切线长定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。
这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。
下面我将详细解释切线长定理及其应用。
首先，我们来证明切线长定理。
考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。
我们需要证明切线长AP等于切线长BP。
假设圆C的半径为r，圆心为O。
连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。
根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。
因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。
另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。
因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。
根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。
又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。
考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。
又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。
将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。
注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。
将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。
现在，考虑三角形OAB。
我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。
切线长定理
沪科版《数学》九年级（下）小结升切线长定理这节课你学到了什么知识？ 在解题的过程中你有什么解题的心得？ 在和同学交流的过程中，你有什么体会？
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
教材41页9、10两题
分层作业
必做题
选做题
如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、
B、C，CQ、BP的延长线交于点M ，当点A 在弧BC上运动时，△MQP的周长会发生变 化吗？请说明理由.
①QO与OP的位置关系，并证明；
②QO与AB的位置关系，并证明.
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
应用延伸
切线长定理
思考题
如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、B、C，
当点A在弧BC上运动时，∠QOP的度数会发生变化 吗？请说明理由.
CQ
A O
几何画板文档
B
P
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
安徽省2019年度“一师一优课、一课一名师”大赛
沪科版九年级下册24.4.4
马鞍山市当涂县姑溪初中 袁正千
人教版《数学》九年级（上）
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
情境引入
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
自主探索
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角.
∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理—知识讲解(提高)
切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长．【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB，∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE，∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线；（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=，∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=图（2）∴∴OA=∴x=AD= 23.（2016•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2【思路点拨】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD 为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x ﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．【答案与解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．【总结升华】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．。
切线长定理
O B
C
P
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
O、A、P、B四点在同一个圆上吗？
A O B P
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
C点是△APB的什么心？ A H
已知：两圆为同心圆，外圆上一点P 作内圆的两条切线PA、PB交外圆于C，
过A、B的直线交外圆于D、E。
求证：（1）EA=BD (2)
P E A H O
B
PB PD BD DC
D
C
已知：P为O外一点，PA、PB切 O于A、B，OP交AB于M,过M作CD。
求证： MDO=MPC
P
A
D
M
O
A O B P
从圆外一点可以作___条直线与圆相切 你会用尺规作图作出这条切线吗？
给 起 个 名 字 吧 以 后 说 起 来 方 便
PA
从圆外一点可以作___条直线与圆相切 你会用尺规作图作出这条切线吗？
A
O
P
切线长 PA、PB切O于A、B PA=PB APO=BOP
A O B P
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切 线,他们的切线长相等,圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角. PA、PB切O于A、B PA=PB APO=BOP
A
PD垂直平分AB
PБайду номын сангаас
D
H
O B C
返回
已知:PA、PB切O于A、B 能推出？……
A
AC=BC;AD=BD.
C
D
H
O B
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理及其应用
知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
切线长定理
∴
∠BOC=180
°－
1（∠OBC＋
B
∠OCB）
C
2
= 180 －60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC=
130 度。
Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角, 三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A
D
O
●┗
F
┓
B
EC
r abc. 2
切线的判定定理
经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之
间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
已知:如图,P是⊙O外一 点,PA,PB都是⊙O的切 线,A,B是切点.
求证：①PA=PB
②PO平分∠APB
A O
4.直角三角形内切圆半径的公式.
作业
•课本101页 ，习题24、2
• 第5题12题15题
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
例1、如图：从⊙O外的定点P 作⊙O的两条切线，分别切⊙O 于点A和B，
在弧AB上任取一点C，过P 点C作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。
P B
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角。
切线长定理的基本图形的研究
切线长定理
O P
C
B
P与AOB互补 P BOC
得想 到一 哪想 些： 互根 补据 或图 相形 等你 的还 角可 ？以
练习二
1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、
A P
B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC=25°,则∠P 的度数是____
C
O
B A O
2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、 B,∠P =70°,则∠C= ____
M
y
┑ F C N
x y y x 122
DC 2 FC 2 DF 2
Yx
xy 36
36 y x
解:过点D做DF⊥BC于F ∵AM、BN切⊙O于A、B，且AB为直径 ∴AB⊥AM，AB⊥BN ∴AM∥BN，DF∥AB ∴ABFD是矩形 ∴DF=AB=12，BF=AD=x ∴FC=y-x 又∵ DE切⊙O于E ∴DE=AD=x，CE=CB=y ∴DC=x+y 在直角△DFC中，
2
A x
D x E
P B
2.如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是 切点，A、D是⊙O上两点，• 如果∠E=46°， ∠DCF=32°，求∠A的度数． B A
O E C D F
综合应用
┍ O ┑ B y
2
如图：⊙O的直径AB=12，AM和BN是 它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD=x，BC=y，求y 与x的函数关系式。
解：∵ △ABC的三边分别与⊙O切于点D、E、F
∴ AE=AF CE=CD BD=BF 设AE=x (cm), 则AF=x (cm) CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x 由 BD+CD=BC可得
24.2.2 切线长定理
例题：如图：△ABC的内切圆⊙O与 BC，AC，AB，分别相切于点E、F、 D，且AB=14㎝，BC=19㎝，CA=9 ㎝，求AF，BD，CE，的长。
B E D O C
F
A
反思：在解决有关 圆的切线长的问题 时，往往需要我们 构建基本图形。
A
。OBiblioteka P B（1）分别连结圆心和切点（直角）
（2）连结两切点（等腰三角形）
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
⌒
P
切线与切线长的区别是什么？ 切线是一条直线,不可度量 切线长是一条线段,可以度量
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可 能大呢？
A
B C
. 与三角形各边都相切的圆 叫做三 角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形 的 内心 ,它是三角形 三条角平分线 的 交点。
叫做三 角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形 的 外心 ,它是三角形 三边垂直平分线 的 交点。 经过三角形的三个顶点的圆
活动1
O
A
P
． 条件 结论 B PA =PB . PA是⊙O的切线 相等的线段： ∠APO = ∠BPO PB是⊙O的切线. 相等的角： . 切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连 线平分两条切线的夹角.
