带电粒子在有界磁场中运动时间问题的解题策略
(完整版)高考物理带电粒子在磁场中的运动解析归纳
难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2=②轨道半径公式：qBmvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。
（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。
1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。
确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系（T 2t T 360t πα=α=或）作为辅助。
圆心的确定，通常有以下两种方法。
① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P 为入射点，M 为出射点）。
带电粒子在有界磁场中的轨迹确定的几种方法 人教
2、物理和几何方法
例2：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。
解：
由几何知识：
粒子的运动半径：r=L/2sinθ
2、如图所示，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两
个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力和粒子间的相互作用。 （1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径； （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
过a、b两点分别作平行x轴
和y轴的平行线且交于P点；
P
二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、物理方法：
3、几何方法：
2、物理和几何方法：
作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
△t=t1 －t2=2Tθ/π=
4m
Bq
.arccos( )
LBq
2mv
OMP、ONP
周期为：T=2πm/qB
思 考 题
思 考 题
3、如图所示，在xoy平面内有垂直坐标平面且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一带正电荷量q的粒子，质量为m，从O点以某一初速度射入磁场，其轨迹与x、y轴的交点A、B到O点的距离分别为a、b，试求：粒子的初速度。
带电粒子在有界磁场中运动解题方法总结
带电粒子在有界磁场中运动解题方法总结此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：①轨迹圆的缩放：当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.例1一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），从O点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从下边界射出：例2 如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。
要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。
【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。
临界半径R0由dCosθRR0=+有: θ+=Cos1dR 0；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0即:θ+≥=Cos1dqBmvR0有:)Cos1(mqBdv0θ+≥。
图9-8 图9-9 图9-10由图知粒子不可能从P 点下方向射出EF ，即只能从P 点上方某一区域射出；又由于粒子从点A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF 中有粒子射出的区域为PG ，且由图知:θ+θ+θ=θ+θ=cot d Cos 1dSin cot d Sin R PG 0。
浅析带电粒子在有界磁场中运动的时间极值问题--以三角形有界磁场为例
摘要：带电粒子在三角形有界磁场中的运动常涉及最长（最短）运动时间的求解，这类问题难度较大，学生错误率高，特别是何时运动时间最短，很难确定。
文章根据带电粒子在磁场中的运动规律结合数学知识分析，提出了“半径比较法”、“弦切角比较法”、“切线长比较法”三种判断方法，可以快速确定粒子运动时间何时取到最小值。
关键词：带电粒子；三角形有界磁场；运动时间；极值带电粒子在有界磁场中的运动,通常不能做完整的圆周运动,解决此类问题必须借助空间想象思维、综合数学知识,尤其是平面几何中圆的有关知识[1]。
有界磁场包括圆形磁场、矩形磁场、三角形磁场等类型,而粒子在有界磁场中运动的极值问题包括时间极值、速度极值、角度极值等,本文着重阐述带电粒子在三角形有界磁场中运动的时间极值问题。
如图1(a )所示,三角形ABC 区域内存有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,在BC 上的D 处有一粒子源,可垂直AB 向磁场内发射不同速率的同种粒子,粒子带正电,电荷量为q ,质量为m ,已知这些粒子都从AC 边离开磁场,忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。
设粒子在磁场中运动的时间为t ,根据qvB =m v 2r ,T =2πr v ,t =θ2πT ,得t =θm qB(其中θ为轨迹弧所对圆心角)。
粒子速度越大,θ越小,粒子在磁场中的运动时间越短。
显而易见,粒子从E 点(E 点为轨迹与AC 的切点)离开磁场区域时,θ最大,运动时间最长,射出点越靠近C 点,运动时间越短。
如图1(b)所示,若粒子能从C 点离开磁场,则此时运动时间最短,若存在某一速度,使得粒子轨迹与BC 相切于H 点(H 处在BC 之间),则粒子不可能从C 点射出,从H '射出时时间最短。
对于粒子能否从C 点射出的判断,是这类问题的难点,也是学生的易错点,现介绍三种判断方法,以便突破难点,规避错误。
