2019届高考数学二轮复习 第三部分 8 回顾8 算法与推理证明 学案 Word版含解析
苏教版2019年高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法学案
8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [问题1] (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.(2)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________________．答案 (1)n ＋22n ＋2(2)d n ＝nc 1·c 2·…·c n2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_______________________． 答案 三角形三个内角都大于60° 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________． 答案 －24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： (1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.答案 15．(1)循环结构中几个常用变量①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数． [问题5] 执行如图的流程图，则输出S 的值为________．答案 2解析 由算法知，记第k 次计算结果为S k ，则有S 1＝11－2＝－1，S 2＝11－(－1)＝12，S 3＝11－12＝2，S 4＝11－2＝－1＝S 1，因此{S k}是周期数列，周期为3，输出结果为S 2 016＝S 3＝2.易错点1 复数概念不清例1 设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算z 2z 1时，错用运算法则导致失误． 解析z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －2＋(2＋a )i 2， 故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6. 答案 6易错点2 循环结束条件判断不准例2 如图所示是一算法的流程图，若此程序的运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是______________．易错分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720. 解析 第一次运行结果为S ＝10，k ＝9， 第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8； 第三次运行结果为S ＝720，k ＝7. 这个程序满足判断框的条件时执行循环， 故判断条件是k ≥8或k >7. 答案 k ≥8或k >7易错点3 类比不当例3 已知圆的面积S (R )＝πR 2，显然S ′(R )＝2πR 表示的是圆的周长：C ＝2πR .把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：_________________________________________________.易错分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．解析 平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比． 所以半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数V ′(R )＝43×3πR 2＝4πR 2，显然表示的是球的表面积．所以结论是：半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2.答案 半径为R 的球的体积为V (R )＝43πR 3，其导函数表示的是球的表面积：S ＝4πR 2易错点4 循环次数把握不准例4 执行下面的流程图，若P ＝0.8，则输出的n ＝________.易错分析 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错． 解析 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝78＝0.875. n ：2,3,4.“0.875<0.8”判断为“N”，输出n ＝4. 答案 41．(2018·江苏姜堰中学等三校联考)若复数z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，z 1·z 2为实数，则a ＝________. 答案 23解析 因为z 1·z 2＝3＋2a ＋(3a －2)i 为实数， 所以a ＝23.2．已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第____象限． 答案 二解析 z 1－z 2＝(1－3)＋(3－1)i ＝－2＋2i ， 从而z 1－z 2对应的点在第二象限． 3．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)．请推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 35解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.4.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析 设B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0，∴b 2＝ac ， 而双曲线中b 2＝c 2－a 2，∴ac ＝c 2－a 2， 等号两端同除以a 2，得e ＝5＋12. 5．已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ， 则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)， 整理得2x －y －2＝0.6．如图是一个算法的流程图，则输出k 的值是________．答案 5解析当k＝1，S＝1时，经过第一次循环得S＝2＋1＝3<80，k＝2；经过第二次循环得S＝2×3＋2＝8<80，k＝3；经过第三次循环得S＝2×8＋3＝19<80，k＝4，经过第四次循环得S＝2×19＋4＝42<80，k＝5；经过第五次循环得S＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k＝5.7．如图是一个算法的伪代码，则输出的i值为________．答案 5解析由算法语句知，算法的功能是求满足S＝9－(1＋2＋3＋…＋i)<0的最小正整数i＋1的值，∵S＝9－(1＋2＋3)＝3>0，S＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1<0，∴输出的i值为5.8．执行如图所示的流程图，输出的结果为________．答案3解析 该流程图的输出结果为式子S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3的值，由于sin π3＝32，sin 2π3＝32，sin 3π3＝0，sin 4π3＝－32，sin 5π3＝－32，sin 6π3＝0，所以sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＝0，因此S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋…＋sin 2 011π3＋sin 2 012π3＝0×335＋32＋32＝ 3.9．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________. 答案 1 000解析 前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a 10由第46个到第55个，共10个奇数的和组成，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.10．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (n )＝________.(答案用n 表示)答案n (n ＋1)(n ＋2)6解析 由图形观察可知，f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，….故下一堆的个数是上一堆个数加上其第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上n －1个式子相加，可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.。
2019届高考数学二轮复习(理科)专题六第一讲算法、复数、推理与证明课件(33张)
Ⅱ卷 算·T1
选择题或填空题，试题难度不大；
2018
程序框图问题·T7 2.对复数的考查，难度一般为容易，常在 选择题或填空题的前两题的位置呈现．一
复数的乘法运 Ⅲ卷
算·T2
般考查三个方面：一是复数的概念，如实 部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的 四则运算；三是复数的几何意义．
3.推理与证明考查频次较低.
