无穷级数求和的方法与技巧
级数求和方法总结
级数求和方法总结级数求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧*。
以下是小编整理的级数求和方法总结，欢迎阅读。
一、定义法这是以无穷级数前n项求和的概念为基础，以拆项，递推等为方法，进行的求和运算。
这种方法适用于有特殊规律的无穷级数。
二、逐项微分法由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导。
三、逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和。
【拓展延伸】数列求和的方法一、分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。
一般步骤是：拆裂通项??重新分组??求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶*讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶*有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
无穷级数求和问题的几种方法-无穷级数求和的方法
⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法-⽆穷级数求和的⽅法⽬录摘要 (2)1⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法 (2)利⽤级数和的定义求和 (2)利⽤函数的幂级数展开式求和 (3)利⽤逐项求积和逐项求导定理求和 (4)逐项求极限 (5)利⽤Flourier级数求和 (7)构建微分⽅程 (9)拆项法 (9)'将⼀般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考⽂献 (12)$⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法摘要：⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，同时⽆穷级数求和问题，也是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.然⽽，⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，它是以极限理论为基础，⽤以表⽰函数，研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种重要⼯具.然⽽数学分析中注重函数的敛散问题，却对⽆穷级数求和问题的⽅法介绍的⽐较少，所以求和问题是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据不同的⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 1利⽤级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 /例2求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利⽤函数的幂级数展开式求和利⽤函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下⾯是⼏个重要的幂级数展开式：例（01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!n x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-?+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=??=--??+??∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞>得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利⽤逐项求积和逐项求导定理求和定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意⼀点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞-==??-=-=??∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算⽆穷级数()() +-++?-+--14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. ^两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 11,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++?∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x nn n n n 2112111??-+∑-∞=的和函数()x S .解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=??-+??-??∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从⽽收敛区间为(1,1)-，⽽知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ??∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ??∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x∞∞---===-?=-?=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0 ()()()2arctan x x x d x x ??==?,'()()()2arctan xxx x d x xdx ??==??=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++?因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处⽆定义，那么可⽤求极限的⽅法讨论在端点处的和函数. 例5 []4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.,解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下⾯⽤逐项求导的⽅法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1n x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-⼜有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑-于是对上式两边进⾏积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++?ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进⾏积分，⼜得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++?221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，⽽幂级数在1x =处收敛，所以等式》21(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成⽴.但因()f x 在1x =-处⽆定义，故要改⽤逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-??-=+-+ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-??-+=?++?12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑ %所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ?-+-+∈-??=??=-??.5利⽤Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅⾥叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取⼀个偶函数()f x ，满⾜21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?对于上式左端利⽤分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---??=-='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---??-+ 注意到$cos cos()(1)nn n ππ=-=-有1(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---??=--+?取21()4f x x =，则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?同时211()6f x dx n πππ-=?