2019届高考数学二轮复习第三部分 8 回顾8 算法与推理证明学案 Word版含解析

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苏教版2019年高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法学案

8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [问题1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.(2)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________________．答案 (1)n ＋22n ＋2(2)d n ＝nc 1·c 2·…·c n2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_______________________．答案三角形三个内角都大于60° 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．答案－24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： (1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.答案 15．(1)循环结构中几个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数． [问题5] 执行如图的流程图，则输出S 的值为________．答案 2解析由算法知，记第k 次计算结果为S k ，则有S 1＝11－2＝－1，S 2＝11－(－1)＝12，S 3＝11－12＝2，S 4＝11－2＝－1＝S 1，因此{S k}是周期数列，周期为3，输出结果为S 2 016＝S 3＝2.易错点1 复数概念不清例1 设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．易错分析本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算z 2z 1时，错用运算法则导致失误．解析z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －2＋(2＋a )i 2，故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6. 答案 6易错点2 循环结束条件判断不准例2 如图所示是一算法的流程图，若此程序的运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是______________．易错分析本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720. 解析第一次运行结果为S ＝10，k ＝9，第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8；第三次运行结果为S ＝720，k ＝7. 这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k ≥8或k >7. 答案 k ≥8或k >7易错点3 类比不当例3 已知圆的面积S (R )＝πR 2，显然S ′(R )＝2πR 表示的是圆的周长：C ＝2πR .把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：_________________________________________________.易错分析该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．解析平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数V ′(R )＝43×3πR 2＝4πR 2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2.答案半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2易错点4 循环次数把握不准例4 执行下面的流程图，若P ＝0.8，则输出的n ＝________.易错分析容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．解析顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝78＝0.875. n ：2,3,4.“0.875<0.8”判断为“N”，输出n ＝4. 答案 41．(2018·江苏姜堰中学等三校联考)若复数z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，z 1·z 2为实数，则a ＝________. 答案 23解析因为z 1·z 2＝3＋2a ＋(3a －2)i 为实数，所以a ＝23.2．已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第____象限．答案二解析 z 1－z 2＝(1－3)＋(3－1)i ＝－2＋2i ，从而z 1－z 2对应的点在第二象限． 3．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)．请推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 35解析由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.4.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析设B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)，在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0，∴b 2＝ac ，而双曲线中b 2＝c 2－a 2，∴ac ＝c 2－a 2，等号两端同除以a 2，得e ＝5＋12. 5．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0.6．如图是一个算法的流程图，则输出k 的值是________．答案 5解析当k＝1，S＝1时，经过第一次循环得S＝2＋1＝3<80，k＝2；经过第二次循环得S＝2×3＋2＝8<80，k＝3；经过第三次循环得S＝2×8＋3＝19<80，k＝4，经过第四次循环得S＝2×19＋4＝42<80，k＝5；经过第五次循环得S＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k＝5.7．如图是一个算法的伪代码，则输出的i值为________．答案 5解析由算法语句知，算法的功能是求满足S＝9－(1＋2＋3＋…＋i)<0的最小正整数i＋1的值，∵S＝9－(1＋2＋3)＝3>0，S＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1<0，∴输出的i值为5.8．执行如图所示的流程图，输出的结果为________．答案3解析该流程图的输出结果为式子S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3的值，由于sin π3＝32，sin 2π3＝32，sin 3π3＝0，sin 4π3＝－32，sin 5π3＝－32，sin 6π3＝0，所以sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＝0，因此S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3＝0×335＋32＋32＝ 3.9．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________. 答案 1 000解析前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a 10由第46个到第55个，共10个奇数的和组成，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.10．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (n )＝________.(答案用n 表示)答案n (n ＋1)(n ＋2)6解析由图形观察可知，f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，….故下一堆的个数是上一堆个数加上其第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上n －1个式子相加，可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.。

2019届高考数学二轮复习(理科)专题六第一讲算法、复数、推理与证明课件(33张)

