蝴蝶定理的最终形式
蝴蝶定理的公式
蝴蝶定理的公式蝴蝶定理是混沌理论中的一个重要概念，它描述了一个微小的初始条件的变化可能会在某些系统中引起巨大的结果。
这个定理的公式化形式是Δx=Δy*e^λt，其中Δx表示初始条件的微小变化，Δy 表示结果的变化，λ表示系统中的一个参数，t表示时间。
蝴蝶定理最早由美国气象学家爱德华·洛伦兹在1963年提出。
他在研究大气运动时发现，微小的初始条件的变化可能会导致天气预测的巨大误差。
他将这个现象形象地比喻为在巴西一只蝴蝶拍动了翅膀，可能引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。
蝴蝶定理揭示了非线性动力系统中的混沌现象。
在这样的系统中，微小的初始条件的变化会通过系统的非线性特性被放大，最终导致结果的巨大变化。
这种敏感依赖于初始条件的特性被称为“初始条件敏感性”。
蝴蝶定理的公式化形式Δx=Δy*e^λt中的参数λ被称为“李雅普诺夫指数”，它描述了系统中的敏感性和不可预测性。
如果λ大于0，系统就是混沌的，即微小的变化会导致结果的巨大差异；如果λ等于0，系统是稳定的，即微小的变化不会引起结果的显著变化；如果λ小于0，系统是收敛的，即微小的变化会逐渐趋于稳定状态。
蝴蝶定理的应用非常广泛。
在天气预测中，由于气象系统的复杂性和初始条件的微小变化，所以长期天气预测往往会出现较大的误差。
在经济学中，由于经济系统的复杂性和初始条件的微小变化，所以经济预测也往往会出现较大的误差。
在生态学中，蝴蝶定理也被用来研究生态系统的稳定性和可持续性。
蝴蝶定理的发现对科学和人类社会产生了深远的影响。
它揭示了世界的不确定性和复杂性，挑战了人类对于预测和控制的能力。
蝴蝶定理的公式化形式也成为了混沌理论的基石，为研究非线性系统和复杂系统提供了重要的工具和方法。
蝴蝶定理是混沌理论中的一个重要概念，它描述了微小的初始条件的变化可能会在某些系统中引起巨大的结果。
它的公式化形式Δx=Δy*e^λt揭示了初始条件敏感性和不可预测性，对于天气预测、经济预测和生态系统的研究具有重要的意义。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用
蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
蝴蝶定理
不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。
求证：PM=MQ。
由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。
这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。
登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。
不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。
158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。
从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。
下面仅举四例与读者共同欣赏。
证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。
又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。
因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，所以有14433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PMEPM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。
就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。
由相交弦定理有CQ ·FQ =BQ ·QA=(a -x )(a+x )=a 2-x 2，PE ·DP =AP ·PB=(a -y )(a+y )=a 2-y 2，所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，即 a 2y 2=a 2x 2，∵ x 、y 都是正数，∴ x=y ，即 PM =MQ 。
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
蝴蝶定理
第33讲 蝴蝶定理精讲摘要风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：=④ (证明略)这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．ABF D QMP CEA BFDQM PEOCx yAB FD Q MPEOCxyA BDFP M Q CExy④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．=.蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：=(点M 也可以是AB 延长线上的点)．A PMQ BDExy 图1FC定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =(x –x 1)+ k 1x 1，p =(0–x 1)+ k 1x 1=，同理q =，所以p +q =将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，同理 x 3+x 4=, x 3x 4=，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是x 1+y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.ACPM Q BD Elxy 图5F 调研精讲答案 （I ）e =22a b a-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．解析 （I ）椭圆方程为22x a +22()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22a b a-.（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．根据韦达定理，得：x 1+x 2=2122212k a rb a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，所以1212x x x x +=2212r b k r- ①将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=2222r b k r- ② (韦达定理真的“很伟大”)由①，②得：11212k x x x x +=222r b r -=23434k x x x x +，所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=1122k x k x ， 解得p =12121122()k k x x k x k x --.由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =12231223()k k x x k x k x --.由11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=141124x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：=；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)A 1B 1HGQMP D O Cxy A 2B 2即12231223()k k x x k x k x ---=12141124()k k x x k x k x --，所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.答案 （1）24x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．解析 （1）由已知，a =2b ．又椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故234b+214b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)， 由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为y =12-x ，由方程组221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭． 所以|MC |∙|MD |=25)(2)4m m m -=-． |MA |∙|MB | =14|AB |2=14221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．=22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．答案 （I ）26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=45． 解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， 则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =2a ，∴椭圆E 的方程为222xb +22y b =1；代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，∴椭圆E 的方程为26x +23y =1；由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)； （Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =12，直线l ′平行OT ， 得直线l ′的参数方程为0023x x ty x t =+⎧⎨=-+⎩，代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，整理得2t 2+4t +x 20– 4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2x -；而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |， 且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，【 调研3】已知椭圆E :+=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．∴λ=2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2x x --=45，即存在满足题意的λ值．答案 （1）24x +22y =1；（2）（ii ）62．解析 （1）由题意得22224222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1．（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ， 因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k-， 因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02Py +=m ， 得x P =mk，y P =2m ， 所以点Q ,2m m k⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以k '=()20m m m k---= –3k ，故'k k = –3为定值． （ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2421kmx k -+，y 1+y 2=2221mk +， 所以A 222264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫+--⎪++⎝⎭，， 直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线 交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．AQMPONxy B得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=212181km k +，y 1+y 2=22181mk +， 所以B ()()22224916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +14k ， 因为点P 在椭圆上，所以224m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立， 所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =32k +14k≥(当且仅当k时取“=”)，所以当k时，k AB． 分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +22y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，即||||AP PB =||||AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．答案 （1）24x +22y =1；（2）见解析； 解析 (1)由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c ab c a b，解得a 2=4，b 2=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.(2)方法一:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=||||AP PB =||||AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ， 于是 4=121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =121λλ++y y . 从而 2221221λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②【 调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(，0)，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|| ∙ || =|| ∙ ||，证明：点Q 总在某定直线上.又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③x 22+2y 22=4 ④①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上 方法二:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且||||PA AQ =||||PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y① x 2=41λλ++x ，y 2=11λλ++y② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2=4，整理得(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③ (x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④④–③得 8(2x +y –2)λ=0∵ λ≠0，∴2x +y –2=0 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A NMTOF xyB蝴蝶定理的推广 1．椭圆+=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (，0)．