9.3 全微分宋1103
合集下载
《高数全微分》课件
全微分的概念
全微分是多变量函 数的变化率，通过 定义、计算方法和 与偏微分的区别， 理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综 合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念， 具有多种定义方式。 通过物理解释和常 见定义使学生理解 微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变 化率的工具，包括 导数的概念、计算 方法以及其在函数 极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无 穷小变化量，给出 了函数在某一点上 的局部变化情况和 计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和 全微分的概念和定义， 强调了它们在数学中 的重要性。
引导学生进一步学习 微分和导数的应用领 域，如物理学和经济 学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及 的主题和学习目标， 激发学生的兴趣和期 待。
《高数全微分》PPT课件
高数全微分 PPT课件
知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的 变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函 数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解 释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率， 它包括所有变量的微分。
第三节 全微分
t
t
z z x s x s
z z x z dy t x t y dt
注意 设 z f (u, x, y) ,u ( x, y) z f [ ( x, y), x, y]
x
链式图
x
z
y y
u
链式法则 z z u f
x u x
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1.一元函数的微分： 2.全微分的定义 若函数 z f ( x, y) 在点( x, y )的某一邻域内偏导数
z z 在该点可微,且称 x dx y dy 为函数 z f ( x, y)
z x
z z f ( x, y) 、 y 存在,且在这一点它们都连续，则
z z u z v y u y v y
u x
z
v
y
例1 设 z e sin v
u
z ,而 u xy , v x y ,求 x
u x
,
z y
解
z z u z v x u x v x
u u
z
e sin v y e cosv 1
dz z du z dv dt u dx v dt
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数，又有 多元函数的情形,设 z f x, y , x s, t , y t
z f s, t , t
z
y
s
x
链式图
链式法则
v ( x, y)在点( x, y )处有偏导数, 函数 z f (u, v) 在对应点
(u , v) 处有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]
全微分方程的物理背景与格林(Green)公式
全微分方程的物理背景与格林（Green ）公式专题摘要：给出全微分方程的定义和格林公式，以力场为例给出了全微分方程的物理背景，利用曲线积分与路径无关的两个充要条件，得到一阶微分方程是全微分方程的充要条件。
一个一阶微分方程写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （1）的形式，如果它的左端恰为某一二元函数),(y x u 的全微分dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， （2）那么，微分方程式（1）称为全微分方程。
全微分方程有很具体的物理背景，假设在xoy 平面有一力场F ，j i F ),(),(y x Q y x P +=现在求这样一条曲线l ，使该曲线与力场处处垂直。
设曲线的方程为)(x f y =，则应有),(),(y x Q y x P dx dy -=， （3） 或0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （4）于是问题化为求微分方程（1）的解的问题。
如果在力场中存在标量函数),(y x u ，使得),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂ 因此，（4）式是全微分方程，它的解为C y x u =),(， （5）由（5）式确定的曲线是力场F 的等值线。
沿等值线，力场不作功。
怎样判断一个微分方程是否为全微分方程呢？结论1 当函数),(),,(y x Q y x P 在闭区域D 上具有连续的一阶偏导数时，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LD Qdy Pdx dxdy y P x Q )(， （6） 其中L 是区域D 内取正向的分段光滑闭曲线。
（6）式称为格林（Green ）公式。
结论2在单连通区域G 内的曲线积分与路径无关的充要条件是区域G 内的任意闭路径积分为零。
结论3 由格林公式（6）知，曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件是在区域G 内恒有 yP x Q ∂∂=∂∂， （7） 结论4 根据曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件得，在单连通区域G 内具有连续一阶偏导数的函数),(),,(y x Q y x P 构成的一阶微分方程（4）是某一函数),(y x u 全微分的充要条件是（7）式成立。
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
高等数学课件--D9_3全微分
x x
z x z y
lim xz x
x 0
x
A
Ax o ( x )
同样可证
2012-10-12
B , 因此有
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
xy
反例: 函数 f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
x y ( x) ( y )
2
x y ( x) ( y )
[ f ( x x, y y ) f ( x, y y )] [ f ( x, y y ) f ( x, y )]
f x ( x 1 x, y y ) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x, y ) ] y
S a
δ
a
S b
δ b
S C
δC
1
2 2 2 a 12.5, b 8.3 , C 30, δ a δ b 0.01, δ C
b sin C δ a
1
a sin C δ b
1
ab cos C δ π
C
故绝对误差约为 又
1 2
1800
12.5 8.3 sin 30 25.94
全微分方程的解法
所以是全微分方程.
