2016年高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1
【精品教学设计】高二人教A版必修5系列教案：《3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3 》教案
3.3.1二元一次不等式组与平面区域（一）教学重点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界 教学难点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集教学过程一.复习准备：1.定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.定义：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.定义：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二.新课导入：1.一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为数轴上的一个区间. 那么，在直角坐标系内，二元二次不等式组的解集表示什么图形呢？（教师分析，学生画）2.研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.分析：平面内所有的点被直线6x y -=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界.3.结论：不等式中仅>或<不包括边界；但含“≤”“≥”包括边界.同侧同号，异侧异号4.教学例题例1：画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图） 例2：用平面区域表示不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集.（同上）分析：此解集是由两个不等式的交集构成，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.5.练习：1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 .2）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.3.3.1二元一次不等式组与平面区域（二）教学重点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.教学难点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.教学过程一.复习准备：画出二元一次不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.（师生同练）二.讲授新课：1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.教师读题——师生列式——完成数学模型的转化——学生画图2.练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min 着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.3.出示例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.教师读题——师生列表——学生列式（老师讲评）——学生画图4.小结：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.三.巩固练习：1.某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.2.某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.3.作业: P106习题A组第3题3.3.1简单的线形规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y满足不等式组111xyy x⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y=+的最大值是（答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值 给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线形目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解——满足线形约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解”三. 作业P106习题A 组第4题3.3.1简单的线形规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决.教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？二.讲授新课：1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解.三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 （答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本.3.作业：P106 习题A 组第4题。
高中数学人教A版必修5教案-3.3_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。
3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。
2. 教学重点/难点重点：求二元一次不等式表示的平面区域。
难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。
3. 教学用具4. 标签教学过程一．复习导入：（设计意图：为下面学习作铺垫）2．今天学习3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（写出课题）二．新课讲授：1．放映多媒体，出示实例问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：放映多媒体，出示下表学生填表（设计意图：帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备）（设计意图：消除学生错误认识）老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法（放映多媒体）⑤老师用多媒体演示正确步骤（设计意图：通过学生探索，总结出画二元一次不等表示的平面区域的方法和步骤以及注意事项，有利于培养学生独立分析解决问题的能力）6．学生总结画二元一次不等表示的平面区域步骤：学生口答，老师板书1.画边界2.判断不等式表示的区域3.用阴影线表示所要区域三、课堂练习：教师利用多媒体出示题目：（设计意图：通过练习巩固所学内容）四．小结：①这节课学习了哪些知识和技能？②这节课学到了哪些研究问题的方法？学生思考，发表自己的意见，老师指导。
（设计意图：培养学生反思归纳能力）五．作业：①193页习题3.3第1题板书。
人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
人教A版数学必修五 3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案2
二元一次不等式(组)与平面区域第二课时（1）教学目标（a ）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。
教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢（c ）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育（2）教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题（3）学法与教学用具通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新直角板、投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1、 设置情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
2、 新课讲授例1、（幻灯片放映）某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件解：设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有 2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200,x y x y ++⨯+⨯≤即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥把上面四个不等式合在一起，得到（学生口答）2030,240,0,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩根据限制条件画出图形 例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t 。
