第二课时 课题：函数的基本性质

1 第二课时 课题：函数的性质及其应用

研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值等)和图象(画图、识图、用图)，运用函数的图象和性质综合解题. 三、基础训练

1. 设,0.(),0.

x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1

(())2g g =__________

2. 若011log 2

2<++a

a a ，则a 的取值范围是

3. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则

(3)f -=

4. 已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的值 等于 ．

2 5.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

6.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)()f x f x -=-，且在[]1,0-上是增函数，下面关于()f x 的判断：

①()f x 是周期函数；②(5)f =0；③()f x 在[]1,2上是减函数；④()f x 在[]2,1--上是减函数.其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）

四、例题精析

例１ (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=

)1

(1

2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式

(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足 | f (1) | = | f (－1) |= | f (0) |= 1 ,求f (x )的表达式

例2 已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

3 例3 设函数y =f (x )定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对于任意的,x y ∈R 都有

()()()f x y f x f y +=成立,数列{}n a 满足1(0)a f =且11

()(2)

n n f a f a +=

--．

(1)求f (0)的值,并证明函数y =f (x )在R 上是减函数； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)是否存在正数k ,

使121

111(1)(1)(1)n a a a ++

++≥ n *∈N 都成立,若存在,求出k 的最大值,并证明,否则说明理由．

4 五、课后训练

1. 函数2

2

()1

x y x R x =∈+的值域是______________． 3. 已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)(),(0,2)f x f x x +=∈当时，2()2,f x x =

(7)f =则

3.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则

2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)

(1)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f f f f +++++++= 。

4. 设0,1a a >≠，函数2

lg(23)

()x x f x a -+=有最大值，则不等式()2log 570a x x -+>的解集

为 。

5.对a,b ∈R,记max{a,b }=⎩⎨⎧≥b a b b

a a ＜,,函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值

是 .

6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-.

（1）若方程()7f x a =-有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式；

（2）若函数()g x x =)(x f 在区间,3a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭内单调递减，求a 的取值范围；

（3）当1a =-时，证明方程()321f x x =-仅有一个实数根.