高中数学第一章常用逻辑用语11命题(1)北师大版1-1

1.1 命题（1）

一、选择题

1．下列语句不是命题的是( )

A. 3是15的约数

B. 15能被5整除吗？

C. 3小于2

D. 1不是质数

解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．

答案：B

2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是( )

A．红豆生南国B．春来发几枝

C．愿君多采撷D．此物最相思

解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．

答案：A

3．下列语句中假命题的个数是( )

①3是15的约数；

②15能被5整除吗？

③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？

④3小于2；

⑤9的平方根是3或－3；

⑥2不是质数；

⑦2既是自然数，也是偶数．

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．

答案：A

4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

答案：B

二、填空题

5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．答案：①④

6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．

当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即00恒成立，所以0

当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．

综上知0≤m<12.

答案：[0,12)

7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．

解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．

②是假命题，数0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；

④是真命题；

⑤祈使句，不是命题．

答案：②③④④

三、解答题

8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)偶数能被2整除；

(2)奇函数的图像关于原点对称；

(3)同弧所对的圆周角不相等．

解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．

(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称(真命题)．

(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．

9．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x

是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．

解：若命题p 为真命题，则可知m ≤1；

若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.

所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，

即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m <2.

故m 的取值范围是1