集合第一节
第一单元_第一节_集合
知识点1 集合
第一单元 集合
1.1.1 集合
创境导入 自主探索 物以类聚……
“中国所有的大熊猫”
创境导入 自主探索
创境导入 自主探索
思考： 1、观察出它们具有什么共同特征？ 2、“物以类聚”是什么意思？
创境导入 自主探索
阅读教材，解决问题： （1）集合、元素概念是如何定义的？ （2）集合与元素之间有什么关系？ 是用什么符号表示的？ （3）集合中元素具有哪些特点？ （4）集合的分类有哪些？ （5）常用数集如何表示？
记作 aA，读作“a 不属于 A”.
新课探究 启发解疑
五、集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限 集． （2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限 集． （3）空集：不含任何元素的集合，记作
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例2 判断下列语句是否正确． （1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； （2）所有三角形构成的集合是无限集；
例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． （1）小于5的正整数； （2）好看的电影； （3）英文的26个字母； （4）中国古代四代发明； （5）某校2009年9月入学的所有高一学生； （6）参加2008年北京奥林匹克运动会的中国体育代表团团员； （7）我国的小河流。
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解：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）都能 组成集合，因为每一个元素都是确定的. （2）、（7）不能组成集合，因为没有确切的标 准用来判断一部”电影”好看”与否，也没有确 切的标准用来判断一条河流“大小”与否.
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三、集合与元素的表示方法： 一个集合，通常用大写英文字母 A，B，C，… 表示， 它的元素通常用小写英文字母 a，b，c，… 表示．
集合的基本概念元素集合之间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系第⼀章集合第⼀节集合的概念⼀、要点透析（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的。
我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：⼀些元素集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）2、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（）（2）好⼼的⼈（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作?注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0的集，表⽰成*Z例2.⽤适当的符号（∈?，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程210x -=的所有解组成的集合，可以表⽰为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表⽰⼀个元素，{}a 表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素例3、设a,b 是⾮零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满⾜条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表⽰为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：{|}x x 是直⾓三⾓形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有⼀个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中⾄多有⼀个元素，求a 的取值范围3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？（三）有限集与⽆限集有限集：含有有限个元素的集合⽆限集：含有⽆限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作?，如：2{|10}x R x ∈+=⼆、题型解析（⼀）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四⼤发明B．地球上的⼩河流C．⽅程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三⾓形2⽅程组23211x y x y -=??+=?的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表⽰同⼀集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6⽤适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满⾜的条件为（⼆）集合的表⽰⽅法1⽤列举法表⽰下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ??+=-=?????④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2⽤描述法表⽰下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017?±±±±（三）集合的分类1关于x 的⽅程0ax b +=，当a ，b 满⾜条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表⽰同⼀个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表⽰为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）⽅程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表⽰为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的⽅法表⽰下列集合：（1）⼆次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的⾃变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试⽤列举法表⽰集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????且③12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-?-++≠其中不能表⽰“在直⾓坐标系xOy 平⾯内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯⼀实施解}，试⽤列举法表⽰集合A。
第1节 集合的概念
必备新知
5．集合元素的三个特性
Hale Waihona Puke 特性意义确定性 元素与集合的关系是确定的，即给定元素 a 和集合 A，a∈A 与 a∉A 必居其一
互异性 集合中的元素一定是不同的，即 a∈A 且 b∈A 时，必有 a≠b
无序性 集合中的元素是没有顺序的
典例分析：
例 3：已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1， (1)若－3∈A，试求实数 a 的值． 解：(1)因为－3∈A，
必备新知
必备新知
4. 元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A.