高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1
二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。
解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。
（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。
解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。
解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。
解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。
（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。
解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 》示范课教案_17
人教A版《数学5》(必修)§3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域本节课的教学内容选自人教版A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，是第1课时本节是在学习在学习了不等式后进行的，是图解法解决线性规划的基础，具有承上启下的作用。
旧教材将它安排在直线方程后学习，体现的是它与方程的联系，而新教材将它与不等式的知识合在一起，整章知识凸显的是通过数学的直观性进行学习，将重要的不等关系都给出了相应的几何背景，从而弱化了以逻辑性推导为主的传统学习不等式的方式；在本节课的学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，在由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。
教学重点：二元一次不等式(组)表示的平面区域的概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域新课程对这部分的处理采用数形结合，几何直观推理的方法，循序渐进，螺旋上升，符合现阶段学生的认知水平，本课的教学正是对这一原则践行，从图象的角度展开学习，以图象为依托来探索二元一次不等式（组）与平面区域。
具体确定了如下的教学目标：1. 初步体会从实际情景中抽象出二元一次方程组，进而变为二元一次不等式组的过程，了解二元一次不等式(组)表示的平面区域的概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
2.综合运用以旧引新、数形结合、类比、特殊到一般等多种方式探究二元一次不等式(组)表示的平面区域，为下一节课解决实际问题积累方法与经验。
3.通过学生自主探究，培养独立思考能力，学会合作意识；体会数形结合思想，类比、由特殊到一般的分析方法，提高学生解决复杂问题的能力。
三教学难点与难点攻克学生虽然在初中数学学习中已经接触过一元一次不等式（组）和二元一次方程（一次函数），但在接受二元一次不等式（组）上仍然不适应，对于二元一次不等式（组）所表示的平面区域理解上也会存在难度。
高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题2
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学难点】【教学过程】1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 u u u u u r 转化 数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。
（把文字语言 u u u u u r 转化 符号语言）（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x+(10%)y 30000≥ 即12103000000x y +≥（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式与简单的线性规划问题 错在哪儿》示范课教案_14
阅读与思考错在哪儿教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中的阅读与思考。
在此之前已经学习不等式的性质、一元二次不等式的解法、简单的线性规划等内容，其主要内容是对利用不等式组求代数式取值范围，在解不等式的过程中因忽视一些隐含条件或要求而发生错误的原因进行分析，从而避免产生错误。
本节课通过学生对利用不等式组求解代数式取值范围的一题多解过程中发现错误，认识错误，进而改正错误。
在解不等式组问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力。
（二）教学对象分析对高一学生来说，前面已经学习过二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，能解决简单的二元一次不等式组以及理解简单线性规划问题。
通过本节教学还能使学生学会运用已有的认知结构探求新知的方法。
这将使学生在以后学习数学的过程中遇到困难想办法进行转化，培养学生的数学应用能力。
（三）教学环境分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，通过学生小组合作探究，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系。
二、教学目标1.理解由于x，y受到不等式组的影响，x，y之间存在制约关系，当x取最大值时，y不能取到最大值。
2.会用代数方法和几何方法根据已知的不等式组求代数式的范围。
3.培养学生学会在错误中发现问题，在探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，经历知识的形成过程。
培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想。
4.倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识，让学生参与课堂活动,感受探索、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》优质课教案_23
高三一轮复习------简单的线性规划问题一、引例：（2016全国卷理16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元？二、高考考纲要求1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．三、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式ax＋by＋c>0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域边界直线．当我们在坐标系中画不等式ax＋by＋c≥0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成(2)由于对直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c 的即可判断ax＋by＋c>0表示直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域．（3）确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．直线定界，若不含等号，则应把直线画成虚线；若含有等号，把直线画成实线．特殊点定域，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用特殊点法，如取原点(0,1)、(1,0)等点．2．线性规划相关概念四、典例讲解及联系43,13525.1.≤≥例.已知、满足≤x y x y x y x --⎧⎪+⎨⎪⎩(1)求可行域的面积和整点个数.（2）若z=2x+y,求z 的最值(3)若 求z 的最值.(4)若求z 的最值.(5)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值例2 应用题题型 ,y z x =22,z x y =+【2012四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
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学生变出目Байду номын сангаас函数z=x+y.
变式二：线性约束条件不变,请编出一个线性目标函数,并求出其最大值及最小值.
学生自主探究，发表自己的看法。
探究与提高(一)约束条件不变,目标函数z=ax+y在取最大值时有无穷多个最优解,求a的值.
探究与提高(二)约束条件不变,目标函数z=ax+y仅在点M（A、B)处取到最大值,求a的取值范围.
