圆锥曲线测试题

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圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是()2答案:52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9,则点P的坐标为()。

答案:(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是()。

答案:x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45,则ΔAF1F2的面积()。

答案:75.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()。

答案:y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()。

答案:(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()。

答案:288.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y=2x的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MF+MA取得最小值的M的坐标为()。

答案:(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是()。

答案:x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3,则它的长半轴长为_______________。

答案:√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0,焦距为10,这双曲线的方程为______________。

答案:x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3,焦点为(0,3)。

13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2),那么k=____________。

答案:√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3,则k的值为____________。

答案:7/315.根据双曲线的定义,其焦点到准线的距离等于其焦距的一半,因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程,8kx-ky=8,将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8,解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中,得到交点为(2,8)和(-1,-5)。

(完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

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圆锥曲线综合练习一、 选择题:1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( )A .4B .5C .7D .82.直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( )A B .12 C D .233.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为( )A .4B .3C .2D .14.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是( )A B C D 5.已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ,两点,O 为坐标原点.若OM ON ⊥,则双曲线的离心率为( )A B C D 6.已知点12F F ,是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12||PF PF +的最小值是( )A .0B .1C .2D .7.双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )A .22或2B .7C .22D .28.P 为双曲线221916x y -=的右支上一点,M N ,分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点,则||||PM PN -的最大值为( )A .6B .7C .8D .99.已知点(8)P a ,在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .8 D .1610.在正ABC △中,D AB E AC ∈∈,,向量12DE BC =,则以B C ,为焦点,且过D E ,的双曲线离心率为( )A B 1 C 1 D 111.两个正数a b ,的等差中项是92,一个等比中项是a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是( )A .5(0)16-, B .2(0)5-, C .1(0)5-, D .1(0)5, 12.已知12A A ,分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ,的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-,则椭圆C 的离心率为( )A .49 B .23 C .59D 513.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆 上,且满足0OA OB +=(O 为坐标原点),2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A . 22y =B .22y x =C .3y =D .3y = 14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(02)M ,的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A .3B 17C 5D .9215.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=,,,均为正数)有共同的焦点F 1,F 2,P 是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于 ( )A .m p +B .p m -C .m p -D .22m p -16.若()P a b ,是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->,20a b +>,则该点P 一定位于双曲线( ) A .右支上 B .上支上 C .右支上或上支上 D .不能确定17.如图,在ABC △中,30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ,边上的高分别为BD AE ,,则以A B , 为焦点,且过D E ,的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( ) A .3 B .1 C .32D .218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是( )A .焦点在x 轴上的椭圆B .焦点在x 轴上的双曲线C .焦点在y 轴上的椭圆D .焦点在y 轴上的双曲线19.已知12F F ,是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ,O 为坐标原点,若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 ( ) A .23 B .33 C .43- D 3120.已知双曲线方程为2214y x -=,过(21)P -,的直线L 与双曲线只有一个公共点,则直线l 的条数共有( )A .4条B .3条C .2条D .1条 21.已知以1(20)F -,,2(20)F ,为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( ) A .2 B .6 C .7 D .222.双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>,的离心率互为倒数,那么以a b m ,,为边长的三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形23.已知点(10)(10)A B -,,,及抛物线22y x =,若抛物线上点P 满足PA m PB =,则m 的最大值为( ) A .3 B .2 CD24.设12F F ,是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12B .23C .34D .4525.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A B ,两点,||AB =则C 的实轴长为( )AB. C .4 D .826.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A B ,两点,||12AB =,P 为C 准线上一点,则ABP △的面积为( )A .18B .24C .36D .48 27.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-,,则它的离心率为( ) ABCD28.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ,两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则ab的值为( )B. C.D. 29.若椭圆221(00)x y m n m n +=>>,与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.1) B.(0 C.1) D.(030.已知12F F ,分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切,若(0)M t ,为一个切点,则( )A .2t =B .2t >C .2t <D .t 与2的大小关系不确定31.如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ,,交其准线于点C ,若||2||BC BF =,且||3AF =,则此抛物线方程为( )A .29y x =B .26y x =C .23y x = D.2y32.