【小初高学习]2017-2018学年高中数学 考点34 直线、平面平行的判定及其性质(含2014年高
直线平行平面的判定定理及性质定理
直线平行平面的判定定理及性质定理直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中常见的一条定理，它认为如果两个平面之间存在着一条平行线，则这两个平面也是平行的。
其实，这条定理也可以用来判定直线是否与平面平行，利用这条定理，我们可以推出许多关于平行平面性质的定理，并学会利用它来研究三维平面几何问题。
这条定理的确切说法是：设A、B、C、D四个不共线的点，且点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
也就是说，如果其中两个平面之间的两条线段是平行的，那么这两个平面也是平行的。
反之，当两个平面之间有一条线段不平行时，它们也不是平行的。
由此，我们可以推出一系列有关平行平面性质的定理，如判定两个平面之间是否存在一条直线，求两个平面间的垂线，计算两个平面之间的距离，判定两个平面的所在的同一空间等。
首先，我们可以用这条定理来证明直线与平面之间的关系。
假设将一条直线平行投影到一个平面上，那么与直线平行的两个平面就会存在一条共线线段，因此这两个平面也是平行的。
另一方面，如果两个平面之间有一条共线线段，那么它们就是平行的，而且也存在一条平行于它们共线线段的直线。
这样，我们就可以判断一条直线是否与平面平行，只需检测是否存在一条共线线段即可。
此外，我们还可以使用这条定理来求解三维几何问题。
比如，假设ABCD是四个不共线的点，则可以使用这条定理，即点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
我们就可以判断这四个点是否都处在同一个平面上，即可以通过检查它们的四条边是否是平行的来判断。
其实，利用这条定理，我们还可以求解更多关于三维几何问题的性质。
比如，可以用它来判断某个平面是否与一个球面接触，也可以用它来求解空间两个平面之间的夹角，等等。
总而言之，直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中一条重要的定理，它不仅可以用来判断直线与平面之间的关系，而且还可以用来求解三维平面几何问题，让我们更全面地理解空间几何的特性和性质。
直线和平面平行平面和平面平行的判定
β ∥α.
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
a
β
Pb
c
C
d
α
练习：
1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条
不同直线，则有一下列命题，不正确的是
① a∥c b∥c
a∥b ② a∥γ b∥γ
a∥b
③ α∥c β∥c
α∥β④ α∥γ β∥γ
α∥β
（1）求证：PQ// 平面DD1C1C
A1
（2）求线段的PQ长 P
C1 B1
D
C
Q
A
B
小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
定义：如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行，也叫做平行平面
平面α平行于平面β ，记作α∥β
(1) 直线和平面有哪些位置关系?
a
α
a a
A
α
α
直线在平面α 内a α
有无数个交点
直线与平面α相交
a ∩ α= A 有且只有一个交点
直线与平面α 平行
a∥α无交点
定义：一条直线和一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行.