专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计 第一讲 算法、复数、推理与证明
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 课后训练 提升能力
考情分析 明确方向
考查角度及命题 年份 卷别
位置
命题分析
复数运算及模的 Ⅰ卷
计算·T1 复数的除法运
1.程序框图是每年高考的必考内容，主要 考查循环结构的程序框图的输出功能以 及判断框内循环体结束条件的填充，多为
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
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考点二 算法
[全练——快速解答] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入 的a＝－1，则输出的S＝( )
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
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考点二 算法
A．2 C．4
B．3 D．5
∴N＝2 成立．显然 2 是最小值． 故选 D.
答案：D
考点一 考点二
考点三
课后训练 提升能力
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考点二 算法
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－12＋13－14＋…＋919－1100， 设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想,含答案)
【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立； 第二次：成立， 循环结束，输出，故选B. 【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1 （2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n＋1cos 2π2n＋1…cos nπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D. 7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116； 当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116。
江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣8推理与证明复数算法课件
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答案
3.复数的概念 对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时， 复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且 b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数. [问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的 值为___－__2___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 答案
6.如图是一个算法的流程图，则输出k的值是_____5___. 解析 当k＝1，S＝1时，经过第一次循环得S＝2 ＋1＝3<80，k＝2； 经过第二次循环得S＝2×3＋2＝8<80，k＝3； 经过第三次循环得S＝2×8＋3＝19<80，k＝4， 经过第四次循环得S＝2×19＋4＝42<80，k＝5； 经过第五次循环得S＝2×42＋5＝89>80，退出循 环，此时k＝5.
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解析 答案
易错提醒
易错点1 复数概念不清
例 1 设复数 z1＝1－i，z2＝a＋2i，若zz21的虚部是实部的 2 倍，则实数 a 的值为________. 易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部； 二是计算zz21时，错用运算法则导致失误. 答案 6
解析 zz21＝a1＋－2ii＝a1＋－2ii11＋＋ii＝a－2＋22＋ai，
解析 平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的 周长应和空间几何体的表面积类比. 所以半径为 R 的球的体积为 V(R)＝43πR3， 其导函数 V′(R)＝43×3πR2＝4πR2，显然表示的是球的表面积. 所以结论是：半径为 R 的球的体积为 V(R)＝34πR3， 其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2.
2019年高考数学(文)：专题04-算法、推理证明(命题猜想)(含答案和解析)
【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1（2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n ＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n 的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B. 【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数n空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116. 【答案】116。
2018_2019学年高中数学复习课(二)推理与证明教案(含解析)北师大版
复习课(二) 推理与证明[对应学生用书P43]其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．[考点精要]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. [答案] (1)127 (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[类题通法](1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋12．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝1(1)获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．[考点精要](1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．[典例] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 法一：综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．[题组训练]1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝1f －x，可得0<f(x)<1.综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.(1)问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； (2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例] (1)否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．[解析] (1)自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )， 与已知矛盾，故原命题成立． [类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．[题组训练]1．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数， 与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知方程f (x )＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的大前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y ＝x 3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .答案：2π2r 2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9110．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |， 即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2， 即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2， 即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1， 所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明． 解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． ∴原式得证．12．设函数f (x )＝e xln x ＋2ex －1x，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习 第8篇 抛物线学案 理
第五十四课时 抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。
2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，定点F 定直线l 上。
3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点 的距离为 。
4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝ ；（2）12y y ＝ ；12x x ＝ 。
5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，连结这两点的线段叫做 ，它的长为 。
1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程 是x = 14； （3）焦点到准线的距离是2。
2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =或28x y =-B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =- 3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a 4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2018陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1） 在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（ ）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）A.x=3pB.x=pC.x=52p D.x=32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3CD ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ．课后拓展案组全员必做题1．（2019年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．1 D 2．（2018辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2019年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题 1．（2018山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83C ．332D ．334 2．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7.【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x =组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。
高考数学二轮复习教案(17)推理与证明 新人教A版
推理与证明【专题要点】1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.3.演绎推理4.证明①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法 近几年高考中加大了其考察力度.③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】1合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识纵横】⎧⎧⎧→⎪⎪⎨→⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩→⎨⎧⎧⎪→⎪⎨⎪→⎨⎩⎪⎪⎪→⎩⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理推理与证明综合法直接证明证明分析法间接证明反证法 【教法指引】高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。
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回顾8 算法与推理证明
[必记知识
]
三种基本逻辑结构的对比分析
这就需要用条件结构来作出判断，因此循环结构中一定要包含条件结构.
（2）一般地，循环结构中都有一个计数变量和累加（乘）变量，计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加（乘）变量用于表示每一步的计算结果.计数变量和累加（乘）变量一般同步执行，累加（乘）一次，计数一次.