三、学习环境选择
1．学习环境选择（A）
A.简易多媒体教室B.交互式电子白板C.网络教室D.移动学习环境
四、流程规划与活动设计（描述整体教学环节规划，按顺序说明每一环节中教学内容、呈现方式、教师活动、学生活动以及设计意图等）
教学
环节
知识点与教学内容
呈现方式（如图片/视频等）
教师活动
学生活动
设计意图与效果
六、备注
(板书设计）3.3.2简单的线性规划问题
投影引例：（解答过程）变式1：
变式2
探究与提高1
改变教学方法，使知识的传授过程成为问题的解决过程.本节课主要通过引例说明线性规划的意义及有关概念，介绍了线性规划问题的图解法.因此，引例的教学是本节课的重点.讲解时，教师主要采用启发式教学方法，引导学生在对问题的观察、联想、分析、化归的尝试活动中，紧紧抓住数形结合的思想方法，通过学生的积极参与及多媒体技术的应用，达到使一个平淡的方法传授变为生动有趣的问题解决过程的目的.
《课题名称》教学设计
基本信息
区县
学校名称
教学题目
3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）
所选教材
人民教育出版社版普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第三章第三节
人教A版高中数学必修五高二学案：3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(新).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》一、 课标要求1． 了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义．2． 了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．3． 了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提 高解决实际问题的能力．二、 本节重点和学习中可能遇到的困难重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），二元一次不等式（组）表示的平面区域及简单的二元线性规划问题．学习中可能遇到的困难：二元一次不等式表示的平面区域的探究过程及从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．三、 要点讲解Ａ．二元一次不等式（组）与平面区域1．满足二元一次不等式（组）()0f x y ，≥或()0()0f x yg x y ⎧⎨⎩，≥，≥的x 和y 的取值构成有序实数对()x y ，，所有这样的有序实数对()x y ，构成的集合称为二元一次不等式（组）的解．因为有序实数对()x y ，可以看成直角坐标平面内点的坐标．所以，二元一次不等式（组）的解集是直角坐标系内的点构成的集合．2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>(0)AB ≠在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．当点11()P x y ，在直线0A x B y C ++=上时，110Ax By C ++=；当点11()P x y ，不在这条直线上时，则110Ax By C ++>或110Ax By C ++<．于是直线0Ax By C ++=把平面分成两部分，此直线是这两部分平面区域的边界．若其中一部分平面的点用11()P x y ，表示，则11Ax By C ++保持相同的符号；若另一部分平面上的点用22()Q x y ，表示，则22Ax By C ++保持相同的符号且与前者符号相反．所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点00()x y ，，由00Ax By C ++的正负即可判断0(0)Ax By C ++><表示的是直线哪一侧的平面区域．特别地，当0C ≠时，常有原点作为特殊点．画不等式表示的平面区域是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线．例如：画出不等式20x y +->的平面区域．先作出边界20x y +-=，因为这条直线上的点都不满足20x y +->，故画成虚线；又因为0C ≠，所以取原点(00)，代入20x y +-=得20-<，所以，原点(00)，不在20x y +->表示的平面区域内，其区域如图所示．Ｂ．简单的线性规划问题1．一般地说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解()x y ，叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．2．线性目标函数(0)z ax by b =+≠的几何意义：z b是直线0ax by z +-=在y 轴上的截距． 3．生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．4．求线性规划问题的步骤图解法是解决线性规划问题的有效方法，其步骤是：①设未知数；②确定目标函数；③ 列出约束条件；④画出不等式（组）表示的平面区域，即可行域；⑤作平行直线系使之与可行域有交点；⑥求最优解并作答；⑦写出目标函数的最值．四、 应注意的问题1． 易错点：对可行域、最优解的判断出现问题或对目标函数的几何意义理解不清都容易出现错误．2． 课本习题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有：（1） 无可行解：这是约束条件组成的不等式组无解的情况；（2） 有无穷多个最优解：这是目标函数z ax by =+和可行域的边界线平行的情况；（3） 有可行解，无最优解：这种情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果线性规划中的可行域是闭区域，那么一定有最优解．3． 课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by =+（a b ，不同时为零），即线性目标函数，高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数：（1）“斜率型”目标函数y b z x a-=-（a b ，为常数）．最优解为点（a b ，）与可行域 上的点的斜率的最值；（2）“两点间距离型”目标函数22()()z x a y b =-+-（a b ，为常数）．最优解为点（a b ，）与可行域上的点之间的距离的平方的最值；（3）“点到直线距离型”目标函数z ax by c =++（a b c ，，为常数，且a b ，不同时为零）．最优解为可行域上的点到直线0ax by c ++=的距离的最值．。
