【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修五《数列》单元检测同步练习题及答案解析

合集下载

2018高中数学北师大版高二必修5_第一章_数列_单元测试_word版含解析

,[学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，2，－3，4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列． 2．有穷数列1，23，26，29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A ．90 B ．100 C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100. 5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x ＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C.162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12.9．近年来，我国最大的淡水湖鄱阳湖湖区面积逐年减少，江西省政府决定将原3万亩围垦区退垦还湖，计划2013年退垦还湖面积为3 000亩，以后每年退垦还湖面积比上一年增加20%，那么从2013年起到哪一年可以基本完成退垦还湖工作(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 1.2≈0.079 2)( )A ．2015年B ．2016年C ．2017年D ．2018年解析：选D.由题意可知每年退垦还湖面积依次构成一个等比数列，记为{a n }，则首项a 1＝3 000，公比q ＝1＋20%＝1.2，前n 项和S n ＝30 000，由3 000（1－1.2n）1－1.2＝30 000，得1.2n＝3，所以n ＝log 1.23＝lg 3lg 1.2≈6，即到2018年可以基本完成退垦还湖工作，故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255.答案：16 25512．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，所以a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n （n ＋1）2＋1.答案：n （n ＋1）2＋113．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．解析：因为a n ＋1＝11－a n，所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. 所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12.答案：1214．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a . 因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1.答案：2nn ＋115．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6<S 7，S 7>S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d <0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)解析：因为S 7>S 6，即S 6<S 6＋a 7，所以a 7>0.同理可知a 8<0. 所以d ＝a 8－a 7<0.又因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，所以S 9<S 6.因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，所以可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)一个等比数列的前三项依次是a ，2a ＋2，3a ＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：因为a ，2a ＋2，3a ＋3是等比数列的前三项，所以a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1，0，0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，所以a n ＝－4(32)n －1，令－4(32)n－1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3.所以n －1＝3，即n ＝4，所以－1312是这个数列中的第4项．17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列， (1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式； (2)若b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意可设{a n }公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由题意可设{b n }公比为q ，则q >0，由b 1＝1，且b 2，12b 3，2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，所以q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N ＋)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.19．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ； 2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ； …10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x ＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x .由题意，得2.6a －16x ＝2a . 解得x ＝380a (m 2)．(2)所求百分比为a2－380a ×102a ＝116≈6.3%.即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.20．(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1），数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，所以S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式．所以a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153，可得9（b 1＋b 9）2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，所以{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，所以b 1＝5，所以b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3（2n －1）（6n ＋3）＝12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)．因为n 增大，T n 增大，所以{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝13.T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立，只要T 1＝13>k57，所以k <19，则k max ＝18.。

新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列的综合问题》课时作业及解析

北师大版高中数学必修五课时作业10 数列的综合问题时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2、a 3、a 6成等比数列，则其公比q 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C【解析】 ∵等差数列{a n }中a 2、a 3、a 6成等比数列， ∴a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d)(a 1＋5d)＝(a 1＋2d)2⇒d(d ＋2a 1)＝0， ∵公差不为零，∴d ＝－2a 1， ∴所求公比q ＝a 3a 2＝a 1＋2d a 1＋d ＝－3a 1－a 1＝3.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在【答案】 A【解析】由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2. 3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】 C【解析】本题主要考查等比数列等知识．设a n ＝a 1q n －1，其中a 1>0，q>0， ∴2×12a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0，解得q ＝2＋1，q ＝－2＋1<0(舍去)， a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. 4．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19【答案】 C【解析】本题考查了等比数列的前n 项和通项公式与运算能力．∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.【点评】解答本题充分运用了等比数列的通项公式和整体代换的方法．5．已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.39n －14【答案】 D【解析】数列{a n }的偶数项是以a 2＝6为首项，公比为9的等比数列，故新数列的前n 项和S n ＝69n －19－1＝39n －14.6．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31C.314 D ．以上都不正确【答案】 B【解析】设{a n }的公比为q ，q>0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2＝10a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,2q 2＋6q ＝20，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)，则a 1＝1，所以S 5＝a 11－q 51－q＝11－251－2＝31.7．(2013·福建理)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 【答案】 C【解析】 b n ＝a 1q m(n －1)＋a 1q m(n －1)＋1＋…＋a 1q m(n －1)＋m －1＝a 1q m(n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1q m(n －1)·1－qm1－q ，∴b n ＋1b n ＝a 1q mn ·1－q m1－q a 1q m n －1·1－q m 1－q＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m ， c n ＝a 1q m(n －1)·a 1q m(n －1)＋1·…·a 1q m(n －1)＋m －1 ＝a m 1·qm 2(n －1)＋m m －12，∴c n ＋1c n＝a m 1qm 2n ＋1－1m m －12a m 1qm 2n －1m m －12＝qm 2，∴{c n }是等比数列，公比为qm 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【答案】 32【解析】由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2得，2q 2－q －3＝0，即q ＝32(q ＝－1舍去)．9．已知数列{x n }满足lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.【答案】 100【解析】由lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)得lgx n ＋1－lgx n ＝1， ∴x n ＋1x n＝10，数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．【答案】 3 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.【解析】本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和相关知识联系又要考虑其特点．由题设a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝…＝a 17＋a 18＝…＝a 2k －1＋a 2k ＝a 2k ＋a 2k ＋1＝5.∵a 1＝2，∴a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3…当n 为奇数时a n ＝2，当n 为偶数时，a n ＝3.∴a 18＝3. 当n 是偶数时，有n 2个2，n2个3，∴S n ＝n 2·2＋n 2·3＝52n.当n 为奇数时，有n －12个3，n ＋12个2，∴S n ＝n －12·3＋n ＋12·2＝5n －12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝9，a 1＋4d ＝21，解得a 1＝5，d ＝4.所以{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1，因为b n ＋1b n＝24，所以{b n }是首项b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．于是得{b n }的前n 项和S n ＝2524n －124－1＝3224n －115.12．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解析】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n(n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n.(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 13．(20分)(2013·江西理)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.【解析】思路分析：(1)将已知S n 的关系式分解因式，先求出S n ，后求a n ；(2)化简b n 用放缩法求T n 的范围．(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n.综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1n ＋22a 2n.则b n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116[1n 2－1n ＋22]． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －12－1n ＋12＋1n2－1n ＋22]＝116[1＋122－1n ＋12－1n ＋22]<116(1＋122)＝564. 【点评】本题考查了数列通项公式．裂项求和与放缩法证明不等式．考查了运算能力和逻辑思维能力．。

