第三章：力矩、力偶与平面力偶系

力矩、力偶与平面力偶系
一、力对点之矩
a. 平面力系的力对同平面中的点之矩 设力作用在图示平面 内，且 O点也在此平 面内，则力 F 对 O 点的矩为： M O ( F ) = ±F h 或： M O ( F ) =±2S△OAB O ——称为矩心 h —— 称为力臂 单位：Nm 或 kNm
n
B F A
矩的矢量记作 MO (F) ，且 MO (F) = r×F —— 定位矢量 显然 | M O (F) | = F h = 2 △OAB 见后续
力矩、力偶与平面力偶系
平面问题中力对点之矩是一个代数量，其大小 等于力与力臂的乘积，正负号规定如下：力使 物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。
二、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分 力对该点之矩的代数和。
如何证明
力矩、力偶与平面力偶系
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力
对该点之矩的代数和。
证：
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、…、 Fn的合力，即： FR = F1 + F2 +…+ Fn 可得： MO (FR) = r× FR = r×( F1 + F2 +…+ Fn ) = r× F1 + r× F2 + … + r× Fn = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (F n ) n 也就是：
力矩、力偶与平面力偶系
FA
A

解：
M1
先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与力
O
偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶，故 FA= –FO。
FO
C
M
解得
0,
M 1 FAr sin 0
M1 r sin 30

FA
M2
A
再取摇杆BC为研究对象。
M 0,
其中

M 2 FA
r sin
0
FA
FA FA
M 2 4 M1 8 kN m
M1 r sin 30

FB
B
解得
FO FB FA
8 kN
力矩、力偶与平面力偶系
作业——习题： 3-3 , 3-14, 3-15 。
课外练习——习题： 3-2 , 3-4, 3-7 , 3-11， 3-13, 3-16。
α
M1 M2
D
能沿A，B的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能
与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只

O FBA A FAB
能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
M 1 FAB rcos 0
M1
FO
O
M2
力矩、力偶与平面力偶系
例3.2:三角形分布载荷作用在水平 梁AB上，最大载荷集度为q，梁 长l。试求该力系的合力。 解： 求每点集度的大小
q x qx / l
求合力的大小
FR

l 0
qx d x

l
l
q
0
x l
dx
1 2
ql
求分布力对点A的力矩


l 0
qx x d x q
力矩、力偶与平面力偶系
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力矩、力偶与平面力偶系
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平面力偶系的合成与平衡
一. 平面力偶系的合成 任意多个力偶可以合成为一个合 力偶，这个合力偶矩等于各分力 M1 偶矩的代量和。 M = M1+M2+ … +Mn = ∑M
M2
Mn
二. 平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充要条件为：
力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 平面力偶系的平衡方程：
M
0
力矩、力偶与平面力偶系
B d F A
F’ C
将平面力偶系的力偶记作 M (F, F’)，简称 M 。力偶 矩为代数量 即： M = ±F d = ±2△ ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。
力矩、力偶与平面力偶系
三 . 平面力偶的性质
1.在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效
力矩、力偶与平面力偶系
2. 力偶不能与一个力相平衡。
3. 力偶没有合力。
4. 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩,而 与矩心地位置无关。
力矩、力偶与平面力偶系
=
=
=
=
力矩、力偶与平面力偶系
5.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
力矩、力偶与平面力偶系
§3.3
r
O h
力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。
力矩、力偶与平面力偶系
b.空间力系中的力对点的矩
n B z F A rr O h x y
空间力系中力对点的矩 需用矢量表示：
1）矢量的模等于力矩的 大小；
MO(F)
2）矢量的方位与力和矩 心所决定的平面 的法向 相同，矩心为矢起端； 3）矢量的指向确定了转 向，按右手螺旋法则。
例3.3:如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和
BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位
置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试 求M1和M2间的关系。 B A α M1
O
M2
D
力矩、力偶与平面力偶系
B 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 AB BA A
M O (F R ) ຫໍສະໝຸດ M O (F i )
i 1
力矩、力偶与平面力偶系
力矩的解析表达式:
y
Fy
A y
O
B
F
Fx
x
x
三、力矩的计算
力矩、力偶与平面力偶系
例3.1:圆柱齿轮如图，受到啮合力Fn的作用，设Fn=1400N， 齿轮的压力角α=20°，节圆半径r=60mm，试计算力Fn对轴 心O的力矩。
解：1）直接法：由力矩定义求解
M o ( F n ) F n h F n r cos
2）合力矩定理
将力Fn分解为切向力Ft和法 (径)向力Fr，即
Fn = Ft + Fr
由合力矩定理得：
M o ( F n ) M o ( Ft ) M o ( F r ) Ft r 0 F n r cos
力矩、力偶与平面力偶系
第三章 力矩、力偶与平面力偶系
余 辉 yuh@
力矩、力偶与平面力偶系
§3.1 力对点之矩
力矩、力偶与平面力偶系
移动效应——由力的大小和方向度量
力对刚体的作用效应
转动效应——由力矩度量
按考虑力对刚体的转动效应的角度的不同，力矩又可
分为：
1.平面问题中力对点之矩； 2.空间问题中力对点之矩； 3.空间问题中力对轴之矩。
0
x l
2
xd x
得
1 3
ql
2
由合力矩定理
FR h
1 3
ql
h
2 3
l
力矩、力偶与平面力偶系
§3.2
力偶与力偶矩
力矩、力偶与平面力偶系
力矩、力偶与平面力偶系
一. 力偶
力偶 —— 大小相等、方向 相反但不共线的两个力组 成的力系，称为力偶。记 作（ F，F ’）
• 两个力组成的平面称 B F’
M 2 2 FBArcos 0
因为 D
所以求得
FAB FBA
M2 1 2 M1
FD
力矩、力偶与平面力偶系
C
M2
例3.4：如图所示机构的自重不计。
圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑
A
r

O
导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶
M1
B
矩为M1=2kN· m，OA=r =0.5m。图示 位置时OA与OB垂直，角α=30o , 且 系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶 的矩M2及铰链O，B处的约束反力。
M d F
n
A
• 这一矢量称作
力偶作用面
•
•
力偶矩矢
两个力间的垂距 d 称为
1） 其长度表示力偶矩大小； 2）方位与作用面法方向方位 n 同。 3）指向与力偶转向的关系服从 右手螺旋法则。
力偶臂
空间力系因力偶作用 面的方位可能各不相 同，故把力偶用矢量 表示。
力矩、力偶与平面力偶系
二 . 力偶矩
若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一 平面内，则称为平面力偶系。