幂函数与函数图像_课件

[点评] 函数图象的识别和利用，最关键是把函数 的性质分析清楚，特别着重对定义域、奇偶性、单调 性的分析，只有这样，才能在解决问题时，做到心中 有形．
（1）有四个函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx； ③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x 的图象(部分)如下，但顺序被 打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确 的一组是( )
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、 描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列 表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象， 关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有 单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到 所要的函数图象．
已知图象变换：①关于 y 轴对称；②关于 x 轴
y＝f(x)―直―线―x―＝→a y＝f(2a－x)．
③翻折变换：
Ⅰ、函数 y＝|f(x)|的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象的 x 轴下方部分沿__x__轴____翻折到 x 轴上方， 去掉原 x 轴下方部分，并保留_y_＝__f_(x_)_的___x_轴__上__方__部__分_ 即可得到；
对称；③右移 1 个单位；④左移一个单位；⑤右移12个单位；
⑥左移12个单位；⑦横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变； ⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由 y＝ex 的图 象经过上述某些变换可得 y＝e1－2x 的图象，这些变换可以 依次是________(请填上变换的序号)．
[思路] 先确定图象变换的种类，然后确定图象变换 的顺序．
变换法： (2)几种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等 等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数 y＝f(x＋a)的图象可以把函数 y ＝f(x)的图象沿_x_轴__方__向 __向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单 位即可得到；
i．y＝f(x)左移―h--（-―h→>0）y＝f(x＋h)；
y＝f(x)―y―×a→y＝af(x)；
Ⅱ、函数 y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a>1)或压缩
(0<a<1)为原来的1a倍得到．
y＝f(x)―x―×a→y＝f(ax)．
(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对 称性、周期性等等．
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
y＝f(x)―x―轴→y＝－f(x)；
Ⅲ、函数 y＝－f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象关于_原__点___对称即可得到．
y＝f(x)―原―点→y＝－f(－x)；
Ⅳ、函数 y＝f(2a－x)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象关于___直__线___x＝__a____对称即可得到；
图 10－5
图 10－6
[思路] 从已知的两个图形中得到函数的性质（定义 域、奇偶性、单调性）入手，研究两个函数积的性质．
A [解析] 从 f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、 奇函数，故 f(x)·g(x)是奇函数，排除 B.
又 x<0 时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数， 故 f(x)·g(x)为增函数，且正负取决于 f(x)的正负， 注意到当 x＝－π2时，f(x)＝0，则 f－π2·g－π2必等于 0，排除 C、D.(或注意到 x→0(从小于 0 趋向于 0)，f(x)·g(x)→ ＋∞，也可排除 C、D.)
(2)幂函数 y＝xα，当 α 取不同的正数时，在区间[0,1] 上它们的图象是一族美丽的曲线(如图 10－4)．设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个 幂函数 y＝xα，y＝xβ 的图象三等分，即有 BM＝MN＝ NA.那么 αβ＝__________.
图 10－4
①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧(填一组即可)
[解析] 方法一：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函 数 y＝e－x 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不 变得 y＝e－2x 的图象，最后向右移12个单位得函数 y＝e－ 2x－12＝e1－2x 的图象；
方法二：函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y＝e－x 的图象，然后右移为 1 个单位得函数 y＝e－(x－1)＝ e1－x 的函数图象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 不变得到 y＝e1－2x 的图象；
[点评] 将函数 f(x)经过多种图象变换得到 g(x)的图 象，可能有多种不同的顺序，但不管按哪种顺序进行变
换，都必须遵循“只能对函数关系式中的 x、y 进行变换” 的原则，否则容易出错．
► 探究点4 函数图象的识别与应用
例 4 函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)的图象如图 10－5 所 示，则函数 y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例 1 已知 f(x) (m2 2m)xm2 2m 1当 m 取
何值时， (1) f ( x)是幂函数； (2) f ( x)是正比例函数； (3) f ( x)是反比例函数．
[思路] 利用各类函数的定义，确定 x 的指数的取值．
[解答] (1)由 m2＋2m＝1，解得 m＝－1± 2. (2)由 m2－2m－1＝1，得 m＝1± 3. (3)由 m2－2m－1＝－1，m＝0 或 m＝2，又当 m＝0 时， m2＋2m＝0，不符合题意，舍去，故 m＝2.
方法三：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y＝ ex＋1 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变 得函数 y＝e1＋2x 的图象，最后关于 y 轴对称得函数 y＝ e1＋2(－x)＝e1－2x 的图象；
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
2 a<3. [点评] 本题集幂函数概念、图象及单调性、奇偶性于 一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及 性质．由幂函数的定义求参数的取值范围时，要注意检验 求得的参数是否符合题意.如：
（1）函数 f(x)＝(m2 m 1)xm22m3是幂 函数，且当 x∈(0，＋∞)时是减函数，则 m＝________.
log33
► 探究点3 函数的图象的画法
例 3 作出下列函数的大致图象：
(1)y＝log2|x|；
(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝2x－ ＋x1；
(4)y＝2＋ 3－x.