Ⅱ卷算·T1
选择题或填空题，试题难度不大；
2018
程序框图问题·T7 2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一
复数的乘法运 Ⅲ卷
算·T2
般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义．
3.推理与证明考查频次较低.
专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第一讲算法、复数、推理与证明
C目录 ONTENTS
考点一考点二考点三 4 课后训练提升能力
考情分析明确方向
考查角度及命题年份卷别
位置
命题分析
复数运算及模的 Ⅰ卷
计算·T1 复数的除法运
1.程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为
考点一考点二考点三课后训练提升能力
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考点二算法
[全练——快速解答] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
考点一考点二考点三课后训练提升能力
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考点二算法
A．2 C．4
B．3 D．5
∴N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.
答案：D
考点一考点二
考点三
课后训练提升能力
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考点二算法
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－12＋13－14＋…＋919－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
考点一考点二考点三课后训练提升能力
考点一考点二考点三课后训练提升能力

2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想,含答案)

【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B. 【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1 （2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n＋1cos 2π2n＋1…cos nπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D. 7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116。

江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法课件

12345
答案
3.复数的概念对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且 b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数. [问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为___－__2___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析答案
6.如图是一个算法的流程图，则输出k的值是_____5___. 解析当k＝1，S＝1时，经过第一次循环得S＝2 ＋1＝3<80，k＝2；经过第二次循环得S＝2×3＋2＝8<80，k＝3；经过第三次循环得S＝2×8＋3＝19<80，k＝4，经过第四次循环得S＝2×19＋4＝42<80，k＝5；经过第五次循环得S＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k＝5.
12345
解析答案
易错提醒
易错点1 复数概念不清
例 1 设复数 z1＝1－i，z2＝a＋2i，若zz21的虚部是实部的 2 倍，则实数 a 的值为________. 易错分析本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算zz21时，错用运算法则导致失误. 答案 6
解析 zz21＝a1＋－2ii＝a1＋－2ii11＋＋ii＝a－2＋22＋ai，
解析平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比. 所以半径为 R 的球的体积为 V(R)＝43πR3，其导函数 V′(R)＝43×3πR2＝4πR2，显然表示的是球的表面积. 所以结论是：半径为 R 的球的体积为 V(R)＝34πR3，其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2.

2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想)(含答案和解析)

【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1（2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n ＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n 的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B. 【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数n空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116. 【答案】116。

2018_2019学年高中数学复习课(二)推理与证明教案(含解析)北师大版

复习课(二) 推理与证明[对应学生用书P43]其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．[考点精要]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. [答案] (1)127 (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[类题通法](1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋12．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝1(1)获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．[考点精要](1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．[典例] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 法一：综合法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＋a ＋b ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．[题组训练]1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝1f －x，可得0<f(x)<1.综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.(1)问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； (2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例] (1)否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．[解析] (1)自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． [类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．[题组训练]1．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 至少有一个不小于1.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数，与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知方程f (x )＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的大前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y ＝x 3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .答案：2π2r 2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9110．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明．解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． ∴原式得证．12．设函数f (x )＝e xln x ＋2ex －1x，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习第8篇抛物线学案理

第五十四课时抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。

2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的，定点F 定直线l 上。

3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点的距离为。

4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝；（2）12y y ＝；12x x ＝。

5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做，它的长为。

1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程是x = 14；（3）焦点到准线的距离是2。

2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（）A ．2y x =或28x y =-B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =- 3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a 4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2018陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1）在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A.x=3pB.x=pC.x=52p D.x=32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．3CD ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为．课后拓展案组全员必做题1．（2019年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）A ．12B ．1 D 2．（2018辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2019年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题 1．（2018山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（）A ．163B ．83C ．332D ．334 2．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7.【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x =组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。