2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方ANM T OF xyBDl PQ CE 快速提高高考成绩，轻松考取理想名校，提分奇书，巧学妙解王，火爆淘宝，订购店铺 或淘宝直接搜索书名：巧学妙解王 或拼多多搜索书名：巧学妙解王今天你真的提分了吗？还不赶快使用巧学妙解王！ 高考数学满分突破50讲——《妙妙题》即将上架！官网在线阅读： 凡是有高中的地方，必有巧学妙解王！程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此===，即=，注意到x A = –x B 化简得x C =.另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0∴x A x B =，即x =；将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =，因此可得x C ==x 0，又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)． 值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究． 蝴蝶定理推论性质1： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得===，设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=，得mn =a 2.A C OP MQ BD E lHxy 图3G F 蝴蝶定理推论性质2：若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.蝴蝶定理推论性质3：直线l ：x =，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线±=1的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=.证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：.A C OP M Q BD E l IxyG F 蝴蝶定理推论性质4： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：===，由性质3得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =上.A C OP M Q BDE lH x y图5G F蝴蝶定理推论性质5：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.OFGMDExy图6lC 蝴蝶定理推论性质7： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =上.证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.蝴蝶定理推论性质8：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. OPG M DExyl CQ蝴蝶定理推论性质9：直线l ：x =，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则=.蝴蝶定理推论性质10：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.蝴蝶定理推论性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.【 调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．ANMTOF xyB蝴蝶定理推论性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |， 所以===.A PM Q BDE图8FCGI答案 (1)x =92；(2)T (7，103) (3) 见解析． 解析 （1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)． 由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92． 故所求点P 的轨迹为直线x =92．（2）将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53)、N (13，209-) 直线MTA 方程为：0503--y =323++x ，即y =13x +1， 直线NTB 方程为：2009---y =3133--x ，即y =56x –52． 联立方程组，解得：7103=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，所以点T 的坐标为(7，103)． （3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m(x +3)， 直线NTB 方程为：00--y m =393--x ，即y =6m(x –3)． 分别与椭圆29x +25y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 2223(20)20(,)2020--++m mm m ． （方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：222202040208020+++++m y m m m m m =2222223(20)203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由22240380-+m m =2236020-+m m 及m >0，得m此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠，直线MD 的斜率k MD =22240802403180+--+mm m m =21040-mm ，直线ND 的斜率k ND =2222020360120-+--+mm m m =21040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=________.解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得22y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 222,p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立得28y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 288,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴|OP |=，|PQ ， ∴ABQ ABOS S ∆∆=||||PQ OP =3.2．已知椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．精讲巩固ANM POFx B(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求12k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =12，右准线方程为x =4，即2a c =4．解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +23y =1．(2)点P (4，)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点M 的坐标为(0．那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(85，．那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12kk =13. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)， 利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，那么：x 1+x 2=22843k k + ①， x 1x 2=2241243k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =112y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =222y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212122334x x x x x x -++-∴ x =21212212223()442x x x x x x x x -+++-+ ③将①②代入③解得：x =4． 故点P 存在直线x =4上．当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ． 由2234x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0，解得<n. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32n，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4n)在直线y =x +1上， 所以4n=34n+1，解得n = – 2． 所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S|AC |2. 由(1)可得|AC |2=(x 1 – x 2)2+(y 1 – y 2)2=23162n -+，所以S–3n 2+16) (<n)．所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x – y相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解析：∵椭圆C ：22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12， AFCPO xyBDF∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y相切，b，则a 2= b 2+c 2=4． 故椭圆C 的方程为：24x +23y =1．(2)①证明：∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32)，B (1，32-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1k-(x –1)，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +，x 1x 2=2241234k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3k-，∴P (4，3k-)，则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=12121212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++=222222222438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k--+-⋅++⋅++--⋅+++=2727236(1)k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；② ∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2=2241234k k -+. 由弦长公式得|AB2212(1)34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =22112(1)134k k++⋅=2212(1)34k k ++.∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)12(1)k k ++=712.∴存在常数λ=712，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x ANMQOxyB9令y =0，解得：x =1．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，代入02p⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2； （II ）点A (214y ，y 1)，B (224y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12y-(x –1)，代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=21214(4)y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得d 1+d 2321121121|2(2)|+--+-y y y y y y y311221|(2)|+--+-y y y y y3112|2|+-y y y3114|2|++y y22因此S APBQ =12|PQ |∙( d 1+d 2)=1设函数f (x )=256(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，可得，当x ∈(0时，f (x )单调递减；当x ∈+∞)时，f (x )单调递增， 从而当y 1S．。
直线型中的蝴蝶定理
直线型中的蝴蝶定理江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300一、圆中的蝴蝶定理简介在中学平面几何中，有这样一个著名的定理：过⊙O的弦AB的中点M作任意两条弦CD和EF，连结ED、CF分别交AB于点P、Q．求证：MP＝MQ．由于其几何图形貌似蝴蝶，因此人们把它命名为“蝴蝶定理”．这个问题最早出现在1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，刊登出来征求证明．登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明．不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深．158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明．从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明方法象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举．1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录先生以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在我国传开．蝴蝶定理可以推广的椭圆、抛物线、双曲线等的情形．二、四边形中的蝴蝶定理定理：四边形ABCD的对角线相交于点M，且MA＝MC，过点M任作两条直线EF、GH 分别交AB、DC于点E、F，交AD、BC于点G、H，连结EG、HF分别交AC于点P、Q．求证：MP＝MQ．C证明：连接AH、AF、CE、CG．以上各式全部相乘，得MP/AP·CQ/MQ·MA/MC＝1．由MA＝MC，得MP/AP＝MQ/CQ，所以MP/(AP＋MP)＝MQ/(CQ＋MQ), 即MP/MA＝MQ/MC．所以MP＝MQ．注：筝形中的蝴蝶定理只是四边形中的蝴蝶定理的特例．三、直线对上的蝴蝶定理S定理：过两条直线间的线段（两个端点分别在两条直线上的线段）AB 的中点M ，作两条直线间的任意两条线段CD 、EF ，作直线CF 、DE 分别交直线AB 于点P 、Q ．求证：MP ＝MQ ．S证明：两条直线平行的情形不过是平行线等分线段定理的特例． 下面证明两条直线相交于点S 的情形：依次考虑直线CPF 截ΔMAD ，DQE 截ΔM BC ，FME 截ΔSCD 和ΔSAB ． 根据梅涅劳斯（Menelaus ）定理，得1=⋅⋅CM DC FD AF PA MP ，1=⋅⋅QM BQ EB CE DC MD ，1=⋅⋅FS DF MD CM EC SE ，1=⋅⋅ESBEMB AM FA SF ． 四式相乘，得1=⋅⋅MBAMQM BQ PA MP ． 由MA ＝MB ，得BQQMPA MP =． 所以BQ QM QM PA MP MP +=+，即MA MP =所以MP ＝MQ ．注：对于两条直线相交于点S 证明方法大致相同．。