新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步习题课及答案解析

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

新北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．542．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >3．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．65．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（） A ．33B ．72C ．84D ．1896．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（） AB ．2C．D ．48．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--9．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202210．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（） A ．6B ．7C ．8D ．911．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（） A ．50B ．51C ．100D ．10112．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（） A ．12-B ．4-C ．4D ．12二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______. 16．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________17．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 18．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______. 19．111112123123100++++=+++++++________.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 22．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项．（1）求数列{}n b 的公比；（2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .25．已知正项等比数列{}n a ，首项13a =，且13213,,22a a a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．26．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34kT >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果.【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+，因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和，所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >，当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>；当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<，当01q <<时，10a >，此时210a a q =>；当1q >时，10a >，此时210a a q =>；故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >；当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.3．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 4．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -，当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦，所以5(219)2k <-<，当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4，故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =，当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=，由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．11．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案．【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <，则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =；故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．12．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=，即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q ==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠，由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=，可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠，所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.16．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ，所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.17．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<；若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=，利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.18．【分析】在已知递推关系中件中令n=1解得在n≥2时根据递推关系利用可得判定数列为公差为1的等差数列进而利用等差数列的通项公式计算【详解】在中令n=1得解得或（舍去）；在n≥2时得到结合得到即因为数列解析：112【分析】在已知递推关系中件中令n =1,解得132a =,在n ≥2时根据递推关系，利用1n n n S S a --=,可得11n n a a +-=，判定数列{}n a 为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算. 【详解】在()2*324n n n a a S n N +=+∈中令n=1,得21111332244a a S a +=+=+，解得132a =或112a =-（舍去）；在n ≥2时，得到2111324n n n a a S ---+=+，结合1n n n S S a --=, 得到22112n n n n n a a a a a ---+-=,即2211n n n n a a a a ---=+,因为数列{}n a 的各项均为正数，∴10n n a a -+≠，∴11n n a a --=，∴数列{}n a 为公差为1d =的等差数列，又∵132a =，∴513114422a a d =+=+=, 故答案为：112. 【点睛】本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.19．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题解析：200101【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】111112123123100+++++++++++11112(12)3(13)100(1100)222=++++++⨯+2222122334100101=++++⨯⨯⨯⨯11111112(1)22334100101=⨯-+-+-++- 12(1)101=⨯-200101=故答案为：200101【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案；（2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】（1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++，令120201212021n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 22．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比；（2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====．（2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭．由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．23．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n nn b nc a ==，用错位相减法求和.【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---，故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠ 给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n nT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 24．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2nn n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭，得324522b b b =+，设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，解得2q，或12q =，由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =，则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，122n n S +∴=-当2n ≥时，()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时，12b =也满足上式.2n n b =（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.25．（1）3nn a =；（2）13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．【分析】（1）由已知13213,,22a a a 成等差数列求出公比q 后可得通项公式；（2）用裂项相消法求和n S ．【详解】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得：31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，即232q q =+，所以3q =或1q =-（舍），所以1333n nn a -=⋅=．（2）由（1）知233233111log log log 3log 3(2)n n n n n b a a n n ++===⋅⋅+，则11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，所以1111111112324112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 26．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3；【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍）则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b == 若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =，则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭ 所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得12k +>，由1232+<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.。

2018年秋新课堂高中数学北师大版必修5第1章数列综合测评

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项B [令2n －1＝35，解得n ＝23.]2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝3，且a 2017＋a 2018＝0，则S 101＝( )A ．3B ．－3C ．303D ．－303B [设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2018a 2017＝－1，又a 2＝3，所以a 1＝－3，S 101＝(－3)[1－(－1)101]1－(－1)＝－3.]3．已知等差数列{a n }中首项a 1＝2，公差d ＝1，则a 5＝( )【导学号：91022133】A ．5B ．6C ．7D ．8B [因为等差数列{a n }中首项a 1＝2，公差d ＝1，所以a 5＝2＋4×1＝6.] 4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值为( ) A ．96 B ．99C ．100D ．101C [由已知得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，令3n －2＝298，得n ＝100.]5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18B [因为(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，所以99－105＝3d ，所以d ＝－2.又因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，所以a 1＝39.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. 所以当n ＝20时，S n 有最大值．]6．数列{a n }中，a n ＝2n －an ＋1(n ∈N ＋)是递增数列，则实数a 的取值范围为( )【导学号：91022134】A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(2，＋∞)C [由已知a n ＋1－a n ＝2n ＋2－a n ＋2－2n －a n ＋1＝2＋a(n ＋2)(n ＋1)＞0，所以2＋a ＞0，解得a ＞－2.]7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 23＝9a 2a 6，则数列{a n }的公比q为( )A ．±19 B ．13 C ．－13D ．±13B [由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19，由条件可知q ＞0，故q ＝13，选B.]8．已知等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540A [因为等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，由等差数列前n 项和的性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.故选A.]9．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则a 7b 7等于( ) 【导学号：91022135】A ．2B ．53 C ．95D ．3117C [因为S n T n ＝2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝2×13＋113＋2＝2715＝95.故选C.]10．已知{a n }是一个无穷等比数列，则下列说法错误的是( ) A ．若c 是不等于零的常数，那么数列{c ·a n }也一定是等比数列B ．将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列C ．{a 2n －1}(n ∈N *)是等比数列D ．设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 6，S 12－S 6，S 18－S 12也一定成等比数列D [对于A ，若c 是不等于零的常数，那么数列{c ·a n }也一定是等比数列，首项为ca 1，公比为q ，正确；对于B ，将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项顺序不变组成一个新的数列，这个数列一定是等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ，正确；对于C ，等比数列的奇数项仍是等比数列，正确；对于D ，设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 6、S 12－S 6、S 18－S 12也一定成等比数列，不正确，比如1，－1,1，－1，….]11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．30B ．60C ．90D ．110B [由a 24＝a 3·a 7得， (a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )得， 2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得，2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.]12．设等比数列{a n }中，首项a 1＝164，b n ＝log 12a n ，当且仅当n ＝4时，数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值，则等比数列{a n }的公比q 的取值范围是( )【导学号：91022136】A ．(3,23)B ．(3,4)C ．(22，4)D ．(22，32)C [依题意，a n ＝164q n －1，b n ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫164q n －1＝6＋(n －1)log 12q ，又当且仅当n ＝4时，数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 4＞0，b 5＜0，即⎩⎨⎧6＋3log 12q ＞0，6＋4log 12q ＜0，解得22＜q ＜4.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }中，a 4＋a 17＝2，则a 8＋a 13＝________. [解析] a 8＋a 13＝a 4＋a 17＝2. [答案] 214．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23n 2－13n ，则数列a n ＝________.【导学号：91022137】[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23n 2－13n －23(n －1)2＋13(n －1)＝43n －1，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝13＝43－1，所以a n ＝43n －1.[答案] 43n －115．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是________．[解析] 由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0.7 ℃，∴14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1700(m)． [答案] 1700 m16．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．[解析] 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0. 从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16. [答案] 16三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根.【导学号：91022138】(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． [解] (1)∵a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n .(2)当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．18．(本小题满分12分)已知{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，a 1＋a 2＝b 4，b 1＋b 2＝a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式．(2)记数列{a n ＋b n }的前n 项和为T n ，求T n .[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 1＝b 1＝1得，a n ＝1×q n －1，b n ＝1＋(n －1)d ，由a 1＋a 2＝b 4，b 1＋b 2＝a 2得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋q ＝1＋3d ，2＋d ＝q ，解得d ＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，b n ＝n . (2)由(1)得，a n ＋b n ＝n ＋3n －1，所以T n ＝(1＋30)＋(2＋31)＋…＋(n ＋3n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(30＋31＋…＋3n －1) ＝n (1＋n )2＋1－3n 1－3＝12(3n＋n 2＋n －1)．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 3.【导学号：91022139】(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2a n －1b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)∵S n ＝2a n －1，∴S n ＋1＝2a n ＋1－1，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1＝2a n .又当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝a 1＝1，b 4＝a 3＝4.∵数列{b n }为等差数列，∴b n ＝n .(2)∵a n ＝2n －1，b n ＝n ，∴c n ＝2a n －1b n b n ＋1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1n (n ＋1)＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4－12n －2－nn ＋1. 20．(本小题满分12分)某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．[解] 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N ＋，则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．所以a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1 000，公比为2的等比数列．所以a n －500＝1 000×2n －1，所以a n ＝1 000×2n －1＋500. (1)a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，所以该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元． (2)由a n ＞32 500，即2n －1＞32，得n ＞6，所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．21．(本小题满分12分)已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)因为S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2)，所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1(n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝2n ＋1，则a n ＝2n ，当n ＝1时，也满足，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝n ＋12n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ①12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ② ①－②得12T n ＝2×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.故数列{b n }的前n 项和为T n ＝3－n ＋32n .22．(本小题满分12分)已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1＞1，且10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.【导学号：91022140】(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由10a 1＝(2a 1＋1)(a 1＋2)，得2a 21－5a 1＋2＝0，解得a 1＝2或a 1＝12. 又a 1＞1，所以a 1＝2.因为10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，所以10S n ＝2a 2n ＋5a n ＋2.故10a n ＋1＝10S n ＋1－10S n ＝2a 2n ＋1＋5a n ＋1＋2－2a 2n －5a n －2，整理，得2(a 2n ＋1－a 2n )－5(a n ＋1＋a n )＝0，即(a n ＋1＋a n )[2(a n ＋1－a n )－5]＝0.因为{a n }是递增数列且a 1＝2，所以a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n ＝52. 所以数列{a n }是以2为首项，52为公差的等差数列，所以a n ＝2＋52(n －1)＝12(5n －1)．(2)满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，理由如下：假设存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k ，则5m －1＋5n －1＝12(5k －1)，整理，得2m ＋2n －k ＝35， (*) 显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在．。