，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412n n x nx nπ∞=-==+∑ `令0x =，得2=-=∑ 例7[4]证明: 441190k k π∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅⾥叶级数222001()26xa dx ππππ-==22211()cos 2k xa kxdx k πππ-=， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞⽡尔等式（函数2()( )2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑?,有2422444011111ππππππππ∞-=-+===∑?即441190k k π∞==∑. 6构建微分⽅程如果某些级数的⼀般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利⽤经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分⽅程，然后解微分⽅程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+24681()2242462468x x x x x ??=--+-+(1())x S x =-于是所得⼀阶微分⽅程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N xS x Ce n ∞--==-=-∑从⽽121111(1)12242462468S e --+-+==-.7拆项法⽆穷级数求和时，有时根据⼀般项的特点，将⼀般项进⾏拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'1())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x=-++++ 【23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈-因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-.8将⼀般项写成某数列相邻项之差⽤这⼀⽅法求⽆穷级数的和，⾸先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v当111n n n n m u b b b ++-=，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-（m 为待定因⼦）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将⼀般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-+。
无穷级数求和公式推导
无穷级数求和公式推导无穷级数求和是数学中重要的概念之一，它将无限个数相加并求得其总和。
在数学中，我们可以使用一些公式来推导无穷级数的和，其中最著名的是等比级数求和公式和调和级数求和公式。
一、等比级数求和公式的推导等比级数是指一个数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
假设等比级数的首项为a，公比为r，则等比级数可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...为了推导等比级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们假设等比级数的和为S，即S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...接下来，我们将等比级数的每一项乘以公比r，并将两个等式相减，可以得到：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...接着，我们将上述两个等式相减，得到：S - rS = a化简得到：S(1 - r) = a因此，我们可以得到等比级数求和公式：S = a / (1 - r)这就是等比级数求和公式的推导过程。
二、调和级数求和公式的推导调和级数是指一个数列中的每一项的倒数之和。
调和级数可以表示为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...为了推导调和级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们可以将调和级数的部分项相加，并将其表示为一个数列的和：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...接下来，我们将调和级数的每一项倒数与1相加，并将其表示为一个数列的和：1/S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...然后，我们将上述两个等式相加，可以得到：S + 1/S = 2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)化简得到：S^2 + S = 2S(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)进一步化简得到：S^2 + S = 2S^2再次化简得到：S^2 = S因此，我们可以得到调和级数求和公式：S = ∞这就是调和级数求和公式的推导过程。
等比无穷级数求和公式
等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。
而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。
在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。
等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。
下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。
例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。
由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。
根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。
例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。
这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。
由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。
通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。
但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。
除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用性。
总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。
通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。
无穷级数求和方法解析
116
i n
1
4
'h )=
• * ) = ------- h l n ( 1 — n ) ， 其中 n 1一n
n= i
n
(一 1 ， 1)， 所以
/ n )， /(n ) 的通解为/ n ) 2 2 n! . = 1 ( n — 1) ! 2 n c e n 。又 当 n = 〇时 ， c / n ) = 1， 所以级数的和为/ n ) 2 6. 7. 8. 参考文献： [1] [2] 华东师范大学数学系.数学分析（ 第四版， 下 册 ） M ]. 程 海 来 .一 些 无 穷 级 数 的 求 和 [ ] . 大 学 数 学 ， 2013, 北京： 高等教育出版社， 2 0 10. = cn . 定义法求和（ 略） 错位相减法求和（ 略） 裂项法求和（ 略）
— — n s i n (c n )— = n7 cJ — n n 2n = (— 1) n — 2,3,… ） . n 2 (其中 n = 1 ，
0
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n 2J
—^ x cs o( s n n )— co
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由 狄 利 克 雷 收 敛 条 件 可 知 / —) = —
n
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¥ (_ |)n --- 2 — c o s ( n n .)， 其中 0 < —< n 。现在令 n = n 得 ： n2
S n
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(1
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3 . 利 用傅 里 叶 级 数 求 和 【 例 3】 求 级 数 ][；
n2
解： 构造傅里叶函数/ — ) = — ， 其 中 n 6 [0， n] ， 作偶 延拓得： 呈―. ）= — ， 一n ^ n ^ n . 由此可知傅里叶系数为： 6 n = 0,其 中 n = 1 ， 2,3,… 2—
高等数学中的无穷级数求和