1半径比较法如图2所示,三角形ABC 区域内存有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,在BC 上的D 处有一粒子源,可垂直AB 向磁场内发射不同速率的同种粒子,粒子带正电,电荷量为q ,质量为m ,已知这些粒子都从AC 边离开磁场,忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析
带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画岀运动的轨迹, 确定圆心，从而根据几何关系求岀半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。
1、首先确定圆心： 一个基本思路： 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
三个常用方法： 方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心 由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿 半径指向圆心，知道两个速度的方向，画岀粒子轨迹上两个对应的 洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
例1:如图1所示，一个质量为 m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上 的P （ a ，0）点以速度V,沿与x 正方向成60 °的方向射入第一 象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射岀第一象限。
求匀强磁 场的磁感应强度 B 和射岀点的坐标。
解析：分别由射入、射岀点做两条与速度垂直的线段，其交点 圆心，由图可以看岀，轨道半径为ra2a，洛仑兹力是向心力 qBvsin 60 43射岀点的纵坐标为（叶rsin30 ° ） =1.5r,因此射岀点坐标为（0，方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速 度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2:电子自静止开始经 M 、N 板间（两板间的电压为 U ）的 厂电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为L ，如图2所示，求：（1） 正确画岀电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； （2） 匀强磁场的磁感应强度 .（已知电子的质量为 m ，电量为 解析：（1）联结AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦 子通过A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，AP 弦的中垂线 OC 与磁场左边界的交点 O 即是电子圆运动的圆心，为半径画圆弧，如图 3所示，电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为veBv m —rB= 2L ；2mUJ —— L d Y e方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射岀时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射岀点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mvr qB=为半径的圆。
超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速 度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧
带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题；或带电粒子在空间运动范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧
带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧1．给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它【例1】如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。
一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。
若粒子射出磁场时的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比q/m。
解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图6所示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ。
由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，，（式中R为圆轨道的半径）解得R=mv0/qB①圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得l/2=Rsinθ②联立①、②两式，解得。
解题技巧：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射点和出射点，求该粒子的电量和质量之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。
在处理这类问题时重点是画出轨迹图，根据几何关系确定轨迹半径。
（2）确定入射速度的方向，而大小变化，判定粒子的出射范围【例2】如图所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。
磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。
当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得电子速率v的取值范围为：。
解题技巧：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向，由于入射速度的大小发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹半径，导致粒子的出射点位置变化。
