高三数学专题复习——圆锥曲线(抛物线)

高三数学专题复习——圆锥曲线（抛物线）

【知识网络】

1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 2．了解抛物线简单应用． 3．进一步体会数形结合思想． 【典型例题】

[例1]（1）设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为（ ）

Ａ、 (a,0) Ｂ、 (0,a) Ｃ、 (0,

a

161

) Ｄ、 随a 的符号而定 （2）顶点在原点，准线为y=2的抛物线方程为（Ｄ）

A ．y 2=8x

B ．y 2=－8x

C ．x 2=8y

D ．x 2=－8y （3）已知：Ｐ为抛物线ｙ＝

2

4

1x 上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为 （ ） A ．

16

17

B ．2

C ．12+

D ．12-

（4）已知抛物线y 2=4x 过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是 ． （5）已知抛物线C 1：y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称，则C 2的准线方程是 .

[例2] 抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5=AF ，求抛物线的标准方程．

[例3]如图，抛物线px y 22

=的弦21P P 交x 轴于点Q ，过1P 、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．

[例4] 如图，M （a ，0）（a ＞0)是抛物线y 2=4x 对称轴上一点，过M 作抛物线的弦AMB ，交抛物线与A ，B ．

（1）若a =2，求弦AB 中点的轨迹方程；

（2）过M 作抛物线的另一条割线CMD （如图），与抛物线交于CD ，若AD 与y 轴交与点E ，连ME ，BC ，求证：ME ∥BC ．

【课内练习】

1．以抛物线)0(22

>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）

Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定 2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ） A ．(716 ,0) B ．(－732 ,0) C ．(0,－ 732 ) D ．(0,－ 7

16 )

3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ） A ．43 B ．75 C ．8

5 D ．3

4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF →

=－4，则A 点坐标为 （ ）

A ．（2，±2 2 ）

B ．（1，±2）

C ．（1，2）

D ．（2，2 2 ）

5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ． 6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4

π

θ≥

交抛物线于A 、B 两点，且A 点

在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．

7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ． 8．直线l 过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．

9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ．

（1）求抛物线的方程；

（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．

10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．

（1）求a 的取值范围； （2）求|AM|+|AN|的值；

（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？

抛物线 A 组

1．顶点为原点，抛物线对称轴为y 轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（ ） A ．y=－45 B ．y=45 C ．x=－45 D ．x=4

5

2．已知点P 是抛物线2

2y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是

7

(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是（ ） A ．112 B ．4 C ．9

2

D ．5

3．过点（－1，0）作抛物线y=x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为 （ ）

A ．2x ＋y ＋2=0

B ．3x －y ＋3=0

C ．x ＋y ＋1=0

D ．x －y ＋1=0

4．抛物线型拱桥的顶点距水面2m 时，水面宽8m ，若水面升1m ，此时水面宽为 ． 5．过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则△OAB 的重心的坐标为 ．

6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程．

7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求

此抛物线方程．

8．已知抛物线x y 22

=及定点),0,1(),1,1(-B A M 是抛物线上的点，设直线BM AM ,与抛

物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标

B 组

1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )

A ．

1716 B ．1516 C ．7

8

D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP →

=0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x

3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA →

所成的比为2，则点

M 的轨迹方程是（ ） A 、y=6x 2―

31 B 、x=6y 2－31 C 、y=3x 2+3

1

D 、y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的

边长是 ．

5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22

+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，

则数列??

????????+?)1(2n n n 的前n 项和公式是 ．

6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程．

7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标．

8．在直角坐标系中，已知点??

?

??0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. （1） 点A 的轨迹C 的方程；

（2） PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系. 21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M

在曲线C 上．

抛物线

【典型例题】

例1 （1）C ．提示：注意抛物线的开口方向． （2）D ．提示：逆用准线方程公式．

（3）B ．提示：用抛物线定义结合三角形的性质．

（4）32．提示：设出过点P 的直线方程与抛物线方程联列，用韦达定理及配方法． （5）x=1

8 ．提示：在抛物线方程中，先用－x 换y ，同时用－y 换x ．得到对称抛物线的标

准方程．

例2. 设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22

≠=p px y ，)3,(-m A 则由抛物线的定义得2

5p m AF +==，又pm 2)3(2

=- 所以9,1±=±=p p

故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,22

2

±=±=

例3、设点1P 、2P 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则直线21P P 的方程为

1

21

121x x x x y y y y --=-- ①

由于点Ｑ是直线21P P 和x 轴的交点，令y ＝０得点Ｑ的横坐标为 2

12

112y y y x y x x --=

．

点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则

112px y =，222px y -=．

代入①，得2

12

1122222px px px x px x x ++=

＝21x x ，

所以ON OM OQ =2

即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项． 例4、（1）当AB 斜率存在时，由a=2,设其方程为 y=k (x －2)，弦AB 中点为（x 0,y 0)

由24(2)

y x y k x ?=?=-?得 22224(1)40k x k x k -++=

△=16（k 2＋1)2－16k 4=32k 2＋16＞0

212022

1

20

12222

2212(22)22x x k x k k y y y kx k kx k k ?++===+???

+?==-+-=??

