5线性代数-4

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线性代数之第4章.向量空间与线性变换

4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任一个向量α可以唯一地表示为： α＝a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的起点在原点，(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例解：由 β1 ε1 2ε2 ε3
β2 ε1 ε2 β ε ε3 3 1
即
1 1 1 ( β1 , β2 , β3 ) ( ε1 , ε2 , ε3 ) 2 1 0 1 0 1
n n
只有零解xj＝0 (j=1, 2, … , n) 。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换由于α1, α2, „, αn线性无关，由上式得：
a x
j 1 ij
n
j
0 i 1, 2, , n
因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系，
a11 a η1, η2 , , ηn α1, α2 , , αn 21 an1 a12 a1n a22 a2 n α α , , α A 1, 2 n an 2 ann

线性代数5-4.正交矩阵

为单位向量。
e
P136
4.2
正交向量组
定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y正交。记作xy 。若x = 0,则 x 与任何向量都正交。反之，若x 与任何向量都正交，则x=0. 定义4.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组。简称为正交组。 ★ ★如果一个向量组仅含一个向量α，当α≠ 0时，则规定该向量组为正交组。
性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶正交矩阵；性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。性质5 若A是正交矩阵,则
A , A k (k N )亦为正交矩阵。
2.正交变换 P140 定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。设 y = Px 为正交变换，则有
§4
正交矩阵
4.1、实向量的内积与长度 1.内积的概念
定义4.1 设有n维实向量
规定
a1 b1 a b 2 2 , , an bn
（ α ，β）=a1b1+ a2b2+…+ anbn
(1)
称（ α ，β）为向量α与β的内积。
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。列向量： (α, β)= αT β; 行向量：(α, β)= α βT。
2.内积的性质：
设 α ，β ，γ为n 维实向量，λ为实数。性质1 (α, β)=(β, α); 性质2 (λ α, β)=λ(α, β); 性质3 (α + β, γ)=(α, γ)+(α, γ)；性质4 当α 0时， (α, α)>0。显然，(0,0)=0，由此便知实向量 α =0 的充分必要条件是(α, α) = 0。

线性代数课件5-4二次型化标准形

无关的特征向量只有一个，可取为
0
q2
1
2
1 2
相应于 3 3 的特征向量满足 ( A 3E)x 0
2 0 0 1 0 0
A
3E
0
1
1
r
~
0
1
1
0 1 1 0 0 0
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q3 1
2
1 2
正交矩阵为
1 0
Q 0 1
2
0 1 2
就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),
则先作可逆线性变换
xi yi yj
x j yi yj
xk yk
化二次型为
含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
例1
含有平方项
f 5 x12 2x22 2x2 x3 2x32
x 5 x12 (2x22 2x2 x3 ) 2x32 含有 2的项配方
（2）判断二次曲面 2x1x2 2x1x3 2x2x3 1 的形状。
（1）判断二次曲线
x12 x22 2 3 x1x2 1 的形状.
解：令 f x12 x22 2 3x1x2
其矩阵为
1
A 3
A的特征多项式为
3 1
1 3
AE
1 3 1 3
3 1
故A的特征值为 1 1 3, 2 1 3
3
~
0
1
0
无关的特征向量只有一个，可取为
1
q2
1
2
2
正交矩阵为
1
1
Q
1
2 2
2
1
2

5-4线性代数

1 1 2 C1 C 2 2 1 6 0 5 2
1 2 1 0 1 3 2 1 2 1 1 0
一、Jordan标准形
定义称m阶上三角矩阵
a 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a
为一个m阶Jordan块，
称准对角矩阵
J1 J2 Js
1
a
0 1 0 0 1 0 0
1 a 0 0
1 a 0 1 0
0 C1 a 2 C 3 0 3 a 1 0 0 1 0 0
分块P X 1 , X 2 , X 3 于是有，
设所求矩阵为，则P 1 AP J。对P按列 P
AP A[ X1 , X 2 , X 3 ] [ AX 1 , AX 2 , AX 3 ]
0 1 0 PJ X 1 , X 2 , X 3 0 1 1 0 1 0 X 1 , X 2 , X 2 X 3
▌
例求三阶Jordan块
a 1 0 J 0 a 1 0 0 a
的初等因子。解因
0 a 1 J ( ) I J 0 a 1 0 a 0
0 C1 a C 2 a 2 0 0 2 R R2 a1 a 0 0 2 R3 a2 a R 3 a
是6阶Jordan形矩阵。