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d( xy) ydx xdy,所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C.
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
解 1.公式法:
1 (P Q y
Q ) x
2 , x
m ( x)
e
2 x
dx
1 x2
.
则原方程成为
(3x
y x2
)dx
(2 y
1 )dy x
0,
3xdx 2ydy ydx xdy x2
d(3 x2 y2 y)
2
x
原方程的通解为
3 x2 y2 y C
Q(x, y) Q(x0, y) (y)
y
因此 (y) Q(x0, y) ，则 ( y) y0 Q(x0, y)dy C
因此可以取
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
此时 d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
(2) 偏积分法
P(x, y), Q(x, y)
x
y
第一个等式对 x 积分 (x, y) P(x, y)dx (y)
代入第二个等式求 ( y) ，即可得 (x, y)
(3)凑微分法
直接凑微分得 (x, y)
例2：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d( xy) ydx xdy,所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C.
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
解 1.公式法:
1 (P Q y
Q ) x
2 , x
m ( x)
e
2 x
dx
1 x2
.
则原方程成为
(3x
y x2
)dx
(2 y
1 )dy x
0,
3xdx 2ydy ydx xdy x2
d(3 x2 y2 y)
2
x
原方程的通解为
3 x2 y2 y C
Q(x, y) Q(x0, y) (y)
y
因此 (y) Q(x0, y) ，则 ( y) y0 Q(x0, y)dy C
因此可以取
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
此时 d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
(2) 偏积分法
P(x, y), Q(x, y)
x
y
第一个等式对 x 积分 (x, y) P(x, y)dx (y)
代入第二个等式求 ( y) ，即可得 (x, y)
(3)凑微分法
直接凑微分得 (x, y)
例2：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
全微分定义公式
全微分定义公式如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全增量Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Deltaz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Deltax+B\Delta y+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B不依赖于Δ x Δx Δx，Δ y Δy Δy，仅与 x x x，y y y有关，ρ ρ ρ趋近于0( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 )，此时称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，A Δ x + B Δ y AΔx+BΔy AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全微分，记为 d z dz dz即d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x +B\Delta y dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处(关于Δ x Δx Δx, Δ y Δy Δy)的全微分。
定理定理1若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处可微，则 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y)在 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = A f'_x(x_0,y_0)=A fx′(x0,y0)=A，f y ′ ( x 0 , y 0 ) = B f'_y(x_0,y_0)=B fy′(x0,y0)=B。
高等数学下9.3全微分
可偏导
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
《高数课件24全微分》课件
对 x 和 y 同时求微分
通过同时对 x 和 y 求偏导数来求得 全微分的表达式。
应用
1
偏导数和全微分的关系
偏导数是求全微分的一种方法，全微分是一种更加完备的方向导数的表示形式。
2
隐函数求导
利用全微分的表达式，可以方便地求出隐函数的导数。
3
极值和微分
通过微分可求出函数的最大值和最小值。
总结
全微分的重要性
高数课件24全微分
PPT课件介绍全微分，从定义和概念到应用，让你深入理解此概念。
前言
主题介绍
本 PPT 课件将带您深入探讨全微分，并介绍其定义、 求法及应用。
前置知识回顾
回顾一元函数微分学和多元函数微分学的基本概念 及相关定理。
什么是全微分
1
定义和概念
全微分是多元函数微分学中的一个概念，它可以描述函数值沿着某个方向的变化率。
2
一阶微分和全微分的关系
全微分是一阶微分的完备性，即一阶微分只能描述沿着坐标轴方向的变化率，而全微分可以描述任 意方向的变化率。
求全微分的方法
对 x 求微分
利用对一元函数求导的方法，通过 求偏导数来求得全微分求导的方法， 通过求偏导数来求得全微分的表达 式。
全微分是多元函数微分学的一个重要概念，在科学研究和应用方面都有着广泛的应用。
未来学习的展望
学好全微分是深入学习多元函数微分学和微积分的基础。
9-3全微分及其应用 共11页
所 以 函 数 在 点 ( 0 ,0 ) 处 不 可 微 .