高等数学中的无穷级数求和引言：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。
本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。
一、级数的定义与性质1.1 级数的定义无穷级数是由一列数的和组成的，形如：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3...为级数的项。
1.2 级数的收敛与发散级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。
1.3 级数的部分和级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、常见的无穷级数求和方法2.1 等差数列求和当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。
例如：S = 1 + 3 + 5 + ...可以将其转化为等差数列的求和问题。
2.2 几何级数求和几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：S = a + ar + ar^2 + ...其中，a为首项，r为公比。
2.3 幂级数求和幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：S = a0 + a1x + a2x^2 + ...其中，a0、a1、a2...为系数。
三、常见的无穷级数求和技巧3.1 逐项求和法逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.2 积分法积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.3 求导法求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
四、经典的无穷级数求和问题4.1 调和级数求和调和级数是指级数的每一项为倒数的级数，形如：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的发散级数，但可以通过取部分和的方式得到一个无穷大的极限。
无穷级数的收敛域与求和公式
无穷级数的收敛域与求和公式无穷级数是数学中重要的概念之一，它可以被定义为无限多个数的和。
对于无穷级数而言，我们关注的两个重要问题是它的收敛域以及如何求和。
本文将探讨无穷级数的收敛域及求和公式。
一、无穷级数的收敛域无穷级数的收敛域是指该级数在何种条件下会收敛。
当无穷级数的和存在有限的极限值时，我们认为该级数是收敛的，极限值即为该级数的和。
而当无穷级数的和不存在有限的极限值时，我们认为该级数是发散的。
对于无穷级数的收敛域，有几个常见的判定法则。
1. 比值判别法比值判别法是判定无穷级数收敛与发散的常用方法之一。
对于给定的无穷级数∑(an)，计算相邻两项的比值an/an+1的极限值L。
若L小于1，则级数绝对收敛；若L大于1或不存在极限，则级数发散；若L 等于1，则判定不确定。
2. 根值判别法根值判别法与比值判别法类似，也是判定无穷级数收敛与发散的常用方法之一。
对于给定的无穷级数∑(an)，计算相邻两项的根值√an的极限值L。
若L小于1，则级数绝对收敛；若L大于1或不存在极限，则级数发散；若L等于1，则判定不确定。
3. 正项级数的判别法若无穷级数的各项an都是正数，并且an+1 ≤ an，则称该级数为正项级数。
对于正项级数，若其部分和数列有上界，则该级数收敛；若其部分和数列无上界，则该级数发散。
以上是几个常见的无穷级数的收敛域判定方法，它们在实际应用中非常有用。
二、无穷级数的求和公式求和公式是指通过某种方法得到无穷级数的和的表达式。
在数学中，有一些特殊的级数具有特定的求和公式，这些公式在计算和的过程中可以简化计算，提高运算效率。
下面列举一些常见的无穷级数求和公式：1. 等比级数求和公式等比级数是一种特殊的级数形式，各项之间的比值是相等的常数。
对于等比级数∑(ar^n)，若-1<r<1，则该级数的和为S=a/(1-r)。
2. 幂级数求和公式幂级数是一类重要的无穷级数形式，以自变量x为变量，表达式为∑(an*x^n)。
定积分的无穷级数求和
定积分的无穷级数求和定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求曲线和坐标轴之间的面积以及各种物理量。
在实际应用中，我们常常遇到需要求解无穷级数的问题。
无穷级数是一个数列的和，它包含了无限个数。
在数学中，有很多方法可以求解无穷级数，其中一种基本的方法就是使用定积分来求和。
一.无穷级数的定义在数学中，如果一个数列有无限多项，那么称这个数列是无穷数列。
一般地，一个无穷数列可以记作：$a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$其中每个$a_{n}$称为数列的第n项。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数倍，则称这个数列是等差数列，这个常数称为数列的公差。
如果一个无穷数列的每个后继项都是前一项的某个常数次幂，则称这个数列是等比数列，这个常数称为数列的公比。
而无穷级数则是数列的和。
若数列{an}是一个数列，那么无穷级数就可以写成$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}...$其中$S_{n}$是前n项的和。
而有限的级数称为部分和数列。
在许多情况下，我们还需要讨论一个无穷级数是否收敛。
如果一个无穷级数的部分和数列有一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的，反之则为发散的。
二.使用定积分求和定积分和无穷级数是两个不同的数学概念，但是它们之间存在着一定的联系。
考虑以下无穷级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...$我们称之为调和级数。
在数学上经过证明可以得出调和级数是发散的。
但这个级数的和可以用定积分求解出来。
事实上，如果我们定义函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x>0$的区间上是连续的。
我们可以将定义域分成若干份，然后在每一个小区间上进行计算。
如图所示，我们可以将$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,n]$上的积分进行如下的变形：$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)$$\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\int_{n}^{n+1}dx$$\frac{1}{n+1}\leq\ln(n+1)-\ln(n)\leq\frac{1}{n}$对上述式子进行求和，我们可以得到：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\leq\ln(n)+1$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\geq\ln(n)+0.5$于是我们可以得到：$\lim_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln(n))=0$这就意味着，调和级数的和可以用$ln(n)$来近似表示。
无穷级数求和的若干方法
陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名专业名称数学与应用数学无穷级数求和的若干方法摘 要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幂级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1 定义法[1]这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前n 项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.(1) 直接法：适用于1k k u ∞=∑为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.例1 求级数()1121n n n q∞-=-∑的和，()1q <.解 ()2113521n n S q q n q -=++++- (1) n S 中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列，(1)的两边同乘以q 得：()233521nn qS q q q n q =++++- (2)(1)－(2)得：()()211122221n n n q S q q q n q --=++++-- ()()211221n n q q q n q -=++++--()()1211211n n q q n q q--=+---()()()1221121111n nn q q q S n q qq --=+----- 因为1q <，所以()1121n n n q ∞-=-∑()()22121lim 111n n q qS q q q →∞+==+=---. (2) 拆项法：()()10011lim lim n n n n n n n n n a b b b b b b ∞∞-→∞→∞===-=-=-∑∑.例2 求级数1n ∞=的和.解n u==1n S n⎛=++++-⎝⎝1=即1n ∞=lim 1n n S →∞==.(3) 递推法：是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法. 例3 求级数211arctan2n n ∞=∑的和. 解 21111228arctan arctan arctanarctan 11283128S +=+==- 311121arctan arctan arctan arctan arctan 2818318S =++=+213318arctanarctan 2141318+==- 由数学归纳法可证： arctan 1n nS n =+πlim lim arctan arctan114n n n n S n →∞→∞===+, 故211arctan 2n n∞=∑π4=. 2 阿贝尔法[2]（即构造幂级数法）若级数0n n a ∞=∑收敛，则0n n a ∞=∑1lim nn x n a x -∞→==∑.由0n n a ∞=∑构造一个幂级数0n n n a x ∞=∑是很简单的，而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得0n n a ∞=∑的和.例4 级数1212nn n ∞=-∑的和. 解 令()221212n n n n f x x ∞-=-=∑,x . 之所以这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子()21n -.逐项积分()222101121122xxn n n n on n n f x dx x dx x ∞∞--==-==∑∑⎰⎰2112nn x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 22212212x xx x x ==--, 即()0xf x dx ⎰22xx =-. 上式两边对x 求导: ()()22222x f x x +=-,故1212n n n ∞=-∑=()()222112lim lim 32x x x f x x --→→+==-. 3 逐项微分法[2]由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5 级数()11nn x n n ∞=+∑ 的和函数()S x ，其中1x <.解 ()111111111n n n n n n n n x x x x n n n n n n ∞∞∞∞====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑ 令()11n n x S x n ∞==∑,()211nn x S x n ∞==+∑.由()111n n S x x ∞-='=∑11x =-,则()()101ln 11x S x dx x x ==---⎰;类似地()()()121111ln 1ln 111n n x S x x x x x n x x+∞===--+=---⎡⎤⎣⎦+∑, 故()()()()1211ln 11S x S x S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，在区间()1,1-内.解()()21021n n n x∞+=+∑()()22121nn n n x n x x x∞∞+=='=+=∑∑210n n x x ∞+='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()()222220111n n x x x x x x x x x ∞=''+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑ . 4 逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7 求级数()()21021n n n x ∞+=+∑的和函数，这儿1x <.解 令()S x =()2021n n n x ∞=+∑,1x <.而()()22122211xxnn n n n n xS x dx n x dx xx x x∞∞∞+====+===-∑∑∑⎰⎰, 故()()2222111x x S x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-, 则()()21021n n n x∞+=+∑=()()()22211x x xS x x +=-.5 逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.例8 求级数211nn n x n ∞=+∑的和函数，这儿1x <. 解 ()21111111111n n n n nn n n n n n n n x nx x n x x x n n n∞∞∞∞∞∞======+=+=+-+∑∑∑∑∑∑ ()0011111x x n n n n x n x dx x x n ∞∞==''⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑⎰⎰dx ()()2120112ln 11111x n n x x x x x dx x x x x x ∞+='-⎛⎫=-+=--- ⎪----⎝⎭∑⎰ ()()2ln 11xx x =--- ()1x <.6 通过函数展开法数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到（当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用）.(1) 幂级数的赋值法：根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数，在此幂级数的收敛域内有一点0x ，当0x x =时所得的常数项级数恰是要求和的级数.设所求级数的和为S ，幂级数的和为()S x ，则()0S S x =.例9 求级数113nn n ∞=∑的和. 解 作()1n n x S x n ∞==∑,由()1111n n S x x x ∞-='==-∑,则()()0ln 11xdxS x x x==---⎰()1x < 令13x =,则113nn n ∞=∑123ln 1ln ln 332⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭. (2) 傅里叶级数的赋值法：利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.例10 求级数()1211n n n +∞=-∑的和.解 把()22f x x =在[]π,π-上展成余弦级数π2200242ππ3a x dx ==⎰()π220282cos 1πn n a x nxdx n==-⎰ ()1,2,n = 00b =()1,2,n =()()22128π1cos 3n n f x nx n ∞==+-∑ ()ππx -≤≤令0x =,则 ()221280π13n n n ∞==+-∑,故()1211n n n +∞=-∑2π12=. 7 复数法[1]（三角级数求和法）这是求三角级数和常用的方法，为了求级数0cos n n a nx ∞=∑及0sin n n a nx ∞=∑的和，常把它们视为复数域内的幂级数0nn n a z ∞=∑（其中ixz e =）的实部和虚部.如果0nn n a z ∞=∑的和好求，则级数0cos n n a nx ∞=∑及级数0sin n n a nx ∞=∑的求和问题就已解决.例11 求级数1sin n nxn ∞=∑的和函数. 解 ()1111sin Im Im Im nix inxnn n n n e nx e z n n nn∞∞∞∞=======∑∑∑∑,其中ix z e =令()1nn z f z n∞==∑()1z < ()111111n n n n f z zz z z∞∞-=='===-∑∑, ()()()()ln 1ln 1ln 1cos isin ix f z z e x x =--=--=---sin ln 1cos isin i arctan 1cos x x x x -⎡⎤=---+⎢⎥-⎣⎦ ()1sin ln 22cos iarctan21cos xx x=--+-, 故1sin n nx n ∞=∑()sin πIm arctan arctan cot 1cos 22x x x f z x -⎛⎫==== ⎪-⎝⎭ ()02πx <<. 8 积分法(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广，但相对来说，定积分较无穷级数好处理，因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑，但它与定积分的递推公式有关.例12 求级数()111n n n-∞=-∑的和.解 令101n n x I dx x =+⎰,考虑到111110011n n n n n x x I I dx x dx x n---++===+⎰⎰. 当01x ≤≤时，由于1n n x x -≤，故1n n I I -≤, 于是112n n n I I I n -≤+=，即12n I n ≤，又1121n n n I I I n +≥+=+， 即122n I n ≥+.综合上两式有11222n I n n≤≤+ ()1n ≥,故lim 0n n I →∞=.再者递推可有 ()()()11101111n n n n n I I n-∞--=-=---∑, (3)又()11000ln 1ln 21dxI x x==+=+⎰.将(3)式两边取极限()n →∞且0n I → 则()111n n n-∞=-∑()100lim 1ln 2n n n I I I -→∞⎡⎤=+-==⎣⎦.(2)[3]利用公式()()101111a bn x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰，()a b ≠. 来求无穷级数的和，当a 、b 为非负整数时，利用此公式求级数的和特别简单，下面我们验证此公式的正确性.