2015年高考数学(理)押题精练【专题28】转化与化归思想
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
转化与化归的思想
转化与化归的思想「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12a C ．4a D ．4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM→＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B.热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝±a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a .∵当a >1时，a －1<3a ，∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a <－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2＋1，1e ＋2答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒xe x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎨⎧g (2)＞h (2)，g (3)≤h (3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e 2＋1，故选C.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B. 热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B.(2)(2019·天津市滨海新区高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝2，BC＝BB1＝2.(1)求证：AC1∥平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离．解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD.(2)由已知，AB＝AC，取BC的中点H，则BC⊥AH，∵BB1⊥平面ABC，AH ⊂平面ABC，∴BB1⊥AH，∵BC∩BB1＝B，∴AH⊥平面BCC1B1.又AB＝AC＝2，BC＝2，∴AH＝1，∵BB1⊥C1D，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1，∴V D －ABC 1＝V A －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.2．(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE (图1)中，AB ∥EC ，AB ＝BC ＝12EC ＝4，∠ABC ＝120°，D 是EC 的中点，将△ADE 沿AD 折起，构成四棱锥P －ABCD (图2)．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)当平面P AD ⊥平面ABCD 时，求三棱锥C －P AB 的体积． 解 (1)证明：取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，BD ，∵P A ＝PD ，K 为AD 的中点，∴PK ⊥AD ，又AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，则AB ＝BD ，则BK ⊥AD ，又PK ∩BK ＝K ，∴AD ⊥平面PBK ，又PB ⊂平面PBK ，则AD ⊥PB .(2)由平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PK ⊂平面P AD ，PK ⊥AD ，得PK ⊥平面ABCD ，由已知AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝120°，得S △ABC ＝43，又PK＝23，∴V C－P AB ＝V P－ABC＝13×43×23＝8.。
高考数学考点完全题(理)思想练习题_转化与化归思想专练 含答案
则 E 为 B1C、BC1 的中点， 易知 AD＝A1D，AB＝A1C1， ∠BAD＝∠DA1C1＝90°， ∴△BAD≌△DA1C1，
转化与化归思想专练
一、选择题
1．若命题“∃x0∈R，使得 x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ( )
A．
B．
C．(2,6)
D．(－6，－2)
答案 A
解析 ∵命题“∃x0∈R，使得 x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得 x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即 m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.
1＋2k2
→→ 要使OM·ON＝0，需 x1x2＋y1y2＝0，
2m2－8 m2－8k2
即
＋
＝0，
1＋2k2 1＋2k2
所以 3m2－8k2－8＝0，
3m2－8
所以 k2＝
≥0，
8
又 8k2－m2＋4>0，所以Error!
8 所以 m2≥ ，
3
26
26
即 m≥ 或 m≤－ ，
3
3
因为直线 y＝kx＋m 为圆心在原点的圆的一条切线，
5
1＋ × 0
5
8．设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数，若 f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意 a∈恒成
立，则 x 的取值范围为________．
答案 x≤－1 或 x≥0
解析 ∵f(x)在 R 上是增函数，
∴由 f(1－ax－x2)≤f(2－a)，
化归转化思想
化归转化思想提要化归转化是数学解题的⼀种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。
初中数学⾥，运⽤化归转化的数学思想处理问题的例⼦⽐⽐皆是。
例如，通过去分母把分式⽅程转化为整式⽅程求解，通过将把⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解，通过消元把三元⼀次⽅程组或⼆元⼀次⽅程组转化为⼀元⽅程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭⽰了解题的本质。
知识全解⼀、化归转化思想的概念在解答某⼀个难以⼊⼿或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，⽽将原题转化为另⼀个⽐较熟悉、⽐较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的⽬的，这就是解答数学题的化归转化思想。
化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。
当我们遇到⼀个较难解决的问题时，不是直接解原题⽬，⽽是将题进⾏转化，转化为⼀个已经解决的或⽐较容易解决的数学题，从⽽使原题得到解决。
⼆、解题策略应⽤转化思想要注意以下⼏点：①转化后的问题要⽐原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是⼰知数学的问题，这样才有利于应⽤已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解⽅程时要防⽌转化后出现增根或失根等。
在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建⽴起实质性的联系。
只有这样才能合理，快速，准确地进⾏转化“巧妙”才能显得⾃然。
经典例题类型1 ⾼次向低次的转化类型2 多元转化为⼀元例2 若x:y:z=1:2:3,且3x+4y-5z=16,则x-3y+2z的值是多少？【解析】设x=k，则y=2k,z=3k，代⼊3x+4y-5z=16得3k+8k-15k=16,解得k=4。