[思路] 根据各函数解析式的结构特征，分析 其图象是由哪类初等函数经过何种变换而得．
[解答](1)y＝log2x作出其关―于―y轴→对称部分 y＝log2|x|，图象如图(a)； (2)y＝log2x―右―移―一―个―单―位→y＝log2(x－1)
► Байду номын сангаас究点2 幂函数的图象与性质
例 2 已知幂函数 f ( x)m22m3 (m∈N*)的图象关
于 y 轴 对 称 ， 且 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 减 函 数 ， 求 满 足
m
m
(a 1) 3 (3 2a) 3 的 a 的取值范围．
[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值， 再由幂函数的单调性确定a的值．
幂函数与函数的图象
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 __y＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
(2)幂函数性质 ①所有的幂函数在_(0_， __＋ ___∞_)都有定义，并且图象都过 点_(_1_,_1_) _； ②α>0时，幂函数的图象通过_原__点___，并且在区间[0， ＋∞)上是__增__函__数__．特别地，当α>1时，幂函数的图象 _下__凸___；当0<α<1时，幂函数的图象_上__凸___； ③α<0时，幂函数的图象在区间0 (0，＋∞)上是 __减__函__数____．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象 在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在 x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
ii.y＝f(x)右―移―h（---h-->→0）y＝f(x－h)．
Ⅱ、竖直平移：函数 y＝f(x)＋a 的图像可以把函数 y ＝ f(x) 的 图 象 沿 y 轴 方 向 向 上 (a>0) 或 向 下 (a<0)___平__移__|a_|__个单位即可得到；
i．y＝f(x)上―移―h―（―h->--0→）y＝f(x)＋h；
2．函数图象 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即 _列__表__描__点__法___和__图__象__变__换__法__． 描点法： (1)作函数图象的步骤：①确定函数的__定__义__域__； ②化简函数的解析式；③讨论函数0 的性质，即 ________单__调___性__、__奇__偶__性__、__周__期__性_________；④描点 连线，画出函数的图象．
图10－7
A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①
(2)函数y＝ lncos x 的图象是( )
（1）C （2）A [解答] （1）函数 xsinx 是 偶函数，因此其图象只能是第一个，函数 y＝xcosx 与 y＝x|cosx|都为奇函数，但当 x>0 时，y＝ x|cosx|≥0 恒成立，故函数只能是第四个，函数 y＝x·2x 不具有奇偶性，因此其图象只能是第二
Ⅱ、函数 y＝f(|x|)的图象可以将函数 y＝f(x)的图
象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分， 并保留___y_＝__f_(x_)_在__y__轴__右__边__部__分_____即可得到．
④伸缩变换： Ⅰ、函数 y＝af(x)(a>0)的图象可以将函数 y＝f(x) 的图象中的每一点横坐标不变， ________纵__坐 ___标__伸__长__(_a_>_1_)_或__压__缩___(0_<_a_<_1_)_为__________ ____原__来__的___a_倍___得到；
[解答] ∵函数 f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0， 解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1 或 2.又函数 f(x)的图象关 于 y 轴对称，∴m2－2m－3 是偶数，而 22－2×2－3＝－3 为
奇数，12－2×1－3＝－4 为偶数，∴m＝1.又函数 g(x)＝x13在
1
1
R 上为增函数，∴（a 1)3 (3 2a)3 等价于 a＋1<3－2a，解得
（1）2 （2）1 [解析]因为函数 fx是幂函数，所以
m2－m－1＝1，得 m＝－1 或 m＝2.当 m＝－1 时，函数 f x
＝1，不符合要求；当 m＝2 时，函数 fx＝x－3，它在0，＋∞ 上是减函数．故 m＝2.
(2)∵函数 y＝xα 经过点13，23，∴23＝13α， ∴α＝log1323，∵函数 y＝xβ 经过点23，13，∴13＝23β， ∴β＝log2313，∴αβ＝log1323·log2313＝log1323· 112＝1.
ii.y＝f(x)下―移---h-―(h→>0)y＝f(x)－h.
②对称变换： Ⅰ、函数 y＝f(－x)的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象__关__于__y__轴__对称得到．
y＝f(x)―y―轴→y＝f(－x)； Ⅱ、函数 y＝－f(x)的图象可以将函数 y＝f(x)的 图象关于 x 轴对称得到．
把―x轴―下――方―部―分―对―称―地―翻―折―到―上→方 y ＝ |log2(x － 1)|，图象如图(b)；
(3)y＝2x－ ＋x1＝－1＋x＋3 1，
y＝3x―左―移―一―个―单―位―，―下―移―一―个―单―位→y＝x＋3 1－1，图 象如图(c)；
(4)y＝ x左―移―三――个―单→位y＝ x＋3――关―于―y轴―对―称―→ y＝ 3－x――上―移―两―个―单―位―→y＝2＋ 3－x，图象如图 (d)．