高考数学二轮复习教案(17)推理与证明新人教A版

推理与证明【专题要点】1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.3.演绎推理4.证明①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法近几年高考中加大了其考察力度.③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】1合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识纵横】⎧⎧⎧→⎪⎪⎨→⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩→⎨⎧⎧⎪→⎪⎨⎪→⎨⎩⎪⎪⎪→⎩⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理推理与证明综合法直接证明证明分析法间接证明反证法【教法指引】高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。

江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法学案(含答案)

8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [问题1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.(2)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________________．答案 (1)n ＋22n ＋2(2)d n ＝n c 1·c 2·…·c n2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_______________________．答案三角形三个内角都大于60° 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．答案－24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： (1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.答案 15．(1)循环结构中几个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数． [问题5] 执行如图的流程图，则输出S 的值为________．答案 2解析由算法知，记第k 次计算结果为S k ，则有S 1＝11－2＝－1，S 2＝11－(－1)＝12，S 3＝11－12＝2，S 4＝11－2＝－1＝S 1，因此{S k }是周期数列，周期为3，输出结果为S 2 016＝S 3＝2.易错点1 复数概念不清例1 设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．易错分析本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算z 2z 1时，错用运算法则导致失误．解析z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －2＋(2＋a )i 2，故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6. 答案 6易错点2 循环结束条件判断不准例2 如图所示是一算法的流程图，若此程序的运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是______________．易错分析本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720.解析第一次运行结果为S ＝10，k ＝9，第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8；第三次运行结果为S ＝720，k ＝7. 这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k ≥8或k >7. 答案 k ≥8或k >7易错点3 类比不当例3 已知圆的面积S (R )＝πR 2，显然S ′(R )＝2πR 表示的是圆的周长：C ＝2πR .把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：_________________________________________________. 易错分析该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．解析平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数V ′(R )＝43×3πR 2＝4πR 2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2.答案半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2易错点4 循环次数把握不准例4 执行下面的流程图，若P ＝0.8，则输出的n ＝________.易错分析容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．解析顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝78＝0.875. n ：2,3,4.“0.875<0.8”判断为“N”，输出n ＝4. 答案 41．(2018·江苏姜堰中学等三校联考)若复数z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，z 1·z 2为实数，则a ＝________. 答案 23解析因为z 1·z 2＝3＋2a ＋(3a －2)i 为实数，所以a ＝23.2．已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第____象限．答案二解析 z 1－z 2＝(1－3)＋(3－1)i ＝－2＋2i ，从而z 1－z 2对应的点在第二象限． 3．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a b ＝6a b(a ，b 均为实数)．请推测a ＝________，b ＝________.答案 6 35解析由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.4.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析设B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)，在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0，∴b 2＝ac ，而双曲线中b 2＝c 2－a 2，∴ac ＝c 2－a 2，等号两端同除以a 2，得e ＝5＋12. 5．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0.6．如图是一个算法的流程图，则输出k 的值是________．答案 5解析当k ＝1，S ＝1时，经过第一次循环得S ＝2＋1＝3<80，k ＝2；经过第二次循环得S ＝2×3＋2＝8<80，k ＝3；经过第三次循环得S ＝2×8＋3＝19<80，k ＝4，经过第四次循环得S ＝2×19＋4＝42<80，k ＝5；经过第五次循环得S ＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k ＝5. 7．如图是一个算法的伪代码，则输出的i 值为________．答案 5解析由算法语句知，算法的功能是求满足S ＝9－(1＋2＋3＋…＋i )<0的最小正整数i ＋1的值，∵S ＝9－(1＋2＋3)＝3>0，S ＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1<0，∴输出的i 值为5.8．执行如图所示的流程图，输出的结果为________．答案3解析该流程图的输出结果为式子S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin2 012π3的值，由于sin π3＝32，sin 2π3＝32，sin 3π3＝0，sin 4π3＝－32，sin 5π3＝－32，sin6π3＝0，所以sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＝0，因此S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3＝0×335＋32＋32＝ 3.9．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________. 答案 1 000解析前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a 10由第46个到第55个，共10个奇数的和组成，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.10．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (n )＝________.(答案用n 表示)答案n (n ＋1)(n ＋2)6解析由图形观察可知，f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，….故下一堆的个数是上一堆个数加上其第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上n －1个式子相加，可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.。