典例分析：
例 2：已知：① 5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中，正确的个 数为________．
解析：③错误，0 是元素，{0}是一个集合；④0∈N； ⑤π∉Q，①②⑥正确． 答案：3
练习：下面有四个结论：
①集合 N 中最小数为 1；②若－a∉N，则 a∈N；③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值
为 2；④所有的正数组成一个集合．其中，正确结论的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B ①错，最小为 0；②错，若 a＝1.5，－a＝－1.5，则－1.5∉N,1.5∉N；③错，若 a＝0，b＝0，则 a＋b＝0；④正确．
练习：（1）若集合 M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选 D 集合中的任何两个元素是不能相同的，所以 a，b，c 不相等．
1-2集合的概念
什么叫元素？
集合里的每一个个体，称为集合的元素。 例如：（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}中的元素就
是铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔。 （2）{张三，李四，王五，…}中的元素就是张三，李四，王 五，…。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}中的元素是每一 张台。 （4）{0，1，2，3，…，100}中的元素是100以内每一个自 然数0，1，2，3， … 。 （5）{x|x<0}中的元素是每一个负数。
练习1.1.1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.用符号∈或 填空 （1）-3___N; 0.5___N; 3____N (2)1.5____Z; -5___Z; 3____Z (3)-0.2___Q; ____Q; 7.21___Q (4)1.5____R; -1.2___R; ____R 2.指出下列集合中，哪个是空集？ （1）方程x2+1=0的解集 （2）方程x+2=2的解
第二节集合的表示方法
集合有两种表示方法：列举法和描述法 一.什么叫列举法？ 将集合的元素一一列出，用逗号分隔，写在{ } 内。 例（1）5以内的整数{1，2，3，4，5} （2）{张三，李四，王五} （3）方程x2=1的解：{-1,1}或者{1，-1} （4）100以内的自然数集：
{0，1，2，…，100}
第一节 集合的概念
1.1.1什么叫集合？ 将同一类事物放在一起，并用花括号{ }括起来， 就叫做集合。 例如（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}是 学生常用文具集合。 （2）{张三，李四，王五，…}是信息班同学的 集合。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}是 某班学生的台的集合。 （4）{0，1，2，3，…100}是100以内自然数 集合。 （5）{x|x<0}是负数集合。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
高中数学教材——集合篇
[解析] (1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知 B＝{1,2,3,4}，比较
A，B 中的元素可知 A B，故选 C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又 B⊆A，∴满足条件 B⊆A 的集合
B 的个数为 22＝4，故选 C. (3)当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A. 当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}． 若 B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：
A．B⊆A
B．A＝B
C．A B
D．B A
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合 A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件 B⊆A 的集合 B 的
个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
(3)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________．
二、常用结论
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. (4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. (5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
集合的概念
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
集合(第一节)PPT课件
例 集合{x|x2-x=0}表示方程x2-x=0的解组成的集合
集合{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}表示不等式x-3>2的 解集；
集合{x|y=1/x}表示使得y=1/x有意义的x组成的集合；
集合{y|y=x2}表示y=x2中y的取值范围组成的集合；
集合{（x，y）|y=x2}表示满足函数式y=x2的那些点组
2 ＿＿Ｎ 2 ＿＿Ｚ 2 ＿＿Ｑ 2 ＿＿Ｒ
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集合的表示方法：
列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法。
形式为：{元素1，元素2，元素3，‥‥‥}
例：由方程x2-1=0的所有的解组成的集合，简称方
程x2-1=0的解集；可以表示为 {-1，1}
注：用列举法表示集合时,元素具有无序性即{-1，1} 与{1，-1}表示同一集合,
(3) { 3,-1}
(4) {(-1,3),(0,4),(1,3)}
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例4：用描述法表示下列集合：
（1）{ 5，7，9，11} （2）直角坐标平面内第一、二象限的点的集合。 （3）被3除余2 的整数的集合
解：（1） { x|x=2k+1,1<k<6,k∈Z }
（2） {(x,y)|x≠0且 y＞0} （3） {x|x=3k+2 k∈Z}
元素还具有互异性, 如方程x2-4x+4=0的解集为{2}. 而不是{2,2},因此,条件{x|ax2+bx+c=0,a≠0}={-1} 意味着a-b+c=0及b2-4ac=0两层意思.
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描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这
第01章 集合及基数
实 变 函 数 论第一章 集合及基数第一节 集合及其运算一、集合 1、 集合(1)集合——具有某种特定性质的事物组成的集体.用大写字母 C B A ,,表示.例如 ① 自然数集:},4,3,2,1,0{ =N ,而},4,3,2,1{ =+N，},,2,1{)(n n N =；② 整数集},3,2,1,0{ ±±±=Z ； ③ 有理数集:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p q p q p,,N Z Q ； ④ 实数集:R , 而},0|{R R ∈>=+x x x .2、元素——组成集合的各个事物, 用小写字母 c b a ,,表示.3、集合与元素的关系(1)a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作A a ∈； (2)a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作A a ∉.4、空集——不含有任何元素的集合. 记作φ.5、全集——所研究的所有事物组成的集合. 记作S .、集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 }1|),{(22=+=y x y x A .二、集合的关系与运算 1、集合的关系(1) A 是B 的子集——B x A x ∈⇒∈∀. 记作B A ⊂.A 是B 的真子集——B A ⊂,且B A ≠,记作 .例如： , , .规定：空集为任何集合的子集.(2) A 与B 相等——若B A ⊂且A B ⊂.例如：设},2,1{=A },1,2{=B },023{2=+-=x x x C 则.C B A ==2、集合的运算(1)交集——}|{B x A x x B A ∈∈=且 ,简记为AB ；B A A AB B≠⊂Z Q ≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B,|{i Ii i A x I i x A ∈∈∀=∈.(2) 并集——}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；A B B A.. ,|{i Ii i A x t s I i x A ∈∈∃=∈.(3) 差集——}|{B x A x x B A ∉∈=-且；(4) 余集(补集)——A S A c-=，其中S 为全集。
中职数学 第一章 集合
第三节 集合的运算
【例4】
已知A=｛（x，y）︱4x+y=6｝，B=｛（x，y）︱x+y= 3｝，求A∩B.