在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法
定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法作者：邓思平来源：《广东教育·高中》2014年第11期有界匀强磁场是指只在局部空间存在的匀强磁场.带电粒子垂直磁场方向从磁场边界进入，由于入射速度和磁感应强度的可变性，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同，对应的运动时间也各不相同.定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法有两种.一种是通过比较圆心角的大小来比较时间的长短，适用于磁感应强度不变的情况，其计算公式是t=·T；另一种是通过比较弧长（弦长）的长短来比较时间的长短，适用于速度大小不变的情况，其计算公式是t=.从教学实践来看，由于求解磁场中运动时间的计算题练习量较大，学生运用第一种方法的意识比较到位.而第二种方法往往多用于定性分析，不经常用来定量计算，学生往往重视不够，训练不多，不能形成意识.本文拟就这两种方法的应用范围和选择依据通过实例进行分析，以期帮助读者掌握比较此类运动时间的方法.一、其它不变，仅入射粒子的速率改变的情况，适用公式t=·T.【例1】如图所示圆形区域（图1-A）和矩形区域（图1-B）内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和带电量都相同的带电粒子，以不相等的速率，沿着相同的方向，垂直边界射入匀强磁场中，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，试比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短.【解析】同一粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速率无关，当粒子的速率改变时，周期不变，在磁场中的运动时间t与偏转角度θ（圆心角）成正比，宜用公式t=·T.比较图1-A所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角，发现θ1=θ2=π>θ3，则运动时间t1=t2>t3.比较图1-B所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角，发现θ1>θ2>θ3，则运动时间t1>t2>t3.二、其它不变，仅磁感应强度B的大小发生变化的情况，适用公式t=.若将例1的条件更改成带电粒子的入射速度相同，且满足前一粒子射出磁场时，后一粒子才进入，每一个粒子进入时的磁场不同.依旧比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短时，就会发现，第③条轨迹对应的磁场的磁感应强度B最弱，运动周期T最大，但偏转角度θ最小，公式t=·T已经不能直接用来判断时间的长短.若注意到粒子的入射速度相同，而三条轨迹①②③的长度不同，那么公式t=正适合用来比较运动时间的长短.比较粒子在两个磁场区域中运动时间的结果均为t1【例2】如图2-A所示在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有一小孔C，一带电量为+q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），以速度v0从小孔C处向着圆心射入磁场.已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且每次碰撞时间极短，碰后以原速率返回.若施加的磁感应强度B合适时，此粒子能在最短的时间内从小孔C处射出，求粒子与筒壁的碰撞次数.【解析】初看这道题，涉及到时间，很多学生自然地想到了周期公式T=，认为B越大，则T越小，从而认为B越大越好.殊不知，B越大时，根据r=，带电粒子运动的轨道半径也将越小，这就意味着带电粒子与筒内壁碰撞次数将增多，情形如图B、C、D所示从几何知识容易得到，碰撞的最小次数必须是3次.碰撞次数越多，则轨道半径r越小，带电粒子的轨迹长度也将越长，所以图2-B所示的带电粒子的轨迹长度即三段弧长总和s最短；而粒子在运动过程中，速率不变，从而根据公式t=，得到时间t必然最短.三、其它不变，仅粒子入射方向可以任意的情况，适用公式t=.【例3】如图所示圆形区域（图3-A）和条形区域（图3-B）内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束电子（电荷量为-e，质量为m）自点O以速率v射入磁感应强度为B的匀强磁场中，圆形区域的半径为d，条形区域的宽度也为d.已知d①用最长时间穿过圆形磁场区域的粒子的出射位置；②以最短时间穿过条形磁场区域的粒子的出射位置.【解析】由于电子运动速率相同，则不同方向射入的电子的运动半径相同，由几何知识可知，轨迹弧均为劣弧，弧长与弦长成正比.在图3-A中，弦OP最长，对应弧长也最长，由t=可知时间最长.在图3-B中，弦OP最短，对应弧长也最短，由t=可知时间最短.本题也可用比较圆心角的方法来判断，但较为繁琐.四、结论从以上列举的三种情况及相关实例的解析来看，比较带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间时，要依据具体情况选择判断公式.总之，定性比较磁场中运动时间时，若入射速率相同，优先选用公式t=；若入射速率不同，只能选用公式t=·T.（作者单位：梅州市梅县区高级中学）责任编校李平安。
巧用弦切角速解带电粒子在有界磁场中的运动时间
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2巧用弦切角速解带电粒子在有界磁场中的运动时间■广东省乐昌市第一中学蒋金厚一、一个实用的推论如图1所示.假设有垂直于纸面的匀强磁场，相同的带点粒子沿同一方向由a 点垂直磁场方向进入匀强磁场.若ab 直线为磁场的边界，粒子由p 点离开磁场，ap 为弦，速度矢量为切线，弦切角为α，粒子的出射方向与入射方向的夹角θ为偏转角.由几何知识可知偏转角θ=2α，圆心角等于偏转角θ.以速度矢量为切线，a 为公切点画半径逐渐增大或减小的缩放圆，各圆圆心在与入射速度垂直的ac 线上.在ab 直线边界上，不管各圆半径如何，粒子离开磁场的速度方向一致，粒子的偏转角相等，圆心角相等.由带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期公式T =2仔m Bq ，可知相同的带电粒子在同一匀强磁场中运动的周期相等，与速度和半径无关，各粒子在磁场中的运动时间t =θ2仔·T=α仔·T 也相等.