作函数()11n a n b n x x f x b a n a n b ++∞=⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭∑ 1x <()()1111n a n b n f x x x b a ∞+-+-='=--∑111a b x x b a x x ⎛⎫=- ⎪---⎝⎭1x <由于()00f =，故()001111a b a bxx x x x x f x dx dx b a x b a x--==----⎰⎰. 而()()11n n a n b ∞=++∑()10lim x f x →-=,所以()()101111a b n x x dx n a n b b a x -∞=-=++--∑⎰. 例13 求级数()()1112n n n ∞=++∑的和.解 此级数与上面公式比较知1,2a b ==从而()()1112n n n ∞=++∑2101211x x dx x --=--⎰1012xdx ==⎰. 9 化为微分方程求解有些级数的和函数经过微分后，再与原来的级数作某种运算后，可以组成一个简单的微分方程，这样级数求和问题就化为微分方程的求解问题.例14 求()202!nn x n ∞=∑的和函数，()x -∞<<+∞.解 设()()202!n n x S x n ∞==∑,考虑到()()()21211021!21!n n n n x x S x n n -+∞∞=='==-+∑∑, 则()()()()2210002!21!!n n nx n n n x x x S x S x e n n n +∞∞∞==='+=+==+∑∑∑,于是()12dx dx x x xS x e e e dx C e Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰.又()01S =，则12C =，这样可有 ()()12x xS x e e chx -=+=. 10 利用无穷级数的乘积[2]有些级数可视为两个无穷级数的乘积，这时便可将所求级数和问题化为先求两个级数积（当然它们应该好求），再计算它们的乘积，当然这基于下面的结论：若级数n a ∑与n b ∑均收敛，又n c ∑也收敛，其中0110n n n n c a b a b a b -=+++,则n n n c a b =⋅∑∑∑.若n a ∑,nb∑都收敛且至少其中之一绝对收敛，其中nc∑收敛于nna b ⋅∑∑.例15 求级数1111123n n x n ∞=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭∑的和函数()S x ，其中1x <.11 解 考虑()00n n n n x a x ∞∞===∑∑为绝对收敛级数，且()100nn n n x b x n ∞∞==+=∑∑收敛，这里1x <.又()11111101123n n n n n n x x c x x x x x x n n n --⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅=++++ ⎪-⎝⎭, 则()()()100n n nn n n c x a x b x ∞∞∞====⋅∑∑∑, 再由011nn x x ∞==-∑,()1ln 1n n x x n ∞==--∑, 故()()()()1ln 1ln 111n n x x S x c x x x ∞=--==-=--∑. 无穷级数求和的方法远不止这十种，还有待于继续探索和总结，有些求和问题用一种方法求解很麻烦，甚至不可能，它需要多种方法的灵活交错使用，有些题目则可以多种方法求解，比如例13用定义法求和也可以(拆项相消就可求出部分和),这就要求我们熟练掌握上述方法,根据具体的题型寻找简单可行的途径来求解.参考文献：[1] 陈文灯，黄先开，曹显兵，施明有．高等数学复习指导[M]．北京：清华大学出版社，2007：516-524．[2] 陈文灯，吴振奎，黄惠青．高等数学解题方法和技巧[M]．北京：中国财政经济出版社，2004：334-345．[3] 周翠莲，于兰芳．无穷级数求和的方法[J]．承德民族师专学报:自然科学版，1996，（2）：15-18．。
无穷级数基本公式
无穷级数基本公式无穷级数是数学中的一个概念，指的是无限多个数按照其中一种规律相加的结果。
无穷级数的求和公式是求取无穷级数和的一种方法，它可以帮助我们找到无穷级数的和，并在数学的不同领域中有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍无穷级数的基本公式及其推导过程。
首先，我们来看一个简单的无穷级数的例子：1+1/2+1/4+1/8+…。
这个无穷级数的每一项都是前一项的一半，我们可以通过不断地将数列的前n项相加来逼近无穷级数的和。
当n趋近于无穷大时，我们可以得到无穷级数的和。
对于这个例子，我们可以使用以下的求和公式来计算：S=a/(1-r)其中，S表示无穷级数的和，a表示第一项的值，r表示每一项与前一项的比值。
在这个例子中，a的值为1，r的值为1/2、因此，我们可以计算出这个无穷级数的和为：S=1/(1-1/2)=2在这个例子中，我们通过求和公式得到了无穷级数的和为2、这个公式可以应用于各种不同的无穷级数，只需要将相应的a和r代入公式即可。
接下来，我们将推导出这个求和公式的原理。
设S为一个无穷级数的和，a为第一项的值，r为每一项与前一项的比值，我们可以将这个无穷级数表示为：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + …如果我们将这个无穷级数的每一项乘以r，我们可以得到：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + …我们将这两个等式相减，可以得到：S-rS=a化简上式，得到：S(1-r)=a由于r不等于1，我们可以将上式两边同时除以(1-r)，得到：S=a/(1-r)通过上面的推导，我们得到了无穷级数求和公式。
接下来，我们将通过几个实例来演示如何使用求和公式求取无穷级数的和。
例子1：计算1+1/2+1/4+1/8+…的和。
根据求和公式，我们可以将a设为1，r设为1/2，代入公式计算：S=1/(1-1/2)=2因此，这个无穷级数的和为2例子2：计算5+5/2+5/4+5/8+…的和。
根据求和公式，我们可以将a设为5，r设为1/2，代入公式计算：S=5/(1-1/2)=10因此，这个无穷级数的和为10。
无穷级数常见6个公式
无穷级数常见6个公式所谓无穷级数，是指一种非常普遍存在的数学概念，它指由一个有限个元素组成的数列，其元素满足某些矩阵关系，其和无穷不尽，且不可能得出它的终值。
无穷级数经常被用来求得某有限步之和或有限非正式步之和，其中常见六个公式分别是求和的加法公式、减法公式、乘法公式、除法公式、指数函数公式和对数函数公式。
1、加法公式加法公式是无穷级数中应用最为广泛的公式，它表达的思想是，任何正数的和都可以表示成一个无穷级数的和：a1 + a2 + a3 + ... + an =an其中，a1，a2，a3，…，an是一组数，即所有正数的和，它以有限或无穷级数来等价表示。
2、减法公式减法公式用来描述减法的等价关系，即任何一个正数的差值（无论是有限的还是无穷的）也可以被无穷级数形式表示：a1 - a2 - a3 - ... - an =an其中，a1，a2，a3，…，an是一组数，以有限或无穷级数形式表示所有正数的差值。
3、乘法公式乘法公式既可用来描述乘法等价关系，也可用来描述有限和无穷级数乘法的等价关系。
无穷级数和有限级数相乘，得到的还是一个无穷级数：a1a2a3...an = (a1 + a2 + a3 + ... + an) (a1a2...an) 其中，a1，a2，a3，…，an是一组有限数，用有限或无穷级数形式表示所有有限的乘法。
4、除法公式除法公式用来描述有限和无穷级数的除法的等价关系：a1a2a3...an / a2a3...an = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / an 其中，a1，a2，a3，…，an都是有限数，用无穷级数形式表示所有有限的除法。
5、指数函数公式指数函数公式用来描述指数函数的等价关系：a1 + a2 + a3 + ... + an = an (1 + a1/an + a2/an + ... + (an-1)/an)其中，a1，a2，a3，…，an都是有限数，用无穷级数形式表示指数函数。
无穷级数等比求和
无穷级数等比求和1. 引言无穷级数是数学中的一个重要概念，指的是由一系列无穷项组成的数列求和的结果。
其中，等比级数是一种特殊的无穷级数，其各项与前一项的比值保持恒定。
本文将介绍等比级数的求和公式和求和方法，并附带一些实例来帮助读者理解。
2. 等比级数的定义等比级数是指一个数列中每一项与前一项的比值都相等的级数。
具体而言，设数列的第一项为 a、公比为 r，则等比级数的第 n 项可以表示为 an = a * r^(n-1)。
其中，a 称为首项，r 称为公比。
3. 等比级数的求和公式对于一个等比级数 S，可以使用如下公式来计算其求和：S = a / (1 - r)其中，a 为首项，r 为公比。
4. 等比级数的求和方法对于一个无穷的等比级数，有时我们无法直接计算其求和，这时我们可以使用一些特定的方法来近似求解。
4.1 有限项求和如果我们只需要计算等比级数的前 n 项和，可以直接使用以下公式来计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比级数的前 n 项和，a 为首项，r 为公比。
4.2 收敛性判断在计算等比级数的求和时，我们需要保证级数是收敛的。
对于等比级数而言，只有当公比 r 的绝对值小于 1 时，级数才能收敛。
当 r 的绝对值大于等于 1 时，级数会发散。
5. 实例分析让我们通过几个实例来理解等比级数的求和过程。
实例 1考虑以下等比级数：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 1，公比 r = 2。