(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第一章数列第一章检测

第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an解析:Sn=------=3-2an,故选D.答案:D2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.-解析:∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+-d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.答案:A3.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+的结果可化为( )A.1-B.1-C.-D.-解析:an=2n-1,设bn=-,则Tn=b1+b2+…+bn =+…+-=---.答案:C4.在正项等比数列{an}中,a3=,S3=,则数列{an}的通项公式为( )A. B.2×C.2×-D.×3n-1答案:C5.某型号计算机的成本不断降低,若每隔两年该型号计算机价格降低,现在的价格是8 100元,则6年后,价格降低为( )A.2 200元B.900元C.2 400元D.3 600元解析:6年后价格降低了3次,则价格降低为8 100×-=2 400(元).答案:C6.若数列{an}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4b6的最大值是( )A.10B.100C.200D.400解析:因为正项数列为“调和数列”,所以bn+1-bn=d,即数列{bn}为等差数列,由等差数列的性质,得b1+b2+…+b9=9b5=90,所以b5=10,则b4+b6=2b5=20,所以b4b6=b4(20-b4)=-(b4-10)2+100,则当b4=10时,b4b6取得最大值100.答案:B7.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d d≠1 ,且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为( )A. B.-C.-,-D.,-解析:由,,得,,①②由两式得a1=--,代入①式中得--+3d=--·d3,化简得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0.∵d≠1,∴由d6+d3-2=0,得d=-,a1=-d=.答案:D8.已知函数f n =n2cos nπ,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100= )A.-100B.0C.100D.10 200解析:若n为偶数,则cos nπ=1,cos n+1 π=-1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1.所以数列{an}的偶数项是首项为a2=-5,公差为-4的等差数列;若n为奇数,则cos nπ=-1,cos n+1 π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.所以数列{an}的奇数项是首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+…+a100= a1+a3+…+a99 + a2+a4+…+a100 =50×3+×4+50× -5)+× -4)=-100.答案:A9.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等比数列,且公比q≠1,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则q等于( )A.或-B.C.-D.1+解析:由题意,知a1>0,q>0,且q≠1,若删去a1,则2a3=a2+a4,得2a1q2=a1q+a1q3,解得q=1(舍去);若删去a2,则2a3=a1+a4,得2a1q2=a1+a1q3,即(q-1)(q2-q-1)=0,解得q=;若删去a3,则2a2=a1+a4,得2a1q=a1+a1q3,即(q-1)(q2+q-1)=0,解得q=-;若删去a4,则2a2=a1+a3,得2a1q=a1+a1q2,解得q=1(舍去),综上可得q=或-.答案:A10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量(单位:t)为f(n)=n(n+1)(2n+1),但如果年产量超过150 t,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A.5年B.6年C.7年D.8年解析:由已知可得第n年的产量an=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合.根据题意令an≥150,则n≥5,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案:C11.定义运算“*”,对任意a,b∈R,满足:①a*b=b*a;②a*0=a;③(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).设数列{an}的通项公式为an=n**0,则数列{an}为( )A.等差数列B.等比数列C.递增数列D.递减数列解析:由题意知an=**0=0*·+(n*0)+*=1+n+,显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列.因为函数y=x+在[1,+∞ 上是增加的,所以数列{an}为递增数列.答案:C12.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,则数列的前100项和等于( ) A. B. C. D.1解析:因为直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,所以直线x+y-d=0经过圆心,且直线y=a1x+m与直线x+y-d=0垂直,所以2+0-d=0,a1=1,解得d=2,a1=2,则Sn=2n+-×2=n n+1 ,,所以数列的前100项和为1-+…+=1-.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b= .解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2)(5-2)=1.又b是正数,所以b=1.答案:114.将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………根据以上排列规律,数阵中第n n≥3 行从左至右的第3个数是. 解析:前n-1行的正整数的个数为1+2+…+ n-1)=-,因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中的第-个数,即为-.答案:-15.设数列{an}的通项公式为an=2n-7(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=.解析:由an=2n-7≤0,得n≤,即ai≤0 i=1,2,3),记Sn为数列{an}的前n项和,易得Sn=a1+a2+…+an=n2-6n.∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15=-2S3+S15=-2× -9)+135=153.答案:15316.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn<t恒成立,则实数t的最小值为.解析:令m=1,则=a1=,∴{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴an=.∴Sn=---=.∵Sn<t恒成立,∴t大于Sn的最大值,故t的最小值为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前n项和Sn.解:设{an}的公差为d,则-, ,即-, -,解得-,或, -.故Sn=-8n+n(n-1)=n2-9n,或Sn=8n-n(n-1)=-n2+9n.18.(12分)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得,,解得,.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10= 2+1 + 22+2 + 23+3 +…+ 210+10= 2+22+23+…+210 + 1+2+3+…+10=--=(211-2)+55=211+53=2 101.19.(12分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=, 化简得a1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故通项公式an=1+-,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,故{bn}的前n项和Tn=----=2n-1.20.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:+…+.(1)解:由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此{an}的通项公式为an=-.(2)证明:由(1)知-.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以--.于是+…+≤1++…+-=-.所以+…+.21.(12分)将数列{an}中所有的项排成如下数阵: a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},其中b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足-=1 n≥2,n∈N+).(1)证明:数列是等差数列,并求数列{bn}的通项公式.(2)上述数阵中,若从第3行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-时,求上述数阵中第k k≥3 行所有项的和.(1)证明:由已知,当n≥2时,-=1,又bn=Sn-Sn-1,所以-----=1,即----=1,所以-.又S1=b1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列. 所以=1+(n-1)=,即Sn=.所以当n≥2时,bn=Sn-Sn-1==-.因此bn=,, -,.(2)解:设数阵中从第3行起,每行的公比都为q,且q>0.因为1+2+…+12==78,所以数阵中第1行至第12行含有数列{an}中的前78项.所以a81在数阵中的第13行第3列,因此a81=b13q2=-,又b13=-=-,所以q=2(q=-2舍去).记数阵中第k k≥3 行所有项的和为S,则S=--=----.22.(12分)设数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N+,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+…+.(1)解:∵a1,a2+5,a3成等差数列,∴2(a2+5)=a1+a3.又2a1=2S1=a2-22+1,2(a1+a2)=2S2=a3-23+1,∴a2=2a1+3,a3=6a1+13.∴4a1+16=7a1+13,解得a1=1.(2)解:由题设条件知,当n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,2Sn=an+1-2n+1+1.∴2an=an+1-an-2n,于是an+1=3an+2n n≥2 .而由(1)知,a2=2a1+3=5=3a1+2,因此对一切正整数n,有an+1=3an+2n,∴an+1+2n+1=3(an+2n).又a1+21=3,∴{an+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列.故an+2n=3n,即an=3n-2n.(3)证明:∵an=3n-2n=3·3n-1-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1 ≥3n-1,∴-.∴+…+≤1++…+---.。

