2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及应用课件 理 高三全册数学课件
第二章
函数(hánshù)、导数及其应用
2021/12/11
第一页，共三十九页。
第九节 函数模型(móxíng)及应用
2021/12/11
第二页，共三十九页。
2021/12/11
第三页，共三十九页。
知识(zhī shi)梳理·自主学 习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
2021/12/11
第四页，共三十九页。
应生产该商品数量为 18 万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x) 有最大值．
2021/12/11
第十页，共三十九页。
知识点二 三种函数模型性质比较
2021/12/11
第十一页，共三十九页。
3．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律 为 y＝ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，
则经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为 1 024 个．
1
解析：当 t＝0.5 时，y＝2，所以 2＝e 2 ， k 所以 k＝2ln2，所以 y＝e2tln2， 当 t＝5 时，y＝e10ln2＝210＝1 024.
2021/12/11
第十二页，共三十九页。
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
2021/12/11
第五页，共三十九页。
知识点一 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
函数(hánshù)、导数及其应用
2021/12/11
第一页，共三十九页。
第九节 函数模型(móxíng)及应用
2021/12/11
第二页，共三十九页。
2021/12/11
第三页，共三十九页。
知识(zhī shi)梳理·自主学 习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
2021/12/11
第四页，共三十九页。
应生产该商品数量为 18 万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x) 有最大值．
2021/12/11
第十页，共三十九页。
知识点二 三种函数模型性质比较
2021/12/11
第十一页，共三十九页。
3．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律 为 y＝ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，
则经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为 1 024 个．
1
解析：当 t＝0.5 时，y＝2，所以 2＝e 2 ， k 所以 k＝2ln2，所以 y＝e2tln2， 当 t＝5 时，y＝e10ln2＝210＝1 024.
2021/12/11
第十二页，共三十九页。
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
2021/12/11
第五页，共三十九页。
知识点一 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及应用课件
4x00－40x0200，x>40.
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款 iPhone 手机的
生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
12/11/2021
第二十五页，共四十二页。
【解】 (1)当 0<x≤40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－6x2＋384x－40， 当 x>40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－40 x000－16x＋7 360.
此商品的定价(单位：元/件)应为( C )
A．4
B．5.5
C．8.5
D．10
12/11/2021
第二十二页，共四十二页。
解析：由题意可设定价为 x 元/件，利润为 y 元，则 y＝(x－ 3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当 x＝8.5 时，y 有最 大值，故选 C.
12/11/2021
第三页，共四十二页。
01知识梳理 诊断自测
02考点探究 明晰规律
课时作业
12/11/2021
第四页，共四十二页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
12/11/2021
第五页，共四十二页。
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
12/11/2021
第六页，共四十二页。
12/11/2021
第二十一页，共四十二页。
1．某商场销售 A 型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，
且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160
2019届高考数学(理科)一轮复习课件(人教A版)第二章 2.9 函数模型及其应用
2 .9
1 2
1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); ������ (3)反比例函数模型:f(x)= (k 为常数,k≠0); ������ (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
关闭
根据题意知销售收入是25x,故利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=关闭
0.1x2+15x-300,因此当x=75时,wmax=-0.1×752+15×75-300=262.5(万 B 元 ).
-6解析
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
4.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量 y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是( )
知识梳理
双基自测
1 2
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
函数 y=ax (a>1) 性质 在(0,+∞) 单调 递增 上的增减性 增长速度 越来越快 随 x 的增大 图象的变化 逐渐表现为 与 y轴 平行 值的比较 y=logax (a>1) 单调 递增 越来越慢 y=xn (n>0) 单调递增 相对平稳
x 0.50 y -0.99
A.y=2x C.y=2x-2 B.y=x2-1 D.y=log2x
1 2
1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); ������ (3)反比例函数模型:f(x)= (k 为常数,k≠0); ������ (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
关闭
根据题意知销售收入是25x,故利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=关闭
0.1x2+15x-300,因此当x=75时,wmax=-0.1×752+15×75-300=262.5(万 B 元 ).
-6解析
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
4.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量 y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是( )
知识梳理
双基自测
1 2
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
函数 y=ax (a>1) 性质 在(0,+∞) 单调 递增 上的增减性 增长速度 越来越快 随 x 的增大 图象的变化 逐渐表现为 与 y轴 平行 值的比较 y=logax (a>1) 单调 递增 越来越慢 y=xn (n>0) 单调递增 相对平稳
x 0.50 y -0.99
A.y=2x C.y=2x-2 B.y=x2-1 D.y=log2x
高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
【变式训练 2】
[2014· 北京高考] 加工爆米花时，爆开
解析 B.