(2) 可微的充分条件
定理 若函 zf(x 数 ,y)在(x 点 ,y)处有连 偏导z数 ， z， 则 zf(x,y)在(x 点 ,y)处可 x y 且dzzxzy. x y 习惯上，记全微分为 dzzdxzdy. x y 以上有关二元函数全微分的讨论可推广到三元
（3）当 (x)2(y)2 0时，
zfx (x 0,y0) xfy (x 0,y0) y是无穷
（4）当 (x)2(y)2 0时，
z f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y ÇÊ ÞÎ îÇ ¡Ð ¿Á . (x)2 (y)2
当 点 P ( x , y)沿 着 直 线 yx趋 近 于 (0 ,0 )时 ，
有 lxi m 0(x )2x ( yy)2 lx i0 m (x )2 x ( xx)2
1 ， z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o () ，
如果 zf( 函 x ,y)在 数 (x ,点 y)处可微
即 z d 有 o ( z ) A x B y o () ，
那么limz li[m A xB y o () ]0，
x0
x 0
y0
y 0
从而 zf( 函 x ,y)在 数 (x ,点 y)处连续
第三节 全微分及其应用
一、全微分的概念
首先复习一元函数微分的有关内容： 若 y f ( 函 x ) 在 x 的 数 点 y f 增 ( x x ) f ( x 量 )
可以表示为 y A x o ( x ) ， 则称 y函 f(x)在 数 x点 处可微， 并A 称 x为函 yf(x 数 )在点x处的微, 记 分作 dy，
全微分在数值计算中的应用
梯度下降法
总结词
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断沿着负梯度的方向更新参数，以寻找 函数的最小值。
详细描述
在梯度下降法中，我们首先选择一个初始点，然后在每一步迭代中，我们计算函 数在当前点的梯度，并沿着负梯度的方向更新我们的参数。这个过程一直持续到 我们找到一个局部最小值或者达到预设的迭代次数。
牛顿法
总结词
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代优化算法，通过线性近似函数并求解相应的线性方程 组来找到函数的最小值。
详细描述
在牛顿法中，我们首先选择一个初始点，然后在每一步迭代中，我们计算函数在当前点 的二阶导数（即海森矩阵），并使用它来线性化我们的函数。然后我们解这个线性方程 组来找到新的点，并将这个新点作为下一次迭代的起点。这个过程一直持续到我们找到
全微分在数值计算中的应用
$number {01}
目 录
• 全微分的概念与性质 • 全微分在数值逼近中的应用 • 全微分在优化算法中的应用 • 全微分在数值微分方程中的应用 • 全微分在机器学习中的应用
01
全微分的概念与性质
全微分的定义
全微分是指函数在某一点处因变量关 于各个自变量的偏导数与各自偏导数 的乘积的和，表示函数在该点附近的 小变化。
VS
详细描述
数值积分基于将积分区间划分为一系列小 区间，并在每个小区间上选择一个点进行 近似，然后对这些近似值进行求和来得到 积分的近似值。全微分在这个过程中起着 重要的作用，因为它提供了误差估计和收 敛性的理论依据。数值积分在科学计算、 工程和统计学等领域有广泛的应用。
03
全微分在优化算法中的应用
一个局部最小值或者达到预设的迭代次数。
拟牛顿法要ຫໍສະໝຸດ 一总结词拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过使用一种称为拟牛顿 矩阵的近似来代替海森矩阵，从而在每一步迭代中更新我 们的线性近似。
函数全微分范文
函数全微分范文函数的全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在其中一点附近的变化情况。
全微分在物理学、经济学、工程学和金融学等领域中都有广泛的应用。
在微积分中，我们常常根据函数的导数来研究函数的变化情况。
但是，函数的导数只能告诉我们函数在其中一点的变化率，无法完全描述函数的整体变化。
全微分的概念正是为了解决这个问题而提出的。
全微分的定义很简单，假设有一个函数 f(x,y)，其中 x 和 y 是自变量。
那么在点 (x0,y0) 处的全微分记为 df，表示函数在这一点附近的变化情况。
全微分可以用下式表示：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中∂f/∂x 和∂f/∂y 分别表示函数 f 对 x 和 y 的偏导数，dx 和dy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量。
全微分是一个线性逼近值，表示函数在其中一点附近的近似变化值。
全微分的几何意义可以通过偏导数来理解。
偏导数可以看成是函数在其中一点的切线的斜率，而全微分则表示了这根切线在其中一点附近的变化情况。
这可以类比为曲面上的一个切平面，全微分表示了这个切平面在其中一点附近的形状。
因此，全微分是函数在其中一点附近的一个局部性质。
全微分有一些重要的性质。
首先，全微分是一个线性近似值，这意味着全微分满足线性运算规则。
例如，对于两个函数f(x,y)和g(x,y)，以及两个常数a和b，有以下结果成立：d(af + bg) = a df + b dg这个性质是全微分在实际应用中非常有用的，可以帮助我们进行复杂函数的近似计算。
其次，全微分的值可以用来计算函数的变化率。
具体来说，如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续且可微，则函数在这一点的变化率可以用全微分来表示：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = (∂f/∂x,∂f/∂y)·(dx,dy)右边的表达式可以看作是向量的点积，表示了变化量与变化方向之间的关系。
因此，全微分可以帮助我们分析函数的变化性质和优化问题。
高等数学(重庆专升本及高职高专)9.3全微分
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数 必存在,且有
d z z x z y x y
若函数
的偏导数 z , z x y
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解: z yexy , x
z xexy y
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δ x B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
z x
(2,1)
e2
,
z y
(2,1)
2e2
例2. 计算函数
解: u
的全微分.