已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、,在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ,则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ) ABC .12D33.以O 为中心,12F F ,为两个焦点的椭圆上存在一点M ,满足12||2||2||MF MO MF ==,则该椭圆的离心率为( ) AB .23CD34.已知点12F F ,是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12||PF PF +的最小值是( ) A. B .2 C .1 D .035.在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=,的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切,则抛物线的顶点坐标为( ) A .(29)--, B .(05)-, C .(29)-, D .(16)-,36.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅的最大值为( ) A .2 B .3 C .6 D .837.直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ,,,,则||||AB CD 的值为( )A .16B .116 C .4 D .1438.如图,双曲线的中心在坐标原点O ,A C ,分别是双曲线虚轴的上、下端点,B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点,直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是( )ABC D39.设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>,的左、右焦点分别为12F F ,,若在双曲线的右支上存在一点P ,使得12||3||PF PF =,则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A .(12],B .2]C .2)D .(12),40.已知11()A x y ,是抛物线24y x =上的一个动点,22()B x y ,是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ,是一个定点,若AB ∥x 轴,且12x x <,则NAB △的周长l 的取值范围为( )A .10(5)3,B .8(4),C .10(4)3,D .11(5)3,41.的离心率2=e ,右焦点(0)F c ,,方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ,2x ,则点12()P x x ,在( )A .圆1022=+y x 内 B .圆1022=+y x 上 C .圆1022=+y x 外 D .以上三种情况都有可能42.过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C .2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP (O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( )ABCD44F 为圆心,a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A B C D 45的左准线l ,左.右焦点分别为F 1.F 2,抛物线C 2的准线为l ,焦点是F 2,C 1与C 2的一个交点为P ,则|PF 2| )A B C .4 D .846.已知F 1、F 2是双曲线 a >0,b >0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( )A . 147A 、F ,点B (0,b )则该双曲线离心率e 的值为( )A B C D 48.直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段,则双曲线的离心率为( )A .B .C .D . 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线,切点为T ,延长FT 交双曲线右支于P 点,若M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,则与a b -的大小关系为A BCD .不确定.50.点P 为双曲线1C :和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点,且12212F PF F PF ∠=∠,其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( )ABCD .251.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ,,若曲线r 上存在点P ,则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52.已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,右支上一点,12F F ,分别为双曲线的左、右交点,I 为22PF F △的内心,若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立,则λ的值为( )AB C .b a D .ab二、填空题:53.已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ,两点.若22||||12F A F B +=,则||AB = . 54.中心在原点,焦点在x 轴上,且长轴长为4,离心率为12的椭圆的方程为 . 55.9.已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56.已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ,是椭圆的两个焦点,且1260F PF ∠=,则12F PF △ 的面积是 . 57.已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .58.若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 . 59.已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的左、右焦点分别为12F F ,,过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ,且1230PF F ∠=,则双曲线的渐近线方程为 .60.已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点,P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点,若12||||4PF PF -=,则12()PQ PF PF ⋅-= .61.已知圆22:68210C x y x y ++++=,抛物线28y x =的准线为l ,设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ,则||m PC +的最小值为 .62.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则AFB △的面积为 . 63.已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 .三、解答题:64.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ,,点P 在椭圆C 上,且12PF PF ⊥,14||3PF =,214||3PF =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)若直线l 过点M (21)-,,交椭圆C 于A B ,两点,且点M 恰是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 65.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -,.(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(Ⅱ)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与L 的距离等?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 66.已知抛物线22(0)x py p =>.(Ⅰ)已知P 点为抛物线上的动点,点P 在x 轴上的射影是点M ,点A 的坐标是(42)-,,且||||PA PM +的最小值是4.(ⅰ)求抛物线的方程;(ⅱ)设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ,过点E 作抛物线的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ,两点,连接AO BO ,并延长分别交抛物线的准线于C D ,两点,求证:以CD 为直径的圆过焦点F .67.如图所示,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12A A ,分别为椭圆C 的左、右顶点.(Ⅰ)设12F F ,分别为椭圆C 的左、右焦点,证明:当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时,1||PF 取得最小值与最大值;(Ⅱ)若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1,求椭圆C 的标准方程;(Ⅲ)若直线l :y kx m =+与(Ⅱ)中所述椭圆C 相交于A B ,两点(A B ,不是左、右顶点),且满足22AA BA ⊥,证明:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.68.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ,两点,那么以AB 为直径的圆是否经过定点?如果时,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