（2）怎样判定直线和平面平行？
①定义. ②判定定理
线线平行
线面平行
平面外一条直线和此平面内的一条直线平行,
（1）平面β内有一条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
E D1 A1
D F A
C1 B1
C B
平面与平面平行的判定定理
直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定[新知初探]1．直线与平面平行的判定[点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．平面与平面平行的判定[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)× (2)× (3)×2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .[证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G .利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD .∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .平面与平面平行的判定[典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心．(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心， ∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且PA ′A ′M ＝PB ′B ′N ＝2，∴A ′B ′∥MN .同理可得B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂平面ABC ，A ′B ′⊄平面ABC ， ∴A ′B ′∥平面ABC . 同理可证B ′C ′∥平面ABC .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，B ′C ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .(2)由(1)知A ′B ′∥MN ，且A ′B ′MN ＝PA ′PM ＝23，即A ′B ′＝23MN .∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，∴MN ＝12AB .∴A ′B ′＝23MN ＝23×12AB ＝13AB ，∴A ′B ′AB ＝13，即A ′B ′∶AB 的值为13.两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()A．3个B．6个C．9个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l 平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF ∥平面ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH ∥平面ABCD ；PA ∥平面BDG ；EF ∥HG ，所以EF ∥平面PBC ；直线EF 与平面BDG 不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：如图所示，连接SB ，SD ， ∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1. 同理可证EG ∥平面BDD 1B 1， 又∵EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .因为FM ⊄平面AEC ， EC ⊂平面AEC ， 所以FM ∥平面AEC .由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .因为BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以BM ∥平面AEC .又因为FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ，FM ∩BM ＝M ， 所以平面BFM ∥平面AEC ，所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点． 又BF ⊂平面BFM ，所以BF 与平面AEC 没有公共点，所以BF∥平面AEC.。
直线平面平行的判定及其性质
解析几何中的应用
在解析几何中，直线与平面的平行关系 也是非常重要的。例如，在求解一些涉 及平面解析几何的问题时，需要使用直 线与平面平行的判定定理和性质来解决
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与平面平行的判定定理的应用：在 解析几何中，利用直线与平面平行的判 定定理，可以用来判断一个点是否在一 条直线上，或者判断两个平面是否平行
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都没有交 点。
直线与平面平行的判定定理的应用
在几何学中，这个定理经常被用来判断两条直线是否平行，或者一个平面是否平 行于另一个平面。
02
直线与平面平行的性质
直线平行于平面的性质
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行或异 面。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都没有公共 点。
平面平行于直线的性质
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条平行线都平行。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直或平 行。
直线与平面平行的判定定理的应用：在空间几何中，利用直线与平面平 行的判定定理，即“如果直线与平面内的一条直线平行，则直线与该平
面平行”，可以用来判断建筑物的结构是否符合设计要求。
直线与平面平行的性质的应用：直线与平面平行的性质定理的应用，即 “如果直线与平面平行，则直线与平面的垂线互相垂直”，可以用来判 断建筑物的高度和角度是否符合设计要求。
直线平行于平面的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行 。
最新高三数学专题复习资料直线、平面平行的判定及其性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理1．如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？提示：不一定．只有当此直线在平面外时才有线面平行．2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都平行吗？提示：不都平行．对于任意一条直线而言，存在异面的情况．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？提示：平行．1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上均有可能解析：选D 与一个平面平行的两条直线可以平行、相交，也可以异面．2．下列命题中，正确的是( )A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：选D 由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D正确．3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由面面平行的判定定理可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能相交，故D项错．4．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②5．已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD1、BC1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④1．线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容，多出现在解答题中的第(1)、(2)问，难度适中，属中档题．2．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度：(1)以多面体为载体，证明线面平行问题；(2)以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题．[例1] (1)(A.金华模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC ＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.①当正视方向与向量AD―→的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；②若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；③求三棱锥DPBC的体积．(2)(A.四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．①若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；②设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[自主解答] (1)法一：①在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝DC＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，所以在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝AD tan 60°＝4 3.正视图如图(1)所示：图(1)图(2)②证明：如图(2)所示，取PB中点N，连接MN，CN. 在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB且MN＝12AB＝3.∵又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.∵DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC.③V DPBC＝V PDBC＝13S△DBC·PD，又∵S△DBC＝6，PD＝43，∴V DPBC＝8 3.法二：①同法一．②证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.∵在△PAB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.∵DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.∵DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.③同法一．(2)①证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.②取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，连接OM，从而四边形MDEO为平形四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)线面平行的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．1.(B.新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥CA1DE的体积．解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB中点，连接DF，则在△ABC1中，BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VCA1DE＝13×12×6×3×2＝1.2.(A.湖州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD ＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．解：(1)证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，DC，DD1⊂平面DCC1D1，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.[例2]如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[自主解答] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.