线性代数5-4-对称矩阵的相似矩阵

3的特征向量,故它们必两两正交 .
第四步将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1 ,
2
,
3
1 3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P
1
AP
0
1
0 .
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2 x1 2 x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2 x2 4 x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2 x2 2 x3 0
2
第三步将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
所以
xT
x
n
xi xi

线性代数 5-4 第5章4讲-相似矩阵(2)

0 1 0 1
0
(1) 求矩阵A 的所有特征值和特征向量；
(2) 判断矩阵A 是否与相似，若相似，求出及使P1AP 得可逆矩阵P.
1 0 2 0 1 1 0 0 解 (1) 由A 1 0 2 0 得 A 1 2 1，A 0 0，
0 1 0 1 0 0 1 1
1
0
所以A
的特征值1 2，2
3 3 5
2是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P1AP 为对角矩阵.
解 A 有三个线性无关的特征向量， 2 是A 的二重特征值
r(2E A) 1.
1 1 1 1 1 1
2E A x 2 y 0 x 2 x y
3 3 3 0 0
0
1 1 1
矩阵
A
2
4 2，
3 3 5
2 1 2
(2) 法2
由A
5
3
3
,
E A
5
3
3 ( 1)3
1 0 2
1 0 2
知 1是A 的三重特征值.
3 1 2
秩r
(E
A)
r
5
2
3
1，
1 0 1
k 3 r(E A) 2
故A不能相似于对角阵.
11
方阵的相似对角化(2)
1 0 2 0
1
例5 设A为3 阶矩阵，已知A 1 0 2 0，X 1 是AX 0 的解.
1，且分别对应特征向量1
1
，
2
0
；
0
1
12
方阵的相似对角化(2)
1 0 2 0
1
设A为3 阶矩阵，已知A 1 0 2 0，X 1 是AX 0 的解.(1) 求矩阵A 的所有特征值

上海交通大学线性代数教材课后答案习题四

证因为A是正定的，故存在实可逆矩阵Q使
又由于B为实对称，从而为实对称。因此存在正交方阵U使
为对角阵。现在令P=QU，于是由知
且为对角矩阵。
58.设A和B为n阶正定矩阵，且方程的根是1。证明：A=B。
证由57题结论，存在n阶实可逆矩阵P，使得 =E， = 是对角阵。
的根是1
由于P可逆，相当于
的根是1
是正定矩阵，其中是非零实常数。
证易验证B为对称矩阵。对于任意非零向量，，其中。因是非零实常数，是非零向量，由A是正定矩阵知。即是正定矩阵
21.设A为实对称矩阵，t为实数。证明：t充分大之后，矩阵为正定矩阵。
证设是m阶方阵，按行列式完全展开式，应为t的多项式。其展开式有m！项，每项是不同行不同列的m个元素的乘积，其中t的最高方幂应是主对角线上m个元素之积：。其他任一项至少包含一个主对角线外元素，这时就不能含和，故这些项最多出现，它的常数项应为t=0时的，故
其中正交替换为
若，A的特征值为0,2,2-2 .分别对应特征向量
，，
令
显然Q为正交矩阵。则经，
其中正交替换为
(3) 的解，即
其中k为任意实数。
60.用正交替换化二次型
为标准形。
解：
易证主对角线上为其他元素都为的阶方阵的行列式为，
的矩阵
，
所以
，Байду номын сангаас
可以解得属于的个特征向量为
属于的特征向量为
。于是，即A合同于E。
反之，A合同于E，则由g可通过实满秩线性替换化为f。因g是正定的，故f也是正定的，即A为正定矩阵。
16.设A为正定矩阵，A合同于B，证明B也是正定矩阵。

《线性代数》课件第4章

此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理：定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组，若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有

