2019版高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程课时分层作业七十三1坐标系理

课时分层作业七十三坐标系

(45分钟60分)

1.(10分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin =-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.

【解析】在ρsin =-中令θ=0,得ρ=1,

所以圆C的圆心坐标为(1,0).

因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC==1,

于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.

2.(10分)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和

ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标.

【解析】由ρsin 2θ=cos θ可得ρ2sin 2θ=ρcos θ,

因此y2=x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=x;

由ρsin θ=1可得曲线C2的直角坐标方程为y=1,

解方程组可得

所以两曲线交点的直角坐标为(1,1).

3.(10分)(1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ

变换所得的点A′的坐标.

(2)求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程.

【解析】(1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:

由于点A的坐标为,于是x′=3×=1,

y′=×(-2)=-1,所以A′(1,-1)为所求.

(2)设直线l′上任意一点P′(x′,y′),

由上述可知,

将代入y=6x得

2y′=6×,所以y′=x′为所求.

【变式备选】若函数y=f(x)的图象在伸缩变换φ:

的作用下得到曲线的方程为

求函数y=f(x)的最小正周期. 【解析】由题意,把变换公式代入曲线

得3y=3sin ,

整理得y=sin ,

故f(x)=sin

.

所以y=f(x)的最小正周期为=π.

4.(10分)在极坐标系中,判断直线ρsin =与圆ρ=2cos θ的位置关系.

【解析】由直线ρsin =得,

x-y+1=0,由圆ρ=2cos θ得

x2+y2=2x,所以(x-1)2+y2=1,它的圆心为(1,0),半径r=1,

因为圆心到直线的距离d==>r=1,

所以直线与圆相离.

5.(10分)(2018·长春摸拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2, ρ2-2ρcos (θ-)=2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

【解析】(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;

因为ρ2-2ρcos =2,

所以ρ2-2ρ=2,

所以x2+y2-2x-2y-2=0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.

化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,

即ρsin =.

6.(10分)(2018·成都模拟)(1)若圆x2+y2=4在伸缩变换(λ>0)的作用下变成一个焦点在x轴上,且离心率为的椭圆,求λ的值.

(2)在极坐标中,已知点A(2,0),点P在曲线C:ρ=上运动,求P,A两点间的距离的最小值.【解析】(1)圆x2+y2=4在伸缩变换(λ>0)的作用下

变成焦点在x轴上,c2=4λ2-36,

e2===,λ=5,所以λ的值为5.

(2)曲线C的极坐标方程可化为ρ=,

即ρ-ρcos θ=2,化为直角坐标方程,得-x=2,即y2=4(x+1).

设点P(x,y)(x≥-1),即|PA|==≥2,

当且仅当x=0时取等号,故|PA|min=2.

【变式备选】(2018·西安模拟) 在极坐标系中,极点为O,曲线C1:ρ=6sin θ与曲线C2:ρsin

=,求曲线C1上的点到曲线C2的最大距离.

【解析】曲线C1:ρ=6sin θ化为:ρ2=6ρsin θ,所以直角坐标方程为:x2+y2=6y,配方为x2+(y-3)2=9. 曲线C2:ρsin =,展开为(ρsin θ+ρcos θ)=,化为直角坐标方程为:x+y-2=0. 圆心(0,3)到直线的距离d==.

则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为3+.