A
1
O M
2
B 证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，1=∠2
切线长定理
A
O C
B
6． △ABC的内切圆半径为 r ， △ABC的周长为 l ，求△ABC的面积． （提 示：设内心为O，连接OA、OB、OC．） 解：连接OA、OB、OC，则
1 1 S= AB × r + AC × r + 1 BC × rA 2 2 2
= =
1 2 1 2
(AB +AC+BC) × r lr
三角形内切圆的圆心．
（即三角形三条角平分线的交点）
随堂练习
1． 已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距 离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________; 相交 直线a与⊙O的公共点个数是_______ 两个 ．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距 离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ______， 直线 a与⊙O的公共点个数是_______．一个 相切
3． 已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的 相离 距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _______; 直线a与⊙O的公共点个数是____ 零 ．
4． 直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的 相切或相交． 半径，则直线m与⊙O的位置关系是____________
5． △ABC中，∠ ABC=50°∠ACB= 75 °，点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数． 解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25° ∠OCB=1/2∠ACB=37.5° ∴∠BOC=180°－25°－37.5° =117角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆． 三角形的内心 三角形内切圆的圆心． （即三角形三条角平分线的交点） O B A
C
定理证明
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的 圆心． A D F O B E C
7 切线长定理
2.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB= 60°,PA=8,那么弦AB的长是( B )
(A)4
(B)8
(C)4 3 (D)8 3
3.(2019宜兴市二模)如图,PA,PB切☉O于点A,B,PA=10,CD切☉O于点E,交
PA,PB于C,D两点,则△PCD的周长是C (
【导学探究】 1.由切线长定理可得AD=AF,BD= BE
,CF= CE .
(1)证明:法一 因为☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F, 所以AD=AF,BD=BE,CE=CF. 因为AB=AC, 所以AB-AD=AC-AF,即BD=CF, 所以BE=CE.
法二 连接 OB,OC,OE,
因为☉O 是△ABC 的内切圆, 所以 OB,OC 分别平分 ∠ABC,∠ACB,
,△PAB是 等边 三角形.
33
2.作OC⊥AB于点C,则∠O
解:过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,所以 AC= 1 AB,因为 PA,PB 是☉O 的切线,所以 2
PA=PB,OA⊥PA,因为∠P=60°,所以△PAB 是等边三角形,所以∠PAB=60°, 所以∠OAC=90°-∠PAB=30°, 在 Rt△AOC 中,OA=3,
OP 6 2 两条切线的夹角为 60°,切线长为 3 3 cm.
点击进入 训练案
)
(A)10 (B)18 (C)20 (D)22
4.如图,PA,PB分别切☉O于A,B,若∠APB=50°,则∠AOP= 65° .
5.如图所示,已知☉O的半径为3 cm,点P到圆心O的距离为6 cm,经过点P的两 条切线与☉O切于点E,F,求这两条切线的夹角及切线长.
