计量经济学第三章多元线性回归模型
计量经济学 第三章
3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均 线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均 为非线性；变量、系数均为线性。 3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性 回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关
方和较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模
型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预
期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，
住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如
此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预
其中：——某天慢跑者的人数 ——该天降雨的英寸数 ——该天日照的小时数 ——该天的最高温度（按华氏温度） ——第二天需交学期论文的班级数Байду номын сангаас
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？ （2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得
到不同的符号？ 3-18．对下列模型： （1）
（2） 求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二 乘估计值作比较：
（1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括 号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？
（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其 在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你 的结论。
（3） ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭 价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营 业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无 法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括 号内为标准差）：
多元线性回归
Y
X
i
Y
1i i
X ki
XX 1i ki
XX 2i ki
X 2 ki
bˆk
X
k
Y
ii
正规方程
矩阵形式
n
X
X
X 1i
X 1i
X2 1i
X 2i
X X 2i 1i
2
ee ~ (n k 1)
ˆ
t
i
i ~ t(n k 1)
c ee ii n k 1
H ： 0成立下，t
0
i
ˆ i
c ee ii n k 1
若 |t | t临
拒绝 H 0
认为 与0有显著的差异 i
或者根据t 查t分布表的概率p, 若
p
E[((X X )1 X ( XB N ) B)((X X )1 X ( XB N ) B)]
E[(X X )1 X NN X ( X X )1]
( X X )1 X E(NN ) X ( X X )1
E(NN )(X X )1 X X ( X X )1
最小的）
线性
Bˆ ( X X )1 X Y
无偏性
E(Bˆ) E[(X X )1 X Y ] E[(X X )1 X ( XB N )] E[(X X )1 X XB ( X X )1 X N ] B ( X X )1 E( X N ) B
i
i
ESS
2
计量经济学第3章 线性回归模型
计量经济学-第3章 线性回归模型
4
（3）等方差性：Var (i ) 2,i 1,2,, n ，因而
Var ( yi ) 2 , i 1,2,, n
（4）正态性：i ~ N (0, 2 ), i 1,2,, n ，因而
yi ~ N ( xi , 2 ), i 1,2,, n
上述四个条件可简化为： ij
1 lxx
n
xi
i 1
x E( yi )
1 n
lxx i1
xi x
(
xi
)
1 lxx
n i 1
xi x xi
1 lxx
lxx
E(ˆ)
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计量经济学-第3章 线性回归模型
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E(ˆ ) E(Y ˆx )
1 n
n
E(
i 1
Yi )
E(ˆ ) x
1 n
n
i 1
i 1
i 1
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计量经济学-第3章 线性回归模型
21
n i 1
( yi
y)2
2 lxy lxx
lxy
(
lxy lxx
)2
lxx
n i 1
( yi
y)2
l
2 xy
lxx
n i 1
yi2
ny 2
l
2 xy
lxx
n i 1
yi2
n( 1 n
n i 1
yi )2
n
(
i 1
( xi
x)(yi lxx
y))2
n i 1
yi2 (
1 n
n i 1
yi )2
n
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
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.