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《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析新课标人教A版高中数学必修五§3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）教材利用生产安排的具体实例，介绍了简单的线性规划问题的图解法，引出线性规划的相关概念。
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具。
简单（涉及两个变量）的线性规划通常用来解决两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。
这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了集合、化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。
通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、学情分析数学知识方面：学生在学习了二元一次不等式、直线方程；理解了二元一次不等式（组）表示平面区域，并会画出平相应面区域；经历了从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的过程。
数学思想方面：通过前一节课的学习，学生已初步体会了集合、化归、数形结合的数学思想。
学生在问题的探索过程存在以下困难：（1）含两个变量的函数问题学生没有接触过，直接求最值对学生的思维要求跨度太大；（2）学生对动态直线系的理解有困难；（3）学生数学建模意识比较缺乏。
三、设计思路以实际问题为载体，以培养学生能力为目标，引导学生进行自主探究。
让学生通过阅读、分析、观察、对比、联想、等活动，掌握本节课的知识与技能；经历知识产生、发展的过程，增强分析、解决问题的能力，应用数学的意识；体会其中的数学思想。
四、学习目标1.了解线性规划的意义以及相关基本概念；了解线性规划问题的图解法；2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程；3.进一步体会集合、化归、数形结合的数学思想。
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二元一次不等式（组）与平面区域教学设计一、新课标及考纲要求分析新课标要求是：不等式有着丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。
刻画区域是解决线性规划问题的一个重要步骤，教学中可以从实际背景引入。
高考考纲要求：1.能从实际情景中抽象出二元一次不等式组。
2.了解二元一次不等式几何意义、能用平面区域表示二元一次不等式（组）。
3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
从近三年的高考看，由于本部分内容是训练学生数形结合思想的典型内容，各省地考题几乎每年都有所涉及。
其热度正逐年上升，应引起足够的重视。
二、教材分析本节课位于人教版高中数学必修五第三章第3节的第1课时，是在学生学习了不等式和直线方程的基础上，对不等式、直线方程知识的深化和综合应用。
在教材中起到承上启下的作用，本节内容是融数、形于一体，具有代数形式与几何形式的双重身份。
新教材将它与不等式的知识合在一起，凸显的是通过数学的直观性进行学习，并为重要的不等关系给出了相应的几何背景。
本节内容是后续内容——简单的线性规划的基础，其掌握程度直接影响着线性规划问题中可行域的确定，由此可见，作为基石的重要地位不言而喻，而此小节又起着承上启下的重要作用，为学生学好线性规划原理打下了坚实的基础。
三、学情分析有利因素：在初中数学学习中学生已经接触过二元一次方程（组），所以在接受二元一次不等式（组）上会比较容易。
不利因素：1.学生的数形结合思想不够完善，学生识图、画图能力还不怎么好；2.对点集与图像的关系理解不深。
在教学过程中，培养学生动手操作、主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，培养学生利用归纳、猜想、证明探究问题的能力是关键。
四、教学目标根据课标及考纲要求，针对教材和学情分析特制定了本节课的教学目标。
知识与技能：1.准确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域；2.学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力。
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3.3.2 简单线性规划问题一．教材分析：“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用。
线性规划是利用数学为工具，来研究在有限资源的条件下，如何精巧安排，取得最大的经济效益.这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.二．教学目标1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能运用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题；2.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；3.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三．教学重难点1.理解目标函数是一组平行线，通过平移寻找最优解。
2.目标函数由原来的一元函数变为二元函数，理解较为困难。
四．教学过程（一）．导入新课1．复习如何确定二元一次不等式A x+B y+C＞（或≥）0表示的平面区域？（线定界，点定域）（或使用不等号的方向来确定位置）2.生活中经常遇到资源安排问题，如何使用有限的资源产生最大的效益是我们接下来要研究的课题。