从⽽x= -4，y=-8，z=-12∴x-3y+2z= -4-3×(-8)+2×(-12)= -4【点评】解决有关连⽐的问题时，常见的思路是设其中的⼀份为k,然后⽤k替换题⽬中的未知数，从⽽把多元问题转化为⼀元问题获得解答，类型3特殊与⼀般的转化例3 如图（1）所⽰，正⽅形OCDE的边长为1，阴影部分的⾯积记作S1；如图（2）最⼤圆半径r=1，阴影部分的⾯积记作S2，则S1___S2(⽤“>”,“<”或“=”填空)【解析】把图(1)中的阴影部分沿对⾓线OD对折，则两个阴影拼在⼀起组成矩形ACDF,因为正⽅形OCDE的边长为1，所以正⽅形的对⾓线长√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在⼀起组成1/4圆，故S2=π/4。
高中数学思想----转化与化归思想
转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知4213532,4,25,a b c ===则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为4243552,42,a b ===由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为24213,33324,255a c ====由函数23y x =在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.高考必会题型题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0， 即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减 ↘2－2ln 2＋2a单调递增 ↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，则t ＝a2时函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a2<0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π2]上有最大值1.点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518] B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，14a )，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋23(e ＋1))B ．(0，2e ＋1)C ．(－∞，e ＋23(e ＋1))D ．(－∞，1e ＋1)答案 C解析 因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1， 则e 2x ＋1＋1>e ＋1，要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1e ＋1，可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a <e ＋2e ＋1·1x ＋3成立．设g (x )＝e ＋2e ＋1·1x ＋3，则a <g (x )max ， 因为x >0，则x ＋3>3， 从而1x ＋3<13，所以g (x )<e ＋23(e ＋1)，即a <e ＋23(e ＋1)，选C.5．已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.答案 2 016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016.6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________． 答案 (－3，32)解析 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________． 答案 (7－12，3＋12) 解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立， 即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立． 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得7－12<x <3＋12， 即实数x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 8．(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4.即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)． ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1＋(－x 2)≠0，由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且在[－1,1]上是增函数，不等式化为f (x 2－1)<f (3x －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1，－1≤3x －3≤1，解得x ∈(1，43]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数，所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0，设g (a )＝t 2－2at ，对∀a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0， 所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0.11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2.(1)求整数m 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－1，即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1，得－m －12≤x ≤－m ＋12. ∵不等式的整数解为－2，∴－m －12≤－2≤－m ＋12， 解得3≤m ≤5.又∵不等式仅有一个整数解－2，∴m ＝4.(2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的上方， 故f (x )－12g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立．设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2<x ≤1，3x ，x >1，则h(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，h(x)取得最小值3，故a<3，∴实数a的取值范围是(－∞，3)．--。
