陕西省吴起高级中学北师大版高中数学必修一：4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在 31号教学设计

第四章函数的应用
4.1 函数与方程
4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在
一、教材地位和作用分析
本节课是高中数学北师大版必修一第四章《函数的应用》，第一节《函数与方程》，第一课时《利用函数性质判定方程解的存在》.新课标（2017版）指出，函数应用体现在在两个方面1.解决数学问题；2.解决实际问题。

《函数与方程》就是函数的应用价值的第一个体现，即从函数的角度解决方程解的问题，包括判定方程解的存在和求方程的近似解，本节课解决的就是方程解的存在性问题。

本节主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程解的关系、函数零点存在性定理及其应用.
我们知道，很多方程是没有求根公式的，那么这些方程应该如何解呢？
本节课就为解决这个问题提供了方向和方法基础，即为“用二分法求方程的近似解”做准备，其次，零点概念与零点存在性定理为方程与函数提供了零点这个连接点，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础.
二、学情分析
通过前面的学习，学生已经有了如下准备：1.学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力.2.学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的解并不陌生。

这为本节课利用函数图像，判断方程解的存在性提供了一定的知识基础．
但是仍然存在问题，1.抽象思维和数形结合还不是十分到位，常常把函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位，还不能很好的从函数的角度看待方程和不等式.2.知识储备不够，比如函数图像的连续性，简易逻辑等知识还没有学习，零点存在性定理的逆命题不成立，所以否命题也不成立，学生理解会有困难，需要补充具体实例帮助学生理解.
三、教学目标分析
依据新课标中的内容与要求，以及学生实际情况，教学目标如下：
（一）知识与技能目标：
1.理解函数零点与方程解之间的关系，体会函数知识的核心作用；
2.能利用函数零点存在性定理和函数性质判定方程解的存在性.
（二）过程与方法目标：
1. 培养学生独立思考，自主观察和探究的能力；
2. 初步体会函数与方程思想，数形结合思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．
（三）情感、态度和价值观目标：
1.拓展学生的视野，体会数学不同内容之间的内在联系；
2. 感悟由具体到抽象、由特殊到一般的研究方法.
四、教学重点及难点
教学重点：理解零点存在性定理，会利用该定理和函数性质判定方程解的存在. 教学难点：从函数的观点看方程，准确理解函数零点存在性定理.
五、教法和学法分析：
根据本节课特点和对学生学情的分析，本节课主要采取的是以教师为主导，以学生为主体的教学策略.在探索方程解和函数零点之间的关系，以及在定理的概括和对定理的理解方面，以问题为纽带，逐步带领学生进入未知知识的殿堂.问题是数学的心脏，设计层层推进的问题，不仅可以激发学生的思维，也可以自然地将知识的逻辑结构转化为学生的认知结构.同时在问题的带领下，学生合作探究，自主探究，动手操作，辨析实践，真正体现了学生的主体地位.
六、核心素养分析：
本节课在探究方程解和函数零点之间的关系以及探究函数零点存在性定理的过程中，集中体现了数学核心素养----逻辑推理，从特殊到一般，逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，在授课过程当中，通过对该核心素养的渗透，让学生学会有逻辑地思考问题；在形成零点概念和概括零点存在性定理的过程中，集中体现了数序核心素养---数学抽象，数学抽象是从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，是形成理性思维的重要基础；当然在应用解决方程解的存在性问题中，还体现了数学运算和数据分析等核心素养.
七、教学过程
（一） 创设情境，游戏引入：
将学生分成三组进行解方程和画图像比赛：解方程并画出对应函数的图像.
（1） 012=-x 12-=x y
（2） 0322=--x x 322--=x x y
（3）032ln =-+x x 32ln -+=x x y
设计意图：1.回顾一元一次方程和一元二次方程的解法和一次函数图像和 二次函数图像的画法。

2.让学生直观体验有些方程无法解，此时补充关于方程的数学史的知
识，让学生的数学学习具有整体观，引起学生学习的兴趣.
（二）合作探究，导入新课
探究1：利用第一个环节解出的方程和画好的图像，探究方程的解与函数图像的关系。

形成概念：我们把函数y ＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为函数的零点． 概念辨析：（1）零点是点吗？
（2）所有的函数都有零点吗？
设计意图：将方程的解即“数”的问题与函数的图像即“形”的问题通过探究和问题的形式给学生完美呈现，自然进入下个环节，即从函数的角度研究方程的解.
x y
(三）师生探究，概括定理
探究2：假如我们不知道怎么解方程 0322=--x x ，我们如何由对应函数322--=x x y 的图像和性质判断该方程的解是否存在。

探究3：
观察f （x ）的图像，
形成概念：零点存在性定理：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
注意：（1）函数图像是连续曲线与f(a)·f(b)<0两个条件缺一不可；
（2）该定理只能判断方程解的存在，并不能判断解的个数；
（3）该定理逆命题不成立.
探究5 零点存在性定理的逆命题成立吗？如果不成立，你能举出反例吗，在你的学案上画一画。

设计意图：连续4个师生共同探究，每个探究都以问题串的形式出现，让定理自然而然的清晰浮现.
小练习：
判断下列说法是否正确：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)·f(b)≥0则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点，则f(x)必满足f(a)·f(b)< 0. （）
（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足
f (a)·f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且仅有一个零点。

（）
设计意图：检测对定理是否理解到位，同时是对定理的加深和巩固.
（四）定理应用巩固新知
例1:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么? 解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为
f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0,
所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数
解.
例2:判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。

解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（ -∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２.
设计意图：例题1是对定理的直接应用，例题2是对二次方程根的分布的验证，对以后遇到的含参数的二次方程根的分布奠定基础。

2.课本P116 1,3
设计意图：学生读图能力，以及对定理理解程度的反馈。

（六）课堂小结
1.知识收获
2.思想收获
设计意图：让学生不仅谈谈在知识上的收获，同时也要体会在思想方法上的收获。

八、板书设计。