互动探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面D.AC1证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴H是A1C的中点，连接HD，∵D为BC的中点，方法规律判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积．[例3]如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．[自主解答] (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且DH＝AC.∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH. 又∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.综合①②可知EF∥平面β.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝12BD＝3，MF＝12AC＝2.∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，∴∠EMF＝60°或120°.∴在△EFM中，由余弦定理得EF＝ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF＝7或EF＝19.方法规律1．解决本题的关键是构造过EF且平行平面α和平面β的平面．2．通过线面、面面平行的判定和性质，可实现线线、线面、面面平行的转化．(A.安徽高考)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.——————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————1个转化——三种平行关系间的转化2个注意——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．数学思想(九)转化与化归思想在证明平行关系中的应用线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行；欲证线面平行，可转化为证明线线平行．[典例] (B.辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[解题指导] (1)利用线面垂直的判定定理证明；(2)可证明QG所在的平面与平面PBC平行．[解] (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC 中点．由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.[题后悟道] 1.本例(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质得出结论的证明．2．利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化，也要注意平面几何中一些平行的判断和性质的灵活应用，如中位线、平行线分线段成比例等，这些是空间线面平行关系证明的基础．如图所示，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，所以BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠ABD＝∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，所以在△AFE中，DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.[全盘巩固]1．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面解析：选D 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．2．(A.嘉兴模拟)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：选A A错误，应为既不充分也不必要条件，B，C，D易知均正确，故选A.3．在空间中，下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则α∥βC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故选项A错误；B中当a ∥b时，α、β可能相交，故选项B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故选项C错误；选项D为两平面平行的性质，故选D.4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：选C 当异面直线l、m满足l⊂α，m⊂β时，α、β也可以相交，故①错；若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l、m平行或异面，故②错；如图所示，设几何体三个侧面分别为α、β、γ.交线为l、m、n，若l∥γ，则l∥m，l∥n，则m∥n，故③正确．5．(A.湖州模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线1( )A．不存在 B．有1条C．有2条 D．有无数条解析：选D 平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：选B ①如图1，由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.图1 图2④如图2，由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，又AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以AB∥平面MNP.7．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：如图所示，取CD的中点E.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN ∥AB .又MN ⊄平面ABD ，MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊂平面ABC ， 所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC . 答案：平面ABD 与平面ABC8．(A.台州模拟)考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α.解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题： ①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若α∥β，l ∥α，则l ∥β； ④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.答案：②④10.在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF∥BC且EF＝12BC.求证：FO∥平面CDE.证明：如图所示，取CD中点M，连接OM，EM，在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝12 BC，又EF∥BC且EF＝12 BC，则EF∥OM且EF＝OM.所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.又因为FO⊄平面CDE，EM⊂平面CDE，所以FO∥平面CDE.11.如图所示，直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC ＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)证明：AC⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面ACB1平行？证明你的结论．解：(1)证明：在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝2，∠CAB＝45°，在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB＝ 2. ∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC.又BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点可满足要求．由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝12 AB，又∵CD∥AB且CD＝12 AB，∴CD∥PB1且CD＝PB1，∴CDPB1为平行四边形，∴DP∥CB1.又CB1⊂平面ACB1，DP⊄平面ACB1，∴DP∥平面ACB1.12．(A.金华模拟)如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA＝6，E为BC的中点，F为侧棱PD上的一动点．(1)求证：AC⊥BF；(2)当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥FACD的体积．解：(1)证明：连接BD，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD.∴AC ⊥PO .∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .又BD ∩PO ＝O ，BD ，PO ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD . 又BF ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥BF .(2)连接DE ，交AC 于点G ，连接FG . ∵PE ∥平面ACF ， ∴PE ∥FG ，∴DG DE ＝DF DP. 又CE ＝12BC ＝12AD ，BC ∥AD ，∴CE AD ＝GE DG ＝12， ∴DG DE ＝23， ∴DF DP ＝23.过F作FH⊥DB，垂足为H，则FH∥OP，∴FHOP＝DFDP＝23，∴FH＝23 OP，∵正方形ABCD的边长为2，∴AO＝ 2. ∴OP＝PA2－AO2＝2.∴FH＝4 3 .∴三棱锥FACD的体积VFACD ＝13S△ACD·FH＝13×12×22×43＝89.[冲击名校]如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．解：(1)证明：如图所示，连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1∥BD且B1D1＝BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1. 又因为AA1∥BB1，且AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，且AA1＝DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD.又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，所以A1D1∥平面AB1D.(2)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC. 因为平面ABC⊥平面BCC1B1，且交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1，即AD是三棱锥AB1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2 3.在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以S△B1BC＝34×42＝43，所以三棱锥B1ABC的体积，即三棱锥AB1BC的体积V＝13S△B1BC×AD＝13×43×23＝8.[高频滚动]1．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．解析：①a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b⊂γ，a∥γ，b∥β，而a、b异面，故②错．③b∥β，b⊂γ，a⊂γ，a⊂β，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．答案：①③2．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC、BC、A1C1、B 1C1的中点分别为E、F、E1、F1，则直线EF、E1F1、EE1、FF1、E1F、EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：6。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
高中数学复习：直线、平面平行的判定与性质
(
×
)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平
行.