归纳推理与类比推理的区别与联系
(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．推理模式：
框图表示
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．推理模式
框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q
2
→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．
(3)反证法
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这
两个步骤，就可以断定命题对从n0
开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归
纳法．
[提醒])（1）数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正
整数有关的问题都能用数学归纳法证明.（2）初始值n0不一定是1.（3）证明当
n＝k＋1时
命题成立，要搞清从n＝k到n＝k＋1，增加了哪些项或减少了哪些项. [必会结论] 归纳推理的思维过程
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论
类比推理的思维过程
实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论
[必练习题]
1．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝－1，b＝－2，那么输出的a的值为()
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
解析：选B.初始值：a ＝－1，b ＝－2.第一次循环：a ＝(－1)×(－2)＝2，b ＝－2；第二次循环：a ＝2×(－2)＝－4，b ＝－2；第三次循环：a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时循环结束，输出a ＝8.故选B.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )
A ．－32
B ．0 C.32
D. 3
解析：选B.初始值：S ＝0，n ＝1.第一次循环：S ＝
32，n ＝2；第二次循环：S ＝32＋32
＝3，n ＝3；第三次循环：S ＝3，n ＝4；第四次循环：S ＝3
2
，n ＝5；第五次循环：S ＝0，n ＝6，此时不满足n ＜6，循环结束，输出S ＝0.故选B.
3．某程序框图如图所示，若输出的S ＝29，则判断框内应填( )
A ．k ＞5?
B ．k ＞4?
C ．k ＞7?
D ．k ＞6?
解析：选B.程序在运行过程中各变量的值的变化如下表：
4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1
2n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，由n ＝k (k ＞1)时不等
式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )
A ．2k －
1
B ．2k －1
C ．2k
D ．2k ＋1
解析：选C.由题意得，当n ＝k 时，左边＝1＋12＋13＋…＋1
2k －1；当n ＝k ＋1时，左边
＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋1
2k ＋1－1.因为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k ，所以左边增加了2k
项．故选C.
5．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f
⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，
那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是( )
A.332
B.33
C.13
D.23
解析：选 A.由题意知，凸函数满足f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 2＋…＋x n n .又因为y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，在△ABC 中，所以sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332
.故选A.
6．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3个人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，有1人说的全不对，由此可推测胡老师( )
A ．一定是南昌人
B ．一定是广州人
C ．一定是福州人
D ．可能是上海人
解析：选D.由题意可知，若胡老师是南昌人，则甲说的对一半，乙说的全对，丙说的全对；若胡老师是广州人，则甲、乙、丙说的都对了一半；若胡老师是福州人，则甲说的全对，乙说的全错，丙说的对一半；若胡老师是上海人，则甲说的全错，乙说的对一半，丙说的全对．综上所述，胡老师可能是福州人，也可能是上海人．故选D.
7．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点，算第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，以此类推．如果一个六边形的点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选C.第一层点数为1，第二层点数为6，第三层点数为6＋6＝2×6，第四层点数为6＋6＋6＝3×6，第五层点数为6＋6＋6＋6＝4×6，…，第n 层点数为6(n －1)，设一个
图形共有n 层时，共有的点数为1＋6×(1＋2＋3＋…＋n －1)＝1＋6×（n －1）n
2＝3n 2－3n
＋1.由3n 2－3n ＋1＝169，解得n ＝8.故选C.
8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍以此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )
A ．i ≤7？，S ＝S －1
i ，i ＝i ＋1
B ．i ≤128？，S ＝S －1
i ，i ＝2i
C ．i ≤7？，S ＝S －1
2i ，i ＝i ＋1
D ．i ≤128？，S ＝S －1
2i
，i ＝2i
解析：选B.初始值：S ＝1，i ＝2.第一次循环：S ＝1－12，i ＝4；第二次循环：S ＝1－1
2－
14，i ＝8；第三次循环：S ＝1－12－14－18，i ＝16；以此类推，第七次循环：S ＝1－12－14－1
8－…－
1
128
，i ＝256，此时不满足条件，退出循环．则①处应填入的条件是i ≤128？，②处应填入的是S ＝S －1
i
，③处应填入的是i ＝2i .故选B.
9．如图所示的程序框图的输出结果是________．
解析：初始值：S ＝0，n ＝2.第一次循环：S ＝12，n ＝4；第二次循环：S ＝12＋1
4，n ＝6；
第三次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，此时n ＝8＜8不成立，循环结束，故输出S ＝12＋14＋16＝11
12
.
答案：11
12
10．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是________．
解析：由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55…因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3.又2 016＝672×3，故第2 016次操作后得到的数是250.
答案：250。