（二）．新课探究1.例1，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？解：由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x将上述不等式组表示成平面上的区域得：图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则Z这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？（当z 变化时可以得到一组互相平行的直线）.（板演）由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元知识归纳：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（4，2）使目标函数取得最大值，它们都叫做这个问题的最优解.等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数问题拓展：（1）上述问题中，如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，又应当如何安排生产？（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？最优解一定在可行域的范围之内,最优解是可行域范围内的最理想的结果.在相同的可行域之内,根据不同的目标最优解是不同的. 2.知识拓展：问题：若设Z=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求Z的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=Z,，从而观察Z 值的变化：Z =2x+y∈［3,12］(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，Z=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=Z,Z可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即Z ＞而且，直线l 往右平移时，Z随之增大（引导学生一起观察此规律）在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点C （5，2）的直线所对应的Z 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以Z m a x =2×5+2=12,Z(2)（三）课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）2.设Z=0，画出直线l3.观察、分析，平移直线l，从而找到最优解4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（四）布置作业1.课本91页练习1.2.预习创新例23.。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 》示范课教案_13
1.关于“规划求解”2.如何加载“规划求解”3.“规划求解”各参数设置4.“规划求解”步骤5.利用“规划求解”解线性规划问题如何加载“规划求解”1)在“工具”菜单上，单击“加载宏”2）在弹出的对话框中的“可用加载宏”列表框中，选定呆添加的加载宏“规划求解”选项旁的复选框，然后单击“确定”。
然后，“工具”菜单下就会出现一项“规划求解”单击“添加”，显示添加约束对话框选项：显示“规划求解选项”对话框。
在其中可以加载或保存规划求解模型，并对规划求解过程的高级属性进行控制线性规划求解步骤：1. 确定目标函数系数存放单元格，并在这些单元格中输入目标函数系数。
2. 确定决策变量存放单元格，并任意输入一组数据；3. 确定约束条件中左端项系数存放单元格，并输入约束条件左端项系数；4. 在约束条件左端项系数存放单元格右边的单元格中输入约束条件左端项的计算公式，计算出约束条件左端项对应于目前决策变量的函数值。
5. 在步骤4的的数据右边输入约束条件中右端项（即常数项）6. 确定目标函数值存放单元格，并在该单元格中输入目标函数值电容计算公式。
一个简单的例子某工厂计划生产两种产品，利润分别为2和3，已知生产单位产品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗，如表目标是不超过资源限制的情况下，确定两产品产量，得到最大利润。
建立数学公式（步骤一）•在工作表的顶部输入数据•确定每个决策变量所对应的单元格位置•选择单元格输入公式，找到目标函数的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件左边的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件右边的值可采用‘复制粘贴’或‘直接输入’的方式导入数据。
建立数学公式（步骤二）•在工作表的顶部输入数据•确定每个决策变量所对应的单元格位置•选择单元格输入公式，找到目标函数的值•选择一个单元格输入公式，计算每个约束条件左边的值选择一个单元格输入公式，计算每个约束条件右边的值图中，规定B12、C12为可变单元格建立数学公式（步骤三）•在工作表的顶部输入数据•确定每个决策变量所对应的单元格位置•选择单元格输入公式，找到目标函数的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件左边的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件右边的值建立数学公式（步骤五）•在工作表的顶部输入数据•确定每个决策变量所对应的单元格位置•选择单元格输入公式，找到目标函数的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件左边的值•确定约束单元格输入公式，计算每个约束条件右边的值调用‘规划求解’模块•选择工具下拉菜单•选择规划求解选项（事先需用Office安装盘安装规划求解的功能）填写目标单元格和可变单元格•出现规划求解参数对话框–在目标单元格中输入B14–在等于选择最大–在可变单元格中输入B12:C12–选择添加在上图显示的界面中，需要输入目标单元格、可变单元格，添加约束条件，另外还可能需要进行选项设置。
人教A版高中数学必修5《三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》优质课教案_2
课题：331二元一次不等式（组）与平面区域教学目标：知识与技能：1. 了解二元一次不等式的几何意义，2. 会用二元一次不等式组表示平面区域；过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；教学难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；教学过程：一、创设情景，揭示课题生活实例：春节的时候，爸爸给5岁的小明10元压岁钱，小明想用于买零食和玩具但为了培养小明的爱心与责任意识，爸爸要求他必须从中拿出一部分捐给灾区的小朋友，剩余的钱用于买零食和玩具，小明应该如何分配用于买零食和玩具的钱呢？请你帮小明列出这其中蕴含的不等关系式这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？解析：设买文具和玩具的钱数分别为x, y元则由题意可知应满足：x y 10，x - 0, y - 01x + y £10「即转化为满足*x王0 的有序数对（x, y）.y色0'x + y v 10x + y £10, 二元一次不等式y -」x > 0二元一次不等式组» 0今天这节课我们就来研究二元一次不等式与二元一次不等式组。