【北师大版】高中数学必修五_数列单元测试卷

高一数学五（必修）《数列》单元测试卷时间:100分钟满分:100分一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）x1. 在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，等于 A．11 B．12 C．13 D．14 2. 在数列中，，，则的值为a{a}a22a2a1101n1n1nA．49 B．50 C．51 D．52 123n5101010103. 已知数列，，，…，，…，使数列前n项的乘积不超过1011111111的最大正整数n是 A．9 B．10 C．11 D．124. 在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的aa a18,a a12,n1423前8项之和为 225 A．513 B．512 C．510 D．85. 等差数列中，，，则数列的前9项a a a39a a a27{a}{a}147369nn的和S等于 9A．66 B．99 C．144 D．297 6. 已知命题甲：“任意两个数a，b必有唯一的等差中项”，命题乙：“任意两个数a，b必有两个等比中项”.则 A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题aS5597. 设S是等差数列的前n项和，若，则的值为an na9S351 A．1 B．－1 C．2D．2a a a aaS1,S48. 在等差数列中，若，则的值为 17181920n48A．9 B．12 C．16 D．17 a a a17a a a77aa139．是一个等差数列且，．若，47104514nk则ｋ等于（）Ａ．16 Ｂ．18 Ｃ．20 Ｄ．222a a a a0(n2)10、在各项均不为零的等差数列中，若，则n n1nn1S4n2n10A． B． C． D．212 第 1 页共 6 页二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）211、在等比数列中, 若是方程的两根，则aa,a3x2x60n110 =___________.a a47212、已知数列的，则=_____________。

北师大版高中数学必修五高一数学单元检测卷(数列).doc

定南中学高一数学单元检测卷(数列)一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．数列252211L ，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=LA.2(21)n-B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n -6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=LA ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为(A) (B) (C) (D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a15.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .16.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________.17. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________18. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则n a =__________.答题卡：班级：______姓名：_________学号：_______得分：_______一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13、____________ 14、____________ 15、____________16、____________ 17、____________ 18、____________三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19（14分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.20（14分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，（1）求证：{}1n a +是等比数列；（2）求这个数列的通项公式n a .21（15分）．已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ① 求{}n a 的通项公式，并求2009a ；② 若{}n b 是由2468,,,,,a a a a L 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.22（17分）.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &答案一.选择题：BDDCD CCDDD BB二.填空题：13. 48 ；14. ①②③ ；15. 3 ；16. 5 ；17. 20 ; 18. ⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,51n n a n n ；三.解答题：19. 依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.20. 121n n a +=-21. 设n a kn b =+,则31021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得21k b =⎧⎨=⎩,∴21()n a n n N *=+∈,∴20094019a =, 又∵2a ,4a ,6a ,8a ,L 即为5,9,13,17,…,∴41n b n =+. 22. 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q ==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==L ，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==。

(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第一章数列 1数列的函数特性

1.2 数列的函数特性课时过关·能力提升1.已知an=3n-2,则数列{an}的图像是( )A.一条直线B.一条抛物线C.一个圆D.一群孤立的点答案:D2.在数列{xn}中,若x1=1,xn+1=-1,则x2 017等于( )A.-1B.-C.D.1解析:将x1=1代入xn+1=-1,得x2=-,再将x2代入xn+1=-1,得x3=1,则数列{xn}的周期为2,x2 017=x1=1.答案:D3.数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+4cos2,则a9,a10的大小关系为( )A.a9>a10B.a9=a10C.a9<a10D.大小关系不确定解析:当n为奇数时,a3=2a1=2,a5=2a3=22,a7=2a5=23,a9=2a7=24;当n为偶数时,a4=a2+4=5,a6=a4+4=9,a8=a6+4=13,a10=a8+4=17.所以a9<a10.故选C.答案:C4.在下列图像中给定函数y=f(x)的图像,且对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则该函数的图像是( )A.B.C.D.解析:由an+1>an可知数列{an}为递增数列.又由an+1=f(an)>an可知当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A5.已知an=--(n∈N+),则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是( ) A.a1,a50 B.a1,a8C.a8,a9D.a9,a50解析:因为an=-----=1+--,所以当n=9时,--的分母为正,且此时--最大,从而a9最大;当n=8时,--的分母为负,且此时--最小,从而a8最小,故选C.答案:C6.若数列中的最大项是第k项,则k= .解析:已知数列最大项为第k项,则有--即--由k∈N+,可得k=4.答案:47.我们可以利用数列{an}的递推公式an=为奇数为偶数(n∈N+),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a24+a25= .研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,则第8个5是该数列的第项.解析:a24+a25=a12+25=a6+25=a3+25=3+25=28.5=a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640.答案:28 6408.已知数列{an}满足an=--则a2 016= .解析:a2 016=2a2 015=2× 2 0152-2 016×2 015 =-4 030.答案:-4 030★9.如图所示,互不相同的点A1 A2 … An …和B1 B2 … Bn…分别在角O的两条边上,所有AnBn(n∈N+)相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等,设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是.解析:设OAn=x n≥3 OB1=y ∠A1OB1=θ 记×1×ysin θ=S 则×2×2ysin θ=4S =4S+(4S-S)=7S,……x·xysin θ= 3n-2)S,∴-,∴-,∴x=-,即an=- n≥3 经验证知an=-(n∈N+).答案:an=-10.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,当n为何值时,an取最小值,最小值是多少? 分析:an是n的二次函数,可结合二次函数知识进行求解,同时要注意n的取值范围.解:∵an=n2-5n+4=-,∴二次函数图像的对称轴方程为n=.∵n∈N+,∴当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为22-5×2+4=-2.11.已知an=· (n∈N+),则{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.解:设an最大 n≥2 则-即· -·-· ·解得8≤n≤9.因为n∈N+,所以n=8或n=9,故数列{an}的最大项为a8=a9=.★12.已知函数f(x)=- x≥1 构造数列an=f(n)(n∈N+).(1)求证:an>-2.(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明:由题意可知an=---2.∵n∈N+,∴>0,∴an=-2>-2.(2)解:递减数列.理由如下:由(1)知,an=-2.∵an+1-an==---<0,∴an+1<an,∴数列{an}是递减数列.。

2018-2019学年北师大版必修五数列单元测试 (3)

2018-2019学年北师大版必修五数列单元测试 (4)1． (2018·抚顺市省重点高中协作校一模)在等差数列{a n }中，a 3＋a 6＝11，a 5＋a 8＝39，则公差d 为( )A ．－14B ．－7C ．7D ．14解析：C [∵a 3＋a 6＝11，a 5＋a 8＝39，则4d ＝28，解得d ＝7.故选C.]2． (2018·江西上饶市一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值是( )A ．24B ．19C ．36D ．40解析：A [∵数列{a n }是等差数列，且S 9＝72， ∴a 1＋a 9＝16.由等差数列的性质可知：a 2＋a 9＝a 5＋a 6，a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8. ∴a 2＋a 4＋a 9＝a 5＋a 6＋a 4＝3a 5＝3×8＝24.故选A.]3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 7 B ．S 6 C ．S 5D ．S 4解析：C [∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5.]4．已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：C [由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640.]5． (2018·临汾市二模)《九章算术·衰分》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有禀栗，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗，今有大夫一人后来，亦当禀五斗，仓无栗，欲以衰出之，问各几何？现解决如下问题：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5种爵位各1人，现增加一名大夫，共计6人，按照爵位共献出5斗栗，其中5种爵位的人所献“禀栗”成等差数列{a n }，其公差d 满足d ＝－a 5，请问6人中爵位为“簪裹”的人需献出栗的数量是( )A.34斗 B.45斗C ．1斗D.54斗解析：A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝5，d ＝－a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝54，d ＝－14，∴6人中爵位为“簪裹”的人需献出栗的数量是a 3＝a 1＋2d ＝54－24＝34(斗)．故选A.] 6． (2018·福建“四地六校”联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 200＝ .解析：当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝1，得数列{a n }的奇数项组成首项为1、公差为1的等差数列，故a 1＋a 3＋…＋a 199＝100＋100×992＝5 050；当n 为偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，故a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 200＝50.所以S 200＝5 050＋50＝5 100.答案：5 1007．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n a 1＋a n2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：68．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝ .解析：由a n ＝2n －10(n ∈N)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15) ＝20＋110＝130. 答案：1309． (理 )(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，S 7＝7a 4＝28， ∴a 4＝4，∴d ＝a 4－a 13＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴b 1＝[lg a 1]＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg a 11]＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg a 101]＝[lg 101]＝2.(2)记{b n }的前n 项和为T n ，则T 1 000＝b 1＋b 2＋…＋b 1 000＝[lg a 1]＋[lg a 2]＋…＋[lg a 1000]．当0≤lg a n <1时，n ＝1,2，…，9；当1≤lg a n <2时，n ＝10,11，…，99；当2≤lg a n <3时，n ＝100,101，…，999；当lg a n ＝3时，n ＝1 000.∴T 1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893.9． (文 )(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35，当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4，所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n [5＋－3n 2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －＋n －2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[能力提升组]11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r ，解得r ＝12或r ＝1，当r ＝12时，a n ＝1，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件，选A.]12． (文 )各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n n ＋2B.n n ＋2C.3n n ＋2D.n ＋n ＋2解析：C [当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n n －2×3＝3n n ＋2，选C.]12．(理 )(2015·高考新课标全国卷Ⅱ，理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝ .解析：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n 所以S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.答案：－1n13．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 .解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194114．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N )；②b n ≤M (n ∈N，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．。

