材料力学第4章弯曲内力

对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2

M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2
FsB右
图c
FS B右 P q 1 4 KN B右 : 1 M B右 P 2 q 1 5 KN m 2
§4.3 剪力和弯矩—实例2
思考：为什么B处左右截面上的剪力不相等？相差多少？
FS B左 RA q 3 3 KN B左 : 3 M B左 RA 3 M q 3 5 KN m 2
车削工件 镗刀杆
§4.1 弯曲的概念和实例
对称弯曲
梁的每一个横 截面至少有一根对 称轴，这些对称轴 构成纵向对称面。
纵向对 称面 对称轴
P1
P2
所有外力都作 用在其对称面内时 A ，梁弯曲变形后的 轴线将是位于这个 对称面内的一条曲 线，这种弯曲形式 称为对称弯曲。
B
RA
弯曲后的轴线
RB
§4.2 受弯杆件的简化
Fy 0 和 MO 0
Fs x Fs x dFs x q x dx 0
Fs(x)
Fs(x)+dFs(x)
dx M x M x dM x Fs x dx q x dx 2 0
故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生 突变，突变值的大小等于该集中力的大小。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例 1
从弯矩图可以看出，最大弯矩发生在集中力作 用处的截面上。 Pab 其值为： M max l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
补充实例： 绘图示梁的剪力图和弯矩图
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 根据上述导数关系，可得出下面的推论：
外力情况 q<0(向下)
剪力图上的 特征
弯矩图上的 特征 最大弯矩可 能的截面位 置
无载荷段
集中力F作 用处：
集中力偶M 作用处：
↘(向下斜直 水平线 线)
(向上凸的抛 斜直线 物线) 剪力为零的 截面
FS B右 P q 1 4 KN B右 : 1 M B右 P 2 q 1 5 KN m 2
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方 程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而 变化，若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截 面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即：
解：1）求支座反力
M B 0, RA l M 0, Fy 0, RA RB 0, M RA l

M RB RA l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
2）列出各段的剪力方程和弯矩方程
AC 段：
M Fs x RA 0 x a l M M x RA x x 0 x a l
由平衡方程 Fy 0 得： RA P 1 Fs 0
Fs
Fs
Fs RA P 1
这一与横截面相切的内力Fs称为横截面I―I上的剪力，它是与横 截面相切的分布内力系的合力。
§4.3 剪力和弯矩
根据平衡条件，若把左段 上的所有外力和内力对截面 I―I的形心O取矩，其力矩总 和应为零，即：
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
2）列出各段的剪力方程和弯矩方程
AC 段：
Pb Fs x RA 0 x a l Pb M x RA x x 0 x a l
CB 段：
Pa Fs x RA P a x l l Pa M x RA x P x a l x a x l l
Fs
Fs
Fs Fs
使梁的下部产生拉伸而 上部产生压缩的弯矩规 定为正，反之为负 。
§4.3 剪力和弯矩—实例1
补充实例: 计算悬臂梁的支反力
q A
l 2
P
C
l 2
B
l
§4.3 剪力和弯矩—实例1
3l 4
RA
mR
A C l 解: 求梁的支反力 RA 和 mR 由平衡方程得：
q
ql 2
P
B
ql Fy 0, RA 2 P 0
M A 0, RB 4 M q 4 3 P 6 0, RB 7 KN Fy 0, RA RB P q 4 0, RA 3 KN
§4.3 剪力和弯矩—实例2
2).C 截面的剪力和弯矩，取脱离体如图 a 所示 q Fsc
图 a
§4.2 受弯杆件的简化
二、载荷的简化
根据载荷在所研究杆件长 度内的分布情况，可将载 荷简化成两种基本形式
集中载荷 分布载荷
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
§4.2 受弯杆件的简化
起重机大梁上的吊重 起重机大梁的自重
§4.2 受弯杆件的简化
三、静定梁的基本形式
简支梁：一端为固定铰支座，而 另一端为可动铰支座的梁(a)
dx q x dx 略去第二式中的高阶微量 2
直梁微段的平衡方程
dFs x q x dx dM x Fs x dx
4.1 4.2
d 2 M x dFs x q x 2 dx dx
4.3
以上三式表示了直梁的分布载荷集度q(x)、剪力Fs(x) 和弯矩M(x)之间的导数关系。
一、支座的几种基本形式
依据支座对梁在载荷平面内的约束情况不同，可简 化为三种基本形式(注意图形表示方法！)：
固定铰支座 (有转动无移动)
可动铰支座 (有转动有移动)
固定端支座 (无转动无移动)
§4.2 受弯杆件的简化
火车轮轴简化
固定铰支座 可动铰支座
§4.2 受弯杆件的简化
镗刀杆左端的简化
固定端支座
ql 3l M A 0, mR Pl 0 2 4
§4.3 剪力和弯矩—实例1
3l 4
RA
mR
A C l
q
ql 2
P
B
ql RA P 2 2 3ql mR Pl 8
§4.3 剪力和弯矩—实例2
补充实例： 求图中梁 C、B 截面上的剪力和弯矩
解：1).求支座反力
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fs x Fs x dFs x q x dx 0
dx M x M x dM x Fs x dx q x dx 2 0
Fy 0,
Fsc RA q 1 1KN
1 M C 0, M C RA 2 M q 1 3 KN 2
§4.3 剪力和弯矩—实例2
3).B 截面的剪力和弯矩，分别取 B左 截面和 B右 截面脱离体如图 b、c 所示。
FsB左
图b
ห้องสมุดไป่ตู้FS B左 RA q 3 3 KN B左 : 3 M B左 RA 3 M q 3 5 KN m 2
FS x ＝ql / 2 qx
0 x l

