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大一高等数学期末考试试卷

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩

为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1

2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h

→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)

12

3. （3分）定积分22

ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).

(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限

二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .

2. （3分） 1

241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分）

1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x

→+

2. （6

分）设2,1

y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰

4. （6分）求3

0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x

t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7

分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b a a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.

二、 1 31;y x =+ 2 2;3

3 0;

4 0. 三、 1 解 原式2

05lim 3x x x x →⋅= 5分

53

= 1分 2 解 22l n l n l n (1),12

x y x x ==-++ 2分

2212[]121

x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2

x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x

=++-+⋅+⎰ 2分

2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分

3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分

1211(1)1cos t t dt e dt t

-=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分

21e e =-+ 1分

5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-

1分 c o s s i n 1

x x =- 1分 cos sin 1

x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1

(23)(23)(22)2f x d x f x d x +=

++⎰⎰ 2分

21sin(23)2

x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭

4分 =3

2e 2分

四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分

()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分

(0)1,0,f C =∴= 2分

().x f x x e ∴=+ 1分

2 解 222

c o s x V x

d x π

ππ-=⎰ 3分 2202cos xdx π

π=⎰ 2分 2.2π=

2分 3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分

当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分

该点处的切线为321(1).y x =+- 2分

4 解

1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4

x = 1分

35

(5)5 2.55,,(1)1,44

y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分

∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44

y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明

()()()()()()b

b

a a x a x

b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分

[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分

{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分

()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分

移项即得所证. 1分