17
2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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13
(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
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3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
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4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
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.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
《计量经济学》(庞浩第一版)第三章多元线性回归模型eviews上机操作
第三章多元线性回归模型案例分析一、研究目的1提出问题：研究中国税收收入增长的主要原因(必须要有研究的意义，且具创新价值)2分析问题：从宏观经济看经济增长是税收增长的源泉；公共财政的需求；物价水平；税收政策（要注重经济理论的相关性和逻辑性）二、模型设定1被解释变量：为了全面反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地方的的“国家财政收入”中的各项税收作为被解释变量2解释变量：选择“国内生产总值GDP”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表，选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表，而由于财政体制的改革难以量化，且1985年后财税体制改革对税收增长影响不是很大，故暂不考虑。
3设定线性模型为：Y t= β1+β2X2t+β3 X3t+β4 X4t +u t注：X1默认为14经济理论构造成功之后，即着手收集数据资料（这要借助统计学的知识进行整理，并不是什么数据都可以直接拿来用。
首先，数据来源的权威性，即必须保证数据的准确可靠性，不能随意捏造，其次，数据的合理分类，最后是数据的合理运用）附：数据三、估计参数利用eviews3.0进行分析1建立工作文件新建工作文档：file-new-workfile，在打开的workfile range 对话框中的workfile frequency 中选择annual，start date 输入1978，end date输入2002，点击ok。
2输入数据直接在命令窗口输入“data Y X2 X3 X4 、、、”本案例中输入data Y X2 X3 X4然后是将excel中的数据复制过来，并点击name命名GROUP01。
3估计参数直接在命令窗口输入“LS Y C X2 X3 X4 、、、”。
LS是做最小二乘估计的命令，Y为被解释变量，C为截距项，X为解释变量，注意LS Y C X之间要有空格，被解释变量紧接在命令LS之后。
本案例中输入LS Y C X2 X3 X4 本题中得到下表，点击name 命名eq01。
第3章 多元线性回归模型10301(计量经济学)PPT课件
第四节 多元线性回归模型检验
一、常用的检验方法
1. R（复相关系数）检验法
TSS (Yi Y)2 (Y (i Y ˆi)(Y ˆi Y))2 (Yi Y ˆi)22(Yi Y ˆi)Y (ˆi Y)(Y ˆi Y)2
5
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 . .k . X k 1 u 1 Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 . .k . X k 2 u 2 . . . . . . . Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n . .k . X k n u n
一、多元线性回归模型的定义
设所研究的对象（因变量Y）受多个因素X1,X2,…,Xk和随机 干扰项u的影响，假设各因素与Y的关系是线性的，这样就 可把一元线性回归模型自然推广到多元的情形。
Y i X 1 i1 2 X 2 i 3 X 3 i . .k . X k i u i (i1,,n)
ei
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数
中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ XBˆ
或
Y XBˆ E
其中：
ˆ 1
ˆ
Bˆ
2
e1
E
e2
ˆ
en
k
8
二、多元线性回归模型的基本假设条件
⑴Y与X之间的关系是线性的； ⑵所有观测值的随机干扰向量期望值为0：E（u）＝0 ⑶所有观测值的随机干扰项具有同方差：D (u)= E (uuT)=σu2I u ； ⑷不同观测值的随机干扰项之间相互独立： Cov(ui, uj) ＝0 (i≠j)； ⑸随机干扰项ui与解释变量xk不相关：Cov(ui, xj) = 0 (j=1,2,.....k)； ⑹ X不是随机变量，为确定矩阵，且在两个或多个自变量之间没有
3多元线性回归模型计量经济学
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或 ei 0 (**)
X jiei 0
i
(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组
的另一种写法。
⃟样本回归函数的离差形式
yi ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei
其矩阵形式为： y xβˆ e
i=1,2…n
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
(XX)βˆ XY
由假设1，X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
• 将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组： βˆ (Y Xβˆ )(Y Xβˆ ) 0
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0
XY XXβˆ 0
其中 ：
y1
y
y2 yn
x11 x21
x
x12 x1n
x22 x2n
xk1
xk2
xkn
ˆ1
βˆ
ˆ2
ˆ
k
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
βˆ (xx)1 xy
ˆ0 Y ˆ1 X1 ˆk X k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
多元线性回归模型
多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。