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（）.分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.【例２】设x、y∈Ｒ且3x2+2y2=6x，求x2+y2的X围.分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的X围的问题.其中要注意隐含条件，即x的X围.解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法2：由所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.【例３】求值：cot10°-4cos10°分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.解法：cot10°-4cos10°【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.【例4】球面上有３个点，其中任意两点的球面距离都相等于大圆周长的，经过３个点的小圆周长为４π，那么这个球的半径为（）.分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法.由任意两点球面距离相等，则这三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的，则任意两点与球心构成的圆心角为，即，且任意两点与球心构成过这两点大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意二点的平面距离.运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这小圆上内接正三角形的边长.解：设Ａ、Ｂ、Ｃ为球面上三点，过其中Ａ、Ｂ两点的大圆，如图，Ｏ为球心，则∠ＡＯＢ＝=，且ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.则ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.同理ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝Ｒ，∴△ＡＢＣ为等边三角形.设过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的小圆为⊙Ｏ′，如图２，半径为r，则由2πr=4π，得r=2，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝Ｒ＝2rsin=4=2. ∴应选Ｂ.【点评】这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求△ＡＢＣ的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的”.【例5】（某某卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：（Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；（Ⅱ）－２＜<-1；（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.思路分析：对于（Ⅰ），应首先看系数3a是否为０.若a=0，则b=-c，f（０）f（１）＝c（３a+2b+c）=－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.从而有对于（Ⅱ），结论等价于（+1）（＋２）＜０.故由条件中消去c，有（a+b）（2a+b）<0，除以a2即可.对于（Ⅲ），应将转化为关于的表达式，即，再利用（Ⅱ）的结论求解.【点评】本题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进.（Ⅱ）、（Ⅲ）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.【例6】（某某卷）设a为实数，设函数f（x）＝a+的最大值为g（a）.（Ⅰ）设t=，求t的取值X围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.思路分析：（Ⅰ）１. ∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∴t的取值X围是［，２］.由①得c osθ-sinθ+cosθ=2cosθ，由于所以，即t∈［，2］，f（x）＝acos2θ+t.又t＝3. 令则t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［，２］.从而求出m（t）的解析式.（Ⅱ）、（Ⅲ）略.【点评】本题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基本知识，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f（x）的基本思路，只要经过换元很容易转化为常规的二次函数问题，其中的分类讨论对学生思维的周密性考查得力，具有很大的区分度.本题（Ⅰ）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了t的取值X围以及m（t）的解析式.【例7】（某某卷）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求：（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间.解：（Ⅰ）解法1:∴当时，f（x）取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是｛xx=kπ+，k∈Z｝.解法２：∵f（x）＝（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+ 1+cos2x=2+sin （2x+）.∴当取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（Ⅱ）f（x）＝２＋sin（2x+）.由题意得2kπ-≤因此，f（x）的单调增区间是【点评】本题两问的求解都需同学们将f（x）准确而合理地转化为的形式，即考查同学们对三角函数式的转化与化归的能力，这也是高考试题重点考查的能力之一.【例8】（某某卷）已知数列｛a n｝满足2a n（n∈N+）.（Ⅰ）证明：数列｛an+1-an｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅲ）若数列｛b n｝满足（n∈N+），证明｛bn｝是等差数列.解：（Ⅰ）证明：a1=2为首项，２为公比的等比数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得（Ⅲ）证明：∵,∴∴｛b n｝是等差数列.【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查综合解题能力.【例9】如图，在五面体ＡＢＣＤＥＦ中，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线的交点，面ＣＤＥ是等边三角形，棱ＥＦＢＣ.（１）证明ＦＯ∥平面ＣＤＥ；（２）设ＢＣ＝CD，证明ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.解：（１）证明：取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＯＭＢＣ，又ＥＦＢＣ，则ＥＦＯＭ.连结ＥＭ，于是四边形ＥＦＯＭ为平行四边形. ∴ＦＯ∥ＥＭ.又∵ＦＯ平面ＣＤＥ，且ＥＭ平面ＣＤＥ，∴ＦＯ∥平面ＣＤＥ.（２）证明：连结ＦＭ，由（１）和已知条件，在等边△ＣＤＥ中，ＣＭ＝ＤＭ，ＥＭ⊥ＣＤ且ＥＭ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＥＦ.因此平行四边形ＥＦＯＭ为菱形，从而ＥＯ⊥ＦＭ，∵ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＤ⊥ＥＭ∴ＣＤ⊥平面ＥＯＭ，从而ＣＤ⊥ＥＯ，而ＦＭ∩ＣＤ＝Ｍ，所以ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.【点评】立体几何是考查转化与化归的重要截体，如本题中的位置关系转化（第（Ⅰ）问中的线线平行与线面平行的转化，第（Ⅱ）问中的线线垂直与线面垂直的转化），空间向平面的转化、等积转化等等.【例10】. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,π2)，若x1、x2∈(0,π2)且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x x122)【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
转化与化归思想
转化与化归思想1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