回顾：一元一次不等式（组）的解集是什么？实数构成的集合，所表示的图形一一数轴上的区间。
工x 3 - 0女口：不等式组的解集为数轴上的一个区间（如图）。
£ 一4 兰0思考：二元一次不等式（组）的解集是什么？表示的图形是什么图形？二、新课教学：自主学习：请同学们阅读课本，回答下面问题：（1）二元一次不等式定义：（2）二元一次不等式组定义：（3）二元一次不等式（组）的解集：（4）二元一次不等式（组）的解集的图形表示：通过交流讨论，让学生理解这4个问题。
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？以二元一次不等式x - y < 6的解集所表示的图形为例。
高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【整体设计】 教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义。
作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。
本节将通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型，引出二元一次不等式(组)的相关概念。
本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法。
其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定。
在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程。
能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础。
②注重探究方法，结合等式(函数)所表示的图形的认知，用类比的方法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形”的问题③注重探究手段，结合信息计术 教学目标 1、通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想。
尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 重难点教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），灵活运用二元一次不等式（来）表示平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax （或)0<表示0=++c By Ax 的哪一侧区域课时安排 1课时第1课时导入新课出示课本给出的实例，“一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢”？让学生用不等式来刻画资金分配的问题，可得到不等关系，由此引出二元一次不等式（组）的解集的概念展开新课 一、提出问题①让学生阅读课本，什么是二元一次不等式（组）的解集？②在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？③怎样判断二元一次不等式0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域？④直线0=++C By Ax 将平面内的点分成了哪几类？二．学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方． 三．建构数学1．进一步验证结论的正确性：如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+， ∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方， ∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<． 又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）2．得出结论： 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．四．数学运用1．例题：例1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．xyO下半平面 y kx b <+上半平面 y kx b >+y kx b =+ 20x y +-=2 2x yO(,)P x y •说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域． 例2．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>． 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分． 图①图②例4．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域． （2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-< 所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例5．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解：ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方，故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例6．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例7．（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=．（2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322a y x >+， ∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a<，∴0a <． 又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．五．回顾小结：1．二元一次不等式的几何意义；2．二元一次不等式表示的平面区域的确定． 六．课外作业：课本第86页 练习 第1－4题．课本第93页 A 组 第1，2题，B 组第1，2题3.3.2简单的线性规划问题【整体设计】 教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》优质课教案_1