分析 集合A、B的元素是有序实数对（x，y），A、B的交集 就是二元一次方程组4x+y=6 x+y=3 的解集.
解 解方程组4x+y=6 x+y=3 得x=1 y=2. A∩B=｛（x，y）︱4x+y=6｝∩｛（x，y）︱x+y=3 =（x，y）4x+y=6 x+y=3 =｛（1，2）｝.
第一节 集合的概念
2. 描述法
有的集合用列举法表示起来是很不方便的，如“由大于 2的所有实数组成的集合”，大于2的实数有无穷多个，显然 无法用列举法将该集合的元素一一列出，此时用描述法来表 示该集合则比较方便.
把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律 写在花括号内用来表示集合的方法叫作描述法.例如上述“由 大于2的所有实数组成的集合”，可以看出该集合的元素都 具有如下性质：都是实数，都大于2.因此，该集合可用描述 法表示为
第一节 集合的概念
课堂练习
用描述法表示下列集合： (1)方程3x-5=0的组成的集合； (2)绝对值大于7的实数组成的集合； (3)全体奇数组成的集合.
第二节 集合之间的关系
一、 子集
观察下列集合： （1）A=｛2，4，6｝，B=｛2，4，6，8｝； （2）A=｛x︱x是长方形｝，B=｛x︱x是平行四边形｝. 可以看出，上述集合A中的任意一个元素都是集合B的元素. 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那 么集合A就叫作集合B的子集，记作
第二节 集合之间的关系
课堂练习
1.
∈
（1）N Q； （2）{2，3} {2}；
第一章 第一节 集 合
集合间的基本关系
讲练融通
(1)(2022·山东泰安二模)设全集 U＝R，则集合 M＝{0，1，2}和 N＝{x|x·(x －2)·log2x＝0}的关系可表示为( )
(2)(2022·吉安期中)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋ 1≤x≤2m－1}，则使 B⊆A 成立的实数 m 的取值范围是________．
3．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若 3－m∈A，n＋1∈A，则非 零实数 m＋n 的可能取值构成的集合是________．
答案：{2} 解析：因为 3－m∈A，所以 3－m＝1 或 3－m＝2 或 3－m＝3， 解得 m＝2 或 m＝1 或 m＝0， 因为 n＋1∈A，所以 n＋1＝1 或 n＋1＝2 或 n＋1＝3， 解得 n＝0 或 n＝1 或 n＝2，又因为 B＝{1，m，n}，所以mn＝＝02， 或mn＝＝20，， 即 m＋n＝2.
把 y＝ 3 x＋4 代入 x2＋y2＝4，得 x2＋2 3 x＋3＝0，解得 x＝－ 3 ，有唯
一解，故集合 A∩B 中元素的个数为 1.
2．已知集合 A＝{x∈N|1<x<log2k}，集合 A 中至少有 3 个元素，则( ) A．k≥16 B．k>16 C．k≥8 D．k>8 B 解析：由集合 A 中至少有 3 个元素，得 log2k>4，解得 k>16，故选 B.
练4 已知集合 M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若 M∩N＝{x|3<x<n}，则 m
＋n 等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
B 解析：因为 M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以 m＝3，n＝
第一章 第一节 集合
∅B(B≠∅) Ü
真子集
空集
3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 若全集为U，集合 A为全集U的一个 子集，则集合A的 补集为____ ðA
U
符号 表示
A∪B _____
A∩B _____
图形 表示
ðU A {x | x U, __________ 数学语言 {x|x∈A,或 {x|x∈A,且x∈B} _____________ _____________ x∈B} 且x A} 表示 ______ _______
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）任何集合至少有两个子集.(
)
（2）已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则
A=B=C.(
)
（3）含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1， 非空真子集的个数是2n-2.( ) )
（4）A∩B=∅的充要条件是A=B=∅.(
2
或
方法二:因为A∪B=A∩B,所以A=B，所以{1，b}={a2,ab}.由于
两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别
等于另外两个数的和与积，故{1,b}={a2,ab}成立的充要条件
是
1b a 2 ab, 解得 b a 2 或 ab, 1 a 1, a 1, 反代回A，B集合知，只有 b0 b R.