(
×
)
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(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异
面.
(
√
)
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α. (
(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( Nhomakorabea×
)
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
答案 D 与一个平面平行的两条直线可以平行、相交,也可以异面.
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4.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α的位置关系可另等价表述,下列
表述正确的是 ( D )
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
×
)
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2.对于直线m,n和平面α,若n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
D
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( D )
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3.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是 ( D )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上均有可能
(5)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直
线,那么这两个平面平行.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个
高一数学直线，平面平行的判定及其性质的知识点
高一数学直线，平面平行的判定及其性质的知识点
1.直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：
(1)直线在平面内直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.
(2)直线和平面相交直线和平面有且只有一个公共点.
记作a=A
(3)直线和平面平行如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥.
2.直线和平面平行的判定
判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记线线平行，则线面平行)
证明直线和平面平行的方法有：
①依定义采用反证法
②利用线面平行的判定定理
③面面平行的`性质定理也可证明
3.直线和平面平行的性质定理
性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为线面平行，线线平行).
这为证线线平行积累了方法：
①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理
【高一数学直线，平面平行的判定及其性质的知识点】。
直线与平面平行的判定方法
直线与平面平行的判定方法直线与平面平行是几何学中重要的概念之一，它的判定方法有多种。
本文将介绍几种常用的判定方法，并详细阐述它们的原理和应用。
一、点法向量法判定直线与平面平行点法向量法是判定直线与平面平行最常用的方法之一。
其原理基于向量的垂直性质。
设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线与平面平行的条件是 a·n = 0，其中·表示向量的点乘运算。
通过点法向量法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线的方向向量a和平面的法向量n；2. 计算a·n的值；3. 若a·n = 0，则直线与平面平行；否则，不平行。
点法向量法的应用非常广泛。
例如，在三维空间中，如果我们知道直线上的两个点和平面上的一个点，可以通过求解向量来判定直线与平面是否平行。
二、两条直线法判定直线与平面平行另一种常用的判定直线与平面平行的方法是通过两条直线的相交关系。
设直线L1上两点分别为A和B，直线L2与平面相交于点C，则直线L1与平面平行的条件是直线L2与直线AB平行。
通过两条直线法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线L1上的两点A和B，以及直线L2与平面的交点C；2. 计算向量AC和向量BC的比值；3. 若向量AC与向量BC的比值相等，则直线L1与平面平行；否则，不平行。
两条直线法的优势在于简单直观，适用于直线和平面的方程已知的情况。
三、平面法向量法判定直线与平面平行平面法向量法是一种通过平面的法向量判定直线与平面平行的方法。
其原理基于平面法向量与直线的方向向量垂直的性质。
如果直线的方向向量a与平面的法向量n垂直，即 a·n = 0，那么直线与平面平行。
通过平面法向量法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线的方向向量a和平面的法向量n；2. 计算a·n的值；3. 若a·n = 0，则直线与平面平行；否则，不平行。
平面法向量法的应用比较广泛，尤其在计算机图形学和工程领域中经常使用，用于判定直线与平面的关系。
艺术生高考数学专题讲义：考点34 空间直线、平面平行的判定及其性质
考点三十四 空间直线、平面平行的判定及其性质知识梳理1．直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行． 2．平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行． 3．直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简称：线线平行，则线面平行．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂α a ∥b ，⇒a ∥α. 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简称：线面平行，则线线平行．符号语言：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b .4．平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行．符号语言：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝P a ∥β，b ∥β⇒α∥β.性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行．符号语言：⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒ a ∥b .5．平行问题的转化关系典例剖析题型一平行关系命题判定问题例1空间中，下列命题正确的是________(填序号)①若a∥α，b∥a，则b∥α②若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α③若α∥β，b∥α，则b∥β④若α∥β，a⊂α，则a∥β答案④解析对于①，b可以在α内，①错；对于②，当a，b相交时才能有β∥α，②错；对于③，b可能在β内，③错；由面面平行的性质知，④正确．变式训练对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是________(填序号)①若m，n与α所成的角相等，则m∥n②若m∥α，n∥α，则m∥n③若m⊥α，m⊥n，则n∥α④若m⊂α，n∥α，则m∥n答案④解析由m⊂α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n.