易错题)甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙想的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a－b|≤1,则称“甲、乙心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出她们“心有灵犀”的概率为__________、6、(易错题)已知直线l1:x-2y-1=0,直线l2:ax-by-1=0,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},则直线l1∩l2= 的概率为________、三、解答题(每小题8分,共16分)7、为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)、(1)求x,y;(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率、8、(2012·浏阳高一检测)箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记事件A表示“拿出的手套配不成对”;事件B表示“拿出的都就是同一只手上的手套”;事件C表示“拿出的手套一只就是左手的,一只就是右手的,但配不成对”、(1)请罗列出所有的基本事件;(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率、【挑战能力】(10分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别就是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4)玩游戏,她们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张、(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况、(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率就是多少？(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜、您认为此游戏就是否公平？说明您的理由、答案解析1、【解析】选A、因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为13、2、【解析】选B、1个红球,2个白球与3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3、从袋中任取两球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2), (c1,c3),(c2,c3),共15种、满足两球颜色为一白一黑有6种,概率等于62. 155=【变式训练】抛掷两个骰子,则两个骰子点数之与大于4的概率为( )13875A B C D189126（）（）（）（）【解析】选D、抛掷两个骰子共有36个基本事件,事件“两个骰子点数之与大于4”包含30个基本事件,故所求的概率为305P366 ==、3、【解析】选D、根据题意,首先从5个球中任取3个球,共10种取法,所取的3个球中没有白球,即全部红球的情况有1种,则没有白球的概率为110,则所取的3个球中至少有1个白球的概率就是910,故选D、4、【解题指南】首先将已知的不等关系转化为a,b的关系,再求基本事件的个数,最后求概率、【解析】选B、试验发生包含的事件就是分别从两个集合中取两个数字,共有4×3=12种结果,满足条件的事件就是满足log b a≥1,可以列举出所有的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,∴根据古典概型的概率公式得到概率就是5 12、5、【解析】数字a,b的所有取法有62＝36种,满足|a－b|≤1的取法有16种,所以其概率为164P369＝＝、答案:4 96、【解析】∵a,b∈{1,2,3,4,5,6},∴a,b各有6种取法,∴总事件数就是36,而满足条件的只有两组数a=2,b=4;a=3,b=6、∴21 P.3618 ==答案:1 18【误区警示】本题易出现将所求事件含的基本事件中含有a=1,b=2的错误,实际上此种情况下两直线重合,不就是平行的情况、错误的原因就是没有准确理解题意、7、【解析】(1)由题意可得,x2y 183654==,所以x=1,y=3、(2)记从高校B 抽取的2人为b 1,b 2,从高校C 抽取的3人为c 1,c 2,c 3,则从高校B,C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共10种、设选中的2人都来自高校C 的事件为X,则X 包含的基本事件有(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共3种、因此P(X)=310、故选中的2人都来自高校C 的概率为310、 8、【解析】(1)分别设3双手套为:a 1a 2;b 1b 2;c 1c 2、a 1,b 1,c 1分别代表左手手套,a 2,b 2,c 2分别代表右手手套、从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,所有的基本事件就是:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2);(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,c 1),(a 2,c 2);(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2);(b 2,c 1),(b 2,c 2);(c 1,c 2)、共15个基本事件、(2)①事件A 包含12个基本事件,故124P A 155==（）(或能配对的只有3个基本事件,34P A 1155=-=（）); ②事件B 包含6个基本事件,故62P B 155==（）; ③事件C 包含6个基本事件,故62P C 155==（）、【挑战能力】【解析】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),( 4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种不同情况、(2)甲抽到红桃3,则乙抽到的牌只能就是红桃2,红桃4,方片4,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23、 (3)不公平、由甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3)5种, 甲胜的概率为15P 12=，乙胜的概率为27P 12=、∵571212＜, ∴此游戏不公平、【方法技巧】巧用概率知识解释实际问题概率与现实生活中的大量的随机现象密不可分,可以说概率从生活中来,同时利用概率知识又可以解释生活的一些随机问题、例如,本例中对游戏公平与否的概率解释,就体现了概率知识在解决生活中随机现象的独到之处、。