在得到利润 后，教师进一步引导学生认识 的意义，及如何使 最大。
小组合作完成。
通过追问，激发学生的探索欲望，培养学生分析问题解决问题的能力，发扬合作精神。
2、概念学习
一组关于变量 的一次不等式，称为线性约束条件。把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量 的一次解析式，又称线性目标函数。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
学生自主完成。教师点拨。在正确画出可行域的前提下，引导学生用图解法求出最优解。
学生板演，师生点评。
培养学生分析问题、独立解决问题的能力。培养学生知识的整合能力。
4、课堂练习。
自主解答。
巩固练习，加深理解。
5、课堂小结。
（1）解决线性规划问题的步骤
（2）本节课的数学思想
引导学生总结，
师生共同完善
培养学生总结的能力和习惯。
6、作业教材91页第2题
复习巩固。培养学生自主学习习惯。
4、板书设计
1、引例2、概念3、（1）解决线性规划问题的步骤
（2）数学思想方法
教科书利用生产实践为实例，介绍线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，又以实例说明简单线性规划的应用。
2.教学目标
（1）知识与技能目标：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念.理解线性规划问题的图解法，能根据图解法求线性目标函数的最优解。
（2）过程与方法目标：在对具体实例的感性认识上升到对线性规划的理性认识的过程中，培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生数形结合的解题能力。在图解过程中培养学生的观察能力和理解能力。
3.3.2简单的线性规划问题教学设计
一、教材分析
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》优质课教案_31
一、教学分析从教材内容的编写来看,《线性规划最值》是在学习直线方程和二元一次不等式的基础上,对二元一次不等式的深化和再认识,再理解,再度深化,进一步地提高升华。
线性规划的最值这部分知识可以解决实际问题,培养学生的建模能力。
属于比较抽象,对学生的综合素质要求较高,但又是高考频繁出现的考点。
线性规划的最值集中体现了化归思想、数形结合的思想、运动变化的思想。
它的运动变化的知识板块特点,又利于培养学生学习数学的兴趣,作图,识图,观察,联想,推理等各方面的能力。
二、教学目标1、利用线性规划中的数形结合解决最值题型三类:线性目标函数截距型;分式函数斜率型; 平方函数距离型;2、通过例题的讲解和变式练习,培养学生的主动探索、勇于探索的精神;通过变式练习,使学生解题更灵活。
每个变式都表达了一个陷阱,都是一个注意事项。
通过学生的错误,使学生感受吃一堑,长一智,继而夯实学生的数学基础。
3、小组合作式学习,培养学生的主动学习的能力和合作的意识。
课堂展示课下讨论的学习成果,老师点评。
放大亮点,矫正错误。
通过小组合作式学习,大大地提高了学生学习的自主性和学习兴趣。
学生学习的自觉性提高,真正变成了课堂的主人,提高了课堂效率。
三、学情分析高二年级的学生已学完高中全部课程,有很好的数学基础;课堂实录的班级是年级的小奥班,学生基础好,语言表达好,有十足的表现力。
小奥班的高二学生有深厚的学习兴趣,学习兴趣与高效密切相关,他们对于把所学知识应用于实践,充满了自信,这种自信,加之老师的肯定,加之他们看到自己的学习成果,学习欲望倍增。
四、重点难点1、目标函数的构造,变形的目标函数找到原形是难点。
2、斜率的改变对最值的影响是重点,也是难点。
五、教学过程第二学时教学活动【导入】1、改变斜率，对最值的影响小组活动,目标函数,斜截式方程,现场提问,和学生互动。
改变直线的陡硝程度,观察纵截距的最值变化及目标函数z的变化。
叫学生真正参与进来实验,观察B的符号对Z的最值的影响。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》示范课教案_0
《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
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二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。
解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。
（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。
解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。
解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。
解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。
（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。
解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。
答案: (Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 （Ⅱ）()()()21211h x x x λλ=-++-+①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λλλλ-<-≤-<-+当时,解得ⅱ）111,10.1当时,解得λλλλ->-≥-<≤+0.λ≤综上，例4：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？答案:：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 且x ，y 都是整数． 求目标函数z ＝x ＋y 取得最小值时的x ，y 的值．如图，当x ＝3，y ＝9或x ＝4，y ＝8时，z 取得最小值．∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少． 【课内练习】1．双曲线224x y -=的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）A 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≥⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩B 、003003x y x y x y x -≥⎧⎪+≤⎪⎨--≥⎪⎪≤≤⎩C 、003003x y x y x y x -≤⎧⎪+≤⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩D 、003003x y x y x y x -≤⎧⎪+≥⎪⎨++≤⎪⎪≤≤⎩答案：A 。