2018年高二数学北师大版必修5同步精练：1.3.1等比数列 Word版含答案

第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列B ．一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列2公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．903设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝__________.4已知数列{a n }满足：lg a n ＝3n ＋5，求证：{a n }是等比数列．5在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝，a n ＝，q ＝，求n .9813236某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列．而第3个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？综合过关7已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )A ．4B ．3C ．2D.128设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.＋B.＋n 247n4n 235n3C.＋D ．n 2＋nn 223n49首项为3的等比数列{a n }，它的第n 项为48，第2n －3项为192，问从第几项起各项的绝对值都超过100?10设关于x 的一元二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N ＋)有两根α，β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：{a n －}是等比数列；23(3)当a 1＝时，求数列{a n }的通项公式．76能力提升11等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋，S 3＝9＋3.22(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．Snn 12已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与两数中至少有一个属于A .ajai (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝1，且＝a n ；a 1＋a 2＋…＋ana －11＋a －12＋…＋a －1n (3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列．参考答案1解析：很明显仅有D 符合等比数列的定义．答案：D2解析：由a ＝a 3a 7，则24Error!解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋d ＝60.902答案：C3解析：{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，但仅有四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－，6q ＝－9.32答案：－94分析：利用等比数列的定义证明＝q (常数)．an ＋1an 证明：由lg a n ＝3n ＋5，得a n ＝103n ＋5，∴＝＝1 000＝常数．an ＋1an 103(n ＋1)＋5103n ＋5∴{a n }是等比数列．5分析：由已知条件列出关于a 1，q 的方程(或方程组)，或有关量的方程(或方程组)．解：(1)∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝27.∴q ＝3.∴a 5＝a 6·＝81.13(2)∵a n ＝a 1q n －1，∴＝·()n －1.139823∴()n －1＝()3.∴n ＝4.23236分析：可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求．解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d ＞0)，则实际上这3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25，由题意得Error!解得x ＝90，d ＝10.则该厂第一季度实际生产微机(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25)＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)．7解析：设公差为d ，则a ＝a 1a 17，25即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，整理，得a 1＝2d .所以＝＝＝3.a 5a 1a 1＋4d a 12d ＋4d 2d答案：B8解析：a ＝a 1a 6，设数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d )2＝2(2＋5d )，解得d ＝或2312d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋×＝＋.n (n －1)212n 247n4答案：A9解：设公比为q ，则Error!即Error!Error!①2÷②得q 2＝4，∴Error!或Error!∴由|a n |＝3×2n －1＞100，得n ≥7，即从第7项起各项的绝对值都超过100.10分析：(1)根据一元二次方程根与系数的关系列出关于a n 和a n ＋1的等量关系；(2)转化为证明＝常数；(3)先求出{a n －}的通项公式，再求出{a n }的通项公式．an ＋1－23an －2323(1)解：由题意，得Error!又6α－2αβ＋6β＝3，∴6(α＋β)－2αβ＝3.∴－＝3.∴a n ＋1＝a n ＋.6an ＋1an2an 1213(2)证明：∵a n ＋1＝a n ＋，1213∴a n ＋1－＝(a n －)，即＝.231223an ＋1－23an －2312∴{a n －}是等比数列．23(3)解：当a 1＝时，a 1－＝，则{a n －}是以为首项，以为公比的等比数列．762312231212∴a n －＝()n .∴a n ＝＋()n .2312231211分析：(1)求出公差即可写出数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)利用反证法证明．(1)解：由已知，得Error!解得d ＝2，则a n ＝＋1＋(n －1)2＝2n －1＋，22S n ＝n (＋1)＋2＝n (n ＋)．2n (n －1)22(2)证明：由(1)得b n ＝＝n ＋.Snn 2假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b ＝b p b r ，2q 即(q ＋)2＝(p ＋)(r ＋)．222∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )＝0.2∵p ，q ，r ∈N ＋，∴Error!∴()2－pr ＝0.∴(p －r )2＝0.p ＋r2∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12分析：(1)a i a j 与两数中至少有一个属于A 是指：数集A 中的任意两个数的积与和ajai 中至少有一个属于A ，且数集A 中的任意数的平方与自身的商中至少有一个属于A ，则对数集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的元素验证即可；(2)转化为证明a n a n ∉A ，则说明1＝∈A ，利用anan 已知证得＝a n －k ＋1，从而获得等式；(3)利用(2)验证从第二项起，每一项与前一项的比都anak 等于a 2.(1)解：由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，43∴数集{1,3,4}不具有性质P .由于1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，626311223366∴数集{1,2,3,6}具有性质P .(2)证明：∵A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，∴a n a n 与中至少有一个属于A .anan 由于1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，∴a n a n －a n ＝a n (a n －1)＞0.∴a n a n ＞a n ，故a n a n ∉A .从而1＝∈A ，∴a 1＝1.anan ∵1＝a 1＜a 2＜…＜a n ，∴a k a n ＞a n ，故a k a n ∉A (k ＝2,3，…，n )．由A 具有性质P 可知∈A (k ＝1,2,3，…，n )．anak ∴＜＜…＜＜.anan anan －1ana 2ana 1又1＝a 1＜a 2＜…＜a n (n ≥2)，∴＝1＝a 1，＝a 2，…，＝a n －1，＝a n .an an an an －1ana 2ana 1∴＋＋…＋＋anan anan －1ana 2ana 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n .∴(a ＋a ＋…＋a ＋a )a n －1n －1n －1－12－11＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n .∴＝a n .a 1＋a 2＋…＋an a －11＋a －12＋…＋a －1n (3)证明：由(2)知，当n ＝5时，有＝a 2，＝a 3，即a 5＝a 2a 4＝a .a 5a 4a 5a 323∵1＝a 1＜a 2＜…＜a 5，∴a 3a 4＞a 2a 4＝a 5.∴a 3a 4∉A .由A 具有性质P 可知∈A .a 4a 3由a 2a 4＝a ，得＝∈A ，且1＜＝a 2，23a 3a 2a 4a 3a 3a 2∴＝＝a 2.a 4a 3a 3a 2∴＝＝＝＝a 2，a 5a 4a 4a 3a 3a 2a 2a 1即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列．第二课时基础巩固1在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝1，则公比q 等于( )A. B ．1 C ．2 D ．4122等比数列{a n }的各项都为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12 B ．10C ．8D ．2＋log 353各项均为实数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝9，则a 3＝________.4等比数列{a n }中，a 2 009a 2 010a 2 011＝8，则a 2 010＝______.5在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为83272______．6等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝6 561，求a 5的值．7设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .综合过关8(1)在各项均为正的等比数列{a n }中，a 3·a 9＝4，a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，求a 4＋a 8的值；(2)在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，求a 7.9三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．能力提升10设数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t ＞0，n ＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ()，n ＝2,3,4，…，求1bn －1b n .参考答案1解析：q ＝＝.a 5a 412答案：A2解析：a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，所以a 5a 6＝9.所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)…(a 5a 6)]＝log 395＝10.答案：B3解析：a ＝a 2a 4＝9，则a 3＝±3.23答案：±34解析：a 2 009a 2 010a 2 011＝a ＝8，32 010∴a 2 010＝2.答案：25解析：先求公比q ，把三个数用a 1，q 表示或利用性质求解．方法一：设这个等比数列为{a n }，其公比为q ，a 1＝，a 5＝＝a 1q 4＝·q 4.8327283∴q 4＝，q 2＝.811694∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a ·q 6＝()3·()3＝63＝216.318394方法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝，a 5＝，加入的三项分别为a 2，a 3，a 4，83272由题意a 1，a 3，a 5也成等比数列，∴a ＝×＝36.2383272故a 3＝6.∴a 2·a 3·a 4＝a ·a 3＝a ＝216.233答案：2166分析：可以先解出公比q ，再求a 5，或利用等比中项求解．解法一：∵a 9＝a 1q 8＝6 561，∴q ＝±3.∴a 5＝a 1q 4＝1×(±3)4＝81.解法二：∵a 5是a 1与a 9的等比中项，∴a ＝a 1a 9＝6 561.∴a 5＝±81.25而a 5＝－81不合题意，应舍去，∴a 5＝81.7分析：需由已知条件求出公比q 和某一项，再求通项公式．解：由b 1＋b 2＋b 3＝3得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3.∴a 1·a 2·a 3＝23＝8.∵a ＝a 1·a 3，2∴a 2＝2.又∵b 1·b 2·b 3＝－3，设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2()·log 22·log 2(2·q )＝－3，2q 解得q ＝4或.14∴所求等比数列{a n }的通项公式为：a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或25－2n .8分析：(1)此题应考虑使用等比数列的性质求解，即若m 、n 、p 、q ∈N ＋，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q；27(2)应用a＝a5·a9求解，但应注意a7的符号．解：(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，2824∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，a3·a5＝a.2824∴a6·a10＋a3·a5＝a＋a＝41，a4·a8＝4.∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且a n＞0.∴a4＋a8＝7.(2)∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，∴Error!∴a5，a9＞0.又∵a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2＞0，27∴a7＝1.9分析：由题意可设三个数为a－d，a，a＋d，再结合等比中项知识讨论上述三个数哪一个可能为排列之后等比数列的中间项．解：由题意，这三个数成等差数列，可设分别为a－d，a，a＋d.∴a－d＋a＋a＋d＝6.∴a＝2，这三个数分别为2－d,2,2＋d.若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)．解之得，d＝6或d＝0(舍去)，此时三数为－4,2,8.若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得，d＝－6或d＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4.若2为等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去)．综上可知，这三个数是－4,2,8.10解：(1)由S1＝a1＝1，S2＝1＋a2，得3t(1＋a2)－(2t＋3)＝3t，神笛2005神笛2005得a 2＝，∴＝.2t ＋33t a 2a 12t ＋33t 又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ①3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t ， ②①－②得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0，∴＝，n ＝2,3,4，….an an －12t ＋33t 所以{a n }是一个首项为1，公比为的等比数列．2t ＋33t (2)由f (t )＝＝＋得2t ＋33t 231t b n ＝f ()＝＋b n －1，1bn －123可见{b n }是一个首项为1，公差为的等差数列，23于是b n ＝1＋(n －1)＝.232n ＋13。