2014届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型教学案

古_典_概_型[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．三、古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12B.13 C.23D ．1 解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．那么P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，那么取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，那么取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，那么甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )33C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，那么甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4．(2012·某某一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，那么在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：351.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．简单的古典概型典题导入[例1] (2012·某某高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.2555[自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，那么从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑．故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.由题悟法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数〞是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1 469)，在两位的“≺数〞中任取一个数比36大的概率是( )A.12B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数〞有8个；十位是2的“≺数〞有7个；……；十位是8的“≺数〞有1个．那么两位数中，“≺数〞共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数〞共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数〞中任取一个数比36大的概率是1836＝12.复杂的古典概型典题导入[例2] (2012·某某高考)如下图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] (文)从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.(理)从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35.法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.由题悟法求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，那么他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425B.215C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1．(2013·某某调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，那么取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．(2013·某某质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，那么三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列〞包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，假设发现有次品，那么当天的产品不能通过．那么第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5．(2012·某某模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，那么函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．假设存在零点，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，那么检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料〞这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料〞含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7．(2012·某某模拟)从分别写有0,1,2,3,4的五X 卡片中取出一X 卡片，记下数字后放回，再从中取出一X 卡片．那么两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五X 卡片中取出两X 卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158．(2012·某某高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，那么在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课〞就是“任何两节文化课不能相邻〞，利用“插空法〞，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课〞发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．(2012·某某高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：乙甲ABCA (A ，A ) (A ，B ) (A ，C ) B (B ，A ) (B ，B ) (B ，C ) C(C ，A )(C ，B )(C ，C )由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11．(2012·某某模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b 〞．设复数为z ＝a ＋b i.(1)假设集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9〞的概率．解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9〞的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12．(2012·某某模拟)A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着1，另一个球标着2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)假设用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球之和为i 〞为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1．(2012·某某十校联考)从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，那么此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，那么m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 那么直线y ＝mnx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． (2012·某某高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)假设从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，那么抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，那么A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29B.13word11 / 11 C.89D ．1 解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，那么直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，那么有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：5123．(2012·某某高考)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。

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教材回归1. 基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是 ________ 的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成 ___________ 的和.2. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件 __________⑵每个基本事件出现的可能性 ______________3. 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是+ ;如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)=半・(V 三基强化9^^^^^77777777777777777777777^1. (2010年北京高考)从｛1,2,3,4,5｝屮随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝屮随机选取一个数为b,则b>a 的概率是()2. 掷一枚均匀的硬币两次，事件M ： —次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A. P(M)=*, P(N)=*B ・ P(M)=*, P(N)=|C ・ P(M)=|, P(N)=|] 3古典概型A 包含的基本事件的个数基本事件的总数A5 c i4.古典概型的概率公式P(A) =D. P(M)=^ P(N)=[3.老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为()A 箱B10 C5 D44.(2010年莆出模拟)一袋中装有大小相同，编号为123,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次収一个球，共収2次，则収得两个球的编号之和不小于15的概率为()A 丄R 丄Ay 氐64 匕32 °*64r考点分类讲练p Yi'MiNGSnZDUJ/fUA考点一简单的古典概型问题例1在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为123,4,5,6 的六种添加剂可供选用•根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度Z和.求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率.【归纳拓展】(1)计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.⑵含有“至多至少”等类型的概率问题，从正而突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)=1—P(7j进一步求解.变式迁移将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求:(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率.考点二复杂事件的古典概型问题例2袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：(1M：取出的2个球都是白球；(2)B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球.【归纳拓展】在古典概型条件下，当基本事件总数为n吋，每一个基本事件发生的概率均時，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m, 例3甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.⑴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人屮至少有一人抽到选择题的概率是多少【归纳拓展】含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较闲难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)=1—P(W)进一步求解.區易错盘点1.误解基本事件的等可能性致误纠错训练1若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有123,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为______________ .2.互斥与对立相混淆致误纠错训练2判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1〜10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；⑶“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”・1.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A屮的基本事件，利用公式玖小=半求出事件A的概率.这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.2.事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少.回答好这三个方面的问题，解题才不会出错。