它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。
本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。
一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。
多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。
具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。
三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。
主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。
在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。
在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。
多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。
五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。
然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。
计量经济学 詹姆斯斯托克 第3章 多元线性回归模型
i 2 i
10 21500 21500 53650000
1 X Y X1
1 X2
Y1 1 Y2 Yi 15674 X n X iYi 39468400 Yn
i i
638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
ˆ 1
x y x
2 i
5769300 0.777 7425000
ˆ Y ˆ X 1567 0.777 2150 103 .172 0 0
因此，由该样本估计的回归方程（样本回归函数） 为：
i 1
n
2
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ))2 Q (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i 1
n
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X ki Yi X ki
习惯上：把常数项看成为一个虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k +1）。
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。它的 非随机表达式为:
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
计量经济学多元线性回归模型及参数估计
-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
V
ar
Cov( N
)
E
N
E(N
)N
E(
N
)
E(
NN
)
1
E
n2 1
2
12
n
E
2 1
n1
12 22
n2
1n
2n
n2
2
0
0
0
2
0
2
I
0
0
2
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
E(X
N )
E
1 X 11
ei 0 X i1ei 0 X i2ei 0
X ik ei 0
(*) (*)或（**）是多 元线性回归模型正
(**) 规方程组的另一种 写法。
离差形式的样本回归方程
由于
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik
[Yi (ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik )] 0
????eemm??所以有???eem??mnnee???ee?????????????????????????????????????????????nnnnnnnnmmmmmmmmme??????????????2121222211121121????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????21221122221121221111因为xxxxim?????1为对称等幂矩阵即mm??mmmm???2????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????????????????22112222211211221111??nnnnnmmmememem??????????22112222222111?????1212122??????????????kntrtrtrmtr????????xxxxixxxxi其中符号tr表示矩阵的迹其定义为矩阵主对角线元素的和
计量经济学 实验3 多元回归模型
目录目录 (1)一、建立多元线性回归模型 (3)(一) 建立包括时间变量的三元线性回归模型； (3)1. 建立工作文件：CREATE A 78 94 (3)2. 输入统计资料：DATA Y L K (3)3. 生成时间变量t：GENR T=@TREND(77) (3)4. 建立回归模型：LS Y C T L K (3)(二) 建立剔除时间变量的二元线性回归模型； (4)(三) 建立非线性回归模型——C-D生产函数。
(5)二、比较、选择最佳模型 (8)(一) 回归系数的符号及数值是否合理； (8)(二) 模型的更改是否提高了拟合优度； (8)(三) 模型中各个解释变量是否显著； (8)(四) 残差分布情况 (8)实验三多元回归模型【实验目的】掌握建立多元回归模型和比较、筛选模型的方法。
【实验内容】建立我国国有独立核算工业企业生产函数。
根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：()ε,tY=。
其中，L、K分别为生产过程中投入的劳动与资金，fL,K,时间变量t反映技术进步的影响。
表3-1列出了我国1978-1994年期间国有独立核算工业企业的有关统计资料；其中产出Y为工业总产值（可比价），L、K分别为年末职工人数和固定资产净值（可比价）。
资料来源：根据《中国统计年鉴－1995》和《中国工业经济年鉴-1995》计算整理【实验步骤】一、 建立多元线性回归模型(一) 建立包括时间变量的三元线性回归模型；在命令窗口依次键入以下命令即可：1. 建立工作文件： CREATE A 78 942. 输入统计资料： DATA Y L K3. 生成时间变量t ： GENR T=@TREND(77)4. 建立回归模型： LS Y C T L K则生产函数的估计结果及有关信息如图3-1所示。