根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 2) = -1因此，该等比级数的和为 -1。
实例 2考虑以下等比级数：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 3，公比 r = 2。
根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 3 / (1 - 2) = -3因此，该等比级数的和为 -3。
数列的极限与无穷级数求和
数列的极限与无穷级数求和数学中的数列和级数是常见的概念，在许多数学问题中都有着重要的应用。
本文将探讨数列的极限和无穷级数求和的相关概念和性质。
一、数列的极限数列是按照一定规律排列的一系列数值的集合。
对于一个数列{an}，其中an表示数列中的第n个数。
当n趋向于无穷大时，数列可能会逐渐趋近于一个确定的数值，这个数值被称为数列的极限。
数列的极限可以用以下符号表示：lim(n→∞)an = L其中，lim表示极限，n→∞表示n趋向于无穷大，an表示数列中的第n个数，L表示数列的极限值。
若数列{an}的极限存在且为L，则称该数列收敛于L。
若数列的极限不存在，则称该数列发散。
数列的极限有以下基本性质：1. 极限的唯一性：若数列{an}收敛于L，则其极限值唯一。
2. 有界性：若数列{an}收敛于L，则存在正数M，使得对于所有的n，都有|an| ≤ M。
3. 保序性：若数列{an}收敛于L，且bn是另一个数列，满足an ≤ bn，则数列{bn}的极限也收敛且不大于L。
二、无穷级数求和无穷级数是指由数列的各项之和构成的级数。
常见的无穷级数形式为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等表示数列的各项。
对于无穷级数，我们关心的是它是否收敛以及如何求和。
对于收敛的无穷级数，我们可以通过求和的方法计算其和。
常见的无穷级数求和方法有以下几种：1. 等差数列求和公式：若无穷级数可以表示为S = a + (a + d) + (a + 2d) + ...，其中a为首项，d为公差，则无穷级数的和可表示为：S = a / (1 - d)2. 等比数列求和公式：若无穷级数可以表示为S = a + ar + ar^2 + ...，其中a为首项，r为公比（|r| < 1），则无穷级数的和可表示为：S = a / (1 - r)3. 绝对收敛级数求和：对于绝对收敛级数，可以通过重新排列项的顺序，将其拆分为正项级数和负项级数，然后对正项级数和负项级数分别求和。
无穷级数求和的方法与技巧
4 利用已知初等函数的幂级数展开式
此法要求读者对一些基本初等函数的幂级数展式非常 熟悉， 且要注意收敛区间。 x2n , x <1 的和。 n （2n- 1 ） 2n x n- 1 n- 1 n- 1 1 解： 令 un= （ -1 ） = （ -1 ） 2 · x2n-（ -1 ） · · x2n, 2n- 1 n （ 2n- 1 ） n
n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ ∞
（un±vn ） 收敛， 且Σ （un±vn ） =Σun±Σvn。 当把级数分成两
n =1 n =1 n =1 ∞
个或多个 （有限个） 收敛级数的和时， 注意一定要保证 Σun
n =1 ∞
推广：对于实数 a≠0,- 1， b 为任意实数，无穷级数Σ
n =1
与Σvn 均收敛。
参考文献
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7 复数法
这是求三角级数和常用的方法，把欲求和的三角级数 作为另一容易求和的复级数的实部与虚部。 例 7.求无穷级数 s=Σ cos kx ， σ=Σ sin kx 的和。 k! k! k =0 k =0 k 解： 设 Z=cos x+isin x， 则 Z =cos kx+isin kx， 则:s+iσ=Σ Z =eZ=ecosx+isinx=ecosx · cos （ sinx ） +iecosx · sin （ sinx ） ， k = 0 k! 比较两边的实部与虚部得： s=ecosx · cos （ sinx ） ， σ=ecosx · sin （ sinx ） 。 此法巧妙地运用欧拉公式及复数的关系式，解决了三 角级数和的问题。
无穷级数求和的方法与技巧
无穷级数求和的方法与技巧
无穷级数是一种无限项的数列，可以表示为
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。
下面是一些求和的方法和技巧：
一、比较法：如果有两个无穷级数的前几项之和相等，则这两个无穷级数的和也相等。
二、分治法：如果一个无穷级数可以表示为两个无穷级数的和，则可以分别求出两个无穷级数的和，再相加。
三、前缀和法：通过计算无穷级数的前几项之和，可以得到无穷级数的渐近值。
四、解析法：通过解析无穷级数的生成函数，可以直接得到无穷级数的和。
五、数值计算法：通过计算机等工具，可以通过数值计算的方法求出无穷级数的和。
级数求和_精品文档
级数求和级数是数学中一种重要的数列形式，也是数学分析的重要内容之一。
级数求和是指对级数中的每一项进行加和计算，从而得到一个确定的数值。
在数学中，级数可以分为无穷级数和有限级数两种形式。
无穷级数是指有无穷多项的级数，表示为∑(n=1到∞)an，其中an为级数的每一项正负数列。
而有限级数是指只有有限个项的级数，表示为∑(n=1到N)an，其中N为级数的最大项数。
对于有限级数，求和的方法很简单，只需将级数的每一项相加即可。
例如，给定级数S=∑(n=1到N)an，要求求和，只需计算S=a1+a2+a3+...+aN。
而对于无穷级数的求和，则需要借助某种方法进行计算。
以下是几种常见的求和方法及示例：1.等差数列求和方法：对于形如S=∑(n=1到∞)an的等差数列级数，如果能找到一个常数d使得an与an+1之间的差恒为d，即an+1=an+d，那么可以利用等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式为Sn=(n/2)(a1+aN)，其中Sn为前n项和，a1为首项，aN为尾项。
例如，考虑级数S=∑(n=1到∞)2n，可以发现an+1=2n+2=2(n+1)，与an之间的差恒为2。
因此，可以使用等差数列的求和公式来计算，得到S=(∞/2)(2+∞×2)=∞。
2.等比数列求和方法：对于形如S=∑(n=1到∞)an的等比数列级数，如果能找到一个常数r使得an与an+1之间的比值恒为r，即an+1=ran，那么可以利用等比数列的求和公式来求解。
等比数列的求和公式为Sn=(a1(1-r^n))/(1-r)，其中Sn为前n项和，a1为首项，r为公比。
例如，考虑级数S=∑(n=1到∞)(1/2^n)，可以发现an+1=(1/2)^(n+1)，且an=(1/2)^n，两者的比值恒为1/2。
因此，可以使用等比数列的求和公式来计算，得到S=(1/(1-(1/2)))=2。
3.幂级数求和方法：幂级数是指级数的每一项都是形如anx^n的函数。
大学数学无穷级数的收敛性与求和
大学数学无穷级数的收敛性与求和大学数学：无穷级数的收敛性与求和无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一系列无穷多项的代数和组成。
在数学中，我们对于一个无穷级数的收敛性和求和有着浓厚的兴趣和研究。
本文将讨论无穷级数的基本概念、收敛性判定方法以及求和公式。
一、无穷级数的概念无穷级数的概念可表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...，aₙ代表级数的每一项。
根据级数的无穷性质，我们可以看到级数的项数n无限大。
因此，无穷级数可以看作是无限多项求和的结果。
二、无穷级数的收敛性对于无穷级数的研究，我们最关注的问题之一就是它的收敛性。
在数学中，无穷级数可能出现以下三种情况：1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列存在有限的极限值，即Sₙ的极限存在，则称该级数是收敛的。
我们可以用符号表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...= lim Sₙ (n→∞)2. 发散：如果一个无穷级数的部分和数列没有有限的极限值，即Sₙ的极限不存在，则称该级数是发散的。
3. 不确定：在某些情况下，我们无法判断一个无穷级数的收敛性，这种情况被称为不确定。
三、无穷级数的收敛性判定为了确定一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了许多判定方法。
下面介绍其中几种主要的方法：1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且部分和数列有界，则该级数是收敛的。
2. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是收敛的，则该级数也是收敛的。
类似地，如果一个无穷级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是发散的，则该级数也是发散的。
3. 比值判别法：对于一个无穷级数，如果存在一个正常数r，使得级数的项的绝对值与n的幂次之比的极限为r，则有以下结论： - 当r<1时，级数收敛；- 当r>1时，级数发散；- 当r=1时，判定不确定。
无穷级数的求和