精准发力,扎实推进二轮备考

精准发力，扎实推进二轮备考沂南一中牛纪堂张荣立2019.3尊敬的各位领导、老师们：大家好！首先感谢市教科研中心郭老师给我们提供了互相交流与学习的机会！下面，我将沂南一中高三数学备课组在一轮复习中的一些主要做法及二轮备考计划向各位领导和老师们汇报一下：第一部分：一轮复习的常规做法一轮复习，强调基础，关注能力和思维的承载体，强调通性通法，淡化特殊技巧。

要站在整个高中数学的角度看待问题，不能拘泥于一章一节。

把握整体结构，突出主干知识。

关注学生的易错点，关注一类题型的规律，增加针对性和实效性。

一、加强集体备课，提高教学水平集体备课是大面积大幅度提高教学水平和成绩的有效途径。

进入高三，我们搬迁到新校区后，教学设备得到了改善，每个备课组都配备了多媒体备课设备，配备了专门用于集备的桌椅，同时也加强了集体备课。

每天安排一次集体备课，集体备课的内容要求包括：拟定复习目标，明确复习要求；确定主题主线，提炼重点难点；梳理知识要点，整合知识结构；提出关键问题，精选例题习题；构思教学策略，设计教学流程。

集体备课促进了全体教师的教学智慧、经验、水平和能力的两次“转化”：由个体优势转化为群体优势，再由群体优势转化为个体优势。

二、精心编制导学案，提高复习的针对性我们在一轮复习中，一直坚持使用导学案。

由于复习资料有些题型不够全面，有些题目不适合课堂教学，不利于扎实复习。

因此，我们就事先分好工，两人一组，编写导学案。

导学案的选题来源是：课本习题变形、历年高考真题、往届高三典型题目、教辅资料和网络资源。

导学案分为自主学习、课堂探究、课后巩固三部分。

自主学习部分引导学生以课本为载体复习基础知识，并根据所复习内容进行尝试练习；课堂探究部分按照考纲要求，分题型精选例题，让学生通过探究达到对知识的理解和掌握，并配有变式训练或跟踪练习，提高学生对知识的应用能力；课后巩固部分所选题目要典型，难度适中，题量不宜过大，一般20-30分钟内完成。

课时作业在晚自习定时完成后，老师收上来进行批改，对于学生出错率较高的题型第二天要安排补偿题。

2019届二轮复习算法与推理证明课件(40张)(全国通用)

【解析】(1) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 P(x0,0)在线段 AB 的垂直平分线上, 2 2 得(x1－x0)2＋y2 1＝(x2－x0) ＋y2. 2 2 b b 2 2 2 2 2 由 A,B 两点在椭圆上,得 y2 ＝ b － x , y ＝ b － x , 2 2 1 a 1 2 a 2 b2 2 2 2 2 2 (x1－x0) －(x2－x0) ＝y2－y1＝ 2 (x1－x2 2), a b2 (x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝ 2 (x1－x2)(x1＋x2), a ∵x1≠x2, a2－b2 b2 1－ 2 ＝(x1＋x2) ∴2x0＝(x1＋x2)· . a a2 ∵－ a≤x1 ≤ a, － a≤x2 ≤ a, 又 x1 ≠ x2, ∴－ 2a<x1 ＋ x2<2a, a2－b2 a2－b2 ∴－ <x0< . a a
(2)A,B 是双曲线上不同的两个点,线段 AB 的垂直平 a2＋b2 a2＋b2 分线与 x 轴相交于点 P(x0,0),则|x0|> (x0> 或 a a a2＋b2 x0<－ ). a
1.解答程序框图问题的关键点： (1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构,在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构. (2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件, 弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果. (3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律.特别要注意输出循环次数的情况,防止多一次或少一次的错误.
探究一 (
算法初步
பைடு நூலகம்
例 1(1) 执行如下图所示的程序框图 , 输出 s 的值为 )