【课堂新坐标】2014高中数学古典概型教案新人教版必修3

3.2 古典概型3．2.1 古典概型(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数．(2)在数学建模的过程中，正确理解古典概型的两个特点．(3)推导和掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率问题．2．过程与方法(1)进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力．(2)通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力．3．情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想．(2)通过参与探究活动，领会理论与实践对立统一的辨证思想，培养学生的合作精神．●重点难点重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式．难点：如何判断一个试验是否为古典概型．教学时，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合前面三节课所讲解的概率的有关知识，通过观察、分析课本中实例的特点概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来从而突出重点．通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考、交流、概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解．对于古典概型的判断，两个条件缺一不可，尤其是例题中等可能性的判断，教师通过实例模型的给出，帮助学生突破思维难点．(教师用书独具)●教学建议学生已经学习了随机事件的概率，经历了抛硬币、掷骰子等试验，初步从中体验到每个试验结果出现“机会均等”．这为学习古典概型奠定心理基础．但同时学生也会认识到通过试验的方法来得到一些事件的概率费时耗力，而得到的只是概率的近似值．那么寻找一种能得到精确的结果并且简便易行的操作方法成了学生内在的迫切需要．根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来．最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点．●教学流程创设情境，引入新课：以掷硬币试验为例考查事件的基本特点⇒教师引导学生分析探究事件的构成及特点，引出古典概型的概念并分析特点⇒通过例1及变式训练使学生能掌握事件的构成，突出重点⇒通过例2及变式训练使学生掌握求简单古典概型概率的方法和技巧⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈⇒引导学生完成例3及变式训练，使学生掌握较为复杂的古典概型的概率求法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正课标解读 1.了解基本事件的特点．2.理解古典概型的定义．(重点)3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．(难点)基本事件【问题导思】掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？【提示】(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．古典概型【问题导思】掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？【提示】这个试验的基本事件有六个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性相等．1．古典概型的概念如果某类概率模型具有以下两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.基本事件的计数有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．【思路探究】根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．【自主解答】 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．1．求基本事件的基本方法是列举法．基本事件具有：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的基本事件不可能同时发生．因此，求基本事件时，一定要从可能性入手，对照基本事件的含义及特征进行思考，并将所有可能的基本事件一一列举出来．2．对于较复杂问题中基本事件数的求解还可应用列表或树形图．一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有的基本事件；(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？【解】 4个球的大小形状相同，摸出每个球的可能性是相等的．(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件. 简单古典概型概率的求法先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5且小于10的概率．【思路探究】用坐标法找出基本事件总数n 和事件A 发生的基本事件数m ，用公式求解．【自主解答】从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P (A )＝14. (2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P (B )＝2036＝59. 1．借助坐标系求基本事件的方法：(1)将基本事件都表示成(i ，j )的形式，其中第一次的试验结果记为i ，第二次的试验结果记为j .(2)将(i ，j )以点的形式在直角坐标系中标出，点所对应的位置填写i ，j 之和(差或积，看题目要求)．(3)看图，找出符合条件的基本事件．2．求古典概型概率的计算步骤是：(1)求基本事件的总数n ；(2)求事件A 包含的基本事件的个数m ；(3)求事件A 的概率P (A )＝m n.一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号码后放回．再取出1个，记下号码后放回，按顺序记录为(x ，y )，(1)求所得两球的和为6的概率；(2)求所得两球的和是3的倍数的概率．【解】列出所有的基本事件，共25个，如图所示．(1)由图可直观地看出“所得两球的和为6”包含5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，故所求概率为525＝15. (2)“两球的和为3的倍数”包含(2,1)，(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(5,1)，(4,2)，(1,8)，(8,1)共9个基本事件．故所求概率为925. 较复杂的古典概型的概率计算同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1～6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准)，试计算出现点数和为6或7的概率为多少？【思路探究】解答本题可先列出掷两枚骰子的基本事件，求出基本事件总数，然后求出点数和为6或7的基本事件数，进而根据计算公式求解．【自主解答】由于每个面向上的概率相等且试验结果有限可数，故该概型属于古典概型．法一由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两个事件互斥，所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公式．为了简单明了起见，可认为两只骰子是编号为1号、2号的不同的骰子，同时抛掷，如图所示，则可能出现的基本事件有36种．设出现点数和为6的事件为事件A ，出现点数和为6的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种．∴P (A )＝536. 设出现点数和为7的事件为事件B ，出现点数和为7的情况有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．∴P (B )＝636＝16. ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝536＋16＝1136. 即出现点数和为6或7的概率为1136. 法二将“出现点数和为6或7”看成单一的基本事件A ，则由于基本事件(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种，计n ＝36.其中事件A 包含的事件有(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)共11种，计m ＝11.故P (A )＝m n ＝1136. 使用古典概型概率公式应注意：1．首先确定是否为古典概型；2．A 事件是什么，包含的基本事件有哪些．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】随机选取两个小球，记事件A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共18种．(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x ，y )，共有可能结果90种．因此，事件A 的概率是1890＝945＝15. (2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x ，y )，则x 有10种可能，y 有10种可能，但(x ，y )与(y ，x )是一样的，共有可能结果100种．因此，事件A 的概率是18100＝950. 数形结合思想巧解古典概型概率(12分)先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路点拨】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．【规范解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16. (2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P (B )＝136. 10分(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝1236＝13.12分1．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A 可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P (A )＝事件A 所包含的基本事件的个数基本事件的总数，只对古典概型适用．3．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．【答案】 C2．下列不是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】由古典概型特征知C 不是古典概型．【答案】 C3．在单词Probability(概率)任意选择一个字母，则该字母为i 的概率为________．【解析】在单词中任选一个字母有11种选法，该字母为i 的有两种情况，故概率为211. 【答案】 2114．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球．【解】每个基本事件为(x ，y ，z )，其中x ，y ，z 分别取红、白球，故基本事件个数n ＝8个．全集I ＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(1)记事件A 为“三次颜色恰有两次同色”．∵A 中含有基本事件个数为m ＝6，∴P (A )＝m n ＝68＝0.75； (2)记事件B 为“三次颜色全相同”．∵B 中含基本事件个数为m ＝2，∴P (B )＝m n ＝28＝0.25；(3)记事件C 为“三次摸到的红球多于白球”．∵C 中含有基本事件个数为m ＝4，∴P (C )＝48＝0.5. 一、选择题1．(2013·石家庄高一检测)一个家庭中有两个小孩，这两个小孩都为女孩的概率为( )A.13B.12C.14D.23【解析】两个小孩共有四种情况：(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，男)，基本事件总数为4，两个小孩都为女孩的概率为14. 【答案】 C2．甲、乙、丙三个人站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23【解析】基本事件总数为(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)6个，甲站在中间的事件有2个，故P (甲)＝26＝13. 【答案】 C3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】设Ω＝{(a ，b )|a ∈{1,2,3,4,5}，b ∈{1,2,3}}，包含的基本事件数为5×3＝15，事件“b >a ”可表示为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m ＝3，∴P ＝315＝15. 【答案】 D4．(2013·阜阳高一检测)设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )A.23B.13C.12D.512【解析】基本事件总数为6，若方程有实根则a 2－8>0，满足上述条件的a 为3,4,5,6，故P ＝46＝23. 【答案】 A5．(2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45【解析】利用古典概型求解．设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25. 【答案】 B二、填空题6．(2013·南京高一检测)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为________．【解析】基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6个；其中一个数是另一个两倍的有(1,2)，(2,4)两个事件，故概率为26＝13. 【答案】 137．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．【解析】满足log 2x y ＝1的x ，y ，有(1,2)，(2,4)，(3,6)这3种情况，而总的可能数为36种．所以P ＝336＝112. 【答案】 1128．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．【解析】基本事件共有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5，2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)10种情况．相差0.3 m 的共有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情况，∴P ＝15. 【答案】 15三、解答题9．任意投掷两枚质地均匀的骰子，计算：(1)出现的点数相同的概率；(2)出现的点数之和为奇数的概率；(3)出现的点数之和为偶数的概率．【解】 (1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，故可以看成等可能事件．其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i ，i )(i ＝1,2，…，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为636＝16. (2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．又由于每枚骰子点数有3个偶数，3个奇数，所以出现的点数之和为奇数的数组有3×3＋3×3＝18(个)．从而所求概率为1836＝12. 法二由于每枚骰子点数分奇、偶数各3个，而按第1、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，所以出现的点数之和为奇数的概率为24＝12. (3)由于每枚骰子点数各有3个偶数，3个奇数，因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件．所以出现的点数之和为偶数的概率为1－12＝12. 10．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球．(3)C ：取出的两球中至少有一个白球．