一、选择题1．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M 与全年总投入N 的大小关系是 （ ）A. M>NB. M<NC.M = ND.无法确定 解:设第n 个月的利润与投入资金分别为,n n a b ，则1(1)n a a n d =+-是关于n 的一次函数，1n n b a q -=⋅是关于n 的指数函数复合形，易知111212,a b a b ==，作出示意图如下：显然有i i a b >，2,3,4,,11i = 故有M>N ，选答案A2．已知两条直线1l ：y x =，2l ：0ax y -=，其中a R ∈，当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(3C.(3D.解：分析直线2l 的变化图形，化数为形，答案为C3．若(0x y -=，则x y -的最小值和最大值分别是（ ）A.12-和B.C.1-D.1解：已知化为x =y =即221(0)x y x +=≤或221(0)x y y +=≥，即单位圆的34（除去第四象限部分） 令cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，3[0,]2πθ∈∴3cos sin )4x y πθθθ-=-=+∵339[,]444πππθ+∈，∴3sin ()[1,42πθθ+∈-∴[x y -∈，选答案D4．函数114sin 5sin y x x =-++的值域是（ ）A.11[,]126B.11[,]3012C.11[,]93D.11[,]159解：221191sin 9sin 20(sin )24y x x x ==+++- ∵sin [1,1]x ∈-，∴291(sin )[12,30]24x +-∈故11[,]3012y ∈，选答案B5．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是（ ）A.1(,1)2-B.1(3,)2--C.3(3,)2-D.13(,)22-解：由反面情况分析易知只须(1)0f ->或(1)0f >（或由保号性亦可直接推出）得答案A6．若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=的两个对称点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1(,)4+∞ B.3(,)4+∞ C.1(0,)4 D.13(,)44解：（法一）21y ax =-关于0x y +=的对称曲线为21x ay -=-由2211y ax x ay ⎧=-⎨=-+⎩ ①②，得22()x y a x y +=- 易知0x y +≠，∴()1a x y -=把①代入得2(1)1a x ax -+=，即2210a x ax a --+=0∆>，得224(1)0a a a +->2(43)0a a ⇔⋅->∴34a >，选答案B（法二）假设存在两个对称点P 111(,)x y ，P 222(,)x y ，则由21122211y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩两式相减得：121212()()y y a x x x x -=+-……① 设P 1P 2中点M 00(,)x y ，∵P 1P 2与对称轴0x y +=垂直∴1212121P P y y k x x -==-，∴①式变为012ax =又000x y +=，∴中点M 11(,)22a a -，结合图象知必有0a >，且M 在抛物线内部∴2001y ax >-，∴211.()122a a a ->-，得34a > （法三）设P 1P 2所在直线：y xb =+与21y ax =-联合消去y 得：210ax x b ---=由0∆>，得14(1)0a b ++>……①设P 1P 2中点M 00(,)x y ，∴120122x x x a +==，0012y x b b a=+=+ 又点M 在直线0x y +=上，∴000x y +=即11022b a a ++=，∴1b a=-， 代入①，得114(1)0a a +-+>，即34a >二、填空题7．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是_____________。
化归与转化的思想
化 为 考虑特 殊 情 况 ． 即取 两 条 已知 的
抛 物 线 求 出它 们 的 交 点 ． 后 再 验 证 然 这 个 交点 是 否 在 其 他 抛 物 线 上． 证 明 ： 妨 ￣ ｋ Ｏ，， 两 条 抛 物 不 － １得
解 法就 简单 多 了．
解 ： 方 程 可 化 为 ０ ＋ ｘ ３． 原 ＝ ４＋ 数学金刊・ 初中版ｌ０７ １
垫 史 堡 壹堡 ，
一
丽
１ ≤ １ 此 式 可 看 成 为 自 变 量 的 ≤ ．
实战演练
１ ．已知ａｂ 是 正数 ，且 ．都 一
６ 求 证 ：无 论ｋ 取何 值 ，函数 （＋ ）＋ 一 的图象总过 一个定点． ｋ １ｘ ｋ ２
二 次 函 数 ． 配 方 得 Ⅱ （ ２ １ 因 ＝ ＋ ）一 ．
为 一 ≤ ｌ 所 以 ０ （＋ ） １ ， １ ≤ ， ≤ ２ ≤８ 即 一 ｎ 的取 值 范 围是 ０ ≤＆ ≤８
ｂ ０求鱼的值 ２。 ＝ ＿
口
．
例６ 已知关 于 的不等 式Ｏ ．２ ＜ｘ－
ｅ ５ 恰好有 一个 实数解 ，求实 数 ｒ ＋ ≤３ ｘ
烦．注 意 到 一 元 二 次 不 等 式 与 二 次 函
数 的联 系 、 将 其 化 归 为 ． 次 函 数 进 可 Ｚ －
２、 一 ／３
２、 ＋ ／３Байду номын сангаас
求
ｙ ｙ ＿２ ． ＋
行 分 析 ． 有 如 下 解 法． 故
解 ： ｙ ２ ｍ ＋ ， 问 题 转 化 为 令 － ｘ５则 求 ｍ的 取 值 范 围 ， 满 足 ０ ≤３ 实 使 ≤ 的
ｍ的 取 值 范 同． ７ ．已知 关 于 方 程Ｘ４ ＋ １０ 的 ２Ｘ ｍ一 ＝ －
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题8_第4讲_转化与化归思想(含答案)
第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的指导思想（1）把什么问题进行转化，即化归对象．（2）化归到何处去，即化归目标．（3）如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．（9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．（10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则. 热点一特殊与一般的转化例1（1）AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为()A．－1 B．－4 C．－14D．－116（2）已知函数f(x)＝a xa x＋a(a>0且a≠1)，则f⎝⎛⎭⎫1100＋f⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f⎝⎛⎭⎫99100的值为________．思维升华一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．（1）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C ＝________.（2）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f⎝⎛⎭⎫52＝________.热点二函数、方程、不等式之间的转化例2（1）定义运算：(a⊕b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(a⊕b)⊗x<0的解集为{x|1<x<2}，则关于x 的不等式(b⊕a)⊗x<0的解集为()A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．⎝⎛⎭⎫－23，1D．⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)（2）已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3e x，则m的最大值为________．思维升华函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．（1）若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．（2）设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________．