《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点

《概率论与数理统计教程》期末复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量及其分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 随机向量1． 二维离散随机向量，联合分布列ij j i p y Y x X P ===),(，边缘分布列⋅==i i p x X P )(，j j p y Y P ⋅==)(有（1）0≥ij p ；（2）∑=ijijp1；（3）∑=⋅jij i p p ，∑=⋅iij j p p 2． 二维连续随机向量，联合密度),(y x f ，边缘密度)( ),(y f x f Y X ，有 （1）0),(≥y x f ；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f ；（3）⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),()),((；（4）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(3． 二维均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 0, ),( ,)(1),(G y x G m y x f ，其中)(G m 为G 的面积4． 二维正态分布),,,,(~) ,(222121ρσσμμN Y X ，其密度函数（牢记五个参数的含义）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=2222212121212221)())((2)()1(21ex p 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 且),(~ ),,(~222211σμσμN Y N X ；5． 二维随机向量的分布函数 ),(),(y Y x X P y x F ≤≤=有 （1）关于y x ,单调非降；（2）关于y x ,右连续； （3）0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F y F x F ；（4）1),(=+∞+∞F ，)(),(x F x F X =+∞，)(),(y F y F Y =+∞；（5）),(),(),(),() ,(111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<；（6）对二维连续随机向量，yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(26．随机变量的独立性 Y X ,独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ （1） 离散时 Y X ,独立j i ij p p p ⋅⋅=⇔（2） 连续时 Y X ,独立)()(),(y f x f y x f Y X =⇔（3） 二维正态分布Y X ,独立0=⇔ρ，且),(~222121σσμμ+++N Y X 7．随机变量的函数分布（1） 和的分布 Y X Z +=的密度⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x f dy y y z f z f Z ),(),()(（2） 最大最小分布第四章 随机变量的数字特征1．期望(1) 离散时 ∑=iii px X E )(，∑=iiipx g X g E )())(( ；(2) 连续时⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(，⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()())((；(3) 二维时∑=ji ij j i p y x g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()),(((4)C C E =)(；（5）)()(X CE CX E =； （6）)()()(Y E X E Y X E +=+； （7）Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E = 2．方差（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ；（2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=； （3）)()(2X D C CX D =；（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=； （2）),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； （3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立⇒不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4．相关系数 )()(),(Y X Y X Cov XY σσρ=；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=∃⇔=b aX Y P b a XY ρ5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩kk X E X E ))((-=μ第五章 大数定律与中心极限定理1．Chebyshev 不等式 2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥- 或2)(1}|)({|εεX D X E X P -≥<-2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则) ,(~21σμn n N X ni i ∑=近似， 或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似 或)0,1(~ 1N n n X ni i近似σμ∑=-，（2）设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p A P =)(，则对任意x ，有)(}{lim x x npqnp m P n Φ=≤-∞→或理解为若),(~p n B X ，则),(~npq np N X 近似第六章 样本及抽样分布1．总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：样本均值∑==ni i X n X 11（μ=)(X E ，nX D 2)(σ=）；样本方差∑=--=ni i X X n S 122)(11（22)(σ=S E ）样本标准差∑=--=ni i X X n S 12)(11 样本k 阶原点矩∑==n i k i k X n 11ν，样本k 阶中心矩∑=-=n i ki k X X n 1)(1μ2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2χ分布 )(~2222212n X X X n χχ+++= ，其中n X X X ,,,21 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ，若)(~ ),(~2212n Y n X χχ且独立，则)(~212n n Y X ++χ；（2）t 分布 )(~/n t nY X t =，其中)(~ ),1,0(~2n Y N X χ且独立；（3）F 分布 ),(~//2121n n F n Y n X F =，其中)(~),(~2212n Y n X χχ且独立，有下面的性质),(1),( ),,(~11221112n n F n n F n n F F αα=- 4．正态总体的抽样分布（1）)/,(~2n N X σμ； （2）)(~)(11222n Xni i∑=-χμσ；（3）)1(~)1(222--n S n χσ且与X 独立； （4）)1(~/--=n t nS X t μ；（5）)2(~)()(21212121-++---=n n t n n n n S Y X t ωμμ，2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S ω （6）)1,1(~//2122222121--=n n F S S F σσ 第七章 参数估计1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min }{i x 或max }{i x ） 3．估计量的评选原则(1)无偏性：若θθ=)ˆ(E ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；。