出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留，
距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除
3．[2017· 深圳月考] 已知某矩形广场的面积为 4 万平方 米，则其周长至少为( A．800 米 ) C．1000 米 D．1200 米 B．900 米
解析 其周长为
40000 设这个广场的长为 x 米，则宽为 x 米，所以
解析
当 0<t<4 时，最高温度不变，最低温度减小，所
以温差变大，排除 C；当 4<t<8 时，前面一段温差不变，后 面一段最高温度增大，所以温差变大，排除 A，B，选 D.
考向 例2
已知函数模型解决实际问题
＋b
[2015· 四川高考] 某食品的保鲜时间 y(单位： 小时) (e＝2.718„为
40000 l＝2x＋ x 当且仅当 ≥800，
x＝200 时取等号．
4 ．某种动物繁殖量 y( 只 ) 与时间 x( 年 ) 的关系为 y ＝ alog3 (x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则到第 8 年它们
200 发展到的只数为________ ．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下 列结 论 的 正误 ． ( 正 确 的 打“√”， 错 误的 打 “×”) 1．函数 y＝2x 的函数值比 y＝ x2 的函数值大．( × ) 2．幂函数比一次函数增长速度快．( × )
3．指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中． ( √ ) 4．当 x＞4 时，恒有 2x＞ x2＞ log2x.( √ )
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理
经典题型冲关
题型 1 函数的概念 典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}， 下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中 都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则这两个函数相等． (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交 点．
值域 ．
表示函数的常用方法有 解析法、图象法和 列表法 ．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ， 其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部 分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0， 等函数；D 项，由 解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同， 不是相等函数．故选 A.
3．小题热身 －x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝ 的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课件
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近
的一个是( )
A．y＝2x－2 C．y＝log3x
B．y＝12(x2－1) D．y＝2x－2
(2)通过圆心角 α 将弧长 x 与时间 t 联系起来． 圆的半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 α，则 α＝x，如图 所示，cos α2＝1－t，即 cos 2x＝1－t，则 y＝cos x＝2cos22x－1＝ 2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0,1] 上的一段抛物线．
备
分
高
层
考
限
时
跟
踪
练
理 教
第九节 函数模型及其应用
材
专
题
突
研
破
考 点
提 练
备高考| 3 个任务 1．考查借助函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程． 2．考查应用所给函数模型解决实际问题的能力． 3．考查选择合适的函数模型，对已知数据的处理能力．
理教材| 回扣自测
要点梳理
一、三种函数模型之间增长速度的比较
当 x＝18 时，L(x)有最大值． 【答案】 B
5．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)
满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品
在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃
考向 3 构建函数模型解决实际问题
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件.ppt
A．10 元
B．20 元
C．30 元
D.430元
14
(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时，能卖出 400 个。若该商品每个涨
价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )
A．115 元
B．105 元
C．95 元
D．85 元
解析：(1)设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20， B 种方式对应的函数解析式为 s＝k2t， 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15。 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10。 选 A。
越来越□5 _慢___
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与□7 随 n 值变化而不
□6 _y___轴接近平行 __x__轴接近平行
同
5
2.几种常见的函数模型
(1)一次函数模型：y＝□8 _a_x_＋__b_，__a_≠__0___；
(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；
8
2．抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的
0.1%，则至少要抽( )
(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
A．15 次
B．14 次
C．9 次
D．8 次
解析：依题意，先建立容器内剩余空气量 y 与抽气次数 x 的函数关系式，即 y＝ (1－0.6)x＝0.4x。要使容器内剩余空气少于原来的 0.1%，则有 y＜0.1%。即 0.4x＜0.001 ＝10－3，两边取常用对数，得 xlg0.4＜－3，即 x(2lg2－1)＜－3，解得 x＞7.5。又 x ∈N*，故 x＝8。
2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用课件理
1 解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2 2 ＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则 四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 A．减少7.84% C．减少9.5% B．增加7.84% D．不增不减 ( )
单调____ 递增 越来越快
y＝logax(a>1)
递增 单调____
y＝xn(n>0)
单调递增 相对平稳
上的增减性
增长速度
越来越慢
随 x 的 增 大 ， 随 x 的增大，逐 图象的变化 逐渐表现为与 渐 表 现 为 与
随n值变化而
各有不同
y轴 平行 ____
值的比较
____ x轴 平行
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
200－x 解析：设围成的矩形场地的长为x m，则宽为 m， 4 200－x 1 则S＝x· ＝ (－x2＋200x)． 4 4 当x＝100时，Smax＝2 500 (m2)．
答案：2 500
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
一次、二次函数模型及分段函数模型的应用
[考什么·怎么考]
3.解函数应用问题的4步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下：
[学审题] x ①空闲率是指“1－m ”； ②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值； ③构造一个关于k的含参数m的不等式，解不等式后即可求 出k的取值范围．
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
[自 主 演 练] A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供 电， 为保证城市安全， 核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离 (km)的平方与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电 量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
(1)当 h＝1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好 的训练效果，求此时 h 的取值范围．
【解】 由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)． 设抛物线方程为 y＝a[x－(2＋h)2]＋4. (1)当 h＝1 时，最高点为(3,4)， 方程为 y＝a(x－3)2＋4.① 将点 A(2,3)代入①式得 a＝－1. 即所求抛物线的方程为 y＝－x2＋6x－5.