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)

一、选择题1．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（） A ．4B ．8C ．16D ．242．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3923．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．44．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年5．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（） A ．2B ．3C ．269D ．2596．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（） A ．192B ．212 C ．2155D ．23667．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >8．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（） A ．42B ．43C ．44D ．459．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13C ．12-D ．3-10．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题11．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______.15．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，37S =，数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ，则122020111T T T +++=________.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________． 17．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项ma 、n a 12a =，则9m n-的最小值为___________. 18．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 22．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S nn N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，121a b ==，再从①2410a a +=；②244b b =；③45b a =这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =．（1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解．【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．2．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.3．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C解析：C本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算．【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ．【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．5．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-，所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=，解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 7．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>， ()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．【详解】解：由题意，可知：n a ====． 12n n S a a a ∴=++⋯+1=11n =-+． 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．9．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.10．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =，即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.11．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.14．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.15．【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为：【点睛】本题主要考查等差等比数列的求解析：40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-，从而得到()2log 1+=n S n ，利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=，再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =，37S =，所以31232227S a a a q q=++=++=，即22520q q -+=，解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列，所以2q.所以11a =，122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ，()1122…+=+++=n n n T n ，所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.16．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2.故答案为：2. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减，当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增，所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、解答题21．（1）证明见解析，2nn a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据条件可得112112n n n n a n a n n a n a n++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案.（2）由题意可得21212n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-112112n n n n a n a n n a n a n++++-++∴==++即公比12,12q a =+=∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；2n n a n ∴+=（2）由题意，21212n n n n n b a n ++==+ 所以123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212?··222222n n n ++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ ()1111122121512251222212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-=-+⋅ ⎪⎝⎭- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据21212n n n n n b a n ++==+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.22．（1）21n a n =-；（2）113n n n S +=-. 【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和.【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-. （2）由（1）得213n nn b -=，所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--，所以113n nn S +=-．【点睛】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.23．答案见解析【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得{}n a 的通项公式. （2）利用公式法可求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-，*N n ∈. （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩解得112b =，2q .设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1112122122nn n S --==--. 选择条件①和条件③：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-. （2）459b a ==，设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >. ∴213411,9.b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得113b =，3q =. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1113313136nn n S ---==-. 选择条件②和条件③：（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >， ∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b =，2q ，5431242a b =⨯==. 设等差数列{}n a 的公差为d ，∴5144a a d =+=，又11a =，故34d =. ∴()33111444n a n n =+-⨯=+. （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，由（1）可知()1112122122n n n S --==--. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．24．（1）条件性选择见解析，2nn a =；（2）332n nn T +=-．【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n nn a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-．即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故1222n nn a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =．（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+----13322n n ++=-．所以332n nn T +=-．所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-．【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.25．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N，使ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k SdS a a SaS S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==，（2）设1n a k +=，nn nA bB =，若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=，若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==，若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=，综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==，由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。

2018-2019学年北师大版必修五数列单元测试

2018-2019学年北师大版必修五数列单元测试1．数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( ) A ．5 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】D2．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．13 B ． 26 C ．52 D ．156 【答案】B【解析】∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4。

∴S 13＝213(a1＋a13＝213(a4＋a10＝26。

3．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66 【答案】C【解析】∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋29×8×(－2)＝99。

4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝299，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【答案】A【解析】2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝211(a1＋a11＝211·2a6＝11a 6＝299，所以a 6＝29，则d ＝2a8－a6＝47，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A 。

5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若2 012S2 012－10S10＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013 【答案】C6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.35B.65C.310D.611 【答案】A【解析】设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有71(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝655，则最小的一份为a －2d ＝20－355＝35。