若ad 直线为磁场的边界线，各粒子运动到ad 直线的时间也相同.弦切角越大，粒子的偏转角越大，圆心角越大，相比于运行到ab 线，运行时间也越长.推论：相同带电粒子由同一点沿相同方向垂直射入匀强磁场中作匀速圆周运动，从磁场边界上的某点射出磁场，粒子在磁场中的运行时间t=α仔·T ，θ为圆心角，α为弦切角，α越大则运行时间越长，其中，0<α<仔.推论满足条件：首先，磁场为匀强磁场；其次，带电粒子入射速度方向相同，大小不同；再次，带电粒子垂直磁场射入磁场.二、推论在有界磁场中的应用1.磁场边界为直线边界.【例1】如图2所示，直角三角形平面内有垂直三角形平面向外的匀强磁场，磁感强度大小为B ，∠A =60°，现有大量的相同的带负电粒子由A 点沿AB 方向射入磁场中，不考虑粒子之间的相互作用，不考虑重力.则（）A.AC 边上都有粒子射出磁场B.BC 边上都有粒子射出磁场C.从AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间皆为2仔m3BqD.从BC 边射出的粒子在磁场中运动的时间皆为仔m2Bq解析：如图3，过A 作缩放圆，速度矢量为各缩放圆的共同切线，A 为共同切线的切点，总可以找到一个与CB 边相切的圆，从斜边AC 的C 点下方射出磁场，到达不了C 点，A 错误；CB 边的D 点上方无粒子射出，B 错误.从AC 边射出的粒子，弦切角为α=仔3，所以，这些粒子在磁场中的运行时间皆为t =α仔·T =2仔m 3Bq，C 正确；从A 运行到D 点的粒子，弦切角α=仔4，粒子在磁场中运行时间为t =α仔·T =仔m 2Bq ；从BD 段射出的粒子，弦切角小于仔4，粒子在磁场中运行时间小于仔m 2Bq，D 错误；故选C.2.磁场边界为圆边界.【例2】如图4所示，半径分别为R 和2R 的同心圆处于同一平面内，O 为圆心，AB 为大圆的水平直径.小圆内Ⅰ区有垂直圆面向外的匀强磁场，两圆之间的环形区域Ⅱ区存在垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度均为B.现有大量的质量为m ，电量为+q 的粒子从A 处沿圆周切线垂直磁场方向射入磁场.不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子的重avθbPvv cd Oθ图1CAB v 图2DABv 图3CO 1O 2图4vAⅠOBⅡ652021年第2理综高参图5vAⅠO BⅡO 1O 2力.求：（1）若粒子运动轨迹不离开磁场Ⅱ区，求粒子入射速度的大小范围；（2）粒子第一次到达磁场Ⅰ区边界的最短时间；（3）能通过Ⅰ区和Ⅱ区的粒子的最小周期.解析：（1）如图5所示，粒子运动轨迹不离开磁场Ⅱ区，轨迹圆O 1与磁场圆Ⅰ区边界外切时，圆O 1半径为R 2，由R 2=mv Bq ，得v =BqR 2m ，粒子入射速度0<v ≤BqR 2m 时在磁场Ⅱ区内作匀速圆周运动.轨迹圆O 2与磁场Ⅰ区边界圆内切时，其半径为3R 2，由3R 2=mv Bq ，得：v =3BqR 2m ，粒子沿磁场Ⅱ区圆周外边界运行时，半径为2R ，由2R =mv Bq ，得：v =2BqR m ，所以粒子入射速度3BqR 2m <v ≤2BqR m 时，在磁场Ⅱ区内作匀速圆周运动.（2）粒子由A 进入磁场Ⅱ区，欲使其在最短时间内到达磁场Ⅰ区边界，即粒子作圆周运动的圆心角最小，即弦切角最小.如图6所示，从A 点画一条与Ⅰ区圆相切的直线段AP ，AP 为粒子轨迹圆周上的弦，弦切角最小，连接OP 、OA ，三角形APO 中的∠OAP =仔6，弦切角α=仔3，所以运动最小时间t =α仔·T =2仔m 3Bq.（3）如图6所示，从P 点进入Ⅰ区的粒子，轨迹具有对称性才能回到A 点完成一个周期.要使粒子在Ⅱ区中运动时间最短，只有在Ⅰ区中轨迹对称图形最少，在Ⅰ区中运动时间才会最短.由几何知识可知，粒子在Ⅰ区中运动的圆心角兹1=仔6，运动时间t 1=2·兹12仔·T =2仔m 3Bq ，粒子在Ⅱ区中运动的圆心角兹2=4仔3，运动时间t 2=2·兹22仔·T =8仔m 3Bq .所以粒子通过Ⅰ区和Ⅱ区后回到A 点的最短周期T ′=2T =10仔m 3Bq.3.磁场边界为混合边界.【例3】一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图7中虚线所示，ab 为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径.一束质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为()A.10仔m3BqB.10仔m3BqC.10仔m3BqD.10仔m3Bq 解析：如图8所示，粒子垂直ac 进入磁场，圆心在ac 直线上.过c 作磁场半圆的切线cp ，cp 为弦，弦切角最大，粒子运动时间最长.连接op 、oc ，由几何关系可知∠ocp =仔6，则弦切角α=仔2+仔6=2仔3.带电粒子在磁场中运动最长时间：t =α仔·T =4仔m 3Bq，C 正确，ABD 错误；故选C.责任编辑李平安图6vAⅠOBⅡP图7dbac图8dbacαv兹Ov66。
带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中的运动（习题课）一、解决带电粒子在有界磁场中运动的基本思路1、分析方法:定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。
（1）圆心的确定基本思路:即圆心一定在与速度方向垂直的直线上.有两种方法:①已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射速度方向和出射速度方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如下图甲所示,P 点为入射点,M 为出射点）.②已知入射点和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如下图乙所示,P 为入射点,M 为出射点）.（2）半径的确定和计算利用平面几何关系,求出该圆的可能半径（或圆心角）,并注意以下两个重要的几何特点: ①粒子速度的偏向角等于圆心角（α）,并等于AB 弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如右图所示）.即φ=α=2θ=ωt②相对的弦切角（θ）相等,与相邻的弦切角（θ ′）互补,即θ+θ′=180°.（3）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间可表示为t= T 或t = T. 二、解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，物理情景非常简单，难点在准确描绘出带电粒子的运动轨迹。