2019届高考数学二轮复习第三部分 8 回顾8 算法与推理证明学案 Word版含解析

回顾8 算法与推理证明[必记知识]三种基本逻辑结构的对比分析这就需要用条件结构来作出判断，因此循环结构中一定要包含条件结构.（2）一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加（乘）变量，计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加（乘）变量用于表示每一步的计算结果.计数变量和累加（乘）变量一般同步执行，累加（乘）一次，计数一次.归纳推理与类比推理的区别与联系(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．推理模式：框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．推理模式框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)． (3)反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[提醒]) （1）数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明.（2）初始值n 0不一定是1.（3）证明当n＝k ＋1时命题成立，要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1，增加了哪些项或减少了哪些项. [必会结论] 归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[必练习题]1．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝－1，b ＝－2，那么输出的a 的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选B.初始值：a ＝－1，b ＝－2.第一次循环：a ＝(－1)×(－2)＝2，b ＝－2；第二次循环：a ＝2×(－2)＝－4，b ＝－2；第三次循环：a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时循环结束，输出a ＝8.故选B.2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．－32B ．0 C.32D. 3解析：选B.初始值：S ＝0，n ＝1.第一次循环：S ＝32，n ＝2；第二次循环：S ＝32＋32＝3，n ＝3；第三次循环：S ＝3，n ＝4；第四次循环：S ＝32，n ＝5；第五次循环：S ＝0，n ＝6，此时不满足n ＜6，循环结束，输出S ＝0.故选B.3．某程序框图如图所示，若输出的S ＝29，则判断框内应填( )A ．k ＞5?B ．k ＞4?C ．k ＞7?D ．k ＞6?解析：选B.程序在运行过程中各变量的值的变化如下表：4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，由n ＝k (k ＞1)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选C.由题意得，当n ＝k 时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1；当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1.因为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k ，所以左边增加了2k项．故选C.5．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是( )A.332B.33C.13D.23解析：选 A.由题意知，凸函数满足f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .又因为y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，在△ABC 中，所以sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故选A.6．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3个人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，有1人说的全不对，由此可推测胡老师( )A ．一定是南昌人B ．一定是广州人C ．一定是福州人D ．可能是上海人解析：选D.由题意可知，若胡老师是南昌人，则甲说的对一半，乙说的全对，丙说的全对；若胡老师是广州人，则甲、乙、丙说的都对了一半；若胡老师是福州人，则甲说的全对，乙说的全错，丙说的对一半；若胡老师是上海人，则甲说的全错，乙说的对一半，丙说的全对．综上所述，胡老师可能是福州人，也可能是上海人．故选D.7．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点，算第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，以此类推．如果一个六边形的点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.第一层点数为1，第二层点数为6，第三层点数为6＋6＝2×6，第四层点数为6＋6＋6＝3×6，第五层点数为6＋6＋6＋6＝4×6，…，第n 层点数为6(n －1)，设一个图形共有n 层时，共有的点数为1＋6×(1＋2＋3＋…＋n －1)＝1＋6×（n －1）n2＝3n 2－3n＋1.由3n 2－3n ＋1＝169，解得n ＝8.故选C.8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍以此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i ≤7？，S ＝S －1i ，i ＝i ＋1B ．i ≤128？，S ＝S －1i ，i ＝2iC ．i ≤7？，S ＝S －12i ，i ＝i ＋1D ．i ≤128？，S ＝S －12i，i ＝2i解析：选B.初始值：S ＝1，i ＝2.第一次循环：S ＝1－12，i ＝4；第二次循环：S ＝1－12－14，i ＝8；第三次循环：S ＝1－12－14－18，i ＝16；以此类推，第七次循环：S ＝1－12－14－18－…－1128，i ＝256，此时不满足条件，退出循环．则①处应填入的条件是i ≤128？，②处应填入的是S ＝S －1i，③处应填入的是i ＝2i .故选B.9．如图所示的程序框图的输出结果是________．解析：初始值：S ＝0，n ＝2.第一次循环：S ＝12，n ＝4；第二次循环：S ＝12＋14，n ＝6；第三次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，此时n ＝8＜8不成立，循环结束，故输出S ＝12＋14＋16＝1112.答案：111210．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是________．解析：由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55…因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3.又2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250.答案：250。