【思路点拨】（1）A∪B=A⇒B⊆A，据此得关于m的方程进行求 解，再检验得m值． （2）A∪B=A∩B⇔A=B，列出关于a,b的方程组求解，再根据集 合元素的性质加以检验得出结论．
【规范解答】（1）选B.因为A∪B=A,所以B⊆A, 所以m=3或 则 若
高中数学必修一集合 PPT课件 图文
A、1 B、2 C、3 D、4
例题4：已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条
件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
例题5：若规定E={a1,a2,a3,…a10}的子集{ai1,ai2,…ain}为E的第K个子集，其中
K=2i1-1+2i2-1+…+2in-1，则 （1）{a1,a3}是E的第_____个子集； （2）E的第211个子集为________
例题2：已知 A { x 集 |a x 1 合 0 }且 ,1 A ，求 a 的 实 . 值 数 例题3：设 y x 2 a b , x A { x |y x } { a } M , { a , b ) ( 求 } M ., 例题4：已知集A合 {xR|ax2 3x20,aR}.
第二节 集合间的基本关系 —考试题型及要点解析
1、判断两个集合之间的关系
解题要点：考察其中一个集合的所有元素是否全都在另一个集合； 考察其中一个集合是否为空集；
例题1：判断下列两个集合之间的关系：
(1) A={2,3,6},B={x| x是12的约数} ( 2) A={0,1},B={x|x2+y2=1,y∈N}
(1)若A中不含有任何元a的 素取 ，值 求范 . 围 (2)若A中只有一个元a素 的， 值求 ，并把这个出元来 .素写 (3)若A中至多有一个元a的 素取 ，值 求范 . 围
第二节 集合间的基本关系 —知识点总结
1、子集的三种语言
2、空集
（1）空集的概念：不含任何元素的集合，记作_∅__. （2）_空__集__是任何集合的子集， _空__集__是任何非空集合的 真子集.
集合第一节知识点
集合第一节知识点
嘿，咱今天来聊聊集合第一节的知识点啊！集合啊，就像是一个大口袋，把一堆有共同特点的东西装在一起。
比如说咱班同学，那就是一个集合呀！
集合有啥呢？首先就是元素！这元素就好比是口袋里的一个个东西。
咱班的每一个同学就是一个元素呀！就像小红，她就是咱班这个集合里的一个元素。
还有呢，集合有确定性。
啥意思？就是说一个东西要么在这个集合里，要么不在，不能模模糊糊的。
比如咱说咱班的高个子同学集合，那多高算高个子就得确定好，不能摇摆不定呀，对吧？要是一会儿高一会儿矮的，那不乱套啦？“哎呀，我到底算不算是这个集合里的呀！”这不就麻烦啦！
还有互异性！一个集合里不能有重复的元素哟！咱班选班委，选了小李当班长，那就不能再选一个小李当学习委员啦！多奇怪呀！
集合的表示方法也很有趣呢！可以用列举法，把元素一个一个列出来。
就像咱班同学的名字一个个写出来，这不就很清楚了嘛！还可以用描述法呢，比如说大于 10 的整数集合，一描述大家就知道是哪些啦！
嘿，你说这集合是不是超有意思的呀？咱生活中好多地方都能用得上集合呢！大家想想看，是不是呀！总之，集合第一节的这些知识点真的特别重要，就像是盖房子的基石一样！咱得好好掌握，才能在数学的世界里畅游无阻呀！。
第1节 集合
A.{x|x<0}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|x>2}
解析 易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}. ∴∁UA＝{x|x<0或x>2}， 故(∁UA)∩B＝{x|x>2}.
索引
6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、__互__异__性__、无序性. (2)元素与集合的关系是__属__于__或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：__列__举__法__、__描__述__法__、图示法.
索引
3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合 A＝{x|x∈Z 且6－8 x∈N}＝_{_－__2_，__2_，__4_，__5_}. 解析 由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.
索引
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称 k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素
S∩T＝( C )
A.
B.S
C.T
D.Z
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而 集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T. 法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察 可知，T⊆S，所以S∩T＝T.
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实例
2
（1）方程 x
1 的解的全体构成的集合。
（2）平行四边形的全体构成的集合。
（3）平面内与一定点o距离等于定长r 的点的全体构成的集合。
集合再举例 1. 正整数1, 2, 3, ; 2. 中国古典四大名著; 3. 高一、一班的全体学生; 4. 我校篮球队的全体队员; 5. 到线段两端距离相等的点.