线性代数5.1-4

3的一个与基
v
v
v
1 1 1 v v v α 1 = 1 α 2 = 0 α 3 = 1 1 1 0
1 v v v r v 1 1 − 1 1 v v [α 3 , β 1 ] v [α 3 , β 2 ] β 3 =α3- − v v β 11 - v v β 2 = 1 − 2 1 − 3 ⋅ 1 − 2 = 1 0 . β3 = α 3 β 3 6 3 2 [β 2 , β 2 ] [β 1 , β 1 ] 0 1 1 − 1 9 v v v v v v β ， β ， 3 单位化， α3等价标准正交基为: 再将β11，β22，β3 单位化，便得与α11，α2， α 3 等价标准正交基为 2 v v v 1 1 1 β1 v v v 1 ε = βv2 = 1 − 2 , ε = βv3 = 1 0 . ε1 = v = 2 3 1 , β2 β3 2 β1 6 3 − 1 1 1
验证向量组 α11 = , , α
1 1 1 1 ,0 ,α 22 = − ,− , ,0 , 2 2 2 2 T T v 1 1 1 v 1 1 1 α 3 3= ,− ,0, ,0 为R4的一个基 , α 44 = − , , α α 的一个基. 2 2 2 2 2 2
是否可由它得到V的一个标准正交基呢？是否可由它得到的一个标准正交基呢？的一个标准正交基呢条件是
二、施密特(Schmidt)正交化方法施密特(Schmidt)正交化方法 (Schmidt)
个与其等价的单位正交向量组。个与其等价的单位正交向量组。 v v v α，α ，… 正交化. (1) 将线性无关的向量组α11,α22,...,αr正交化 r v v v v v v- [α 2 , β 1 ] β ， β2 = α =1 令 β1=αα 1 ， β 2 =α2 2 − v v β11 [β 1 , β 1 ] v v v r v v v v [α 3 , β 1 ] [α 3 , β 2 ] v v β 11 ββ3= α33- − v v β 2， β 2 3 =α [β 1 , β 1 ] [β 2 , β 2 ] … … … … … … … ， v v v v v v v v [α r , β 2 ] [α r , β r −1 ] v [α r , β 1 ] v v v v v v = r ββr= ααr− v v β1 - [ β , β ] β2 - …- [β , β ] ββr-1. 1 2 r −1 r [β1 , β 1 ] 2 2 r −1 r −1

线性代数4-4—基础解系

b1 n r x1 b rn r x 2 0 x 0 n 1 ,
b1 2 b1 1 x1 x1 br 2 br 1 x x 2 1 , 2 0 1 2 1 0 x x n n 0 0

x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0
1
2

nr
求出（2）的一个基础解系，写出其通解 A
x r 1 x r2 xn
1 0 0 1 , , 0 0
,
0 0 1
；
x1 x2 xr

1 , 2 , , n r 是组（ 2 ）的全部解向量组的最大无关组！
3、求解方法
方程组(2)的通解是其一个基础解系的线性组合
求出方程组(2)的通解, 可求出其一个基础解系 A
(r<n)行变换
行最简形
b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0 cnr b1 n r b2 n r b rn r 0 0 1

（2）的通解
x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0 b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0

线性代数4-5向量空间

§5 向量空间
1. 向量空间
定义6(p102) 设V 是 n 维向量的非空集合，若V 对于向量加法及数乘两种运算封闭，a, b V , R a b V , a V
?
则称集合V 为向量空间。例1(P.103 例17) R 3 a ( 1, 2 , 3 ) 1, 2, 3 R 解 a ( 1 , 2 , 3 ), b ( 1 , 2 , 3 ) a b ( 1 1 , 2 2 , 3 3 ) R 3 a ( 1 , 2 , 3 ) R 3 x
, , , n r 是Ax b的解 (2) Ax 1 b的解向量组中有n-r+1个解线性无关
证明： (1) , 1 ,, n r 线性无关
, P.110 31: 设是Ax b的一个解 1 , , n r 是对应齐次方程组的一个基础解系。证明 (1) , 1 , , n r 线性无关；： ( 2) , 1 , , n r 线性无关。
a b ( 0 , 2 2 , , n n ) V1 a (0 , 2 ,, n ) V1 (P.103 例19) V a ( 1 , , ) , , R 2 , 2 n 2 n a ( 1, 2 ,, n ) , b (1 , 2 ,, n ) V2 , a b ( 2 , 2 2 , , n n ) V2
P. , 33: 设 Ax b 的系数矩阵的秩 , ,, 是其 r 110 2 , , n r 1是方程组 Ax nr b1 1
个线性无关的 , 证明它的任一解可表示为解
1 n r 1 n r 1