参数方程证明蝴蝶定理
参数方程证明蝴蝶定理参数方程是描述曲线和图形的一种方式。
蝴蝶定理是指当一个点绕另一个点做圆周运动时，其轨迹是一条类似蝴蝶翅膀的曲线。
本文将使用参数方程来证明蝴蝶定理。
假设我们有一个点P1，它距离坐标原点为r1，角度为θ1。
我们再选择另一个点P2，它距离P1为r2，角度为θ2。
我们让P1绕着P2做圆周运动，此时P1的坐标可以表示为：x1 = r2cos(θ2) + r1cos(θ1 + θ2)y1 = r2sin(θ2) + r1sin(θ1 + θ2)为了证明蝴蝶定理，我们需要展示这个轨迹确实类似蝴蝶翅膀。
我们可以将x1和y1分别表示为两个函数f(θ)和g(θ)，即：f(θ) = r2cos(θ) + r1cos(θ + θ2)g(θ) = r2sin(θ) + r1sin(θ + θ2)现在我们来绘制这个轨迹。
首先，我们可以将θ1设为0，θ2设为π/2，r1和r2设为1。
这个时候，我们可以用Python来绘制出这个轨迹：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(θ):return np.cos(θ) + np.cos(θ + np.pi/2)def g(θ):return np.sin(θ) + np.sin(θ + np.pi/2)θ = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)x = f(θ)y = g(θ)plt.plot(x, y)plt.show()运行这段代码，我们会得到一个图形，它的确类似蝴蝶翅膀： image.png这证明了蝴蝶定理在参数方程下的正确性。
我们还可以尝试改变r1和r2的值，或者改变θ1和θ2的值，来看看轨迹会如何变化。
无论如何，这个轨迹都会保持类似蝴蝶翅膀的形状。
蝴蝶定理及其证明
蝴蝶定理及其证实［蝴蝶定理］圆O, PQ是一条弦,设M为弦PQ的中点,过M作弦AB和CD 设AD和BC各相交PQ于点X和Y,那么M是XY的中点.证实：过圆心O作AD与BC垂线,垂足为S、T,连接OX OY OM SM MTSMD^ACMB 且SD=1/2ADBT=1/2BC・. DS/BT=DM/BMZ「/ D=Z B・.△ MSDo△ MTB / MSDW MTB / MSX= MTY又O S, X, M与O To Yo M均是四点共圆, ・ ./ XOM=YOM. OML PQ.•.XM=YM还有一种解析几何法,给出了推广.［推广］二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P, 那么1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点,AB为x 轴,S:Ax A2+Bxy+Cy A2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)xA2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标,那么FxA2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数,其和=-D/F为定值.即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证.蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证实的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志?男士日记?上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分另U交PQ于X,Y,那么M为XY之中点.出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA . 1985年,在河南省?数学教师?创刊号上,杜锡录同志以?平面几何中的名题及其妙解?为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这里介绍一种较为简便的初等数学证法.证实：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OXOY,OM SMM工AM/△ CMBAM/CM=AD/BC••• SD=1/2AD, BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又・. / A=Z C•AM8 △ CMT/ MSX=Z MTY••• / OMX4 OSX=9O°• ./ OMX吆OSX=18O°••.O, S, X, M四点共圆同理,O, T, Y, M四点共圆/ MTY=Z MOY / MSX=Z MOX/ MOX=/ MOY ,••• OML PQXM=YM这个定理在椭圆中也成立,如图1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中央为M (o, r) (b > r > 0).(I)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；(n)直线y=k1x 交椭圆于两点C (x1,y1 ) ,D(x2 , y2) (y2 > 0 );直线y=k2x 交椭圆于两点G ( x3, y3) , H ( x4, y4) ( y 4 >0).求证：k 1 x 1 x2/(x1+x2)=k2x3x4 /(x3+x4)(m)对于(n)中的C, D, G, H,设CH交X轴于点P, GD交X轴于点Q.求证：| OP | = | OQ |.(证实过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)2 .解答：北京教育测试院招生测试办公室专家在公布的?2003年全国普通高等学校招生统一测试试题答案汇编?中给出的参考解答如下：(18)本小题主要考查直线与椭圆的根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.总分值15分.(I)解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,1(n)证实：将直线CD的方程y=k整理,得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理,得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1 - x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r②由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)所以结论成立.(出)证实：设点P (p, o),点Q (q, o).由C, P, H共线,得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D, Q, G共线,同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以|p|二|q|,即,|OP|=|OQ| .3 .简评本小题主要考查直线与椭圆等根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.试题入门容易,第(I)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容.第(n)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题.待证式子中含有x1x2 , x1+x2 ,x3x4 , x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证实问题的思路.这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法.解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,别离系数利用韦达定理给出关于x1x2 , x1+x2 , x3x4 , x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即到达证实目的.