5.集合的分类:
有限集、无限集
思考：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
问题：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作. 练习：⑴ 0 ⑵{0} (填∈或) (填＝或≠)
6.重要的数集:
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
例3:若方程x2－5x＋6＝0
和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( C )
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
例4:已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
你能理解数学家的这句话吗？
其实，数学家直观地描述了集合的 概念，渔民撒下渔网一拉，一部分 鱼虾就落在网中，于是把落在网中 的所有鱼虾看成一个整体，就构成 了一个集合。
初中接触过的“集合”
1、圆，角平分线，线段垂直平分线
2. 上体育课时,体育老师一声哨响,同
时高喊：“高一、一班学生集合”, 问体育老师集合的对象是什么?体育 老师所说的“集合”是动词还是名 词？ 数学中的集合是一个名词性质的概念，是同
{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a。
（3）集合{（1，2），（3，4）}与 集合{1，2，3，4}不同
2.描述法：
将集合的所有元素都具有的性质
（满足的条件）表示出来，
写成{x|p(x)}的形式
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为you中的字母}。 所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等
N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
常用数集的表示方法：
正整数集： ＋或N﹡ N 自然数集：N 整数集: Z 有理数集: Q 实数集: R
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
例2:设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D＝{ (x, y) | y＝x2－1 } 它们表示含义相同吗?
1.集合的概念: 一般地，我们把一些能够确定的不同的对 象看做一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合，简称“集”.
构成集合中每个对象叫做这个集合的 元素.
2.集合的表示: 集合常用大写字母A、B、C……表示， 元素常用小写字母a、b、c……表示。 3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
康托尔是德国数学家，集合论的
五、回顾小结：
1.集合的含义； 3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
4.集合的表示方法；
创始者。1845年3月3日生于圣彼得 堡，1918年1月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国，在德国读 中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世 大学，翌年入柏林大学，主修数学， 1866年曾去格丁根学习一学期。 1867年以数论方面的论文获博士学 位。1869年在哈雷大学通过讲师资 格考试，后在该大学任讲师，1872 年任副教授，1879年任教授。 集 合论是现代数学的基础，康托尔在 研究函数论时产生了探索无穷集和 超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷 数的存在，并对无穷问题进行了哲 学的讨论，最终建立了较完善的集 合理论，为现代数学的发展打下了 坚实的基础。
四、数学运用
例1：（1）求方程x2-2x-3=0的解集； （2）求不等式x-3>2的解集
例2：用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{x|x= (1) n ,n ∈N}
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}
例3、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②奇数的集合
康托尔（Georg Cantor，1845 －1918）
集合的概念
一位渔民非常喜欢数学，但他怎 么也搞不明白集合的意义，于是他请 教数学家：“尊敬的先生，请你告诉 我，集合是什么？”因为集合是不定 义的概念，数学家很难回答这位渔民。 有一天，他来到渔民的船上，看 到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼 虾在网中跳动。 数学家非常激动，高兴地告诉渔 民：“这就是集合！”
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
集合的含义及其表示方法
一、复习回顾集合
①一般地，一定范围内某些确定的、 不同的对象的全体构成一个集合。 ② 集合的特性：1、元素的确定性； 2、元素的互异性； 3、元素的无序性 ③集合的分类：有限集，无限集 和空集
解问题情境
观察下列对象构成集合用列举法表示 （1）本班的全体男生 （2）我国的四大发明 （3）2008年北京奥运会中的球类项目 （4）不等式2X+3 < 9的自然数解；
注: (1)如果两个集合所含元素完全相同 （即A中的元素都是B中的元素， B中的元素也都是A中的元素）， 则称这两个集合相等。 （2）a与{a}不同：a表示一个元素，
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
练习 .下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
3.Venn图法： 用封闭的曲线内部表示集合。 （形象直观） 如：集合{x|x为you中的字母}
y,o,u
注：何时用列举法？何时用描述法？
(1)、有些集合的公共属性不明显，难以概括，不
便用描述法表示，只能用列举法。 如 ：集合{ 3，7，8 }
(2)、有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，
或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如:集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}
④ 常见集合：N，Z，Q，R， N+
二、问题情境
观察下列对象能否构成集合 （1）满足X－3＞2的全体实数
（2）本班8年北京奥运会中的球类项目
（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；？
那么这些集合都有什么表示方式？
三、集合表示法：
1. 列举法：将集合的元素一一列举出来， 并置于花括号“{ }”内。 用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开， 但与元素的次序无关。