新北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（） A ．376B ．382C ．749D ．7664．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（） A ．1022B ．1023C ．2046D ．20475．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（） A ．92B ．254C ．458D ．4097．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（） AB ．2C．D ．48．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（） A ．192B ．212 C ．2155D ．23669．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（） A ．0B ．1C ．2019D ．202010．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．2112．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（） A ．12-B ．4-C ．4D ．12二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(2)n a n n =+，则4S =___________.14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan9θ=，则点A 的坐标为________．16．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.17．已知数列{}n a ，11a =，12n n a a n +=+，则4a ＝_____． 18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．19．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.20．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________. 三、解答题21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 22．已知公差为2的等差数列{}n a ，且1a ，7a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 23．已知数列{}n a 是首项12a =，且满足()212log log 1n n a a n N *+-=∈的正项数列，设()23log 2n n b a n N *=-∈.（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S .24．已知等比数列{}n a 的公比不为1，且11a =，32a 是23a 与4a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n nn S a a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论．【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+开口向上，对称轴为5396x =≈，故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ．【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．D解析：D 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解．【详解】当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=，又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1，所以12n na ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，∴所求和为1112204712S -==-．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．5．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.6．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=，所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =，则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.7．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可. 【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x ==“等号“)， 92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.8．C解析：C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 9．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---，又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.10．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=，即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.二、填空题13．【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为：【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和解析：1715【分析】先化简112n a n n =-+，再进行相加求解即可. 【详解】由21(2)12n a n n n n ==-++知，41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1715. 【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中，分母是乘积形式，求前n 项和n S 时，可以考虑裂项相消法，即将数列拆分成两项的差的形式，再进行求和.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=，当且仅当822nn=时取等号，又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16)【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.16．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+，故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17．【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题解析：13【分析】由已知递推关系式12n n a a n +-=，利用累加法和等差数列前n 项和公式，可求出{}n a 通项，即可得4a . 【详解】12n n a a n +-=，∴2121a a -=⨯ ，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，12(1)n n a a n --=⨯-， ∴ []1(11)(1)2123(1)2(1)2n n n a a n n n +---=++++-=⨯=- ，∴ 21n a n n =-+ ， 2444113a ∴=-+= ，故答案为：13 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.18．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数解析：1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n 项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈ 对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn +【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式19．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++，依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n nn a --==-，故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.20．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.三、解答题21．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯⎪⎝⎭-()1111112212222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 22．（1）211n a n =-；（2）最小项为第7项为297. 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，由112n a n =-得出n S ，由二次函数的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项，当6n >时，由211n a n =-得出n S 结合导数数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）由题知：2715a a a =⋅，则()()2111128a a a +=⋅+得：19a =-即1(1)211n a a n d n =+-=- （2）当5n ≤时，112n a n =-，29112102n nS n n n +-=⨯=- 则21010n S n n n n n-==-，即5n =时，min 5n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当6n ≥时，211n a n =-，251211(5)10502n n S S n n n +-=+⨯-=-+，则5010n S n n n=+- 令50()10,6f x x x x =+-≥，2225050()1x f x x x -'=-=当6x <<()0f x '<，当x >()0f x '>即函数()f x在(上单调递减，在()+∞上单调递增即7n =时，min297n S n ⎛⎫=⎪⎝⎭ 最小项为第7项为297【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论211n a n =-的正负，从而确定{}n a 的通项公式，进而得出n S ，最后由二次函数的性质以及导数得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，由此得出最小值. 23．（1）证明见解析；（2）135210n n S n .【分析】（1）利用对数的运算性质结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求出n n a b 的表达式，利用错位相减法可求得n S . 【详解】（1）对任意的n *∈N ，12122log log log 1n n n n a a a a ++-==，所以，12n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项和公比均为2,1222n n n a -∴=⨯=；（2）23log 232n n b a n =-=-，()322n n n a b n ∴=-⋅，()123124272322n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23121242352322n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，上式-下式得()()()()212311321223222322232212n n n n n S n n -++⨯--=+⨯+++--⨯=+--⨯-()153210n n +=-⨯-，因此，135210n n S n .【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.24．（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）11231n n T =-+. 【分析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由32a 是23a 与4a 的等差中项.求出q 后可得通项公式；（Ⅱ）求出n b ，用裂项相消法求和n T ．【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件知32443a a a =+，即2311143a q a q a q =+，整理可得2430q q -+=，解得3q =（1q =舍去），所以11133n n n a a --=⋅=.（Ⅱ）()()()()1111223111131313131n n nn n n n n n a b a a ---+⋅===-++++++，所以01121111111313131313131n n nT -⎫⎫⎫⎛⎛⎛=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎝⎝⎭⎭⎭011113131231n n =-=-+++. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 25．（1）1n a n =+；（2）12n n n T -=.【分析】（1）根据222n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）先根据232n nn a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T . 【详解】（1）因为222n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-，所以两式作差有：221112n n n n n a a a a a +++=+--，所以()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，且21111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），所以()2111n a n n =+⋅-=+；（2）因为232n n n a a b --=，所以122nn nb --=，所以01211012...2222n n n T ---=++++，所以12311012...22222n nn T --=++++，两式作差可得：012311111112+ (2222222)n n n n T ------=++++-，所以11111222221212n nn n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...nn S a a a a =++++；（2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S .26．（1）条件性选择见解析，2nn a =；（2）332n nn T +=-．【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-．即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =．（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+----13322n n ++=-．所以332n n n T +=-．所以数列{}n b 的前n 项和332n nn T +=-．【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。