解题要点解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析．在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系．题型二线面平行的判定和性质例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点．求证：EF∥平面P AD.解析证明：连接AC，AC∩BD＝F.∵ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CP A中，EF∥P A.而P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD.∴EF∥平面P AD.变式训练在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则________(填序号)①BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 ② EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 ③HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 ④EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案 ②解析 如图，由题意，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形． 又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．故选②.解题要点 对平行问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。
直线、平面平行的判定与性质
一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：1MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行1四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD-AB1C1D1中，E为线段AD上的任意一1与平面BB1D交于FG.点(不包括A，D两点)，平面CEC求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD -AB1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，1CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN .∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB ||=MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ，又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB ||=DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，∴BN ∥AD . ∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ，∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO .又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二 平面与平面平行的判定与性质[典例] 如图，在三棱柱A BC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G||=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG . 又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( )A ．平行B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)．∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )，∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________. 解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P -ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG ||=12B 1C 1，BE ||=12B 1C 1，所以BE ||=OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P -ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥P A ， 又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴MN ∥平面P AB . 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ，∴∠ACN ＝60°. 又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴CN ∥平面P AB .又CN ∩MN ＝N ，∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P -ABM 的体积V ＝V M -P AB ＝V C -P AB ＝V P -ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ， ∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
高考数学知识点 直线、平面平行的判定与性质
性质定理
一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面 与此平面的 交线与该直线 平行(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
l∥α ∵，
l⊂β ，α∩β＝b， ∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言
一个平面内的两条 相交直线与另一个 平面平行，则这两 判定定理 个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面 平行”)
由面面平行的性质定理可知，①正确； 当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行， ③正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的 中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_Q__为__C_C__1的__中__点___时，有平面 D1BQ∥平面PAO. 答案 解析
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积. 解答
思维升华
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
2.(2016·滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面.若m⊂α，
n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是 答案 解析
A.m∥β且l1∥α
B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2
√D.m∥l1且n∥l2
由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那 么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面.