无穷级数的求和Investigate of the summation ofinfinite series专业: 应用化学精细化工**: ***学号: ************摘要本文介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和这几种方法求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.关键词: 级数; 求和; 幂级数; 傅里叶级数简介无穷级数求和是无穷级数中的主要内容,针对无穷级数求和归纳为6种方法.即利用无穷级数和的定义、递推、构造成幂级数、傅里叶级数、幂级数的逐项求导或逐项积分、微分方程,以下让我通过简单的例子，通过分析,总结归纳出无穷级数求和的解题技巧,使求解这类问题有章可循目录摘要 (I)简介 (II)1 引言 (1)2 裂项相消法 (1)3 错位相减法 (2)4 逐项微分法 (6)5 逐项积分法 (8)6 运用特殊级数的和求和法 (9)参考文献 (13)1 引言无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分. 它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具. 众所周知, 收敛级数都有和, 然而求出收敛级数的和常常是较困难的. 因此, 本文将讨论运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和来求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.为行文的简洁, 本文中未特别申明的符号与文献[1]一致.2 裂项相消法设1n u n ∞=∑, 1n n n u v v +=-, 则1n u n ∞=∑的部分和为11n n s v v +=-.若 1lim n n v A +→∞=, 则1lim n n s A v →∞=-.也就是说1n u n ∞=∑的和为 1A v -.我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明.例1 求无穷级数11(2)n n n ∞=∑+的和.解 因为1111()(2)22n n n n =-++,所以1111111111[(1)()()](1)232422212n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=+--+++,于是lim n n S S →∞=1111(1)2212n n =+--++34=. 所以113(2)4n n n ∞==∑+.如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例2 求级数 201arctan1n n n ∞=∑++ 的和.解 先考虑变换问题的数学形式, 由21(1)arctanarctan 11(1)k kk k k k+-=++++,联想到正切的差角公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+,再设 tan 1,k k αβ=+=, 则原级数的部分和为2111arctan1arctan arctan arctan371arctan1(arctan 2arctan1)(arctan 3arctan 2)[arctan arctan(1)][arctan(1)arctan ]arctan(1),n S n n n n n n n =+++⋅⋅⋅+++=+-+-+⋅⋅⋅+--++-=+所以201arctanlim lim arctan(1)12nn n n S n n n π∞→∞→∞===+=∑++. 如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例3求和n ∞=∑.解 先对通项分母中的和式进行有理化, 得==,于是, 有(1n S =-++⋅⋅⋅++1=-,所以lim lim(11n n n n S ∞→∞→∞===-=∑.3 错位相减法设{}n u 为等差数列, 公差为d , {}n v 为等比数列, 公比为q , 则称0n n n u v ∞=∑为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上, 设112233n n S u v u v u v u v n =+++⋅⋅⋅+, (1)两边同时乘以公比q 得112233n n n qS u v q u v q u v q u v =+++⋅⋅⋅+,即12233411n n n n n qS u v u v u v u v u v -+=+++⋅⋅⋅++, (2)(5)式减去(6)式得11231(1)()n n n n q S u v d v v v u v +-=+++⋅⋅⋅+-,112311lim lim[]1()n n n n n n S S qu v d v v v u v +→∞→∞+++⋅⋅⋅+-==-.我们这种求级数和的方法为错位相减法.例4 求级数113n n n∞-=∑的和. 解 因为21231333n n n-=+++⋅⋅⋅+S , (3)23112333333n n n=+++⋅⋅⋅+S , (4) (7)式减去(8)得23112111113333333n n n n n n --==++++⋅⋅⋅++S S S ,即1(1)3313(1)12323313n n n n n n n S -=-=---, 于是2313lim lim[(1)]32332n n n n n n S →∞→∞=--=, 所以 339lim 224n n S →∞=⨯=, 故 11943n n n ∞-==∑.4 逐项微分法定理[2]1 若在[,]a b 上, 1()n n u x ∞=∑的每一项都具有连续导数'()n u x 一致收敛于()x δ,又1()n n u x ∞=∑收敛于()S x , 则'()()S x x δ=, 即11()()nn n n d du x u x dx dx∞∞===∑∑, 且1()n n u x ∞=∑一致收敛于()S x .这定理说明了和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要注意的是, 仅仅在条件“1()n n u x ∞=∑一致收敛”之下, 即使'()n u x 存在且连续, 也不能保证和号同求导数号可以交换.例5 求级数357(1)357x x x x x -+-+⋅⋅⋅≤的和.解 令357()357x x x F x x =-+-+,在收敛域[]1,1-内逐项微分, 得()24621'11F x x x x x=-+-+⋅⋅⋅=+. 注意到(0)0F =, 所以20()arctan 1xdtF x x t ==+⎰, 于是当1x ≤时, 有357arctan 357x x x x x -+-+⋅⋅⋅=.例6 求级数11111(1)3521n n --+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-的和.解 令35121111(1)3521n n x x x x x n --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-S(),逐项求导得2412321'()1(1)1n n S x x x x x --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=+, 所以2001()'()arctan 1x x S x S x dx dx x x ===+⎰⎰.因为级数12111(1)21n n n x n -∞-=-∑-在1x =处收敛, 所以 (1)arctan14S π==,即11111(1)35214n n π--+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=-. 例7 求级数210(21)!n n x n +∞=∑+的和函数.解 ()-∞+∞该级数的收敛区间为，, 令()213501(210)!3!5!n n x x x y x n +∞===+++⋅⋅⋅∑+,2240'()12!2!4!n n x x x y x n ∞===+++⋅⋅⋅∑,所以234()'()12!3!4!x x x x y x y x x e +=+++++⋅⋅⋅=,()()'()x y x y x y x e +=即满足微分方程, 此方程为一阶线性微分方程，其通解为1()2x x y x e ce -=+.例8 求幂级数221[(1)!](2)(1)(2)!n n n x x n ∞=-<∑的和. 解 在 1x < 上对()S x 逐项求导, 可知2211[(1)!]'()2(2)(21)!n n n S x x n ∞-=-=-∑,2221[(1)!]4(2)(22)!n n n x n ∞-=--∑. 由此可得 2(1)''()'()4x S x xS x --=. 在这两端乘以 212(1)x --, 我们有'())'1x x =<,解得()(1)S x x =+<.5 逐项积分法定理2[2]设1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛于()S x , 并且每一()n u x 都在[,]a b 上连续, 则11()()()b bb x n aaan n u x dx S x dx u x dx ∞∞====∑∑⎰⎰⎰,亦即和号可以与积分号交换. 又在[,]a b 上, 函数项级数1()x n an u t dt ∞=∑⎰也一致收敛于()x aS t dt ⎰.该定理也称为逐项积分定理.例9 求级数234234(1)x x x x x ++++⋅⋅⋅<的和.解 令234()234F x x x x x =++++⋅⋅⋅, 其收敛域为(1,1)-, 在收敛域内逐项积分, 得234234234234123()234111(1)(1)(1)234111()()234ln(1)1x F t dt x x x x x x x x x x x x x x x x x=+++⋅⋅⋅=-+-+-+⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅=+--⎰，其中1x <, 于是21'()[ln(1)],11(1)n n x xF x nx x x x x ∞===+-=<∑--.