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1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.解:(Ⅰ)设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左.右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l :y =e x +a 与x 轴.y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设=λ.(Ⅰ)证明:λ=1-e 2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.(Ⅰ)证法一:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是(a b c 2,-). 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即(Ⅱ)解法一:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=,且4=+b a ϖϖ.(Ⅰ)求点),(y x P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M (0,3),求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且),( R ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.(1)解:设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A (11,y x ),B 22,(y x ),则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+,所以36.32222a b a c b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e (II )证明:(1)知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由(1)知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A(–1,0),过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.(1)求抛物线的方程;(2)若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程;(3)设=λAQ (λ>1),点P 关于x 轴的对称点为M ,证明:FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP ∆=,且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .(I )设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围;(II )设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M ,且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-u u u r u u u r ,0MA AP ⋅=u u ur u u u r . (Ⅰ)当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程;(Ⅱ)过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A (1,0),P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅(Ⅰ)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线12++=k kx y 与(Ⅰ)中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.10.如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y =-14x 2的准线方程为( )A .x =116B .x =1C .y =1D .y =2解析: 抛物线的标准方程为x 2=-4y , 准线方程为y =1. 答案: C2.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=1 解析: 双曲线x 24-y 212=-1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±23),故所求椭圆的焦点在y 轴上,a =4,c =23, ∴b 2=4,所求方程为x 24+y 216=1,故选D. 答案: D3.设P 是椭圆x 2169+y 2144=1上一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,若|PF 1|等于4,则|PF 2|等于( )A .22B .21C .20D .13解析: 由椭圆的定义知,|PF 1|+|PF 2|=26, 又∵|PF 1|=4,∴|PF 2|=26-4=22. 答案: A4.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22,0B.⎝⎛⎭⎫52,0C.⎝⎛⎭⎫62,0D .(3,0)解析: 将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12,∴c 2=a 2+b 2=32,∴c =62, 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62,0.答案: C 5.若抛物线x 2=2py的焦点与椭圆x 23+y 24=1的下焦点重合,则p 的值为( )A .4B .2C .-4D .-2解析: 椭圆x 23+y 24=1的下焦点为(0,-1),∴p2=-1,即p =-2. 答案: D6.若k ∈R ,则k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析: 方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的条件是(k -3)(k +3)>0,即k >3或k <-3.故k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的充分不必要条件.故选A. 答案: A7.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0,12 C.⎝⎛⎭⎫0,22 D.⎣⎡⎭⎫22,1解析: 由MF 1→·MF 2→=0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,要使点M 总在椭圆内部,只需c <b ,即c 2<b 2,c 2<a 2-c 2,2c 2<a 2, 故离心率e =c a <22.因为0<e <1,所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,22.故选C. 答案: C8.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( )A.45B.35 C .-35D .-45解析 方法一:由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2x -4,y 2=4x ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.令B (1,-2),A (4,4),又F (1,0),∴由两点间距离公式得|BF |=2,|AF |=5,|AB |=3 5. ∴cos ∠AFB =|BF |2+|AF |2-|AB |22|BF |·|AF |=4+25-452×2×5=-45.方法二:由方法一得A (4,4),B (1,-2),F (1,0), ∴F A →=(3,4),FB →=(0,-2), ∴|F A →|=32+42=5,|FB →|=2.∴cos ∠AFB =F A →·FB→|F A →|·|F B →|=3×0+4×(-2)5×2=-45.答案: D9.F 1、F 2是椭圆x 29+y 27=1的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF 1F 2=45°,则△AF 1F 2的面积为( )A .7 B.72 C.74D.752解析: |F 1F 2|=22,|AF 1|+|AF 2|=6,|AF 2|=6-|AF 1|.|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2-2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° =|AF 1|2-4|AF 1|+8(6-|AF 1|)2 =|AF 1|2-4|AF 1|+8,∴|AF 1|=72.S =12×72×22×22=72. 答案: B10.已知点M (-3,0)、N (3,0)、B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为( )A .x 2-y 28=1(x >1) B .x 2-y 28=1(x <-1) C .x 2+y 28=1(x >0) D .x 2-y 210=1(x >1) 解析: 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F , 则|PE |=|PF |,|ME |=|MB |,|NB |=|NF |. ∴|PM |-|PN |=|PE |+|ME |-(|PF |+|NF |) =|MB |-|NB |=4-2=2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (-3,0),N (3,0)为焦点的双曲线的一支,且a =1, ∴c =3,b 2=8, ∴所以双曲线方程是x 2-y 28=1(x >1). 