消去k 得y 02=2x 0－4(x 0＞2)

当AB 斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y 02=2x 0－4． 综上所述，弦AB 中点的轨迹方程y 2=2x －4．

（2）证明：设A （t 12,－2t ),B （t 22, 2t 2),C （t 32,－2t 3),D

（t 42,－2t 4),其中t 1，t 2，t 3，t 4均为正数， 用两点式求得AB 的方程为 y(t 2－t 1)＋2t 1t 2=2x

CD 的方程为

y (t 4－t 3)＋2t 3t 4=2x

AB ,CD 都经过点M ，故t 1t 2= t 3t 4=a ，

AD 的方程为

y(t 4－t 1)＋2t 1t 4=2x AD 与y 轴交点为E （0，

14

14

2t t t t -） k ME =

14

412()

t t a t t -

而k BC =

2322

2323222

t t t t t t +=--=14

2a a t t -=14412()t t a t t - ∴k ME =k BC ，ME ∥BC ．

【课内练习】

1．C ．提示：利用抛物线的定义．

2．B ．提示：先将方程化成标准形式．

3．A ．提示：设出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，用△法求出直线方程，再求两平行线间的距离．

4．B ．提示：依据对称性排除C ，D ，再用坐标法排除A ． 5．(－9,±6)．提示：利用抛物线的定义先求出p ． 6．]2

2

1,41(+

．提示：联想抛物线定义． 7．y 2=16x ．提示：运用抛物线定义． 8．p=3．提示：运用通径的性质．

9．（1）抛物线的方程为x 2= 23 y ；（2）所求点M

的坐标为（3

，1

2 ）

10．(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 ) 则[ x —（a +4）]2 + y 2 = 16 ( y≥0)

用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 + 2 (a —4)x + 8a + a 2 = 0 由

4

△

= ( a —4)2 — (8a + a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| + |AN| = (x 1 + a ) + (x 2 + a) = x 1 + x 2 + 2a = 8—2a + 2a = 8.

(3) 若存在a 使使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列即 2|AP| = |AM| + |AN| = 8 ∴ |AP| = 4

则 (x 0—a )2 + y 02 = 16，x 0 =

221x x + = 4—a ，y 0 =2

1

（y 1 + y 2） ( 4—2a )2 + a [ 8—

∴ a = 1 与 0 < a < 1 矛盾 故a 不存在.

抛物线 A 组

1．A ．提示：用待定系数法先求出抛物线的方程． 2．C ．提示：联想抛物线定义．

3．D ．提示：设出过定点的直线方程与抛物线方程联列，用△法求解． 4．4 2 ．提示：建立坐标系，写抛物线方程． 5．8

3 ．提示：由|AB|=10，求出A ，B 两点横坐标之和．

6．由于Ｑ（２，－４）在第四象限且坐标轴是对称轴，可设抛物线方程为)0(22

>=p px y 或)0(22

>=p py x 将Ｑ点的坐标代入，得4=p 或2

1=

p 所以所要求的抛物线的方程为x y 82

=或y x -=2

7．设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0),其准线为x=－

2

p ． 设A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),由|AF|＋|BF|=8得：x 1＋x 2=8－p ． ∵Q 在AB 的中垂线上，∴QA=QB

即（x 1－6)2＋y 12=（x 2－6)2＋y 22,又y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p)=0．

∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2,x 1＋x 2－12＋2p=0． ∴p=4,即抛物线的方程为y 2=8x ．

8．设),2(

020y y M ，),2

(12

11y y M ，),2(2222y y M ，因为1,,M M A 三点共线，所以

12

12220020

2

101--=--y y y y y y ，即21120001--=+y y y y ，即2)1)((2

0001-=-+y y y y ，求出12001--=y y y 同理可求出0

22

y y =

， 又因为设直线21M M 过定点),(y x U ，则点21,,M M U 共线，所以

2

222

11

222121y x y y y y y y --=--，即

2

1

12121y x y y y y --=+，即2

11212))((y x y y y y -=-+，即02)(2121=++-x y y y y y ， 所以由

)

3(02)()2(2

)1(12

21210

2001 =++-=--=

??

???x y y y y y y y y y y

消去21,y y 得042)1(2)2(02

0=-+-+-y y x y y x

上式对任意0y 恒成立，所以得到??

?

??===212y x y x 所以所求的直线21M M 恒过定点)2,1(．

B 组

1．B ．提示：用抛物线的定义． 2．B ．提示：坐标代入． 3．B ．提示：用坐标转移法．

4．12．提示：有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是6

π和56π．

5．)1(+-n n ．提示：求出数列的通项公式．

6．y 2=12x 或y 2=－4x ．提示：设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式．

7．M

（54

5,4）．提示：数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离

最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标．

8．(1)解：设A （x,y ），则2

2p x 2y )2

p

x (2

2+=+-,

化简得：y 2=2px

（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2

p

）

而1)2

p (2p 0

p k PB =---=

∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到

关于x 的一元二次方程 x 2

+px+4

p 2

=0,?=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切.

（3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p

2t (M 2

2-，

则直线FM1：)2p

x (2p p 2t

t

y 2

--=

；

直线BM2：)2p x (2p p 2t

t

y 2

++-=

联立方程组解得M 点坐标为23

t

2p (，)t p 2-，

经检验，)2(2)(23

22t

p p t p =- ，∴点M 在曲线C 上．