热点三正难则反的转化例3若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋⎝⎛⎭⎫m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．思维升华否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． （2）简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．（3）直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．（4）正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题. 真题感悟1．(2014·山东)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0,2]}，则A ∩B 等于( ) A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4)2．(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( ) A ．12 B ．32 C ．0 D ．－123．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________． 解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3押题精练1．已知函数f (x )＝|e x ＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A ．49B ．47C ．463D ．5634．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)，log 2x (x >0)，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．5．(2014·湖北)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛1-1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．例1 (1)A (2)992 变式训练1 (1)45(2)0例2 (1)D (2)3 变式训练2 (1)(－∞，－8] (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞) 例3－373<m <－5变式训练3 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．CA 3．x 2＋(y －1)2＝1 D CAC 4．2 C6．解 ∵f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得 f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ， 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立． ∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，即m >4－2 2.。
2015年高考数学专题复习之转化与化归思想(有答案)
转化与化归思想【思想方法诠释】数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．1．转化与化归的原则（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体．（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决．【核心要点突破】核心考点1：函数、方程、不等式之间的转化例1：已知函数f(x)=x 2+2x+alnx ．函数f(x)在区间(0，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 思路精析：单调增函数→不等式恒成立→分离参数→求函数最值→实数a 的范围 解析：∵f(x)在区间(0，1]上为单调增函数．∴f ’(x )≥0在(0，1]上恒成立．亦即：a ≥-(2x 2+2x) 在(0，1]上恒成立， 又在(0，1]上为单调递减，∴当a ≥0时，f(x)在区间(0，1]上为单调增函数注：函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．变式训练1：（1）已知函数α,β满足,15323=+-ααα55323=+-βββ，求β+a 的值； （2）关于x 的方程0cos sin 2=++a x x 在［0，π］内有解，求a 的取值范围。
化归的数学思想
化归的数学思想1、化归思想的概念。
人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现出由易到难，由简单到复杂的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，往往是通过把不熟悉的知识变成熟悉的知识，把难懂的知识变成简单的知识，一步步地学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归不仅是一种广义的数学思想方法，而且具有普遍意义。
同时，转化思想也是克服各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2、化归所遵循的原则。
化归思想的实质是在已有的简单、具体、基础知识的基础上，把未知的变成已知的，把复杂的变成简单的，把概括的变成特殊的，把抽象的变成具体的，把非常的规划成常规的，从而解决各种问题。
因此，在应用转换思想时，应遵循以下基本原则:（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
(4)形象化原则，即将抽象的问题变成具体的问题。
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。
转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。
（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。
（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。
（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。
（5）相等与不等之间的转化。
（6）实际问题与数学模型的转化。
[例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。
现定义f（x）=（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*）综上所述，x1∈（1，2）由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。
[例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（）A. （1+ln3）B. ln3C. （1-ln3）D.ln3-1解析：如图，MN=x3-lnx，令h（x）=x3-lnx，则h（x）=3x3- = ，令h（x）=0，解得x= ，當0 时，h（x）>0，h（x）单调递增；所以当x= 时，h（x）取最小值，即MN=h（x）=h 。
转化与划归思想
函数替换是一种有效的转化策略，尤其在处理与函数相关的问题时。通过引入适当的函 数，可以将原问题中的复杂关系或表达式转化为函数的性质或关系，从而更容易找到问
题的解。例如，在解决微积分问题时，经常使用函数替换来简化积分或微分运算。
复杂问题分解
要点一
总结词
将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题，逐一解决后 再综合得到原问题的解。
等概念的应用。
统计数据的转化
02
将复杂的统计数据转化为直观的图表或表格，以便于分析和推
断。
参数估计的转化
03
将参数估计问题转化为优化问题，如最大似然估计、最小二乘