答案: A11.(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ,易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=.故选A 12.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若双曲线的渐近线方程为y =±13x ,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是________.解析: 由双曲线的渐近线方程为y =±13x ,知b a =13,它的一个焦点是(10,0),知a 2+b 2=10, 因此a =3,b =1,故双曲线的方程是x 29-y 2=1.答案: x 29-y 2=112.若过椭圆x 216+y 24=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________.解析: 设直线方程为y -1=k (x -2),与双曲线方程联立得(1+4k 2)x 2+(-16k 2+8k )x +16k 2-16k -12=0, 设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=16k 2-8k 1+4k 2=4,解得k =-12, 所以直线方程为x +2y -4=0. 答案: x +2y -4=013.如图,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2的值是________.解析: ∵△POF 2是面积为3的正三角形, ∴12c 2sin 60°=3, ∴c 2=4, ∴P (1,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2+3b 2=1,a 2=b 2+4,解之得b 2=2 3. 答案: 2 314.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则y 21+y 22的最小值是________.解析: 显然x 1,x 2≥0,又y 21+y 22=4(x 1+x 2)≥8x 1x 2, 当且仅当x 1=x 2=4时取等号,所以最小值为32. 答案: 32三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);(2)焦点在y 轴上,与y 轴的一个交点为P (0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析: (1)因为椭圆的焦点在x 轴上, 所以可设它的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2+0b 2=10a 2+1b 2=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4b 2=1,故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为 y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0), ∵P (0,-10)在椭圆上,∴a =10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2, ∴-c -(-10)=2,故c =8,∴b 2=a 2-c 2=36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100+x 236=1.18.(12分)已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为145,求双曲线方程.解析: 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0,±4), 离心率e =45,所以双曲线的焦点为F (0,±4),离心率为2, 从而c =4,a =2,b =2 3. 所以双曲线方程为y 24-x 212=1.19.(12分)设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0,32 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆的方程.解析: 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点,由c a =32得a =2b .|PM |2=x 2+⎝⎛⎭⎫y -322=-3⎝⎛⎭⎫y +122+4b 2+3(-b ≤y ≤b ), 若b <12,则当y =-b 时,|PM |2最大,即⎝⎛⎭⎫b +322=7, 则b =7-32>12,故舍去.若b ≥12时,则当y =-12时,|PM |2最大,即4b 2+3=7,解得b 2=1.∴所求方程为x 24+y 2=1.20.(12分)已知椭圆的长轴长为2a ,焦点是F 1(-3,0)、F 2(3,0),点F 1到直线x =-a 23的距离为33,过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得|F 2B |=3|F 2A |.(1)求椭圆的方程; (2)求直线l 的方程.解析: (1)∵F 1到直线x =-a 23的距离为33,∴-3+a 23=33.∴a 2=4. 而c =3, ∴b 2=a 2-c 2=1. ∵椭圆的焦点在x 轴上, ∴所求椭圆的方程为x 24+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2). ∵|F 2B |=3|F 2A |,∴⎩⎪⎨⎪⎧3=x 2+3x 11+3,0=y 2+3y 11+3,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=43-3x 1,y 2=-3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24+y 2=1上,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214+y 21=1,(43-3x 1)24+(-3y 1)2=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1033,y 1=233(取正值).∴l 的斜率为233-01033-3= 2.∴l 的方程为y =2(x -3), 即2x -y -6=0.21.(12分)已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与抛物线相交于A 、B 两点.(1)若|AF |=4,求点A 的坐标; (2)求线段AB 的长的最小值. 解析: 由y 2=4x ,得p =2, 其准线方程为x =-1,焦点F (1,0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)由抛物线的定义可知.|AF |=x 1+p2,从而x 1=4-1=3.代入y 2=4x ,解得y 1=±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3,-23). (2)当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y =k (x -1).与抛物线方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1)y 2=4x,消去y ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0, 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点, 则k ≠0,并设其两根为x 1,x 2, 则x 1+x 2=2+4k 2.由抛物线的定义可知, |AB |=x 1+x 2+p =4+4k2>4,当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,与抛物线交于A (1,2),B (1,-2),此时|AB |=4.所以|AB |≥4,即线段AB 的长的最小值为4.22.(12分)如图,椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,x 轴被曲线C 2:y =x 2-b截得的线段长等于C 1的长半轴长.(1)求C 1,C 2的方程.(2)设C 2与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ,B ,直线MA ,MB 分别与C 1相交于点D ,E .证明:MD ⊥ME .解析: 由题意知e =c a =32,从而a =2b .又2b =a ,所以a =2,b =1.故C 1,C 2的方程分别为x 24+y 2=1,y =x 2-1.(2)证明:由题意知,直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为y =kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,y =x 2-1,得x 2-kx -1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,于是x 1+x 2=k ,x 1x 2=-1. 又点M 的坐标为(0,-1),所以k MA ·k MB =y 1+1x 1·y 2+1x 2=(kx 1+1)(kx 2+1)x 1x 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1x 1x 2=-k 2+k 2+1-1=-1.故MA ⊥MB ,即MD ⊥ME .。