可以说画好了图就是成功的90%。
因此基本方法是作图，而作图的关键是找轨迹圆的圆心、轨迹圆的半径、充分利用直线与圆、圆与圆相交（相切）图形的对称性。
作图时先画圆心、半径，后画轨迹圆弧。
在准确作图的基础上，根据几何关系列方程求解。
三、 带电粒子在不同边界磁场中的运动 1.单边界磁场(直线边界)例1.一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。
磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里.（1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离.（2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t m qB 2=θ 360απ2α练1. 如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a,则该粒子的荷质比和所带电荷的正负是（）A.aB23v,正电荷 B.aB2v,正电荷C.aB23v,负电荷 D.aB2v,负电荷总结：直线边界(进出磁场具有对称性，如下图)2.双边界磁场（1）、速度平行边界例1.如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的时间之比为?（2）、速度垂直边界例2、垂直纸面向外的匀强磁场仅限于宽度为d的条形区域内，磁感应强度为B．一个质量为m、电量为q的粒子以一定的速度垂直于磁场边界方向从a点垂直飞入磁场区，如图所示，当它飞离磁场区时，运动方向偏转θ角．试求粒子的运动速度v以及在磁场中运动的时间t．(双边界)（3）、速度倾斜于边界例1．如图所示，宽d 的有界匀强磁场的上下边界为MN 、PQ ，左右足够长，磁感应强度为B ．一个质量为m ，电荷为q 的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ 成45°的速度v 0射入该磁场．要使该粒子不能从上边界MN 射出磁场，关于粒子入射速度的最大值有以下说法：① 若粒子带正电，最大速度为(22)/Bqd m -；②若粒子带负电，最大速度为(22)/Bqd m +；③无论粒子带正电还是负电，最大速度为Bqd/m ；④无论粒子带正电还是负电，最大速度为2/2Bqd m 。
带电粒子在有界磁场中运动地临界问题地解题技巧
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧仁寿一中北校区高2012级物理组带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类，并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺．．．．序．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题11
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
带电粒子在边界磁场中运动的问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题、复合场问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题★★★规律方法1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件．寻找临界点的两种有效方法：(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．2．要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．★★★规律总结1.解决此类问题的关键是:找准临界点.2.找临界点的方法是:以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下: （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.（一）．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动例题：如图所示，S为一个电子源，它可以在纸面内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，问：(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度最小为多大？(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？（二）．带电粒子在矩形边界磁场中的运动①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；②速度在某一范围内从上侧面边界飞；③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
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带电粒子在有界磁场中运动时间问题的解题策略
作者：冯守灿
来源：《中学物理·高中》2013年第10期
求解带电粒子在有界磁场中运动时间问题是磁场中一种常见题型，求解粒子运动时间的基本方法是：根据粒子圆周运动的周期T和轨道所对应的圆心角，并根据求得。
除粒子运动时间计算问题之外，还有磁场中粒子运动时间的定性分析问题，比如：不同粒子在磁场中运动时间的比较以及粒子在磁场中运动时间的最值问题，此类问题除了用常规方法求解之外，还可以结合题目所给条件，从不同角度加以分析判断，效果更好，现结合实例从两方面分析如下：
1、如何求解粒子在磁场运动时间
1.1利用周期和圆心角求时间
例1、如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B=2×10-8 T；磁场宽度L=0.2 m、一带电粒子电荷量q=-3.2×10-19 C，质量m=6.4×10-27 kg，以v=4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后从右边界射出.求：
（1）大致画出带电粒子的运动轨迹；（画在题图上）
（2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（3）带电粒子在磁场中运动时间？
解析：（1）轨迹如图.