法等方法的应用。
04
转化与划归思想在日常生活
中的应用
工作中的问题解决
项目管理
将复杂的项目分解为若干个较小的任务，将问题细化，便于管理 和解决。
解决问题
遇到困难时，尝试从不同的角度思考问题，将问题转化为已知的解 决方案。
创新思维
运用划归思想，将看似无关的问题联系起来，寻找新的解决方案。
学习中的问题解决
知识迁移
将所学知识应用到实际问题中，实现知识的转 化和运用。
复杂问题简单化
将复杂的问题分解为若干个简单的问题，逐步 解决。
自主学习
将未知问题转化为已知问题，通过查找资料、请教他人等方式解决问题。
类比推理
总结词
通过比较两个不同但相似的问题，利用 已知问题的解来推导未知问题的解。
VS
详细描述
类比推理是一种重要的转化策略，尤其在 处理具有相似性的问题时。通过比较两个 不同但相似的问题，可以借鉴已知问题的 解法来推导未知问题的解。例如，在解决 物理问题时，经常使用类比推理来比较不 同但相似的物理现象或实验结果，从而得 到更深入的理解和解决方案。
高考数学转化与化归的思想
高考冲刺转化与化归的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集U Að获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.4．利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1高清转化与化归的思想例题1 ID:404094】设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】(1)求f′(x)＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)＞0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′(x)＞0，解得x＞2a或x＜2，∴当x∈(－∞，2)和x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减．综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数．(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值．f(2a)＝13(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－43a3＋4a2＋24a＝－43a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.由题设知1,(2)0,(0)0,af af>⎧⎪>⎨⎪>⎩即1,4(3)(6)0,3240,aa a aa>⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得1＜a＜6.故a的取值范围是(1,6)．【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 举一反三：【变式】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．【答案】(【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩【例2】已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数，利用导数判断函数单调性求解。
转化与化归二
转化与化归二化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.化归思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题;从而求得原问题的解决;化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”;它的基本形式有：①化未知为已知；②化难为易,化繁为简；③化高维为低维；④化抽象为具体；⑤化非规范性问题为规范性问题；⑥化数为形,化形为数；；⑦化曲为直；⑧化实际问题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等;匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著无穷的玩艺中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的;有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做 ”对此,某人回答说：“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气灶上;”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道：“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够的水,那么你又应该怎样去做 ”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气,再把水壶放上去;”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家会回答：‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了’”;化归思想是指问题之间的相互转化;前苏联著名数学家.雅诺夫斯卡娅,有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了什么叫解题的演讲,她的答案显得惊人地简单,完全出乎人的意料：“解题就是把题归结为已经解决过的问题”,这句话实际上就是体现了化归思想;因此化归的常用模式为转化对 象 目 标 解答一、将未知的问题转化归结为已知的知识例1设),0(1cos cos 2)(2π<<-+=x x x x f 若方程)2(cos )(-=x k x f 中的cosx 有两个不同的符号,求实数k 的取值范围;分析令cosx=t,)1,1(-∈t ,则由)2(cos )(-=x k x f 得)1(,012)1(22=-+-+k t k t 方程)2(cos )(-=x k x f 中的cosx 有两个不同的符号,等价于关于t 的方程1在)1,1(-∈t 有异号两根,设12)1(2)(2-+-+=k t k t t g ,则原问题又等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>-<0)1(0)1(0)0(g g g , 由此可得210<<k评注将未知的问题向已知的知识转化,并使未知和已知的知识发生联系,使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题;这种转化经常可达到事半功倍的效果;例如要求空间两条异面直线所成的角,只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角;又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题,再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等;二、数形之间的转化例3讨论方程()2|23|x x a a R --=∈的实数解的个数. 分析:此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数形结合来考虑看会怎么样 此题可转化为求函数2|23|y x x =--图象与函数y a =图象的交点个数的问题.解:作出函数2|23|y x x =--的图象,如右图所示,函数y a =为水平直线,由图形可知:当0a <时,解的个数是0; 当0a =或4a >时,解的个数是2; 当04a <<时,解的个数是4; 当4a =时, 解的个数为3;评注注意数形的相互转化,使数形达到和谐的统一,以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵,便于发现和解决实质问题;某些代数问题、三角问题,往往潜在着几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念,复杂的数量关系几何直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论;三、特殊与一般的相互转化在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，,顶点B 在椭圆221259x y +=上,则sin sin sin A CB+=_____．