(2)将点 A(2,3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得 ah2＝－1. 由题意，方程 a[x－(2＋h)]2＋4＝0 在区间[5,6]内有一解． 1 令 f(x)＝a[x－(2＋h)] ＋4＝－ 2[x－(2＋h)]2＋4， h
2
1 2 f 5 ＝－ 3 － h ＋4≥0， 2 h 则 f6＝－ 124－h2＋4≤0. h 故达到比较好的训练效果时的 h
1 解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 2
答案：18
4． 某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过 100 km， 票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元) 与行驶千米数 x(km)之间的函数关系式是_________________________________．
19年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1节函数及其表示课件理
(2)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．(
(3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( (4)分段函数是两个或多个函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
1 2．(教材改编)函数 y＝ 2x－3＋ 的定义域为( x－3
3 A．2，＋∞ 3 C．2，3 ∪(3，＋∞)
(3)相等函数：如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则 这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法： 表示函数的常用方法有 解析法 、 图像法 和 列表法 ．
3．分段函数 若函数在其定义域内，对于 定义域 系，这样的函数通常叫作分段函数． 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ，值域是各 段值域的 并集 ． 的不同取值区间，有着不同的对应关
求函数的解析式
1 2 1 fx＋x ＝x ＋x2，求
(1)已知 (2)已知
f(x)的解析式；
2 fx ＋1＝lg
x，求 f(x)的解析式；
(3)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 f(x)的解析式； (4)已知
1 f(x)＋2fx ＝x(x≠0)，求
1 的取值范围是－4，＋∞.]
[规律方法]
1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪
一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现 ffa的形式时，应从内到外依 次求值. 2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别 求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范 围. 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.
2019届高考数学(文)一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用--全部课件合编
函数及其表示
4．(2018· 黑龙江哈尔滨一模)若函数 f(f(1))的值是( A．－10 C．－2 ) B．10 D．2
2x＋2，x≤0， f(x)＝ x 2 －4，x>0，
则
解析：f(1)＝21－4＝－2，所以 f(f(1))＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝ －2，故选 C. 答案：C
)
x>－1， 所以 x≠1，
选 C.
答案：C
函数及其表示
3．下列图形可以表示为以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝ {y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N，B 选项，函 数定义域不是 M，值域为 N，D 选项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不构成函数关系． 答案：C
解析：由映射的定义，A 中任取一个元素 x，B 中都有唯一确 定的 f(x)对应知①②错． 答案：C
函数及其表示
lgx＋1 2．函数 y＝ 的定义域是( x－1 A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
x＋1>0， 解析：由题意得 x－1≠0，
函数及其表示
1－x2 2．(2018· 贵阳监测)函数 y＝ 2 的定义域为( 2x －3x－2 A．(－∞，1] B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) 1 1 D. －1，－2 ∪ －2，1
)
函数及其表示
2 1－x2 1－x ≥0， 解析：由函数 y＝ 2 得 2 解得 2x －3x－2 2x －3x－2≠0，
函数及其表示
1 5．已知 f（x ）＝x2＋5x，则 f(x)＝________.
2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9讲函数模型及应用课件文新人教版
幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使 分左右.
用的函数模型)的广泛应用.
[知识梳理]
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且
[解] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 此时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog31300＝0，
即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故 a＋blog31900＝1，整理得 a＋2b＝1. 解方程组aa＋＋b2＝b＝0，1， 得ab＝＝－1. 1，
第二章 函数、导数及其应用
•第9讲 函数模型及应用
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增 多与二次函数、基
长特征，结合具体实例体会直线上升、指 本不等式及导数等
数增长、对数增长等不同函数类型增长的 知识交汇，以解答
含义． 题为主要形式，解
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 决实际问题，占12
【针对补偿】 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一 段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象 是( )
[解析] 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越 来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变， 故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.故选 C.