北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列4．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（） A ．810B ．840C ．870D ．9005．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．96．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S7．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-8．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．59．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．210．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________． 15．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．16．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______17．在数列{}n a 中， 11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.18．已知数列{}n a 的首项为2，且满足1231+=+n n n a a a ，则1n a =__________． 19．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.20．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 23．在①242n n n S a a =+，②12a =，12n n na S +=这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足131log 12n n b a =-，且n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n M . 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.24．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈. （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式：（2）设数列{}n b 满足,2n n na nb n ⎧=⎨⎩是奇数，是偶数，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T . 26．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．3．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.4．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 5．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =，又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=，所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．7．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.8．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+，所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+，所以242a a +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.9．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=，则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34，则a 1=2. 本题选择A 选项.11．B解析：B根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值. 【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ， 12n n n n b a a a ++=，12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+，又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1qx p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n+≥=，当且仅当822nn=时取等号，又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．14．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.15．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ．【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=．故答案为：7576．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．16．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0, 则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.17．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题解析：12n -【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.18．【分析】由已知整理得可得答案【详解】由题知则所以因为所以数列是以为首项为公比的等比数列所以则故答案为：【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式的问题关键点是构造数列为等比数列定义形式考查了学生的推理能解析：532-n【分析】由已知整理得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a 可得答案. 【详解】由题知，113131222++==+n n n n a a a a ，则1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a ，所以1131123+-=-n na a ，因为11532-=-a ，所以数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以52-为首项，12为公比的等比数列，所以1151135222-⎫⎫⎛⎛-=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭n n n a ，则1532=-n n a ．故答案为：532-n. 【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式的问题，关键点是构造数列为等比数列定义形式，考查了学生的推理能力、计算能力.19．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n a n --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；20．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254．【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ；（2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q 或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥，()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式，故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．22．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．23．（1）条件性选择见解析，2n a n =；（2）1931223n n M n -⎫⎫⎛⎛=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭.【分析】（1）若选①，先求出12a =，由242n n n S a a =+可得111242n n n S a a +++=+，两式相减可得()()1120n n n n a a a a +++--=，从而12n n a a +-=得出答案; 若选②，由12n n na S +=可得1(1)2n n n a S --=，两式相减可得11n n a n a n++=，由累乘法可得答案. (2)由（1）可得13log 1n b n =-，则113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是1123n n n n c a b n -⎫⎛==⨯ ⎪⎝⎭，由错位相减法可求和得出答案. 【详解】（1）选①时，当1n =时，211142a a a =+，因为10a >，所以12a =，由242n n n S a a =+，① 可得111242n n n S a a +++=+，②②－①得，22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得2211220n n n n a a a a ++---=，所以()()1120n n n n a a a a +++--= 因为0n a >，所以12n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以2n a n =；选②时，因为12n n na S +=①所以当2n ≥时，1(1)2n n n a S --=② ①－②得：1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++= ①中，令1n =，得2124a a ==，212a a =适合上式所以当2n ≥时，1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅12322212321n n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=--- 又1n =，1221a ==⨯ 所以对任意*N n ∈，2n a n = （2）因为13log 12nn a b =-即13log 1n b n =- 所以113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是1123n n n n c a b n -⎫⎛==⨯ ⎪⎝⎭，2111121462333n n M n -⎫⎫⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭③2311111246233333nn M n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭④ ③－④得231211111222222333333n nn M n -⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭1111212333n nn -⎡⎤⎫⎫⎛⎛=⨯++⋯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎢⎥⎣⎦1113221313nnn ⎫⎛- ⎪⎫⎛⎝⎭=⨯-⨯ ⎪⎝⎭- 所以1931223n n M n -⎫⎫⎛⎛=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭【点睛】关键点睛：本题考查求数列的通项公式和应用错位相减法求数列的前n 项和，解答本题的关键是按照步骤求解，考查计算能力，由2111121462333n n M n -⎫⎫⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，得出2311111246233333nn M n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，两式相减再化简得出答案，属于中档题.24．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式；（2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =，又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=，又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈．所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152n n -≤⋅-，所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=．【点睛】关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．25．（1）31n a n =-；（2）1224433n n T n n +-=+-.【分析】（1）令1n =，结合111a S =>可得12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得13n n a a +-=即可求{}n a 的通项公式；（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组并项求和，以及等差和等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由()()11111126a S a a ==++，即()()11210a a --=，因为111a S =>，所以12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得()()()()11161212n n n n n a a a a a +++=++-++，得()()1130n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=，所以{}n a 是首项为2公差为3的等差数列，故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()242(28146222)4n n ++⋅⋅⋅+=++++-+12(264)4(14)4432143n n n n n n ++---=+=+--.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.26．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明. 【详解】（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---，所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2nn n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅，即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面，111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n nn T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五数列综合练习一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（）A.x 2＋10x ＋8＝0B.x 2－10x ＋64＝0C.x 2＋20x ＋64＝0D.x 2－20x ＋64＝0 2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个3．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、12 a 3、a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5等于（）A.5＋12B.5－12C.1－52D.5±124．已知数列 2 、 6 、10 、14 、3 2 ……那么7 2 是这个数列的第几项（）A.23B.24C.19D.25 5．等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6等于（）A.4 2B.－4 2C.±4 2D.无法确定6．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n ＝3＋2a n (n ∈N *)，则这个数列是（）A.等比数列B.等差数列C.除去第一项是等比D.除去最后一项为等差7．数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为13的等比数列，则a n 等于（）A. 32 （1－13n ）B. 32 (1－13n －1 )C. 23 (1－13n )D. 23 (1－13n －1 ) 8．S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n +1·n ，则S 100＋S 200＋S 301等于（）A.1B.－1C.51D.529．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为（）A.2n －n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为(a －d )元/m 2，二层价格a 元/m 2，三层价格为(a ＋d )元/m 2，第i 层（i ≥4)价格为［a ＋d (23)i －3］元/m 2.其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均值为（）A.a 元/m 2B.a ＋110 ［(1－(23)17)d 元/m 2C.a ＋［1－(23 )17］d 元/m 2D.a ＋110 ［1－(23)18］d 元/m 2二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人.如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时.12．在等比数列{a n }中，已知S n ＝3n ＋b ，则b 的值为_______.13．已知a n ＝9n （n ＋1）10n(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为____ ___. 14．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______.15．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的34，若洗n 次后，存在的污垢在1%以下，则n 的最小值为_________.16．已知等差数列lg x 1，lg x 2，…，lg x n 的第r 项为s ，第s 项为r (0<r <s )，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝____ ___.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能.试求出前7项和.18．（本小题满分14分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差.19．（本小题满分14分）已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15，求S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式.20．（本小题满分15分）设a n是正数组成的数列，其前n项和为S n，且对所有自然数n，a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项，求数列{a n}的通项公式.21．（本小题满分15分）已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.（1）求通项；（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11．【解析】由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息总人数为1＋2＋22＋…＋2n ＝2n +1－1≥55. 即2n +1≥56⇒n ＋1≥6⇒n ≥5. 12．－113．【解析】设{a n }中第n 项最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1即⎩⎪⎨⎪⎧9n （n ＋1）10n ≥9n －1·n 10 n －1 9n （n ＋1）10n ≥9n ＋1·（n ＋1）10 n ＋1∴8≤n ≤9，即a 8、a 9最大.14．170°15．【解析】（14 ）n <1%，∴4n >100得n 的最小值为4.16．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧lg x 1＋（r －1）d ＝s lg x 1＋（s －1）d ＝r ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－1x 1＝10s ＋r －1 lg x n +1－lg x n ＝－1⇒x n +1x n ＝110 . ∴{x n }为等比数列，且q ＝110 .∴x 1＋x 2＋…＋x n ＝x 1（1－q n ）1－q ＝10s ＋r （10n －1）9×10n.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能.试求出前7项和.考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力.【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a 1＝3，a 2＝9，即d ＝6.则a n ＝3＋6(n －1)，令3＋6(n －1)＝2187，解得n ＝365.可知该数列可构成等差数列，S 7＝7×3＋7×62×6＝147.（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a 1＝3，q ＝3，则a n ＝3·3n －1＝3n ，令3n＝2187，得n ＝7∈N ，可知该数列可构成等比数列，S 7＝3（1－37）1－3＝3279. 18．（本小题满分14分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差.考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想.【解】设成等比数列的三个数为 a q ，a ，aq ，由a q·a ·aq ＝103，解得a ＝10，即等比数列10q，10，10q .（1）当q >1时，依题意，5q＋(10q －7)＝20.解得q 1＝15 (舍去），q 2＝52.此时2，10，18成等差数列，公差d ＝8. (2)当0<q <1，由题设知（10q－7)＋5q ＝20，求得成等差数列的三个数为18、10、2，公差为－8. 综上所述，d ＝±8. 19．（本小题满分14分）已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15，求S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式. 考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和.【解】设y ＝f (x )＝kx ＋b ，则f (2)＝2k ＋b ，f (5)＝5k ＋b ，f (4)＝4k ＋b ，依题意：［f (5)］2＝f (2)·f (4).即(5k ＋b )2＝(2k ＋b )(4k ＋b )化简得k (17k ＋4b )＝0.∵k ≠0，∴b ＝－174k ①又∵f (8)＝8k ＋b ＝15 ② 将①代入②得k ＝4，b ＝－17.∴S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(4×1－17)＋(4×2－17)＋…＋(4n －17)＝4(1＋2＋…＋n )－17n ＝2n 2－15n .20．（本小题满分15分）设a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式. 考查已知前n 项和S n 求通项a n 方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力.【解】 ∵a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，∴12（a n ＋2）＝2S n即S n ＝18(a n ＋2)2当n ＝1时，a 1＝18(a 1＋2)2⇒a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18［(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2］即（a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0又∵a n ＋a n －1>0，∴a n ＝a n －1＋4，即d ＝4. 故a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. 21．（本小题满分15分）已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.（1）求通项；（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n . 考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】（1）设{a n }公差为d ，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝810a 1＋10×92 d ＝185解得a 1＝5，d ＝3∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n ＋2(2)∵b n ＝a n 2＝3×2n ＋2∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(3×21＋2)＋(3×22＋2)＋…＋(3×2n ＋2)＝3(21＋22＋…＋2n )＋2n ＝6×2n ＋2n －6.。