证实的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得〞,整个证实过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证实与表达的顺畅、简约的美的魅力.第(出)问证实中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p, q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q (或p+q=0.)此时分析前提条件(n)及待证结论p= -q ,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) 与x1x4 Z(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3) 的联系.参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难.如果将两式做如下变形,那么思路就显然顺畅自然.设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①'设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②‘将①’两边同乘以k1 • k2,即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②‘完全一样.这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算.思路的选择有赖于对式子特征的观察联想.综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力.4 .赏析：上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的它的背景是什么它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示关于圆,有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦,M是AB的中点.过M作圆O的两弦CD EF, CF、D E分别交AB于H、G.贝U MH=MG这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理 (图2).盯着试题的图1仔细看,它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶像,而且像极了.试题的证实过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立, 而且是用解析方法证实的.如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,那么椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证实一样适用.由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换〞而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换〞也可以变成椭圆上的蝴蝶定理.“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花.〞读者诸君欣赏至此, 是否体会到了数学命题几何专家命制高测试题的“高招〞及良苦用心［关于“椭圆上的蝴蝶〞,张景中院士在其献给中学生的礼物一书?数学家的眼光?“巧思妙解〞一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59］.5 .启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高测试题的百花(草)园,令人欣喜异常.它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证实它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最根本的方法. 高级中学课本?平面解析几何?全一册(必修)数处提到三点共线问题,如P13习题一第14题：三点A ( 1 , -1 )、B (3, 3)、C (4, 5).求证：三点在一条直线上：P17练习4:证实：三点AB、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证实三点A (1,3)、B (5, 7)、C (10, 12)在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证实：三点A (-2 , 12)、B (1, 3)、C (4,-6)在同一条直线上.你看,课本上的练习、习题、复习参考题, 反复提到了三点共线的证实,并且强调用不同的方法来证实.为什么你(老师、学生)关注到了它吗实际上,三点共线的不同证实,可以把解析几何第一章的重点根底知识充分调动起来,组织起来.你可以用根本公式一一平面上两点间的距离公式证实| AC| = | ABI + I BCI ;你也可以应用定比分点公式x= (x1+入x2) / (1 + 入),y= (y1+ 入y2) / ( 1+ 入)去证入=(x1-x ) / (x-x2 ) = (y1-y ) / (y-y2 )；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2= (y2-y1 ) / ( x2-x1 ),去证KAB=KAC你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0 ,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x, y)=0 ;你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式证实dc-AB=0 ;你还可以计算△ ABC的面积,去证ABC=0.你看,有五、六种方法可以解决同一个问题,当然难度有高有低.一题多解中选择方法、优化方法也是水平(洞察、观察)的表达,从比拟中才可以鉴别方法的优劣.据说测试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(出)问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成〞！不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原那么、思路与规律.各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养水平我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶〞中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养〞价值〞在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术〞.而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠〞,感悟数学教育改革的真谛.一一注重根底、注重理解、注重联系、注重水平.补充：混沌论中蝴蝶定理数学的一门分支是混沌论.混沌论中有一个非常著名的定理一一蝴蝶定理.它是说,一些最稍微的因素,能够在复杂的环境中,引起滔天的巨浪,就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀,那微小的气流,已足已引起北半球的飓风和海啸.而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢所以经济和气象都是不可预测的,正如人生无法预测.蝴蝶定理的推广如图I ,是“蝴蝶定理〞,有结论EP=PF;如图II ,是“蝴蝶定理〞的演变,点P, Q, R, S是否也存在某种关系呢所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F G H,连AF BE CH DG分别交弦于点P、Q、R、S,那么有等式：成立.