解:如图所示,连接 OE,则 OE⊥PE,由切线长定理可知 PE=PF,易知∠EPF=2∠1, 在 Rt△POE 中,OP=6 cm,OE=3 cm,由勾股定理,得 PE= OP2 OE 2 = 62 32 = 3 3 (cm),sin∠1= OE = 3 = 1 ,所以∠1=30°,所以∠EPF=2∠1=60°,所以这
切线长定理
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长. E A P
O
C B
D
2、如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切 ⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O
·
B
·
切线长定理 从圆 外一点可以引圆的 两条切线，它们的 P 切线长相等且这一 点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO 则 PA PB, APO BPO
例1 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、 B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P 到⊙O的切线长为8CM，求Δ PDE的周长。
A
O P
M B
C
知识回顾 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点 间的线段的长称为切线长。
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们 的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这 两条切线的夹角并且垂直两切点的连线。
思考题 以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一 个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交 AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长 是否会因K点的变动而变化？为什么？ A D E
A P
O C D
（1）图中互相垂直的关系 3 有 对，分别是 OA PA, OB PB, OP AB B
（2）图中的直角三角形有 6 等腰三角形有 2 个，分别是
个，分别是
（3）图中全等三角形
3
对，分别是
《切线长定理》
与其他几何定理的区别
切线长定理是一个关于圆的定理，而其他几 何定理可能涉及不同的图形和结构。
05
切线长定理的现实意义和 价值
在教育中的意义和价值
要点一
强化几何概念的理解
切线长定理是几何学中的基本定理之一，对于学生理解 几何概念，尤其是与圆和切线相关的概念有重要帮助。
要点二
培养逻辑推理能力
通过证明和应用切线长定理，可以培养学生的逻辑推理 和证明能力，提高其思维严谨性。
切线长定理在其他领域的应用
物理学
在物理学中，切线长定理可以用于解决与 速度、加速度和力相关的物理问题。
工程学
在工程学中，切线长定理可以用于解决与 图形、结构和力学相关的设计问题。
与其他数学定理的关系和区别
与圆的性质定理的关系
切线长定理是圆的性质定理的一个推论，它 可以用于证明其他与圆有关的定理。
评价
切线长定理是几何学中的基础定理之一，它揭示了圆的 切线与半径之间的关系，为解决许多几何问题提供了重 要的工具。
未来研究的方向和展望
研究方向
在未来的研究中，可以进一步探讨切线长定理的应用，例如在三角函数、极坐标 系、光学、工程等领域的应用。同时，可以研究切线长定理与其他几何定理之间 的联系和区别。
展望
随着科学技术的发展，几何学的研究和应用将会更加深入和广泛。未来可以期待 在应用领域取得更多的突破，例如在计算机图形学、机械设计、建筑设计等领域 的应用。同时，对于切线长定理本身的研究也可以进一步深化和完善。
感谢您的观看
THANKS
在工程学中的应用
设计中的黄金分割原理 建筑学中的结构分析和优化
机械工程中的传动和润滑系统设计
04
切线长定理的推广和扩展
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三角形的内心是三条角平分线的交点。
A
内心到三角形三条边的距离相等。
D O
E
B
F
C
作三角形的内切圆：
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可 能大呢？
思考
O
D
∟
例3. 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切 于点D、E、F，且AB=9cm, BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长。 解：设AE=x cm, 则AF=x cm
例1. 已知⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的 距离为6厘米，过点P作⊙O的两条切线， 求这两条切线的夹角及切线长。
E 3 O F 6 1 2 P
练习：P101习题第3题
切线长定理的拓展 A
D
O
H
C
1 2
P
B
∵PA、PB都是⊙O的两条切线 ∴PA=PB, ∠1=∠2 ∴OP⊥AB
你想 还一 可想 以： 得根 到据 什图 么形 结， 论 ？
已知⊙o及⊙o外一点P，PA与⊙o相切于A点， 连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，存 在一点与A点重合吗？
A
O
P
你能发现OA与PA， 根据圆的轴对称性，存在与 A点重合 OB与PB之间的关系吗？ PA、PB所在的直线分别是⊙ o的两条切线。
的一点B，且落在圆上，连接OB，则 它也是⊙o的一条半径。
B
A
如图，P是⊙O 外一点，PA、 PB是⊙O的两 条切线，我们 把线段PA、PB 叫做点P到⊙O 的切线长。
O
P
B
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
O
P
B 切线和切线长是两个不同的概念： 切线是直线，不能度量； 切线长是线段，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量。
⌒⌒
∟
例2.
如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B， Q为⊙O上一点，过点Q作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点E、F，已知PA=12cm，∠P=70 . 求：(1)△PEF的周长；(2) ∠EOF的度数。
练习：P103习题第12题
A E O Q
∟
P
F
B
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
A
1 2
B
证明：连接OA、 OB
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP
根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？ ∠1与∠2又有什么关系？又∵ OP=OP ， OA=OB
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
关键是作辅助线
∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
O
P
A
1 2
O
P
B 切线长定理： 几何语言叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 ∵PA、PB都是⊙O的两条切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 ∴PA=PB, ∠1=∠2 线的夹角。
解：∵点O是△ABC的内心 1 ∴∠1= ∠ABC=25° 2 1 ∠2= ∠ACB=37.5° 2 ∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5° B =117.5° 1
O点O是△ABC的内心， ∠A=40°， 求∠ BOC的度数。
练 习 2
(P98第2题)
已知△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,
求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）
解：连接OA、OB、OC，则
S= = =
1 2 1 2 1 2
A
1 2 BC
AB × r +
1 2 AC
×r+
×r
(AB +AC+BC) × r lr B
r
O
∟
r r
r
C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我们解决 切线长定理相关问题时常用 的辅助线。
∴CD=CE=AC﹣AE=13﹣x A
x
F
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x 由 CD+BD=BC 可得: （13﹣x）+（9﹣x）=14 解得: X=4
∴AF= 13﹣x
x
E O
9﹣x
B 9﹣x D 13﹣x
4 cm
C
BD=5 cm CE=9 cm
练 习 1
(P98第1题)
如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °， 点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A