第八讲 函数的单调性

第八讲 函数的单调性
【考纲要求】：
理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；
【要点整合】：
1基本概念：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间D 称为y=f(x)的单调增区间
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.
注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2基本性质：图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3基本方法：函数单调区间与单调性的判定方法
(1) 定义法：○
1任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
(2)图象法(从图象上看升降) (2)设函数y ＝f (x )在某区间内可导．
(3)导数法：如果f ′(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )为减函数．(注意：个别导数值为0的点不影响函数的单调性)
4易错警示：(1)函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(2)单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;
单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.
复合函数单调性问题的解题思路
①引元分解:引入新元,将所给函数分解为两个(或两个以上)简单函数(化整为零); ②分别考察:分别考察内,外两层函数在各自定义域上的单调性;
③综合结论:利用单调性定义或上述命题,由内,外两层函数的单调性作出相关结论.
【例题精析】
考点1利用定义证明单调性
例1．证明()x x f x e e -=+在(0,)+∞上为增函数．
变式1．判断函数2()1
ax f x x =- (a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性。

考点2：求函数的单调区间
例2（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；
（2）已知2()82,f x x x =+-若2
()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．
变式2：画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++
考点3：利用函数单调性解决一些问题
例3函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．
变式3：1.若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为?
2.已知()log (2)a f x ax =-在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 考点4:抽象函数与函数单调性结合运用
例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；
（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若2()()1f x f x x ⋅->，求x 的范围。

变式4．定义在()+∞,0上的函数()x f 满足：
对任意的∈y x ,()+∞,0，()()()y f x f xy f +=，且当1>x 时，()0>x f ，
（1）求证：()x f 在()+∞,0上是增函数；
（2）解不等式()
()()x f x f x x f -<+---42322
提示：第（1）关键是对()()21x f x f -变形，为用条件，可将1x 拆成两个数之积， 也可将2x 拆成两个数之积，但由条件“当1>x 时，()0>x f ”知，拆更1212x x x x ⋅=方便， 若拆2
121x x x x ⋅=，则还需先证明：“当10<<x 时，()0<x f ”。

以上解法对一般抽象函数问题的解决具有指导意义。

【同步练习】
一、选择题
1．()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( )
A ．12a ≥
B ．12a ≤
C ．12a >-
D ．12
a < 2．函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )
A ．0b ≥
B ．0b ≤
C ．0b >
D ．0b <
3．在区间()0,∞-上为增函数的是 （ ）
A ．)(log 2
1x y --=； B ．x x y -=
1； C ．2)1(+-=x y ； D ．21x y +=
4．函数2
1)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．210<<a ； B ．2
1>a ； C ．11>-<a a 或； D ．2->a 5．已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）
A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+
B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-
C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+
D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-
6．若函数()f x 在区间[a ,b]上具有单调性，且()()0f a f b < ,则方程()0f x =在区间[a ，b]上 （ ）
A ．至少有一个实数根
B ．至多有一个实数根
C ．没有实数根
D ．必有唯一的实数根
7．已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在()1,2-内是 （ ）
A ．单调递减；
B ．单调递增；
C ．可能单调递减也可能单调递增；
D ．以上都不成立。

8．当0>x 时，x x x f 2)(+
=，则)(x f 的单调递减区间是 （ ） A ．()+∞,2 B ．
()+∞,2 C ．()
2,0 D ．()2,0
二、填空题
9. 函数y =的单调减区间是 _______
10．函数122)31
(--=x x y 的定义域为 ；值域为 ；单调递增区间为
， 单调递减区间为 。

11．已知()f x 在定义域内是减函数，且()f x >0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为______
①()y a f x =+（为常数）；②()y a f x =-（a 为常数）；③ 1()
y f x =；④ 2[()]y f x =． 12．函数(1)()log [0,1]x x a f x a +=+在上的最大和最小值的和为a ，则a = ___
三、解答题
13.(1) 证明：函数 y [0,)+∞上是增函数，
(2)并判断函数 y x = [0,)+∞上的单调性
(3)求函数y x =[1，4]上的值域.
14.作出函数2()|1|f x x x =-+的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.
15．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+= 求：（1）f （1）；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围.
16.已知0>a ，函数ax x x f y -==3)(在),1[+∞∈x 上是一个单调函数：
（1）试问函数)(x f y =在0>a 的条件下，在),1[+∞∈x 上能否是单调递减函数？请说明理由；
（2）若)(x f 在区间),1[+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；
（3）设,)]([1)(,10000x x f f x f x =≥≥且求证：00)(x x f =。