福建省福清市高考数学二轮复习专题八推理与证明、算法及程序框图、复数课件

1

1

≤ +
将上式中的右边减左边,
得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
由于 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
考点 2 算法初步
例 2(2015 山东高考,文 11)执行下边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,
则输出的 y 的值是
.
解析:输入 x=1,∵1<2,∴x=1+1=2.∵x=2 不满足“x<2”,执行“否”,∴
z
2
y=3×2 +1=13.
z
答案:13
第十三页，共20页。
考点(kǎo
diǎn)1
第二次循环:x=3,y=7,|y-x|=4,
z
结束循环,输出y=7.
答案:7
z
第十五页，共20页。
考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
考点 3
1
2
复数
+i
例 3(2015 山东潍坊高三期末,2)复数为纯虚数,则实数 a=(
)
2-i
1
1
A.-2
B.C.2
D.
2
考点(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
第十四页，共20页。

2019届江苏省高考数学二轮复习第讲数列中的推理与证明课件

(3)不等式(an-1)(an+1-1)≥2(1-n),即anan+1-(an+an+1)+1≥2(1-n), 由于an+an+1=2n-1,所以anan+1≥0. 当n是奇数时,an=a+(n-1),an+1=-a+n, 所以anan+1=[a+(n-1)]·(-a+n)=-a2+a+n(n-1)≥0, 即∀n∈N*,且n≥2,-a2+a≥-n(n-1)恒成立, 所以-a2+a≥-2,解得-1≤a≤2. 因为a>0,所以a的取值范围是(0,2].
第19讲数列中的推理与证明
1
第19讲数列中的推理与证明
1.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 = 017 .
答案 2 解析由题意可得a1=2,a2=3,a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,a9=1,…,则数列 {an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2 017=336(a1+a2+…+ a6)+a1=2.
16
则2bn=d(bn+bn-1)+2μd=d(2bn-d)+2μd, ④
若d=0,bn=b1=1,代入④式,得2=0,不成立,则d≠0. ④式可变形为(2-2d)bn=2μd-d2,
则
2 2
2d μd
0, d2
0,
解得
d
μ
1, 1 2
代入②式,得λ=