圆锥曲线测试题(最新整理)

圆锥曲线测试题(最新整理)

(1)求动点 M 的轨迹方程;
(2)过点 F 斜率 2 的直线 l 交点 M 的轨迹于 A, B 两点,求 AB 的长.
18(12 分)已知椭圆 E : x 2 y 2 1(a b 0) 的离心率 e 3 , 且 E 过点 (0,1) .
a2 b2
2
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)定点 A 的坐标为 (0,2) ,M 是椭圆 E 上一点,求 AM 的最大值.
A. 2
B . 15
C .4
D . 17
11. 已 知 F 是 抛 物 线 C : y 2 4x 的 焦 点 , 过 F 的 直 线 l 交 抛 物 线 于 A,B 两 点 ,若
AF 3 BF ,则直线 l 的方程为( )
A.y x 1或y x 1
B.y 3 (x 1)或y 3 (x 1)
n(1 2n 1) 2(1 4n ) 2 (4n 1) n2
2
14 3
19 证明: ABC 中, DAB 600 , AB 2AD






BD AD2 AB 2 2AD AB cos DAB 3AD
∴ AB 2 AD 2 BD 2
∴ ADB 900 即: BD AD
∴ BC PD,且PD BD D
∴ BC 平面PBD ∴ BC PB 在 RtPBC中,BC AD, PB PA2 BD 2 2AD
PC BC 2 PB 2 5AD
cos PCB BC AD 5 . PC 5AD 5
所以:异面直线 AD与PC 所成的角的余弦值为
5 .
5
4
2
x2 15 已知双曲线 C :
a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的离心率为 2,焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。

圆锥曲线练习题精题(附答案)

圆锥曲线练习题精题(附答案)

圆锥曲线一、填空题1、对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆;②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆;③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <25 其中所有正确命题的序号为_____________.2、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满足021=⋅PF PF ,2tan 21=∠F PF,则该椭圆的离心率为3.若0>m ,点⎪⎭⎫⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 .4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是(4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 .6. 在ABC 中,7,cos 18AB BC B ==-.若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .7.已知ABC ∆的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率35=e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________;10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . 11、抛物线)0(12<=m x my 的焦点坐标是 .12.已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端点,则△F 1BF 2的面积的最大值是13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为60°,则||OA 为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7cos 18B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .二.解答题15、已知动点P 与平面上两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率的积为定值12-. (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C.(Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=324时,求直线l 的方程.16、已知三点P (5,2)、1F (-6,0)、2F (6,0)。

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线测试题姓名:__________班级:__________考号:__________注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择1. 如果方程121||22=---m y m x 表示双曲线,那么实数m 的取值范围是( )A. 2>mB. 1<m 或2>mC. 21<<-mD. 11<<-m 或2>m 【答案】D 【解析】2. 若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为( )A .y=±2xB .y=C .12y x =±D .y x = 【答案】B 【解析】3. 如图,1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点,A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点,若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是( )A . BC .32D【答案】D 【解析】4. 已知直线l 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点,且l 经过抛物线的焦点F ,A 点的坐标为(8,8),则线段AB 的中点到准线的距离是( ) A .254 B .252C .174D .25【答案】A 【解析】5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,若在双曲线的右支上存在一点P ,使得123PF PF =,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .)+∞B .[)2,+∞C .(D . (]1,2【答案】D 【解析】6. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=(0a b >>)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( ) A .13 B .12C .【答案】D 【解析】7. 已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】 由已知可得抛物线的焦点,双曲线的右焦点为,两个点连线的直线方程为。

圆锥曲线考试试卷(有详解)

圆锥曲线考试试卷(有详解)


三、解答题(共 6 小题;共 78 分)
17. 已知曲线 ������: (3 − ������)������2 + 2������������2 = ������(3 − ������)(������ ∈ ������) 是焦点在 ������ 轴上的椭圆,求实数 ������ 的取值 范围.
18. 若抛物线 ������2 = −2������������(������ > 0) 上一点 ������ 的横坐标为 −9,它到焦点的距离为 10,求抛物线的方
圆锥曲线考试试卷
一、选择题(共 12 小题;共 60 分)
1. 抛物线 ������ = − 1 ������2 的准线方程是 ( )
8
A.
������
=
1 32
B. ������ = 2
C.
�����
=
1 32
D. ������ = −2
2. 若抛物线 ������2 = 2������������ 的焦点与椭圆 ������2 + ������2 = 1 的右焦点重合,则 ������ 的值为 ( )
21.
已知双曲线与椭圆
������2 9
+ ������2
6
=
1
有相同的焦点
������1,������2,且两曲线的一个公共点
������
满足:△
������������1������2
是直角三角形且 ∠������1������������2 = 60∘,求双曲线的标准方程.
22. 如图,已知双曲线 ������ 的两条渐近线过坐标原点,一个顶点 ������(0, √2),且渐近线与以点 ������(√2, 0)

圆锥曲线经典好题目(带答案)

圆锥曲线经典好题目(带答案)

圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ,B 的距离的差为定值(小于两个定点A ,B 的距离),则动点的轨迹为________.2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为________.3. 已知动圆过定点(0,-1),且与定直线y =1相切,则动圆圆心的轨迹方程为________.4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.5. 已知P 为抛物线y 2=4x 的焦点,过P 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线x =-1上.试猜测:如果P 为椭圆x 225+y 29=1的左焦点,过P 的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线________上.6. 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 的中点到准线的距离为________.8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点,若F 1A =2F 1B ,则椭圆的离心率为________.二、解答题9. 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32,6.求抛物线与双曲线的方程.10. 如图,已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的直线x -my +m =0与抛物线交于A 、B 两点,且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22,求m 6+m 4的值.O lxyA B F ·M第17题 11. 如图,已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切.过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.(Ⅰ)求⊙M 和抛物线C 的方程;(Ⅱ)若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值; (Ⅲ)过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴为AB ,过点B 的直线l 与x 轴垂直.直线(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e=32. (1)求椭圆的标准方程;(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH ⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ ,连结AQ 延长交直线l 于点M ,N 为MB 的中点.试求OQ →·NQ →的值,并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.参考答案1. 双曲线的一支 解析:由双曲线的定义可知是双曲线的一支,故填双曲线的一支.2. 255 解析:由题意可知FF 2=38F 1F 2,即c -b 2=38⨯2c ,化简得c =2b ,所以c 2=4(a 2-c 2),此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析:圆心到定点(0,-1)的距离与到定直线y =1的距离相等,都等于圆的半径,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线,其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析:由渐近线方程可知ba =3,① 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c =4,② 又c 2=a 2+b 2,③联立①②③,解得a 2=4,b 2=12,所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析:x =-1是抛物线的准线,应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线,其方程为x =-254.6. 2 解析:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2,联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0, 由AB =x 1+x 2+p =8,得4p =8⇒p =2. 7. 83解析:如图,过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1,过B 作BC ⊥AA 1于C ,设BF =m ,由抛物线的定义知AA 1=3m ,BB 1=m ,∴△ABC 中,AC =2m ,AB =4m ,k AB =3,直线AB 方程为y =3(x -1),与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0,所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析:如图,过B 作AC 的垂线,垂足为E ,由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点,cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ,故e =23.9. 由题意知,抛物线焦点在x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y 2=2px (p >0),将交点⎝⎛⎭⎫32,6代入得p =2,故抛物线方程为y 2=4x ,焦点坐标为(1,0),这也是双曲线的一个焦点,则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32,6也在双曲线上,因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1,解得a 2=14,b 2=34,因此,双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可知,p2=-m ,将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0,由韦达定理得y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pm ,∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2,又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22,两边平方即可得m 6+m 4=2. 11.解:(Ⅰ)因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=(Ⅱ)设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2(Ⅲ)以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0,2x -y +1=0,得直线所经过的定点(0,1),所以b =1.由离心率e =32得a =2,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。

圆锥曲线23道经典题(含答案)

圆锥曲线23道经典题(含答案)

= 1(a > b > 0)左、右焦点为 F1、 F2离心率为
3 3

F2
的直线
l交C于A、
B两点,若 Δ AF1B的周长为 4 3则C的方程为( )
A.
x2 3
+
y2 2
=1
B.
x2 3
+ y2
=1
C.
x2 12
+
y2 8
=1
D.
x2 12
+
y2 4
=1
3(2014重庆8,5分)

F1
F2 分别为双曲线
11
12
13
14 抛物线的标准方程为 x2 = -12y ,由此可以判断焦点在 y 轴上且开口向下且 p=6, 所以其准线方程为 y=3 15
16
17 18
19
20 21
22
23
24
− y0y
=
1与直线AF相交于点M,与直线
x
=
3 2
相交于点N。证明:当点P在C上移动时,
∣N
F
∣ 恒为定值,并求出此定值。
19(2014陕西,20,13分)
2
如图,曲线C
由上半椭圆
C1
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a > b > 0, y ⩾ 0)和部分抛物线
C2 : y = −x2 + 1(y ⩽ 0)连接而成, C1与 C2的公共点为A,B,其中 C1的离心率为
1)作斜率为

1 2
的直线与椭圆
C
:
x2 a2
+பைடு நூலகம்

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时,
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20. x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ,焦距 2c 10, c2 25
5 /9

0 时,
x2
y2
1,
4
25,
20 ;
4

0
时,
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21. (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22. x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23.1
焦点在 y 轴上,则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28. ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ,得 m 3, c 7 ,且焦点在 x 轴上 2
29. b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
,则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27. , 2
t2 设 Q(
,t) ,由
PQ
a
t2 得(

圆锥曲线测试卷(含解析)

圆锥曲线测试卷(含解析)

(1)求椭圆 ������ 的焦距;
(2)如果 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗⃗���⃗2⃗ = 2���⃗⃗���⃗2⃗⃗⃗���⃗⃗���,求椭圆 ������ 的方程.
20.
设椭圆
������:
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)
的右焦点为
2019 年 12 月 5 日数学试卷
一、选择题【1-8 单选】【9-12 多选】
1. 设 ���⃗���,���⃗⃗��� 是非零向量,“ ���⃗��� ⋅ ���⃗⃗��� = ∣���⃗���∣∣∣���⃗⃗���∣∣ ”是“ ���⃗���∥���⃗⃗��� ”的 ( )
A. 充分而不必要条件
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.
曲线
������1:
������2 ������
+
������2 ������
=
1(������
>
������
>
0),曲线
������2:
������2 ������

������2 ������
=
1(������
>

三、解答题
17. 平面直角坐标系 ������������������ 中,点 ������(−2,0),������(2,0),直线 ������������,������������ 相交于点 ������,且它 们的斜率之积是 − 3.