解析：这里顶点B 是椭圆上的动点,所以sin A 、sin B 、sin C 不易确定;但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为B 点在特殊位置椭圆短轴端点来处理较易;当然：注意到A 、C 是两焦点,利用正弦定理,进行数形转化也能取得很好的效果. 答案：顶点B取椭圆短轴端点,即(0,3)B ,则3sin sin cos25B A C ===,4sin 25B =,3424sin 2sin cos 2225525B B B ∴==⨯⨯=,sin sin sin A C B +∴=54点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用;问题A问题B问题A 的解答 问题B 的解答评注对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题,可先用特殊情形探求解题思路或命题结论,再在一般情况下给出证明,这不失为一种解题的明智之举;四、正与反的相互转化若下列方程：03442=+-+a ax x ,0)1(22=+-+a x a x ,a ax x 222-+=0中至少有一个方程有实根. 试求实数a 的取值范围.分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出反面情况时a 的范围,取所得范围的补集就是正面情况的答案.解：设三个方程均无实根,则有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆.0)2(44,04)1(,0)34(4162322221a a a a a a 解得.123.02,311,2123-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-a ••a •a a a 即或所以当231-≤-≥a a 或时,三个方程至少有一个方程有实根. 评注对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题,可先攻其反面,从而使正面问题得以解决;五、实际问题向数学问题的转化归结例6某厂家拟在2009年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+k 为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用．1将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；2该厂家2009年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大解：1由题意可知,当0=m 时,1=x ,∴13k =-即2=k ,∴231x m =-+,每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元.∴2009年的利润)168(]1685.1[m x x xx y ++-+⨯=m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m 2∵0m ≥时,16(1)21681m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=,当且仅当1611m m =++,即3m =时,max 21y =. 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.评注将实际问题转化为数学问题,使之能用数学理论解决具体的实际问题;解答数学应用问题;要善于调整应用题中的条件关系和题型结构,使问题化难为易,化繁为简;若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难,则可合理地设置间接未知数来设法进行转化,以寻求解决问题的新途径;练习1．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立,试求实数x 的取值范围; 2. 方程y =x 3–3x =a 有相异三个解,求a 的取值范围.3. 曲线y =1+24x - –2≤x ≤2与直线y =rx –2+4有两个交点时,实数r 的取值范围 .4. 为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱如图,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a 米,高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米,问当a 、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A 、B 孔的面积忽略不计5. fx 是R 上的奇函数,fx ＋2＝fx,当0≤x ≤1时,fx ＝x,则f 等于_____; A. 0.5 B. －0.5 C. D. －6.设fx ＝3x －2,则f-1fx 等于______; A. x +89B. 9x －8C. xD.132x -7. 若m 、n 、p 、q ∈R 且m 2＋n 2＝a,p 2＋q 2＝b,ab ≠0,则mp ＋nq 的最大值是______; A.a b+2 B. ab C. a b 222+ D. ab a b + 8. 如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2,那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______; A. 1 B. 2 C. 2 D. 59. 设椭圆y a22＋x b 22＝1 a>b>0的半焦距为c,直线l 过0,a 和b,0,已知原点到l 的距离等于2217c,则椭圆的离心率为_____; A.14 B. 12C. 33D. 2210. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直,SA ＝5,SB ＝4,SC ＝3,D 为AB 的中点,E 为AC 的中点,则四棱锥S-BCED 的体积为_____; A. 152B. 10C. 252D. 352化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. 参考答案1. 解:243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>令()g p =2(1)43x p x x -+-+,则要使它对04p ≤≤均有()0g p >,只要有(0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩ 3x ∴>或1x <-; 2. 解：.提示：f ′x =3x 2–3=3x –1x +1易确定f –1=2是极大值,f 1=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点.3. 解：解析：方程y =1+24x -的曲线为半圆,y =rx –2+4为过2,4的直线.4. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ,则由条件y =abkk ＞0为比例系数其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值,只须求ab 的最大值. 由①a +2b +1=32a ＞0,b ＞0且ab =30–a +2b应用重要不等式a +2b =a +2+2b +2–4≥124)22)(2(2=-++b a ∴ab ≤18,当且仅当a =2b 时等号成立 将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得aab +-=230, 记aaa ab u +-==2)30(0＜a ＜30则要求y 的最小值只须求u 的最大值.由22)2()2(64++-='a a u ,令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时,u ′＞0,当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aaa u +-=2)30(在a =6时取最大值,此时b =3.从而当且仅当a =6,b =3时,y =abk取最小值.5小题：由已知转化为周期为2,所以f ＝f ＝－f,选B ； 6小题：设fx ＝y,由互为反函数的值域与定义域的关系,选C ；7小题：由mp ＋nq ≤m p 222+＋n q 222+容易求解,选A ；8小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解,选A ； 9小题：ab ＝2217c×a b 22+,变形为12e 4－31e 2＋7＝0,再解出e,选B ； 10小题：由S ∆ADE ＝14S ∆ABC和三棱椎的等体积转化容易求,选A;。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