用的函数模型)的广泛应用.
[知识梳理]
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且
[解] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 此时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog31300＝0，
即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故 a＋blog31900＝1，整理得 a＋2b＝1. 解方程组aa＋＋b2＝b＝0，1， 得ab＝＝－1. 1，
第二章 函数、导数及其应用
•第9讲 函数模型及应用
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常见题型
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增 多与二次函数、基
长特征，结合具体实例体会直线上升、指 本不等式及导数等
数增长、对数增长等不同函数类型增长的 知识交汇，以解答
含义． 题为主要形式，解
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 决实际问题，占12
【针对补偿】 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一 段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象 是( )
[解析] 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越 来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变， 故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.故选 C.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 29 函数模型及其应用课件 文
第十五页，共三十六页。
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
2021/12/11
第十六页，共三十六页。
考点一 用函数图象的变化刻画变化过程 【例 1】 (2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高 旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客 量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。
D．9 万件
解析 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 万件时，L(x) 有最大值。故选 B。
答案 B
2021/12/11
第十四页，共三十六页。
6．一个容器装有细砂 a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀 速漏出，t min 后剩余的细砂量为 y＝ae－bt cm3，经过 8 min 后发现容器内还 有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之 一。
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
2021/12/11
第九页，共三十六页。
解析 根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01， y＝0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知 满足题意。故选 D。
答案 D
2021/12/11
2021/12/11
第四页，共三十六页。
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
2021/12/11
第五页，共三十六页。
1．三种函数模型性质比较
2021/12/11
第六页，共三十六页。
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
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(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获 利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范 围是多少？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均 处理成本最低？ 本题用函数法，再由均值定理解之．
解
(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，
1 1 2 2 则S＝200x－2x －200x＋80000＝－2x ＋400x－80000
1 ＝－2(x－400)2， 所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利． 当x＝300时，S取得最大值－5000， 当x＝200时，S取最小值－20000，所以国家每月补偿 数额的范围是[5000,20000]．
(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为
1x2－80x＋5040，x∈[120，144， y 3 x＝1 80000 x＋ x －200，x∈[144，500]. 2
1＋p＋q＝10， ∴ 解得p＝－8，q＝17， 9＋3p＋q＝2，
∴f(x)＝x2－8x＋17，故答案为③；x2－8x＋17.
经典题型冲关
题型1 二次函数及分段函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家 典例 科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处 理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目 月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地 1x3－80x2＋5040x，x∈[120，144， 3 表示为y＝ 且每处 1 2 x －200x＋80000，x∈[144，500]， 2 理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该 项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．
(4)对数函数增长模型比较适合于描述பைடு நூலகம்长速度平缓的
2．教材衍化 (1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济 生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国 民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝ 0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝ －2.9543)( ) A．2015年 B．2011年 C．2010年 D．2008年
(2)(2017· 朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份 月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p· qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模 ③ 型为___________( 填写相应函数的序号)，若所选函数满足
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速 度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( √ ) (2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题．( √ ) (3)当a>1时，不存在实数x0，使 变化规律．( √ ) .( √ )
2
解析 由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在 (0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快． ∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增 加还缓慢的函数，D中函数是减函数， ∴排除A，C，D， 1 2 ∴B中函数y＝2(x －1)符合题意．故选B.
3．小题热身 (1) (2018· 湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春 节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在
2 x －8x＋17 f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝_________________.
解析 (ⅰ)因为f(x)＝p· qx，f(x)＝logqx＋q是单调函 数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x p ＝－ 2 ，f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟 函数应选f(x)＝x2＋px＋q. (ⅱ)∵f(1)＝10，f(3)＝2，
解析 设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a· (1＋ 2lg 2 9%) ＝4a.∴x＝lg 1.09≈16.故选B.
x
(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员 获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( ) x y 1.992 3 4 5.15 6.126 18.01 1.517 4.0418 7.5 12 1 2 A．y＝2x－2 B．y＝2(x －1) C．y＝log2x D．y＝log1 x
特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固 定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常 用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长 速度缓慢． (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和 性质是解题的关键． (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定 函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
190 9 1月30日大约卖出了西红柿 ________ 千克．
解析 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将
10＝k＋b， 点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得 30＝10k＋b，
20 70 20 70 解得k＝ 9 ，b＝ 9 ，所以y＝ 9 x＋ 9 ，则当x＝6时，y 190 ＝ 9 .
第2章
函数、导数及其应用
2． 9
函数模型及其应用
基础知识过关
[知识梳理] 1．七类常见函数模型
2．指数、对数、幂函数模型的性质
3．解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关 系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转 化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：