（2）带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有
qvB=mv2R R=mvqB=6.4×10-27×4×1043.2×10-19×2×10-3 m=0.4 m.
（3）带点粒子在磁场中运动的周期为
设粒子在磁场中运动对应的圆心角为，由上图可知：
所以粒子在磁场中运动的时间为
1.2利用周期和速度偏转角求时间
例2、如图所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，而宽度为d的匀强磁场。
射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°，则穿过磁场所用的时间是多少？
解析：已知初速度和末速度的方向，易得速度的偏转角，由几何知识可知：粒子运动的圆弧对应的圆心角等于粒子速度的偏转角。
故粒子运动时间
可得
掌握圆心角和偏转角关系后，在已知偏转角情况下，可直接求解，而不需再画轨迹和找圆心角，从而简化了解题。
1.3利用周期和圆切角求时间
例3、如图所示，在直角区域aob内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子从o 点沿纸面以相同速度射入磁场中，速度方向与边界ob成30°角，求正、负电子在磁场中运动的时间之比.
解析：当带电粒子在进入边界为直线的磁场中时，其速度方向与边界夹角又称圆切角，由数学知识可知：圆切角的2倍等于运动轨迹对应的圆心角。
在遇到类似右图问题时，也不需再画轨迹和找圆心角，可直接利用结论求解。
根据左手定则判断粒子受力情况，可得出：正粒子向上偏，其圆切角为，负粒子向下偏，其圆切角为，所以其对应的圆心角之比为2：1，又因周期相同，故运动时间之比为2：1
2、如何比较粒子在磁场中运动时间
2.1若粒子运动周期相同，利用圆心角、偏转角比较时间
例4、（2011·海南）、空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界.一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射.这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子.不计重力.下列说法正确的是（）
A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
解：根据题目所给条件，可知不同粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同，根据在磁场中运动时间越长，则轨迹对应的圆心角也越大，故D正确，
对于入射速度相同的粒子，由于粒子的比荷相同，根据半径公式，轨道半径相同，故粒子在磁场中运动轨迹一定相同。
故B正确。
而对于速度不同的粒子，粒子运动的轨道半径不同，但当粒子速度较小时，不同速度的粒子可能都打在正方形的左边上，尽管粒子轨迹不同，但由于轨迹对应的圆心角都是，所以运动时间是相同的，故A、C错误。
2.2若粒子周期和轨道半径均相同，利用弦长比较时间
例5、在真空中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的带正电的粒子，已知粒子荷质比为，则哪个粒子在磁场中运动时间最长？最长时间t有多大？
解析：粒子的速度方向虽然不同，但粒子的运动周期相同，粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动对应的圆心角最大，也就是其粒子轨迹对应的弦最长。
由于粒子入射点和出射电都在圆周上，最长弦长就是圆周的直径，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点进，而从M点出。
因为
由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。
由图易知：
所以，粒子在磁场中运动的最长时间为
3.3若粒子运动速率相同，还可以利用弧长大小比较时间
例6、如图所示，在半径为R的圆形区域内有匀强磁场.在边长为2R的正方形区域里也有匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小相同.两个相同的带电粒子以相同的速率分别从M、N 两点射入匀强磁场.在M点射入的带电粒子，其速度方向指向圆心；在N点射入的带电粒子，速度方向与边界垂直，且N点为正方形边长的中点，则下列说法正确的是（）
A.带电粒子在磁场中飞行的时间可能相同
B.从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场
C.从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场
D.从N点射入的带电粒子不可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场
解析：如果我们把两种磁场的图进行叠合，见右图，当粒子速度为某值时，粒子恰好从两磁场的交点射出，由于粒子的半径相同，故其对应运动的圆弧长度相等，又因为两者速度大小相等，两者在磁场中运动时间可以相等；选A
但对于其他的任一条轨迹，从图中可知，在圆形磁场中的运动的弧长都小于方形磁场的圆弧长度，所以，从N点射入的带电粒子在磁场中运动应大于从M点射入的带电粒子的运动时间。
选BD。