线性代数-第四章

0 L
A
~

0
满足条件：
（1）1 ,2 ,L ,r 线性无关；
（2）T 中的任一向量都可由1 ,2 ,L ,r 线性表示。
则称1 ,2 ,L ,r 为向量组 T 的极大线性无关组，或
极大无关组。
注释：
极大线性无关组，也可以定义成是一个线性无关的向量组，而且是极大的。（就是不能再大，大一点就不是线性无关，而是线性相关，也就是新添的向量都可被原来的向量组线性表示）
否则，如果只有当 k1 k2 L km 0 时， k11 k22 L kmm 0 才成立，称向量组线性无关。
2.2 基本问题
如何判断向量组 1 ,2 ,L ,m 是线性相关还是无关？
（1）线性相关
• 存在不全为零数 k1, k2 ,L , km，使 k11 k22 L kmm 0
L
a2n xn LLL
0 L
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
a11 a12 L
A

a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
则方程组可写成
a1n
a2n
,
L
amn
x1
X

x2

M
xn
矩阵的秩,行秩,列秩的关系:
特例:
1 0 a1 0 b1 0

0
1
a2
0
b2
0

B 0 0
0
1 b3
0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
B-型矩阵很容易看出矩阵的秩,行秩,列秩.

线性代数同济五版

特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是
A的一个特征值。
特征多项式
设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为 A的特征多项式。
特征向量
对应于特征值λ的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
特征方程
特征多项式|λE-A|=0的根称为A的特征根（或特征值）。
04
CATALOGUE
向量
向量的概念与运算
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量的数乘
实数与向量的乘法满足分配律、结合律和数乘的消去律。
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法则。
向量的线性运算
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
向量的线性相关性
线性组合
若干个向量通过线性运算得到的结果向量称为这些向量的线性组合。
线性相关与线性无关
如果存在不全为零的实数，使得一组向量的线性组合为零向量，则这组向量称为线性相关；否则称为线性无关。
极大线性无关组
在线性相关的向量组中，如果存在一个部分组是线性无关的，且从向量组中任意添上一个向量后都变为线性相关，则称该部分组为向量组的一个极大线性无关组。
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。
向量组的秩的性质
向量组的秩等于其行秩或列秩；两个等价的向量组具有相同的秩；若向量组线性无关，则其秩等于向量组中向量的个数。
向量组的秩的计算方法
通过初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的个数即为向量组的秩。
05
CATALOGUE
工程应用

线性代数-第4章

第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。

要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。

4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。

所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。

8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。

9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。

矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。

线性代数-课后答案(第四章)