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本文题目：高三理科数学复习教案：推理与证明复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：三段论.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理;2.利用三段论进行推理与证明;3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题;4.数学归纳法的基本思想与证明步骤;运用数学归纳法证明与自然数n(nN*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题;2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题;3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明. 推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1 合情推理与演绎推理典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论【例1】通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.sin215+sin275+sin2135sin230+sin290+sin2150sin245+sin2105+sin2165sin260+sin2120+sin2180=32.【解析】猜想：sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=32.左边=(sin cos 60-cos sin 60)2+sin2+(sin cos 60+cos sin 60)2=32(sin2+cos2)=32=右边.【点拨】先猜后证是一种常见题型;归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特征型，二是递推型，三是循环型(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b①a2+b2②a3+b3c5+h5.其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .【解析】②③;an+bn题型二运用类比推理拓展新知识【例2】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的二分之一与三棱锥的体积公式中的三分之一是类比对象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4)，(1)若a11=a22=a33=a44=k，则 =;(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4)，若S11=S22=S33=S44=K，则 = .【解析】2Sk;3VK.题型三运用三段论进行演绎推理【例3】已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).(1)求此函数的单调区间及最值;(2)求证：对于任意正整数n，均有1+12+13++1nln enn!. 【解析】(1)由题意f(x)=x-ax2.当a0时，函数f(x)的定义域为(0，+)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，+)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.当a0时，函数f(x)的定义域为(-，0)，此时函数在(-，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.(2)取a=1，由(1)知，f(x)=ln x-x-1xf(1)=0，故1x1-ln x=ln ex，取x=1,2,3，，n，则1+12+ 13++1nln e+ln e2++ln en=ln enn!. 【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而三段论是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)=eg(x)，g(x)=kx-1x+1(e是自然对数的底数)，(1)若对任意的x0，都有f(x)(2)求证：ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)]2n-3(nN*). 【解析】(1)由条件得到f(1) k2ln 2+13，猜测最大整数k=2，现在证明 0恒成立：2，设h(x)=ln(x+1)+3x+1，则h(x)=1x+1-3(x+1)2=x-2(x+1)2. 故x(0,2)时，h(x)0，当x(2，+)时，h(x)0.所以对任意的x0都有h(x)h(2)=ln 3+12，即 0恒成立，所以整数k的最大值为2.(2)由(1)得到不等式2-3x+1所以ln[1+k(k+1)]2-3k(k+1)+12-3k(k+1)，ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)](2-312)+(2-323)++[2-3n(n+1)]=2n-3[112+123++1n(n+1)]=2n-3+3n+12n-3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发;那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明【例1】设a0，b0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab8.【证明】因为a+b=1，所以1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab=1+ba+1+ab+a+bab2++a+b(a+b2)2=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时等号成立. 【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c0，求证：a2b+b2c+c2aa+b+c. 【证明】因为a，b，c0，根据基本不等式，有a2b+b2a，b2c+c2b，c2a+a2c.三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c).即a2b+b2c+c2aa+b+c.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca.求证：I24S.【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S，故要证I24S，只需证a2+b2+c2+2S4S，即a2+b2+c22S.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0，即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I24S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a0，求证：a2+1a2-2a+1a-2.【证明】要证a2+1a2-2a+1a-2，只要证a2+1a2+2a+1a+2.因为a0，故只要证(a2+1a2+2)2(a+1a+2)2，即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22(a+1a)+2，从而只要证2a2+1a22(a+1a)，只要证4(a2+1a2)2(a2 +2+1a2)，即a2+1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】若x，y都是正实数，且x+y2.求证：1+xy2或1+yx2中至少有一个成立.【证明】假设1+xy2和1+yx2都不成立.则1+xy2，1+yx2同时成立.因为x0且y0，所以1+x2y且1+y2x，两式相加得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相因此1+xy2与1+yx2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当结论的反面比结论本身更简单、更具体、更明确;②否定命题，唯一性命题，存在性命题，至多至少型命题;③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0;x2+(a-1)x+a2=0;x2+2ax-2a=0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)2-4(-4a+3)0，得4a2+4a-30，即-32由(a-1)2-4a20，得(a+1)(3a-1)0，即a-1或a由(2a)2-4(-2a)0，得a(a+2)0，即-2以上三部分取交集得M={a|-32总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐;综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题pq与逆否命题 q p是等价的，而反证法是相当于由 q推出 p成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件 q的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等. 14.3 数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立?