(
1 2
cos
y 2
ze
yz
)d
y
1. 微分定义:
z
o()
(x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
第五节全微分
18
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. 例6 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大 到20. 05cm, 高度由100cm减少到99cm. 求此圆柱体体积变化 的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V r2h. 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有 VdV VrrVhh 200 (cm3), 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3.
1 x y
2 2
x2 y (x y )
2 2 3
cos
1 x y
2 2
,
当点 P( x , y) 沿直线 y x 趋于 (0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 x3 1 , lim x sin cos 3 x0 2|x| 2 2|x| 2 | x |
x 0 y 0
lim z 0,
因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续.
4
可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 可微分的必要条件
定理:如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分,则函数在该点的偏导
数
z z 、 必定存在, 且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为 x y
x y xx 1 lim 2 lim 2 0， 2 2 x 0 x y x 0 x x 2 y x 所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y ] o( ) ，
即 f ( x, y) 在(0,0) 处不可微.
2012.3.24 新改 九章3节 全微分解读
(1) 函数可微 偏导数存在 函数可微
(2) 偏导数连续
二、可微的条件 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
z z d z x y x y 证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量
令 y 0,
同样可证
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. 证： z f ( x x, y y) f ( x, y)
z z , x y
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)]
δ
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数 类似可以推广到三元及三元以上的情形.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5. 利用公式
计算三角形面积.现测得
a 12.5 0.01, b 8.3 0.01, C 30 0.1
y 1
y ln y
x 1
x
x x y y x y
2 2 2
)dx )dy.
( x ln x xy
y
2
y z 练习2 求函数 u x sin arctan 的全微分. 2 y
2
解 因为
u u y u 1 y z 2x , 2 2, cos 2 , 2 x z y z y 2 2 y z
◆可微与可导的关系: *对于一元函数, 可导 *对于多元函数, 可导 可微， 可微．
(2) 偏导数连续
二、可微的条件 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
z z d z x y x y 证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量
令 y 0,
同样可证
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. 证： z f ( x x, y y) f ( x, y)
z z , x y
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)]
δ
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数 类似可以推广到三元及三元以上的情形.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5. 利用公式
计算三角形面积.现测得
a 12.5 0.01, b 8.3 0.01, C 30 0.1
y 1
y ln y
x 1
x
x x y y x y
2 2 2
)dx )dy.