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试班级 姓名 成绩一、选择题1.方程x =( )(A )双曲线 (B )椭圆(C )双曲线的一部分 (D )椭圆的一部分2.椭圆14222=+ay x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点,则a 的值是 ( ) (A )12(B )1或–2(C )1或12(D )13.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 ( )(A )2 (B )3 (C )2 (D )234、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切,则p 为 ( )A 、1B 、2C 、3D 、45、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( ) A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在6、一个椭圆中心在原点,焦点12F F 、在x 轴上,P (21122||||||PF F F PF 、、成等差数列,则椭圆方程为()A 、22186x y +=B 、221166x y += C 、22184x y += D 、221164x y +=7.设0<k <a 2, 那么双曲线x 2a 2–k– y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2b 2 = 1 有 ( )(A )相同的虚轴 (B )相同的实轴 (C )相同的渐近线 (D )相同的焦点 8.若抛物线y 2= 2p x (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于( )(A )2或18(B )4或18(C )2或16(D )4或169、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且120PF PF ⋅=,则12||||PF PF ⋅的值等于( )A 、2B 、C 、4D 、810.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为( ) A .()0,0 B .⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C .()2,1 D .()2,211、已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB =,则离心率为 ( ) A 、23 B 、22C 、31D 、21 12.抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称,且2121-=⋅x x ,则m 等于( )A .23B .2C .25D .3二、填空题:13.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,则线段AB 的中点坐标是______。

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题21.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( ) A .25 B .5 C .215 D .10 2.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为( )。

A .(7,B .(14,C .(7,±D .(7,-±3.以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程( ) A .1481622=-y x B .127922=-y x C .1481622=-y x 或127922=-y x D .以上都不对 4.21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠02145=F AF ,则Δ12AF F 的面积( ) A .7 B .47 C .27 D .257 5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是( )A .23x y =或23x y -=B .23x y =C .x y 92-=或23x y =D .23x y -=或x y 92=6.若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A .1(,44± B .1(,)84± C .1(44 D .1(,84 7.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直,则△21F PF 的面积为( ) A .20 B .22 C .28 D .248.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为( )A .()0,0B .⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C .()2,1 D .()2,2 9.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是( )A .1222=-y xB .1422=-y xC .13322=-y xD .1222=-y x10.若椭圆221x my +=_______________. 11.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为______________。

圆锥曲线单元测试卷

圆锥曲线单元测试卷

圆锥曲线单元测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1. 椭圆的标准方程是:A. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) (a > b)B. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) (a > b)C. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) (a < b)D. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) (a < b)2. 双曲线的离心率 e 的定义是:A. \( e = \frac{c}{a} \)B. \( e = \frac{a}{c} \)C. \( e = \frac{b}{a} \)D. \( e = \frac{c}{b} \)3. 抛物线的焦点到准线的距离是:A. 焦距B. 准线长度C. 顶点到焦点的距离D. 顶点到准线的距离4. 以下哪个方程不是圆锥曲线的方程?A. \( x^2 + y^2 = r^2 \)B. \( \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 \)C. \( x^2 - y^2 = 1 \)D. \( x^2 + y^3 = 1 \)5. 椭圆的离心率 e 的取值范围是:A. \( 0 < e < 1 \)B. \( -1 < e < 0 \)C. \( e > 1 \)D. \( e = 0 \)6. 抛物线 \( y^2 = 4ax \) 的准线方程是:A. \( x = -a \)B. \( x = a \)C. \( x = 0 \)D. \( y = -a \)7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的渐近线方程是:A. \( y = \pm a \)B. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)C. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)D. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)8. 椭圆的参数方程可以表示为:A. \( \begin{cases} x = a \sin t \\ y = b \cos t\end{cases} \)B. \( \begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t\end{cases} \)C. \( \begin{cases} x = a \tan t \\ y = b \cot t\end{cases} \)D. \( \begin{cases} x = a \sec t \\ y = b \csc t\end{cases} \)9. 以下哪个点不在椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \) 上?A. \( (a, 0) \)B. \( (0, b) \)C. \( (-a, 0) \)D. \( (0, -b) \)10. 抛物线 \( x^2 = 4py \) 的焦点坐标是:A. \( (0, p) \)B. \( (0, -p) \)C. \( (p, 0) \)D. \( (-p, 0) \)二、填空题(每空2分,共20分)11. 椭圆的长轴长度是 \( 2a \),其中 \( a \) 是椭圆的________。