证实：引理,如右图,有结论由及正弦定理即可得到：原结论作OM1AM M1, OM2EH^ M2,于是,MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin ;MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin且MA*MD = ME*MH, MB*MC = MF*MG,代入上式,又故原式成立证毕.蝴蝶定理的证实蝴蝶定理1815年,西欧?男士日记?杂志上刊登一那么难题征解,题目如下：过圆的弦AB 的中点M,引任意两条弦 CD EF,连接ED CF 分别交AB 于巳Q 两点.求PM=QM 〔见图〕由于形状酷似蝴蝶,该命题被人们称为“蝴蝶定理〞.一值四年来都无人解答.1819年7月四边形蝴蝶定理假设四边形一条对角线平分另一对角线,那么过其交点的两条直线,以四边交点〔邻 边〕的连线,与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等. 证实过程中用到共边比例定理、共角比例定理. 如图：BG=CG 求证：EG=FG连接 CP, BS, BR, CQEG/BE*CF/FG=S △ PGQ/SA PBQ* S △ SCR/SA SGR=S^ ABD/SA PBQ * S △ SCR/SA AC2-22D * S △ PGQ/SA SGR=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG=SA ABC*SA BCD/SA BCP*BCQ * S △ BCS*SA BCR/SA ABC*SA BCD * S △ BCP*SA B CQ/SA BCR*SA BCS=1EG/BG=GF/CGEG=GF,一位自学成才的中学教师霍纳给出第一个答案,但繁琐难懂.但从1819年开始,人们寻求简洁易懂的新证实,直到1973年,中学教师斯特温给出十分初等的证法,之后又有许多新证法发表.斯特温证实：令MQ=x MA=y AM=BM=a / E=/ C=a , / D=Z F=3 , / BMFW AME=5 , /DMAh CMB彳用△1,*2, A3,△ 4 分别代表^ PME AQMC △ PDM △QFM0 积.那么4 1/A2*A2/A3*A3/A4*A4/ A1=(EP*EMsin a/CQ*CMsim〞)* ( MQ*CMsin T /PM*MDsin 丫)* (PD*MDsin)3 /MF*QFsin 3 )* (MQ*MFsinS /MP*MEsin 8 ) = ( EP*PD*MQ*MQ/ (CQ*FQ*MP*MP =1由相交弦定理EP*PD=AP*PB=(a-y ) ( a+y)CQ*FQ=BQ*QA = a-x ) ( a+x)(E P*PD*M Q*MQ= (CQ*FQ*MP*MP, ( aa-yy ) xx= (aa-xx) yy 化解,得x=y即PM=MQ证毕.由于,椭园面是正柱面的斜截面.如图圆柱的底是椭圆的投影,所以,蝴蝶定理对椭圆也成立.什么是蝴蝶定理如何证实蝴蝶定理蝴蝶定理：在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB 于H K,那么有MK=MH：如图8-30乙所示.在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、Ko求证：MK=MH、路2:根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似, 由四点共圆,推导出/ MOH =MO愿关键；各位读者：如果你是初中学生,又希望成为北京市著名中学-人大附中、四中、北师大实验中学、北师大二附中、八中的一员,你可以参加我开设的辅导班,你也可购置我主编的?初中几何1000问?、?初中代数1000问?、?初中物理1000问?、?初中化学1000问?教材.联系方式：：138******** ,邮箱：hjp vc@sohu .图B-3 □乙证实：过O 作OS! FC、OT± DE 连OH OK SM M］再连MQ AM=MBOM! AR / AMON BMO=90 ;在△ FC刷△ DEMfr;/ CMF=/ DME 〔对顶角相等〕；/ MFCN MDE 〔等弧对等圆周角〕•••AFChM^ ADEM 〔AA〕/FCMh DEM;FS=SC=? FC; DT=TE=? DEFS/FC =TD/ED ;FC/ED = FM/MDFS/FM = TD/MD在△ FSM^ △ DTM;/MFS之MDT 〔等弧对等圆周角〕；FS/FM = TD/MD ;△ FSW △ DTM 〔 SAS〕/ FSM=/ DTM/ MSHh MTK/AMO=90、/ HSO=90 ; O、S H、M 四点共圆；/ MSH= MOH/BMO=90、/ KTO=9O ; O、T、K、M 四点共圆；/ MT" MOK/ MOH= MOK在△ MOHF口△ MO造；/ MOH= MOKMO=M O/ AMO= BMO=90 ;•••AMO库A MOK (ASA)MH=MK结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证实^HOKM等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证实最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述.。
公考几何五大定理——蝴蝶定理
公考几何五大定理——蝴蝶定理
蝴蝶定理是公共考试几何学中的一个重要定理，也被称为“巴斯卡定理”。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，用于解决关于圆的切线和割线的性质问题。
蝴蝶定理的内容如下：
在一个圆内，任意取两个不相交的割线AB和CD，它们相交于点E。
连接AC和BD，它们相交于点F。
则AE × EB = CE × ED。
这个定理的名字来源于连接AE、BE、CE和DE的四条线段形成的形状，它们看起来像一只蝴蝶的翅膀。
蝴蝶定理的证明可以通过应用帕斯卡定理来完成。
首先，我们可以利用帕斯卡定理证明三个点A、E和D在同一直线上。
根据帕斯卡定理，我们可以得到：AD ∩ BE、AF ∩ CD和BF ∩ CE三个交点共线。
因此，我们可以得出结论：AE × EB = CE × ED。
蝴蝶定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的几何问题时。
例如，可以利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与两条切线的交点共线，或者利用蝴蝶定理证明两条割线的交点与圆心共线等。
总结起来，蝴蝶定理是公共考试几何学中一个重要的定理，用于解决与圆的切线和割线的性质问题。
它是基于帕斯卡定理的一个推论，通过连接割线和相交点形成的四条线段，得到了一个重要的几何关系式。
小学蝴蝶定理公式
小学蝴蝶定理公式蝴蝶定理公式是数学运算中相当重要的一条公式，尤其是在小学数学课堂教学当中，它经常被老师们用来让学生来推导和运算，这条公式又称为勾股定理，如果你想更好地理解它，那么你有必要先了解它背后的原理以及运用它所推导出的其他结论。
蝴蝶定理公式也叫做勾股定理，它是希腊数学家勾股在公元前三世纪创立的，它的形式如下：a +b = c这里的a、b、c分别表示三条直线的长度，它们构成一个三角形和一个直角三角形，并且这三条直线也都是直角三角形的边。
这条公式显示了在直角三角形内，任意直角三角形的两个直角边的平方之和，等于它们直角角的那条斜边的平方。
由蝴蝶定理公式，可以得出以下几个重要的结论：（1）直角三角形面积公式：S = 1/2 a b在一个直角三角形中，a 为直角边，b 为斜边，则其面积 S 为 a b乘积的一半。
（2）关于直角三角形的等值定理：如果在一个直角三角形中，其中任意一条直角边的平方与其他两条边的乘积相等，则这三条边是等值边。
（3）角度定理：在一个直角三角形中，a 为直角边，b 为斜边，则直角角的弧度为 arctan（b/a）。
从上述可以得出，蝴蝶定理公式的应用非常广泛，它不仅能够用于直角三角形的计算，还可以用于圆的面积计算，还可以用于其他三角形，正多边形的计算。
此外，蝴蝶定理公式还可以用于几何学中的其他计算，比如说求点到直线的距离、求曲线的长度等。
蝴蝶定理公式对小学数学课堂教学非常重要，它有助于学生学习数学和理解数学原理，并且可以更好地理解更深层次的数学问题。
上述每条蝴蝶定理公式都有其独特的特性，能够更好地帮助学生了解其中所有的数学概念和原理，从而实现知识与实践的结合。
在小学课堂教学当中，老师们可以通过蝴蝶定理公式的运用，让学生从实际的例子出发，学习数学的推理能力，让学生更好地理解其中的数学原理，并让他们掌握蝴蝶定理公式的应用，以便他们能够在今后的数学学习中更好地运用。
交比蝴蝶定理
交比蝴蝶定理
交比蝴蝶定理是平面解析几何中的一个重要定理，它以一种简洁而优雅的方式描述了平面上四个点所构成的特殊几何关系。
具体来说，该定理的现代形式如下：过圆内弦中点引出任意两直线被圆所截得到四个点，同侧相连，与弦相交得到两个点关于弦中点对称。
从同一点发射出四条直线，与另外两条直线相交，产生两组点列，它们的对应点构成的交比相等。
如果用更直观的方式表述，该定理实际上就是指：在圆内任取四点构成四边形，其对角线互相交于同一点，则其四个交点共圆。
交比蝴蝶定理被广泛应用于数学和物理学领域，并在计算机图形学和计算机视觉等应用中发挥着重要作用。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多几何谜题。
蝴蝶定理的名字听起来是不是很有趣？就好像一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞。
那到底什么是蝴蝶定理呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
在这个四边形中，相对的两个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
比如说，我们有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积之积。
可能你会觉得有点抽象，那我们通过一个具体的例子来感受一下。
假设四边形 ABCD 是一个平行四边形，AB 平行于 CD，AD 平行于BC。
AC 和 BD 相交于点 O。
因为平行四边形的对边相等且平行，所以三角形 ABC 和三角形 ADC 的面积相等。
又因为三角形 AOB 和三角形BOC 分别以 AO 和 OC 为底边时，它们的高相同，所以三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之比就等于 AO 与 OC 的长度之比。
同样的道理，三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之比也等于 AO 与OC 的长度之比。
这就意味着三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之积，这正是蝴蝶定理的体现。
蝴蝶定理在解决一些几何问题时非常有用。
比如，当我们已知四边形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用蝴蝶定理来找到答案。
再比如，如果我们知道了两个三角形的面积关系，以及对角线的交点位置，也可以通过蝴蝶定理求出整个四边形的面积。
那小朋友们在学习蝴蝶定理的时候，可能会遇到一些困难。
这是很正常的，因为几何需要我们有一定的空间想象力和逻辑思维能力。
不过别担心，我们可以通过多做一些练习题，多画一些图形来帮助自己理解。
数学比大小蝴蝶法
数学比大小蝴蝶法数学比大小蝴蝶法，这个名字听起来是不是有点神秘莫测？别急，我来告诉你，啥叫蝴蝶法。
你可别以为这就是一只小蝴蝶在空中翩翩起舞的样子，实际上，它可是一个很实用的数学工具，尤其是在比大小的时候！你们知道吗，有时候看一个数和另一个数到底哪个大，真是比比划划都麻烦。
特别是有的数一看就很乱，比如分数、带小数的数，这个时候蝴蝶法就派上用场啦！说到蝴蝶法，咱们得从它的名字说起。
那可是有个形象的比喻，所谓蝴蝶法，它的作用就像一只小蝴蝶在两边飞舞，帮你比清楚两个数的大小，简直就像在跟数学做游戏一样轻松。
你是不是已经觉得这个方法挺有意思的了？其实它的原理也不复杂，就像蝴蝶翅膀一边一边扇动，只是它帮助你把两个数的大小关系搞清楚。
想象一下，这俩数一个飞到左边，一个飞到右边，最终通过这个比翼飞舞的过程，它们的大小关系就像魔法一样，一目了然。
比如说，你要比较两个分数，像是1/2和2/3，这个时候你就能用蝴蝶法来帮忙了。
你只要把这两个分数交叉相乘，像蝴蝶翅膀一样，左边的1和右边的3相乘，右边的2和左边的2相乘。
你对比一下结果——左边是3，右边是4，嘿，这样一来，大小谁大谁小就出来啦！2/3当然更大啦，这不就完事了嘛！就这么简单。
说到这里，可能有人会觉得，这个蝴蝶法是不是有点幼稚？但你要知道，数学的世界里有时候就是需要一点点这样的巧妙方法，才能让复杂的事情变得简单，像是给一个大数学难题涂上了一层漂亮的糖衣。
想象一下，没用蝴蝶法，可能得通过找公倍数、约分这些繁琐步骤，真是头疼不已。
用蝴蝶法呢，直接一眼就能看出哪个大哪个小。
是不是很爽？就好像你玩扑克牌，拿到一张好牌，直接就能决定胜负一样，干脆利落。
蝴蝶法不仅限于分数之间的比较，它对于带小数的数也一样有效。
比如说，0.75和0.8，你要比大小。
普通的做法可能是你得把它们转成分数，或者换个更为复杂的方式来比。
可蝴蝶法就是这么轻松，一来一回就搞定。
你把0.75写成3/4，0.8写成4/5，然后像刚才一样交叉相乘，4×3和5×4，最后一比，分明就能看到哪个大哪个小。
蝴蝶定理的一些结论(根据李文杰老师手稿整理, 还没检查)
故
m
a2
a2
|BR| = a − , |BR| = + a, |M B| = m − a, |M A| = m + a,
m
m
从而
a2
|BR| |AR|
=
a− m a2
+a
=
m−a m+a
=
|M B| |M A|
=
kAC kBD
=
kAD . kBC
m
结论 9: (斜率等差模型)
kP A + kP B = 2kP R, kNA + kNB = 2kNR.
1
蝴蝶定理相关结论及证明
如图,
在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0)
中,
A, B
分别为左右顶点,
C(x1, y1),
D(x2, y2)
为
椭圆上两点, 直线 AC, DB 交于 P , 直线 AD, CB 交于 N , 直线 P N 与 x 轴交于 M (m, 0), 设
P (m, p), N (m, n), 则
y
D
A
MQ
N
O
x
B C
kAB =
y1 − y2 x1 − x2
=
y1 − y2 y12 − y22
2p
=
.
y1 + y2
2p 2p
从而
2p
AB
:
y
−
y1
=
y1
(x − + y2
x1)
=⇒
(y1 + y2)y = 2px + y1y2.
第六讲蝴蝶定理
S 3S 1S 4S 2abO ACBD五年级秋季第六讲——蝴蝶模型——学而思范基程老师【知识点总结】一、来源：蝴蝶模型是几何图形中非常重要的模型之一，分为任意四边形与梯形中的蝴蝶模型，因形似蝴蝶而得名。
二、模型： 1、任意四边形中的蝴蝶定理：① S 1：S 2=S 4：S 3或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO:OC =(S 1+S 2):(S 3+S 4) {DO:BO =(S 1+S 4):(S 2+S 3)}2、梯形中的蝴蝶定理： 如果AD:BC=:① S 1：S 3=：② S 2= S 4 ③S 1 : S 3: S 2: S 4=::④ 梯形面积所对应的份数为：3、总结：无论是在任意四边形还是梯形当中的蝴蝶模型，都为我们提供了一种解决四边形或梯形面积的新的方法。
任意四边形当中，将不规则四边形的面积与四边形内的三角形结合了起来；而梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。
258OACDBF E【例题精讲】（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中三块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为_________平方厘米。
【解析】连结DE 、CF 。
（1）在梯形EFCD 中，根据蝴蝶模型，有三角形EOF 与三角形DOC 的面积比为2:8，所以得到DF ：DC=1:2。
那么，三角形EOF 与三角形EOD 的面积比为1:1×2=1:2，所以三角形EOD 的面积为4（平方厘米），三角形COF 的面积也为4（平方厘米）。
因为四边形OEAD 的面积为5（平方厘米），所以，三角形ADE 的面积为1（平方厘米）。
（2）在长方形ABCD 中，三角形ECD 的面积是长方形ABCD 面积的一半，是8+4=12（平方厘米）那么剩下的部分（三角形ADE 与三角形BCE 的面积和也是12），又因为三角形ECF 的面积为2+4=6（平方厘米），所以三角形BCF 的面积为12-1-6=5（平方厘米）。