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T=(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由www.kh da w.c o m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.证明由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.www.kh da w.co m5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾.因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为 022*******12||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .www.kh da w.c o m解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅,www.kh da w.c o ma m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关.解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使 λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a 1=e 1=-b 1, a 2=e 2=-b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m =e m =-b m , 其中e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e m 为单位坐标向量, 则上式成立, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 和b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 均线性无关.(3)若只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0才能成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性无关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性无关.解由于只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式由λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 所以只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1(a 1+b 1)+λ2(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0成立. 因此a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m +b m 线性无关.取a 1=a 2= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 取b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b m 为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关.www.kh da w.c o m(4)若a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0, λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0同时成立.解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,λ1a 1+λ2a 2 =0⇒λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明由已知条件得 a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1,a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , www.kh da w.c o m上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1); ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125www.kh da w.c o m解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513143~r r r r --123r r -34rr -132rr -23rr +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5310531032104317312523~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2). ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222015120151201221143~r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.www.kh da w.co m16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅,a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n , a 是n +1个n 维向量, 是线性相关的, 所以a 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性: 已知任一n 维向量都可由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示,故单位坐标向量组e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 于是有n =R (e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n ,即R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 所以a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.www.kh da w.c o m18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19. 设向量组B : b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 能由向量组A : a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s 线性表示为(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )K , 其中K 为s ⨯r 矩阵, 且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK .必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .www.kh da w.c o m因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使为K 的标准形. 于是⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ). 因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2,⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1,www.k h da w.c o mα2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3,|A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得www.kh da w.co m⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为 ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;www.kh da w.c o m⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2. 解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为, ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA 所以与方程组AB =0同解方程组为.⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B www.kh da w.co m24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即, (k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==142132********k x k k x k k x k x 1, k 2∈R ),消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : , II :⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得.⎩⎨⎧=-=4241x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得.⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;www.kh da w.c o m取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000210010101001 1110011110100011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为ξ=(-1, 1, 2, 1)T . 因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .www.kh da w.c o m27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . www.kh da w.c o m当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .www.kh da w.co m29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r .(1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.www.kh da w.c o m(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r ,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为, c ∈R .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一www.kh da w.c o m点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关,a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解. 解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅,ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 线性无关.证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关. 因为ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 而η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关, 所以η*可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 与向量组η*, w w w .k h d a w .c o mξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 所以向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 也线性无关.34. 设η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 是非齐次线性方程组A x =b 的s 个解, k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅, k s 为实数, 满足k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s =1. 证明x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs也是它的解.证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 都是方程组A x =b 的解, 所以 A ηi =b (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, s ),从而 A (k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs )=k 1A η1+k 2A η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s A ηs =(k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s )b =b .因此x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs 也是方程的解.35. 设非齐次线性方程组A x =b 的系数矩阵的秩为r , η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1是它的n -r +1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1, (其中k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1=1). 证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1均为A x =b 的解, 所以ξ1=η2-η1, ξ2=η3-η1, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r =η n -r +1-η1均为A x =b 的解. 用反证法证: ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. 设它们线性相关, 则存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn -r , 使得 λ1ξ1+ λ2ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r ξ n -r =0, w ww .k h d a w .c o m即 λ1(η2-η1)+ λ2(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r (ηn -r +1-η1)=0, 亦即 -(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )η1+λ1η2+λ2η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +λ n -r ηn -r +1=0, 由η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1线性无关知-(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )=λ1=λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn -r =0,矛盾. 因此ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 为A x =b 的一个基础解系.设x 为A x =b 的任意解, 则x -η1为A x =0的解, 故x -η1可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表出, 设x -η1=k 2ξ1+k 3ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ξn -r =k 2(η2-η1)+k 3(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1(ηn -r +1-η1), x =η1(1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1)+k 2η2+k 3η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1. 令k 1=1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1, 则k 1+k 2+k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1=1, 于是 x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1.36. 设V 1={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =0}, V 2={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =1}, 问V 1, V 2是不是向量空间？为什么？解 V 1是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R ,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, w w w .k h d a w .c o m所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取 α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3. 证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由020********||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由 w w w .k h d a w .c o m, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3. w ww .k h d a w .c o m40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .w w w .k h d a w .c o m。

线性代数4-4

线性代数
昆明理工大学数学系 2009.12
2
第四节用初等变换解线性方程组
方程组的初等变换用初等变换解线性方程组
一. 方程组的初等变换 m个方程个未知数的线性方程组为个方程n个未知数的线性方程组为个方程
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 （1）） ... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm 简记为Ax=b。其中简记为。 A = (aij )m×n , b = (b1 , b2 ,..., bm )T , x = ( x1 , x2 ,..., xn )T
二. 用初等变换解线性方程组对方程组作初等变换相当于对增广矩阵[A,b]作行初等变换，对方程组作初等变换，相当于对增广矩阵作行行初等变换。因此，行初等变换。因此，得到用初等变换解线性方程组的步骤如下：骤如下：第一，写出增广矩阵[A,b](若是齐次方程组，只要写若是齐次方程组，第一，写出增广矩阵若是齐次方程组出系数矩阵A)；出系数矩阵；第二，作行初等变换，第二，对[A,b](或A)作行初等变换，使其化成阶梯形或作行初等变换矩阵，通过同解方程组判断其是否有解、有多少个解。矩阵，通过同解方程组判断其是否有解、有多少个解。第三，若有解，通过同解方程组求其通解（第三，若有解，通过同解方程组求其通解（或求其基础解系）。基础解系）。
α 4 = (1, 2,4, a + 8)T
β = (1,1, b + 3,5)T 的线性组合。 (1) a、b为何值时，不能表示成 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 的线性组合。为何值时，、为何值时 β (2) a、b为何值时，有α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 的唯一线性表示式，为何值时，的唯一线性表示式，、为何值时 β 并写出该式。并写出该式。解：