【解】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )＝615＝25. (2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P (B )＝815. (3)法一 ∵C ＝A ∪B 且A ，B 为互斥事件，∴P (C )＝P (A )＋P (B )＝1415. 法二设C 的对立事件为D ：取出的两球中没有白球(全为红球)，而D 含有1个基本事件(5,6)．∴P (C )＝1－P (D )＝1－115＝1415. 11．(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．【解】 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15. (教师用书独具)(1)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰有1件次品的概率．【思路探究】列举出事件总数及事件A 包含的基本事件的个数，注意(1)(2)的区别．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连取两次，有以下6种取法(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，设A ＝{两件中恰有一件次品}，则A 事件含(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)4个基本事件．∴P (A )＝46＝23. (2)有放回地连取两件，共有以下9个基本事件组成．即(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)．设B ＝{两件中恰有一件次品}，则B 由(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)4个基本事件组成．∴P (B )＝49. 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．【解】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”为事件A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”为事件B ，则基本事件为：(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有15个．(1)芳香度之和等于4的取法有2种，即(0,4)，(1,3)，故P (A )＝215，即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率是215. (2)事件B 的对立事件是芳香之和等于1或2.芳香度之和等于1的取法有1种，即(0,1)，芳香度之和等于2的取法有1种，即(0,2)，故P (B )＝1－(115＋115)＝1315，即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率是1315. 3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解随机数的概念．(2)利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率．2．过程与方法(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．3．情感、态度与价值观通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点． ●重点难点重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数．难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率，解决一些较简单的现实问题．在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后，进一步体会用频率估计概率思想．教学时要抓知识选择的切入点，从学生的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合古典概型的求法，不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现用随机模拟的方法求概率问题；引导学生进行解题方法的总结从而化解难点．引导学生回答所提问题，理解利用随机模拟的方法求古典概型的概率的类型；通过例题与练习让学生掌握随机模拟的步骤在解决问题的过程中更深入地理解随机模拟的思想和作用，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议从教师这方面看，首先这部分内容操作性强，鉴于教学条件及学生的差异，高效的组织教学将是一个突出的问题；其次学生虽然已对随机事件、频率、概率的意义、古典概型等方面都有所认识，但不可能从根本上理解随机模拟方法，在完成操作任务的同时，还要结合一些典型案例的处理，使学生经历较完整的数据处理的全过程，在过程中让学生体会随机模拟的基本思想，学习数据处理的方法，把理性的认识和实际的操作结合起来，对教师驾驭课堂、灵活应变能力提出了较高的要求．●教学流程创设情境引入新课：在抛硬币和掷骰子的试验中，作 1 000次试验该怎么办？⇒引导学生讨论，分析探究，教师指出利用计算器和计算机产生随机数的必要性⇒教师向学生介绍计算器的操作，随机函数的原理，学生自己动手操作⇒通过例1及变式训练，使学生掌握用计算器或计算机产生随机数的方法通过例2，例3及互动探究的学习，学生掌握用随机模拟的方法求概率⇒课堂小结，归纳升华，整体把握本节知识分层布置作业⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解随机数的意义．2.会用模拟方法(包括计算器产生的随机数进行模拟)估计概率．(重点)3.理解用模拟方法估计概率的实质．(难点)随机数的产生【问题导思】种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．1．每棵树苗成活的可能性相同吗？【提示】不相同．2．能用古典概率公式求解吗？【提示】不能．3．应如何求解呢？【提示】可用随机数的方法．1．随机数要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．2．伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．3．产生随机数的常用方法①用计算器产生，②用计算机产生，③抽签法.随机数的产生方法产生10个在1～25之间的取整数值的随机数．【思路探究】用计算器的随机函数RAND(a，b)产生．【自主解答】方法如下：反复按ENTER键10次，就可以产生10个1～25之间的随机数．1．产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数．抽签法产生的随机数能保证机会均等，而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数，不能保证等可能性，但是后者较前者速度快，操作简单、省时、省力．2．用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点：(1)进行正确的编号，并且编号要连续；(2)正确把握抽取的范围和容量．某校高一全年级有20个班共1 200人，期末考试时如何把学生分配到40个考场中去？【解】(1)按班级、学号依次把学生档案输入计算机．(2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同)．(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1 200的考试序号．(注：1号应用000 1，2号应为000 2，用0补足位数，前面再加上有关信息号码即可)用随机模拟估计概率某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？【思路点拨】设计模拟试验―→产生随机数―→估算所求概率【自主解答】我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．例如：产生20组随机数：812 932 569 683 271989 730 537 925 834907 113 966 191 432256 393 027 556 755这次相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为420＝20%.1．由于该投篮者投篮的结果不是等可能出现的，故不能用古典概型的概率公式计算，。