例10 求下列级数的和()S x(1) 410(2)1()()412n n x S x x n +∞==<+∑; (2) 0()()(1)21nn x S x x n ∞=-=<+∑.解 (1) 在 12x <上对()S x 作逐项积分, 可知 222444000()111121arctan(2)ln ().24122x x xnn n n dtS x tdt t dt t x x x x∞∞=====-+=+<-∑∑⎰⎰⎰(2) 对 01x <<, 令 2x t =, 有2220002220001()(1)(1)2111((1))1arctan .n t nn n n n t t n n n t S t x dtn t dt x dt t t x t t ∞∞==∞==-=-+=-=+=∑∑⎰∑⎰⎰由此知()arctan S x = 对 10x -<<, 令 2x t =-, 有222200001111()ln 21121n t t n n n t dt tS t x dx n t t x t t ∞∞==+-====+--∑∑⎰⎰,由此可得()S x =6 运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.例11 求123423434845165632S =-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 解 原式可以用级数表示如下1111(1)()(1)(2)2nn n k n S n n ++==-⋅∑++.考虑级数111(1)(1)(2)nn n k n x n n ++=-⋅∑++, 其收敛半径为1, 故当12x =时收敛, 设其和函数为()f x , 下面在区间()0,1内求()f x . 由于21(1)(2)21n n n n n =-++++,所以1111112111122()(1)(1)212(1)(1)2112[ln(1)]ln(1)22(1)ln(1)2,n n n n n n n n n n n x x f x n n x x x n n n xx x x x x x x++++∞∞=-++++∞==---∑∑++∞=-+-∑∑++-=+-+++-=++-令12x =, 即得13()5ln 222S f ==-. 例12 (1)求级数111111()()()2346812++++++⋅⋅⋅的和;(2)求级数111()23n n n ∞=+∑的和.解 (1) 由于111111111111()()[()()]2346223211111111[()][()]2422363211111122112311221211(1),232n n n n n n nn n S ----=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅--=⋅+⋅--=-+- 所以1215lim[1(1)]2323n n n n S S →∞==-+-=, 故11115()()23463++++⋅⋅⋅=. (2) 因为22111111()()()232323n n n S =++++⋅⋅⋅++22111111()()222333n n =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+1111(1)(1)3322111123n n --=+--, 所以13lim 122n →∞=+=, 从而1113()232n n n ∞=+=∑.例13 求下列级数的和: (1)112n n n∞-=∑; (2)12(1)!n n n ∞=+∑+. 解 (1)由于1211,(1)(1)n n nx x x ∞-==<∑-, 令()11111157111317f x -+-+-+⋅⋅⋅+=12x =,得112n n n∞-=∑的和, 因此 111211211()422(1)n n x n n n n x -∞∞-======∑∑-.(2)由于当x -∞<<+∞时, 有 212!!nxx x e x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, 故令1x =即得11112!!e n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, 于是有11112(1)111(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n n ∞∞∞∞====+++==+∑∑∑∑+++ (1)(2)23e e e =-+-=-.例14 求下列常数项级数之和:(1) 111113579-+-+-⋅⋅⋅;(2) 111111135791113+--++--⋅⋅⋅;(3) 11111157111317-+-+-+⋅⋅⋅.解 将()4f x π=在[]0,π内展开为正弦级数有()0,1,2,3,n a n ==⋅⋅⋅, 01()2sin 40()n n b nx dx n n πππ⎧⎪==⎨⎪⎩⎰为奇数为偶数,所以()()()11sin sin 3sin 2104321f x x x n x x n ππ==++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅≤≤-. (1) 当2x π=时, 有1111135794π-+-+-⋅⋅⋅=.(2) 当4x π=时,有1111111357911134+--++-⋅⋅⋅=. (3) 当3x π=时,有11111157111317-+-+-+⋅⋅⋅=.例15 求2221111357++++⋅⋅⋅的和. 解 将函数[],x ππ-在上展成傅里叶级数得[]224cos3cos5(cos ),,235x xx x x ππππ=-+++⋅⋅⋅∈-. 令x π=, 则222211113578π++++⋅⋅⋅=.例16 求和0cos !n nxn ∞=∑.解 令 ixz e =, 则0!nZ n z e n ∞==∑. 因为 ()()cos 000cos sin ,cos sin sin sin !!!n Z x n n n z nxnx i e e x i x n n n ∞∞∞====+=+⎡⎤∑∑∑⎣⎦, 按实部和虚部分别相等的关系, 即得()()cos 0cos cos sin ,,!x n nxe x n ∞==-∞+∞∑.利用四则运算等将所给级数转化为()S x 代数方程再求解, 这种思维方式和求解方法与错位相减法类似, 只不过在错位相减法中两边同乘的是等比级数的公比q , 在这里则需依具体情况而定, 同乘以关于x 的某个代数式再两式相减以得化简.例17 求级数21n n nx ∞=∑的和.解 因为该级数的收敛半径1lim1nn n a R a →∞+==, 又因为当1x =±时，该级数发散，所以级数收敛域为(-1,1).()21n n nx S x ∞==∑设, 则()24623n S x x x x nx =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ , (5) ()2468223n x S x x x x nx +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅, (6)(9)式减去(10)得()()222468211x x S x x x x x x -=++++⋅⋅⋅=-,故()()()222,1,11x S x x x =∈--.转化为微分方程求解, 即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系, 看其是否满足某微分方程及定解条件. 找出求和级数所满足的微分方程及定解条件, 再解该方程.参考文献[1] 刘玉琏. 数学分析讲义(下册)[M], 北京: 高等教育出版社, 2003. [2] 陈传璋. 数学分析讲义下册[J], 北京: 高等教育出版社， 2004. [3] 张春平. 无穷级数的求和探讨[J], 沈阳师范大学学报, (3) 2008, 20-21. 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无穷级数求和函数
无穷级数求和函数1.无穷级数求和函数在收敛域内，可以如图两次应用求积求导法及等比级数求和公式求出这个和函数。
2.高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。
3.无穷级数，求和函数这个是利用逐项求导后求级数和，再求积分。
把原来的级数每一项都求导，这个级数很好求和，就是等比数列求和了:Σx^(4n)=Σ(x^4)^n=lim(n->正无穷) x^4(1-(x^4)^n)/(1-x^4)因为上面求了一次导数。
4.常用的全面的幂级数展开公式可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，＝x /(1-x)²/n＝- ln(1-x);5.高数无穷级数，求和函数可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，得∑nxⁿ＝x / (1-x)²，∑xⁿ/n＝- ln(1-x)，所以和函数为x/(1-x)²- ln(1-x) 。
6.无穷级数求和∑1/n21＋1/22＋1/32＋…＋1/n2→π2/6这个首先是由欧拉推出来的，将sinx按泰勒级数展开：sinx＝x－x^3/3!＋…于是sinx/x＝1－x^2/3!＋…令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋…而方程sinx＝0的根为0,…故方程sin√y/√y＝0的根为π2,＋…＝0的根为π2,根的倒数和＝一次项系数的相反数即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3!无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式。