ql 2 / 8
x
ql / 2
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2
0 x l

3ql 2 / 32
x
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
轴线为直线的梁，坐标 选择如图所示。分布载荷的 集度q(x)是x的连续函数， 规定向上为正。从梁中取出 长为dx的微段并放大(图b), 图示的内力取值为正，且设 微段内无集中力和集中力偶。 由微段的平衡方程：
m
O
0
得：
Fs Fs
M P 1 ( x a) R A x 0
M RA x P 1 ( x a)
这一内力偶矩M称为横截 面I―I上的弯矩。它是与 横截面垂直的分布内力系 的合力偶矩。
如以右段为研究对象，剪 力和弯矩的数值相等，方 向相反！
§4.3 剪力和弯矩
剪力和弯矩的正负号 使梁产生顺时针转 动的剪力规定为正 ，反之为负 。
F
F
F
F
§4.1 弯曲的概念和实例
楼房的横梁 阳台的挑梁
§4.1 弯曲的概念和实例
§4.1 弯曲的概念和实例
受力特点及变形方式
作用于这些杆件上的外 力垂直于杆件的轴线，使 原为直线的轴线变形后成 为曲线，这种方式的变形 称为弯曲变形。
以弯曲变形为主的杆 件习惯上称为
4.1
§4.1 弯曲的概念和实例
Fs
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
从M 图可看出，在C截面上：
Fs
M C左
Ma Mb , M C右 l l
弯矩图在 C 截面发生一突 变，其大小为：
Ma Mb M l l
由此可得出结论：在集中的力偶作用处，弯矩 图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。
第四章 弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例
§4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 平面曲杆的弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例
工程实例
起 重 机 大 梁
F F
§4.1 弯曲的概念和实例
工程实例
火 车 轮 轴
悬臂梁：一端为固定端，另一端 为自由端的梁 (b)
外伸梁：简支梁的一端或两端伸 出支座之外的梁 (c)
静定梁
以上这三种梁的所 有支座反力均可由 静力平衡方程确定
支座反力不能完 全由静力平衡方 程确定的梁
超静定梁
§4.2 受弯杆件的简化
简支梁
外伸梁
悬臂梁
§4.3 剪力和弯矩
根据平衡方程求得静定 梁在载荷作用下的支座反力 后，用截面法研究各横截面 上的内力—剪力和弯矩。 右图所示的简支梁，其两 端的支座反力 RA 、RB均可由 梁的静力平衡方程求得。截 面I―I上将产生内力，这些内 力将与外力P1 、RA，在梁的 左段部分构成平衡力系。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
3）绘剪力图和弯矩图
由求得的剪力方程和弯矩方程可绘出Fs图和M图：
Fs
Pa Pa
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
Fs
Pa
Pa
从剪力图可以看出C截面上：
FsC左
Pb Pa , FsC右 l l
Pb Pa P。 剪力图在 C 截面发生了突变，其大小为： l l