( x ln x xy
y
2
y z 练习2 求函数 u x sin arctan 的全微分. 2 y
2
解 因为
u u y u 1 y z 2x , 2 2, cos 2 , 2 x z y z y 2 2 y z
◆可微与可导的关系: *对于一元函数, 可导 *对于多元函数, 可导 可微， 可微．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
δ
R
R 0.8 = 0.032 ( 欧 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 微分定义:
z
o (r)
r (x) 2 (y ) 2
d z = f x ( x, y )d x f y ( x, y ) d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
z =Ax + By + o(r),
z f ( x x, y y) f ( x, y) 函数在该点连续
机动
目录
上页
下页
返回
结束
问题：
1 函数f ( x, y)在( x, y)连续，是否有f ( x, y)在( x, y)可微分？
2 f ( x, y)在点( x, y)可微分，是否有在( x, y)偏导数存在？
定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
U 24 解: 由欧姆定律可知 R 4 ( 欧) I 6
所以 R 的相对误差约为
dz
δ R δU δ I 0.3 + 0.5 = 0.8 R U I
R 的绝对误差约为
f y ( x, y ) f x ( x, y ) dx d z f ( x, y ) f (x, y )
其中 f x ( x, y ) y x y 1 , f y ( x, y ) x y ln x 则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
f (1, 2) f x (1, 2) x f y (1, 2) y
1 2 0.04 0 0.02 1.08
令 y 0 ,
得到对 x 的偏增量 x z f (x x , y ) f (x , y ) Ax o ( x )
z lim x z A 所以 x x 0 x
z 同样可证 B , 因此有 y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 误差估计
利用 z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
令d x , d y , d z 分别表示x , y , z 的绝对误差界, 则
z 的绝对误差界约为
d z f x ( x , y ) d x f y ( x, y ) d y
z 的相对误差界约为
dz
f y ( x, y ) f x ( x, y ) dx d z f ( x, y ) f ( x, y )
y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为
0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
例2. 计算函数 解: d u 1 dx
1 cos y (2 2
的全微分.
y z ) d y y e y z d z. ze
机动
目录
上页
下页
返回
结束
*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
u dx du x
u dz z
记作 d x u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
d u d x u d y u d z u.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算函数 z ye x y , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xe x y y
3 是否任意函数都可微分？
如果不是，函数可微分的条件如何？
4 f ( x, y)在点( x, y)可微分，则A ？B ？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有
z z dz x y. x y 证: 由函数可微，得
结束
一、全微分的定义
定义: 若函数z= f (x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义， 且在(x, y)处的全增量
可表示成 z =Ax + By + o(r),
其中A、B不依赖于 x、 y , 仅与 x、y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)在 点(x, y) 的全微分, 记作 dz = df = Ax + By .
偏导数存在、可微分、连续三者联系 偏导数连续
函数可微分
偏导数存在
函数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广: 讨论三元及三元以上函数的可微性.
例如，三元函数u = f (x, y, z)的全微分
u u u y z x du z y x
习惯上把自变量的增量用微分表示, 即x→dx…
z z x z z f ( x x, y ) f ( x, y ) x dx x x
记作 d x z
z z y z z f ( x, y y) f ( x, y) y dy y y
记作 d y z
机动
目录
上页
下页
返回
当 (x) 2 (y ) 2 0 时是无穷小量 ; z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
( D)
(x) 2 (y ) 2
当 (x) (y ) 0 时是无穷小量 .
2 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 微分应用
• 近似计算
z d z f x ( x, y ) x f y (x , y ) y
f ( x x, y y) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
第三节
第九章
全微分
y Ax o( x)
一元函数 y = f (x) 的微分
d y f ( x)x
本节内容:
应用
近似计算 估计误差
一、全微分的定义
*二、全微分在数值计算中的应用
机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数f ( x, y),固定y不动，给x以增量x，考查函数的增量 z f ( x x, y ) f ( x, y )
机动
目录
上页Biblioteka 下页返回结束
思考与练习
1. P76 题5 ；P129 题 1.
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
( B) f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; (C ) z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xy
例: 函数
f ( x, y )
x2 y2
, x2 y2 0
0,
x2 y2 0
易知在(0, 0)处有 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但 ?o(r) z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o ( r )
dz
可知当 及 较小时, 有近似等式:
z d z f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
f ( x x, y y) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
偏导数存在，函数不一定可微 !
问题：
z z z z 偏导数存在，即 , 存在，从而有 dx dy存在， x y x y 为什么函数可能不可微分？
z z 函数可微分，则z （ dx dy） o( r ), 仅有偏导数存在， x y z z 不能保证z （ dx dy）是无穷小。故函数可能不可微分. x y
x y
( x) 2 ( y ) 2
x y r ( x) 2 ( y ) 2
0
o( r ) 因此, 函数在点 (0,0) 不可微 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理2 (充分条件) 若函数
z z 的偏导数 , x y
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.
(可用于近似计算)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算
的近似值.
解: 设f (x, y) = x y，则要求f (1.04, 2.02) = ?
取x = 1, y = 2, x = 0.04, y = 0.02, 利用
f ( x x, y y) f ( x, y) f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
若函数在区域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( r ) 0
x 0 y 0
y 0
r 0
得 lim f ( x x, y y ) f ( x, y ) dz = df = Ax + By . x 0 即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微