若存在，求出a、b、c并证明;若不存在，试说明理由. 【解析】假设存在a、b、c使12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立.当n=1时，a(b+c)=1;当n=2时，2a(4b+c)=6;当n=3时，3a(9b+c)=19.解方程组解得证明如下：当n=1时，显然成立;假设n=k(kN*，k1)时等式成立，即12+22+32++k2+ (k-1)2 ++22+12=13k(2k2+1);则当n=k+1时，12+22+32++k2+(k+1)2+k2+(k-1)2++22+12=13k(2k2+1)+(k+ 1)2+k2=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)[2(k+1)2+1].因此存在a=13，b=2，c=1，使等式对一切nN*都成立. 【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n=k到n=k+1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当nN*时，113+135++1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.【证明】(1)当n=1时，左边=113=13，右边=121+1=13，左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立，即有113+135++1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，则当n=k+1时，113+135++1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)( 2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3 =k+12(k+1)+1，所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f(n)=(2n+7)3n+9，是否存在自然数m使得任意的nN*，都有m整除f(n)?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【解析】由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，结论显然成立;(2)假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.则当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1)，由假设知3[(2k+7)3k+9]能被36 整除，又3k-1-1是偶数，故18(3k-1-1)也能被36 整除.即n=k+1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除. 由f(1)=36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明n=k+1结论也成立时，要注意凑形，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.【证明】方法一：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9( 32k+2-8k-9)+64(k+1)，即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k +1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，求证：对任意的nN*，不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r 均为常数)的图象上，所以Sn=bn+r(b0且b1，b，r均为常数).当n=1时，a1=S1=b+r;当n2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1.又数列{an}为等比数列，故r=-1且公比为b.(2)当b=2时，an=2n-1，所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n(nN*)，所以bn+1bn=2n+12n，于是要证明的不等式为32542n+12nn+1对任意的nN*成立. 下面用数学归纳法证明.当n=1时，322显然成立.假设当n=k时不等式成立，即32542k+12kk+1.则当n=k+1时，32542k+12k2k+32k+2k+12k+32k+2=k+1(2k+32k+2)2=(2k+3) 24(k+1)=[2(k+1)+1]24(k+1)=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=(k+1)+1+1 4(k+1)(k+1)+1，即当n=k+1时不等式成立，所以原不等式对任意nN*成立. 【点拨】运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.【变式训练3】设函数f(x)=ex-1+ax(aR).(1)若函数f(x)在x=1处有极值，且函数g(x)=f(x)+b在(0，+)上有零点，求b的最大值;(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围;(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1=1，an+1=f(an)-f(an)，求|an+1-an|的最小值.【解析】(1)f(x)=ex-1-ax2，又函数f(x)在x=1处有极值，所以f(1)=0，即a=1，经检验符合题意.g(x)=ex-1-1x2，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，当x=1时，g(x)=0，当x(1，+)时g(x)0，g(x)为增函数.所以g(x)在x=1时取得极小值g(1)=2+b，依题意g(1)0，所以b-2，所以b的最大值为-2.(2)f(x)=ex-1-ax2，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex-1-ax20在[1,2]上恒成立，所以ax2ex-1，令h(x)=x2 ，则h(x)=ex-1(x2+2x)0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)=1，所以a当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理ax2ex-1，h(x)=x2ex-1在[1,2]上的最大值为h(2)=4e，所以a4e.综上实数a的取值范围为a1或a4e.(3)由(1)得a=1，所以f(x)-f(x)=1x+1x2，因此an+1=1an+1a2n，a1=1，所以a2=2，可得02.用数学归纳法证明如下：①当n=1时，a3=34，a4=289，结论成立;②设n=k，kN*时结论成立，即02，则n=k+1时，a2k+3=1a2k+2+1a22k+212+12=1，所以01+1=2.所以n=k+1时结论也成立，根据①②可得02恒成立，所以|an+1-an|a2-a1=2-1=1，即|an+1-an|的最小值为1. 总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：①1②若kM，则k+1M，那么必有M=N*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如归纳、猜想、证明是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是凑形以便运用归纳假设的条件.。

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推理与证明【专题要点】1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.3.演绎推理4.证明①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法近几年高考中加大了其考察力度.③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】 1合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识纵横】⎧⎧⎧→⎪⎪⎨→⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩→⎨⎧⎧⎪→⎪⎨⎪→⎨⎩⎪⎪⎪→⎩⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理推理与证明综合法直接证明证明分析法间接证明反证法【教法指引】高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。

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