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x y o x y o x y o x y o 圆锥曲线测试题一、选择题(每题5分,共10小题)1.下列命题是真命题的是 ( D ) A .到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B .到定直线c a x 2=和定点F(c ,0)的距离之比为ca的点的轨迹是椭圆C .到定点F(-c ,0)和定直线c a x 2-=的距离之比为ac(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D .到定直线c a x 2=和定点F(c ,0)的距离之比为ca(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2.(理)设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ,,(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ( B )A .32 B .2 C .52D .3 (文)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ,P 为椭圆上的一点,已知21PF PF ⊥,则△21PF F 的面积为( )(A )9 (B )12 (C )10 (D )83.若方程2ky x 22=+表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为 ( )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)4.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ( D )A .3B .11C .22D .105.(理)已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程mx -y+n=0与mn my nx =+22所表示的曲线可能是 ( C )A B C D(文)过点M (-2,0)的直线m 与椭圆1222=+y x 交于1p ,2p ,线段1p 2p 的中点为P ,设直线m 的斜率为1k (01≠k ),直线OP 的斜率为2k ,则1k 2k 的值为 (D )A .2B .-2C .21D .-216.(理)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是(A )A.2B.3C.115 D.3716(文)点P (x ,y )在椭圆4)2(422=+-y x 上,则x y的最大值为 ( D ) A.1 B.-1 C. 332- D. 3327、已知椭圆1422=+y x 和圆()2a x -12=+y 总有公共点,则a 的取值范围是(C )[][][]..4,4.3,3.2,2AR B C D ---8.(理)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是(A )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21k B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈,2121, kC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22kD.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈,2222, k(文)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足1MF ·2MF =0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( B ) A .(0,1)B .(0,21] C .(0,22) D .[22,1) 9、如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一 点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①1a +1c =2a +2c ; ②1a -1c =2a -2c ; ③1c 2a >1a 2c ; ④2211a c a c < 其中正确式子的序号是 ( B )A .①③B .②③C .①④D.②③④10.设u ,v ∈R ,且|u |≤2,v >0,则(u -v )2+(vu 922--)2的最小值为( C )A.4B.2C.8D.22解析:考虑式子的几何意义,转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值.答案:C二、填空题(每题5分,共5小题) 11、(理)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60 o,则双曲线C 的离心率为62(文)若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 4 w12、A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P ,使∠OPA =2π,则椭圆离心率的范围是____22<e <1_______.13、(理)一辆卡车高3米,宽1.6米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线的通径长,若拱口宽为a 米,则能使卡车通过的a 的最小整数值是___13______.(文)已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B , 两点,若2212F A F B +=,则AB = 8 .14、(理)以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4),A P 是双曲线右支上的动点,则PF PA + 的最小值为 9(文)已知P 点在圆1)4(22=-+y x 上移动,Q 点在椭圆1922=+y x 上移动,的最大值是 .15、(理)已知抛物线12-=x y 上一定点B (-1,0)和两个动点P 、Q ,当P 在抛物线上运动时,BP ⊥PQ ,则Q 点的横坐标的取值范围是__-2<k <-1_______.(文)已知()y x p ,是椭圆12514422=+y x 上的点,则y x +的取值范_____]13,13[-__________ 三、解答题(共6小题) 16、(12')(理)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OP OM=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ,,由已知得1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨+=⎩解得, 所以椭圆C 的标准方程为221167x y += (Ⅱ)设(,)M x y ,其中[]4,4x ∈-。

由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+。

整理得2222(169)16112x y λλ-+=,其中[]4,4x ∈-。

(i )34λ=时。

化简得29112y = 所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段。

(ii )34λ≠时,方程变形为2222111211216916x y λλ+=-,其中[]4,4x ∈-当304λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。

当314λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分;当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆;(文)已知椭圆1162522=+y x 内有一点A (2,1),F 为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求的最大值与最小值。

17、(12')已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33,过右焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为22(I )求a ,b 的值;(II )C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由。

解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。

解:(Ⅰ)设(),0,c F 当l 的斜率为1时,其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为2200c c=--故222=c , 1=c 由 33==a c e 得 3=a ,22c ab -==2(Ⅱ)C 上存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立。

由 (Ⅰ)知C 的方程为22x +23y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时,设不垂直当C OB OA OP P +=使上的点成立的充要条件是)点的坐标为(2121,y y x x P ++, 且6)(3)(2221221=+++y y x x整理得 6643232212122222121=+++++y y x x y x y x632,63222222121=+=+y x y x C B A 上,即在、又故 03322121=++y y x x ①将 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y0636)32(2222=-+-+k x k x k于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263kk +-, 2221221324)2)(1(k k x x k y y +-=--=代入①解得,22=k ,此时2321=+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -, 即)2,23(kP - 因此, 当2-=k 时,)22,23(P , 022=-+y x l 的方程为; 当2=k 时,)22,23(-P , 022=--y x l 的方程为。

(ⅱ)当l 垂直于x 轴时,由)0,2(=+OB OA 知,C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。

综上,C 上存在点)22,23(±P 使OB OA OP +=成立,此时l 的方程为 022=-±y x .18、(12')(理) 已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

(I )求r 得取值范围;(II )当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC 、BD 的交点P 坐标解:(Ⅰ)将抛物线2:E y x =代入圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程,消去2y ,整理得227160x x r -+-=.............(1)抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根∴⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+>--016070)16(449221212r x x x x r 即⎪⎩⎪⎨⎧<<->-<442525r r r 或。

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