图3-1 我国国有独立核算工业企业生产函数的估计结果 因此，我国国有独立工业企业的生产函数为：K L t y 7764.06667.06789.7732.675ˆ+++-= （模型1）t ＝(-0.252) (0.672) (0.781) (7.433)9958.02=R 9948.02=R 551.1018=F 模型的计算结果表明，我国国有独立核算工业企业的劳动力边际产出为0.6667，资金的边际产出为0.7764，技术进步的影响使工业总产值平均每年递增77.68亿元。
计量经济学第三章
多元线性回归模型及其古典假设 参数估计 最小二乘估计量的统计特性 统计显著性检验 解释变量的选择 中心化和标准化回归方程 利用多元线性回归方程进行预测
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
第一节 多元线性回归模型 及其古典假设
一、多元线性回归模型的一般形式 二、多元线性回归模型的基本假定
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
一、多元线性回归模型的一般形式
如果被解释变量（因变量）y与k个解释变量（ 自变量）x1, x2, … , xk 之间有线性相关关系，那么 他们之间的多元线性总体回归模型可以表示为：
y 0 1x1 2 x2 k xk u
(3.1)
(
k
1)1
en
n1
对样本回归模型的系统分量的系数进行估计可得样本回归
方程：
yˆi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki
yˆ i
其中， 是y的系统分量，即由自变量决定的理论值， ˆ0,ˆ1,ˆ2,,ˆk
分别是0 ,1 ,…,k的无偏估计量。
方程表示：各变量x值固定时y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，xj每变化1个单位时，y的均 值E(y)的变化;
或者说j给出了xj的单位变化对y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
总体回归模型n个随机方程的为：
y1 0 1x11 2 x21 k xk1 u1 y2 01x12 2x22 kxk2 u2 yn 0 1x1n 2 x2n k xkn un
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⒈零均值假定
E( i) 0 i 1,2,, n
E(U) 0
⒉同方差和无自相关假定
COV (i , j ) E(i E(i ))( j E( j ))
2 i j
E(i
j
)
0
i j
VAR(U ) E(U E(U))(U E(U))
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki
i 1,2,, n
Yi Yˆi ei
Yˆi
ˆ j
E(Y
j
X 2i ,,
X Ki
)
注意：β1一般情况下没有明确的经济含义，但一般 总包含在回归模型中。
3.1多元线性回归模型及古典假定
二、多元线性回归模型的矩阵形式
总体回归函数描述了一个被解释变量与多个解释
变量之间的线性关系，线性是针对参数而言的。
其中， j 为偏回归系数，表示：在控制其他变量 不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释 变量平均值的影响。
j
Y X j(保持其他变量不变)
Y X j
3.1多元线性回归模型及古典假定
样本回归函数：
(XX)1 X 2ΙX(XX)1 2 (XX)1 XX(XX)1 2 (XX)1
i 1
ei 0
N
( ei2 )
i 1
ˆ2
N
2
N i 1
(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆK
X Ki ) X 2i
2
ei X 2i 0
偏 导
(
ei2 )
N
i1
ˆK
2 (Yi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki ) X Ki 2
βˆ (XX)-1 XY
3.2多元线性回归模型的估计
二、OLS估计的分布性质
βˆ (XX)1 X(Xβ U)
E(βˆ ) β
β (XX)1 XU
VAR COV (βˆ ) E(βˆ E(βˆ ))(βˆ E(βˆ ))
E(βˆ β)(βˆ β) E[(XX)1 XU][(XX)1 XU] E((XX)1 XUUX(XX)1) (XX)1 X E(UU)X(XX)1
E
1 2
1
n
2
n
E
12 2 1
n 1
12
2 2
n2
1n
2n
2 n
E(12 ) E(12 ) E(1n ) 2 0 0
1 X 21 X K1
Y
Y2
Yn
n1
X
1 1
X 22
X 2n
XK2
X Kn
n K
则有： Y Xβ U
1
β
2
K
K 1
1
U
2
n
n1
3.1多元线性回归模型及古典假定
定义： 则有：
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki
YYˆˆ21
ˆ1 ˆ1
ˆ2 ˆ2
X 21 X 22
ˆK ˆK
X X
K1 K2
第三章 多元线性回归模型
3.1 多元线性回归模型及古典假定 3.2 多元线性回归模型的估计 3.3 多元线性回归模型的检验 3.4 多元线性回归模型的预测 3.5 案例分析
3.1多元线性回归模型及古典假定
一、多元线性回归模型
总体回归模型：
Yi 1 2 X 2i K X Ki i
i 1
ei X Ki 0
3.2多元线性回归模型的估计
可见，最小二乘法得到的残差满足：
ei
Xe
ei
X
2i
0
ei
X
Ki
对于 Y Xβˆ e 式两边同时左乘 X，有：
XY XXβˆ Xe XXβˆ
rank(X) rank(XX) K
N
N
min ei2 min (Yi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki )2
i 1i 1Fra bibliotek对 待 估 参
数 求
N
( ei2 )
N
i1
ˆ1
2 (Yi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki ) 2
⒋无多重共线性：各解释变量之间不存在完全线性
关系
rank(X) rank(XX) K
⒌正态性假定
i ~ N (0, 2 )
U ~ N (0, 2I)
3.2多元线性回归模型的估计
一、多元线性回归的最小二乘估计
ei Yi (ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki )
E
(
2
1
)
E
(
2 2
)
E(2n )
0
2
0
2
E(n1) E(n2 ) E(n2 ) 0 0 0 2
3.1多元线性回归模型及古典假定
⒊随机扰动项与解释变量不相关
COV ( X ji , i ) 0
Yi 1 2 X 2i k X ki i
Y1 1 2 X 21 K X K1 1
Y2
1
2 X 22
K
XK2
2
Yn 1 2 X 2n K X Kn n
定义： Y1
Yˆn ˆ1 ˆ2 X 2n ˆK X Kn
ˆ1
βˆ
ˆ2
ˆK K1
e1
e
e2
en
n1
Yˆ Xβˆ
Y Xβˆ e
3.1多元线性回归模型及古典假定
三、多元线性回归模型的古典假定