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析
2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a?αa ∩α=Aa||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////ab a b a 、.2.2.2平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝?，则a ∥β2、判定定理：判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
2.2.3 直线与平面平行的性质1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：若//,,,//a a b a b 则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形那么这两个平面平行．图形条件=α,b ?β，α∩b ＝Pα∥α，b ∥α?β∥αl ⊥αl ⊥β?β∥α结论//////条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βl⊥αα∥βa?β结论a∥b l⊥βa∥α1.解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。
一般结合反证法来证明；3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；基础习题1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若l∥,l∥β，则∥βB.若l∥，l⊥β，则⊥βC.若⊥β,l⊥, 则l⊥βD.若⊥β, l⊥, 则l⊥β1.【解析】 B2.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【解析】 C【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为1d ，平面2，3之间的距离为2d ．直线l 与1，2，3分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b m则“”是“ab ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．12l l ，23l l 13//l l B ．12l l ，23//l l 13l l C ．233////l l l 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1111AB AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点 D 不同于点C ），且ADDE F ，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE 平面11BCC B ；1A 1C （2）直线1//A F 平面ADE ．1B 【解析】（1）∵三棱柱ABC ﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ，∵AD ?平面ABC ，∴AD ⊥CC1又∵AD ⊥DE ，DE 、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD ⊥平面BCC1B1，∵AD ?平面ADE∴平面ADE ⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F 为B1C1的中点∴A1F ⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F ?平面A1B1C1，∴A1F ⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F ⊥平面BCC1B1又∵AD ⊥平面BCC1B1，∴A1F ∥AD∵A1F ?平面ADE ，AD ?平面ADE ，∴直线A1F ∥平面ADE ．【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面FDCABEABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 105．【例9】（2012北京）如图1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使1A F CD，如图2。
直线与平面平行的判定知识点
直线与平面平行的判定知识点直线与平面平行是几何学中一个非常重要的概念。
在不同的场合下，我们需要对直线和平面是否平行进行判断。
在这篇文章中，我们将深入探讨直线与平面平行的判定方法，并介绍一些常见的应用场景。
一、基本定义在几何学中，平面和直线是两个基本的概念。
下面是它们的基本定义：1. 平面：是一个没有边界的平面几何图形，具有两个特征：无限延伸和无限薄化。
2. 直线：是一个没有厚度的几何对象，由一些点依次相连组成。
在二维几何中，平面是一个二维的对象，而直线是一个一维的对象。
平面由无数个点组成，而直线由无数个点和线段组成。
在三维几何中，平面是一个三维的对象，由无数个点和线段组成，而直线是一个二维的对象，由无数个点和线段组成。
二、平行的定义当我们谈论直线和平面是否平行时，我们需要理解平行的定义。
如果两个对象（直线或平面）在平面上运行，且它们所有的点都不相交，那么它们就是平行的。
在这种情况下，它们的距离恒定不变。
三、判定直线与平面平行的方法在这里，我们将介绍一些常见的方法来判定直线与平面是否平行。
1. 判定直线与平面平行的定义首先，我们可以采用上述基本定义和平行的定义来判定直线与平面是否平行。
如果直线与平面的方向相同且它们没有公共点，则它们平行。
这种方法是最简单和最基本的方法。
2. 利用向量的内积在向量的内积中，如果两个向量的内积为0，则它们垂直；如果向量的内积不为0，则它们平行。
将平面的法向量与直线的向量进行内积，如果结果为0，则它们平行；如果不为0，则它们不平行。
3. 利用平面的解析式当平面的解析式已知时，我们可以使用它来快速地判断直线与平面是否平行。
将直线的参数式代入平面的解析式，如果式子成立，则它们平行；如果不成立，则它们不平行。
4. 利用斜率在平面上，如果直线的斜率与平面的斜率相同，则它们平行。
四、应用场景1. 直线与平面的相交当直线与平面相交时，我们可以通过判断它们是否平行来解决一些问题，如在三维几何中，我们可以通过判断直线与平面是否平行来计算它们的交点。