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，过（3，0）且平行于y x =±的直线是3y x =-和3y x =-+，∴围成的区域为A 。
2．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ）A ．32B ．21C ．2D ．23 答案:B 。
解析：11,22AC k a =-∴-=-，即12a =。
3．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )答案:A 。
解析：12111,2112x y x y x y x y x y x y x x y y ⎧+>⎪+>--⎧⎪⎪⎪-<--∴<⎨⎨⎪⎪->--⎩⎪<⎪⎩，故选A4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费 元．答案: 500。
解析：设需第一种原料x 袋，第二种原料y 袋，3524106,x y x y N++≥⎧⎨∈⎩，令140120z x y =+，∴过（1，3）时min 500z =元。
5．已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--<⎩，求|24|z x y =+-的最大值为 。
答案：21。
解析：可行域如图，当3,1x y ==时，min (x +各点均在直线240x y +-=的上方，故240x y +->，化简得24z x y =+-并平行移动，当过C （7，9）时，max 21z =。
6．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表所示：每张钢板的面积,第一种为1m ,第二种为2m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、 15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？答案：解：设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,所用钢板面积为2zm ,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0,273,152,12y x y x y x y x作出可行域(如图) 目标函数为y x z 2+=作出一组平行直线t y x =+2(t 为参数).由⎩⎨⎧=+=+12,273y x y x 得215,29(A 由于点215,29(A 不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使z 最小,且20726824min =⨯+=⨯+=z .答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.7．已知3≤x ≤6，31x ≤y ≤2x ，求x ＋y 的最大值和最小值． 答案：原不等式组等价于363020x x x y x y ≥⎧⎪≤⎪⎨-≤⎪⎪-≥⎩作出其围成的区域如图所示，将直线x ＋y ＝0向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值． ∴(x ＋y ) min ＝3＋1＝4， (x ＋y )max ＝6＋12＝18．即x ＋y 的最大值和最小值分别是18和4．8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？（2）线性约束条件312000421110004200x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎪≥⎩（3）作出可行域：图略。
（4）构建目标函数34z x y =+，即3144y x z =-+ （5）求出满足条件的最大值：2000,1000x y ==时，z 取到最大值100009．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？答案:：设桌、椅分别买x ，y 张，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 且x ，y ∈N *由⎩⎨⎧==+x y y x 20002050解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==72007200y x ∴点A 的坐标为（7200,7200）． 由⎩⎨⎧==+x y y x 5.120002050解得⎪⎩⎪⎨⎧==27525y x ∴点B 的坐标为（25，275）． 所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．由图形直观可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为（25，275），但x ，y ∈N *，故y 取37． ∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．【作业本】A 组1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为 ）A 、330x y -+<B 、330x y +-<C 、330y x --<D 、330y x -+<答案:C 。
解析：用（0，0）代入验证。
2．设点(,)P x y ，其中,x y N ∈，满足3x y +≤的点P ） A 、10个 B 、9个 C 、3 个 D 、无数个 答案:A 。
解析：x,y 可取0，1，2，3且满足条件即可。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且 D ．D P D P ∈∈21且 答案：C 。
解析：代入检验。
4．设,x y 满足5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是 ． 答案: (2,3)。