高中数学第7章概率 2 古典概型 2.2 古典概型的应用(一)学案(含解析)北师大版必修第一册-

2.2 古典概型的应用(一)学习目标核心素养1.理解互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式，并能应用公式解决应用问题．(重点、易混点)2．掌握较复杂的古典概型的概率计算问题的解法．(重点、难点)1．通过对互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式的推导和应用，培养数学抽象素养．2．通过解决较复杂的古典概型的概率问题，培养数学建模素养．互斥事件的概率加法公式(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．特别地，P(A)＝1－P(A)．(2)一般地，如果事件A1，A2，…，A n是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．思考：(1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？[提示]不一定．当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A＋B)≠P(A)＋P(B).(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记“其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件A是什么？[提示]事件A的对立事件A是“其中至多有2名女同学”．1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7C[∵“摸出黑球”是“摸出红球或摸出白球”的对立事件，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.]2．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________． 512[记甲队胜为事件A ，则P (A )＝1－14－13＝512.] 3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.]互斥事件的概率加法公式及应用【例1】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解] 法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34. (2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112. 法二：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三：(利用对立事件求概率)(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝11 12.概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．[跟进训练]1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)小王数学考试及格的概率．[解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 两两互斥．(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D ，则D ＝A ＋B ，所以P (D )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.18＋0.51＝0.69.(2)设小王数学考试及格为事件E ，由于事件E 与事件C 为对立事件，所以P (E )＝1－P (C )＝1－0.07＝0.93.有序和无序型问题【例2】从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．因为事件A 由4个样本点组成，所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．事件B 由4个样本点组成，因而P (B )＝49.解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a 1，b )，(b ，a 1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．[跟进训练] 2．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P ＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316，故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.较复杂的古典概型问题[探究问题]1．计算样本点的个数的方法包含哪些？提示：列举法，列表法和树状图法等．2．列表法和树状图法分别适用于什么情形？提示：列表法适合于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法；树状图法适合于较复杂的试验的题目．【例3】有A ，B ，C ，D 四位贵宾，应分别坐在a ，b ，c ，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．[思路点拨]利用树状图法列举事件→计算样本点个数→利用古典概型概率公式计算概率[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝1 24 .(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝38.1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解]设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝13.2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E 包含6个样本点，则D ＝A ＋E, 且事件A 与E 为互斥事件，所以P (D )＝P (A ＋E )＝P (A )＋P (E )＝124＋624＝724. 法二：设事件D 为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则D ＝B ＋C ，所以P (D )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－38－13＝724.1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．1．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).2．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若A 与B 为互斥事件，则P (A )＋P (B )＝1.( ) (2)若P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 为对立事件． ( )(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”． ( )[提示] (1)错误．只有当A 与B 为对立事件时，P (A )＋P (B )＝1.(2)错误．(3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩在60分以下”．[答案] (1)× (2)× (3)×2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.1B [乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是________．0.10 [令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A 、B 、C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.]4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，求log 2x y ＝1的概率．[解] 由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1，2，3，4，5，6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6共3种情况，所以P ＝336＝112.。

高中数学新人教版A版精品学案《古典概型》

古典概型【学习目标】1．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

【学习重难点】重点：古典概型概念公式的实际应用难点：古典概型的判断及其包含的基本事件数【学习过程】一、知识情境：1．随机事件的概念（1）必然事件：每一次试验的事件，叫必然事件；（2）不可能事件：任何一次试验的事件，叫不可能事件；（3）随机事件：随机试验的每一种或随机现象的每一种叫的随机事件，简称为事件。

2．事件的关系①如果A B为不可能事件（A B），那么称事件A与事件B互斥。

其含意是：事件A与事件B在任何一次实验中同时发生。

②如果A B为不可能事件，且A B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。

其含意是：事件A与事件在任何一次实验中发生。

二、知识生成我们来考察两个试验：试验①掷一枚质地均匀的硬币；试验②掷一枚质地均匀的骰子。

在试验①______中，结果只有个，即，它们都是随机事件，即相等；试验②_________中，结果只有个，即，它们都是随机事件，即相等；我们把这类事件称为基本事件（eementar event）1．基本事件的概念：一个事件如果事件，就称作基本事件。

基本事件的两个特点：1任何两个基本事件是的；2任何一个事件（除不可能事件）都可以。

例如（1）试验②中，随机事件“出现偶数点”可表示为基本事件的和。

a b c d中，任意取出两个不同字母的这一试验中，（2）从字母,,,所有的基本事件是：，共有个基本事件。

2．古典概型的定义古典概型有两个特征：1试验中所有可能出现的基本事件；2各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同。

将具有这两个特征的概率称为古典概型（caica mode of 个基本事件，则事件A 的概率()P A ==6,...2,1,=j i n =m ==()P A =n =m =()P A =n =m =()P A ==1， P=1/ 4。