直线与平面平行的判定知识点
直线与平面平行的判定知识点在立体几何的学习中，直线与平面平行的判定是一个重要的知识点。
理解并掌握这一判定方法，对于解决相关的几何问题具有关键意义。
首先，我们来明确直线与平面平行的定义。
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就说这条直线与这个平面平行。
那如何判定一条直线与一个平面平行呢？这就需要我们掌握一些关键的方法和定理。
一、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
这个定理的理解是关键。
我们可以这样想，假设平面外有一条直线a，平面内有一条直线 b，并且 a 和 b 平行。
因为 b 在平面内，而 a 与 b 平行，所以从直观上可以想象到 a 与平面没有交点，也就是 a 与平面平行。
为了更好地理解这个定理，我们通过一些具体的例子来加深印象。
比如，在一个长方体中，棱 AB 在平面 A'B'C'D' 外，而棱 A'B' 在平面 A'B'C'D' 内，并且 AB 平行于 A'B'，所以根据判定定理，棱 AB 与平面 A'B'C'D' 平行。
在运用判定定理时，需要注意几个要点：1、这条直线必须在平面外，如果在平面内，那就不能说它与这个平面平行。
2、平面内要有一条直线与平面外的直线平行。
3、证明直线与直线平行是关键的一步，常用的证明直线平行的方法有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
二、利用三角形中位线证明直线与平面平行在一个三角形中，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于三角形的第三边。
我们可以利用这个性质来证明直线与平面平行。
例如，有一个三棱锥 P ABC，D、E 分别是边 PA、PB 的中点。
连接 DE，因为 DE 是三角形 PAB 的中位线，所以 DE 平行于 AB。
又因为 AB 在平面 ABC 内，DE 不在平面 ABC 内，所以根据直线与平面平行的判定定理，DE 平行于平面 ABC。
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考点34 直线、平面平行的判定及其性质
1.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(1)证明:四边形EFGH是矩形.
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.
【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,
所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.
同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
又由三视图可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,
所以四边形EFGH是矩形.
(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).
设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),
因为EF∥AD,FG∥BC,
所以n·=0,n·=0.
得
取n=(1,1,0),
所以sinθ=|cos<,n>|===.
2．(2014·陕西高考文科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H.
(1)求四面体ABCD 的体积.
(2)证明:四边形EFGH 是矩形.
【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD 垂直于面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH 为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.
【解析】(1)由该四面体的三视图可知,
BD ⊥DC,BD ⊥AD,AD ⊥DC,BD=DC=2,AD=1,
又BD ∩DC=D,所以AD ⊥平面BDC.
所以四面体ABCD 的体积V=××2×2×1=.
(2)因为BC ∥平面EFGH,
平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH,
所以BC ∥FG,BC ∥EH,所以FG ∥EH.
同理EF ∥AD,HG ∥AD,所以EF ∥HG,
所以四边形EFGH 是平行四边形.
又因为AD ⊥平面BDC,所以AD ⊥BC,所以EF ⊥FG,
所以四边形EFGH 是矩形.
3．（2014·安徽高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH .
(1)证明：;//EF GH
(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.
【解题提示】（1）由线面平行得出BC 平行于线线EF 、GH ；
（2）设BD 相交EF 于点K ，则K 为OB 的中点，由面面垂直得出GK EF ^，再由梯形面积
公式.2
GH EF S GK +=计算求解。
【解析】（1）因为BC//平面GEFH,BC Ì平面PBC ，，且平面PBC Ç平面GEFH=GH ，所以GH//BC,同理可证EF//BC ，因此GH//EF 。
（2）连接AC,BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP,GK,因为PA=PC,O 是AC 的中点，所以
PO AC ^,同理可得PO BD ^,又BD AC O ?，
且AC,BD 都在底面内，所以PO ^底面ABCD ，又因为平面GEFH ^平面ABCD,且PO Ë平面GEFH,所以PO//平面GEFH ，因为平面PBD Ç平面GEFH=GK,所以PO//GK,且GK ^底面ABCD,从而GK EF ^,所以GK 是梯形GEFH 的高，
由AB=8，EB=2得EB ：AB=KB:DB=1:4,从而1142
KB DB OB =
=,即K 是OB 的中点。
再由PO//GK 得12GK PQ =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==，由已知可得
OB PO ，所以GK=3，故四边形GEFH 的面积48.31822
GH EF S GK ++==?。