数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和７种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和) 利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法.

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础． 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧． 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例１] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前ｎ项和． 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公

式）

＝x x x n

--1)1(=

2

11)

211(21--n =1-n 21

［例2］ 设Ｓn ＝1+２+3＋…+n，ｎ∈N ＊,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值。

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f =64

342++n n n

＝

n n 64

341+

+=

50)8

(1

2+-n

n 50

1≤

∴ 当 8

8-n ,即ｎ=8时,501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列｛a ｎ· b ｎ｝的前ｎ项和，其中{ a ｎ }、{ b n ｝分别是等差数列和等比数列.

［例3］ 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知,｛1

)12(--n x

n ｝的通项是等差数列{2n －1｝的通项与等比数列｛1

-n x

｝的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………． ② (设制错位） ①-②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减)

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4］ 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,

2232n

n

前n 项的和． 解:由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2ｎ｝的通项与等比数列｛n 2

1

｝的通项之积

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=

…………………………………① 14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………② （设制错位) ①-②得14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S (错位相

减）

1

1

2221

2+--

-

=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到ｎ个)(1n a a +。

［例5] 求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=…………………………．． ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(………….。……．. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- (反序相加) ∴ n

n n S 2)1(⋅+=

［例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………． ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………。．② （反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x

①

+

②

得

（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴ S ＝４4。5