2015-2016年湖北省孝感市汉川市高一(上)数学期末试卷与答案

2015-2016学年湖北省孝感市汉川市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0∈N B．1⊆R C．{π}⊆Q D．﹣3∉Z2．（5.00分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y ≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5.00分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5.00分）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形5．（5.00分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，36．（5.00分）若f（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）在[2，+∞）单调递增，则m的取值范围为（）A．m=2 B．m＜2 C．m≤2 D．m≥27．（5.00分）同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是（）A．f（x）=﹣x|x|B．f（x）=x3C．f（x）=sinx D．f（x）=8．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）C．（1，2） D．[0，1）9．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[1，+∞）10．（5.00分）若向量，，且，若，则β﹣α的值为（）A．或B．C． D．或11．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位12．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数f（x）与g（x）图象交点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）已知θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=．14．（5.00分）f（x）=，则f[f（2）]=．15．（5.00分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则=．16．（5.00分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算下列式子的值：（1）；（2）．18．（12.00分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．19．（12.00分）已知平面上三点A，B，C，=（2﹣k，3），=（2，4）．（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；（2）若△ABC中角A为直角，求k的值．20．（12.00分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润=年销售总收入﹣年总投资）．21．（12.00分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=1在x∈[0，]内恒有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 时，有．（1）求证：f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）求不等式的解集；（3）若对所有恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年湖北省孝感市汉川市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0∈N B．1⊆R C．{π}⊆Q D．﹣3∉Z【解答】解：N为自然数，0是自然数，故A正确；1是元素，R是集合，元素和集合的关系不是“⊆”，故B错；π是无理数，而Q是有理数，故C不正确；Z表示整数集合，﹣3是整数，故D不正确；故选：A．2．（5.00分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y ≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B．3．（5.00分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．4．（5.00分）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形【解答】解：∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选：D．5．（5.00分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数．故选：A．6．（5.00分）若f（x）=x2﹣2mx+4（m∈R）在[2，+∞）单调递增，则m的取值范围为（）A．m=2 B．m＜2 C．m≤2 D．m≥2【解答】解：二次函数f（x）的对称轴为x=m；∴f（x）的单调增区间为[m，+∞）；又f（x）在[2，+∞）上单调递增；∴m≤2．故选：C．7．（5.00分）同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是（）A．f（x）=﹣x|x|B．f（x）=x3C．f（x）=sinx D．f（x）=【解答】解：A、f（x）=，由函数性质可知符合题中条件，故A正确；B、对于比较熟悉的函数f（x）=x3可知不符合题意，故B不正确C、f（x）=sinx在定义域内不具有单调性，故C不正确；D、定义域关于原点不对称，故D不正确．故选：A．8．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[0，2） B．[0.1）∪（1，2）C．（1，2） D．[0，1）【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0≤x＜2，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，2）．故选：B．9．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴或，∴或∴0≤x≤1或x＞1，则x的取值范围是[0，+∞）．故选：A．10．（5.00分）若向量，，且，若，则β﹣α的值为（）A．或B．C． D．或【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（2cosβ，2sinβ），∴﹣=（2cosβ﹣cosα，2sinβ﹣sinα），∵⊥（﹣），∴•（﹣）=0，即cosα（2cosβ﹣cosα）+sinα（2sinβ﹣sinα）=0，整理得：2cosαcosβ﹣2cos2α+2sinαsinβ﹣2sin2α=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（β﹣α）=，∵≤α＜＜β≤，∴0＜β﹣α＜，则β﹣α=．故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．12．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，g（x）=ln|x|，则函数f（x）与g（x）图象交点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由f（x﹣1）=f（x+1）得f（x+2）=f（x+1+1）=f（x+1﹣1）=f（x），可知函数周期为2，且函数为偶函数，图象关于y轴对称，又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2，∴x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，在同一直角坐标系中做出其函数图象和g（x）=ln|x|图象，由图可知有2个交点．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）已知θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=．【解答】解：∵θ的终边过点P（﹣12，5），∴x=﹣12，y=5，∴r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为：．14．（5.00分）f（x）=，则f[f（2）]=0．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=e2﹣2=e0=1，∴f[f（2）]=f（1）=lg1=0，故答案为：015．（5.00分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则=﹣4．【解答】解：∵AM=3，点P在AM上且满足，∴||=2∵M是BC的中点，∴=2=∴=•=﹣=﹣4故答案为﹣416．（5.00分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算下列式子的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式====1．（2）原式==．18．（12.00分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|1＜x≤8}．（2）∵A={x|2≤x≤8}，U=R．∴∁U A={x|x＜2，或x＞8}，∵B={x|1＜x＜6}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}．（3）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，A∩C≠∅，∴a＜8．故a的取值范围（﹣∞，8）．19．（12.00分）已知平面上三点A，B，C，=（2﹣k，3），=（2，4）．（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；（2）若△ABC中角A为直角，求k的值．【解答】解：（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上；即向量与平行；∴4（2﹣k）﹣2×3=0；解得k=；（2）∵=（2﹣k，3），∴=（k﹣2，﹣3）；∴=+=（k，1）；当A是直角时，⊥，即•=0；∴2k+4=0；∴k=﹣2．20．（12.00分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润=年销售总收入﹣年总投资）．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，y=（33x﹣x2）﹣x﹣100=﹣x2+32x﹣100；…（2分）当x＞20时，y=260﹣100﹣x=160﹣x．…（4分）故y=（x∈N*）．…（6分）（2）当0＜x≤20时，y=﹣x2+32x﹣100=﹣（x﹣16）2+156，x=16时，y max=156．…（9分）而当x＞20时，160﹣x＜140，故x=16时取得最大年利润．…（12分）21．（12.00分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=1在x∈[0，]内恒有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x++12sin（2x+）+1令（k∈Z）解得：（k∈Z）由于x∈[0，π]f（x）的单调递增区间为：[]和[]．（Ⅱ）依题意：由2sin（2x+）+1=t+1解得：t=2sin（2x+）设函数y1=t与由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，]内恒有两个不相等的交点．因为：所以：根据函数的图象：，t∈[1，2]时，，t∈[﹣1，2]所以：1≤t＜222．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 时，有．（1）求证：f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）求不等式的解集；（3）若对所有恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，则，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数．（2），等价于，求得0≤x＜，即不等式的解集为．（3）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为对恒成立对的恒成立，设，则．又==1+tan2α+2tanα+2=（tanα+1）2+2，∵α∈[﹣，]，∴tanα∈[﹣，1]，故当tanα=1时，．∴t2+t≥6，求得t≤﹣3 t≥2，即为所求的实数t的取值范围．。