返回
返回
等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
返回
正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
返回
2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
返回
“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
例谈高考中的转化与化归思想
例谈高考中的转化与化归思想石家庄市第十九中学 岳儒芳转化与化归的思想，是指在解答问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．转化与化归思想的核心是把生题转化为熟题．其实，解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此解每一道题无论是难题还是易题，都离不开化归．诸如：化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化复杂为简单，化异为同等．在高考中，对化归思想的考查，总是结合演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，可以说高考每道题，都在考查化归意识与转化能力，可见该数学思想的重要性．转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．应用转化化归思想解题的原则应是：化难为易、化生为熟、化繁为简等 常见的转化有：抽象与具体的转化、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数不等式及方程的转化、一般与特殊的转化、数学语言的转化．一、抽象与具体之间的相互转化把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归.例1、（2004年浙江卷，理12）若)(x f 和)(x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能是（ ）A.512-+x x B ．512++x x C. 512-x D. 512+x分析：)(x f 和)(x g 都是定义在实数集R 上的抽象函数.本题直接解不容易，可化抽象为具体，令x x f =)(代入即可求出.解：令x x f =)(，则)()]([x g x g f =，)()]([x g x f g =，0)]([=-x g f x 有实数解，即0)(=-x g x 有实数解.这样很明显得出结论，B 使0)(=-x g x 没有实数解，选B.评注：这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型m y f x f y x f ++=+)()()(，对数函数型)()()(y f x f y x f +=⋅，幂函数型)()()(y f x f y x f ⋅=⋅.二、正难则反转化问题一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一．解题时，如果从正面入手思维受阻，那么，不妨从它的反面出发，逆向思维，寻找解题的思路．例2、（2005全国卷Ⅱ，理15）在由数字5,4,3,2,1,0所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_________个.分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.解：所有四位数有3003515=⋅A A 个，末位为0时有6035=A 个，末位为5时有482414=⋅A A 个，∴满足题意的数共有1924860300=--个.评注：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”.“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活使用，能使一些问题获得巧解.三、数与形的转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化． 例3、(2007年天津，理9)设c b a ,,均为正数，且c b a c b a 22121log )21(,log )21(,log 2===，则（ ）A ．c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<分析：这里要比较c b a ,,三个正数的大小，而由已知条件很难求出c b a ,,三个数的准确值．由已知条件可知c b a ,,分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题．解：在同一直角坐标系下画出函数xy 21=与x y )21(2=与x y 213log =及x y 24log =的图象（如图1所示），则a 表示的是函数x y 21=与x y 213log =交点的横坐标的值，同理有，b 表示的是函数x y )21(2=与x y 213log =交点的横坐标的值，c 表示的是函数xy )21(2=与x y 24log =交点的横坐标的值，则有c b a <<．故选A ．点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法．四、不等与相等的转化等与不等是数学中两个重要的关系，也是常见的两种关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．例4、（1997年全国，理14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->xxx x x 2233 0 的解集是( ) A ．}20{<<x x B. }5.20{<<x x C. }60{<<x x D. }30{<<x x分析：若直接解这个分式不等式，运算量很大．通过观察可看出，在所给的四个选项中，不等式左端的值相同，而右端的值不同．根据“不等式解的边界值就是相应方程的根”，可判断正确选项必定是方程xxx x +-=+-2233的根，然后把四个选项分别代入即可求出． 解：由以上推测，可知不等式解集的右边肯定不会是2，也不会是3，这样便排除A 、D ．正确答案只能在B 和C 中选取．下面把5.2=x 或6=x 代入方程xxx x +-=+-2233 进行验根可知6=x 是方程的根．故选C. 评注：根据不等式的解与方程根之间存在的对应关系，可把不等式解的问题可以转化为方程根的问题． 即把不等问题转化为相等的问题．五、整体与局部的转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始． 例5、（2007年福建，理22）已知函数R ∈-=x kx e x f x ,)(． （Ⅰ）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0>k ，且对于任意R ∈x ，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*N ∈+>⋅⋅⋅+n en F F F n n ．分析：（Ⅰ）求出)(x f 的导函数，易得)(x f 的单调区间；（Ⅱ）易知|)(|x f 是偶函数，于是0|)(|>x f 对任意R ∈x 成立可等价转化为0)(>x f 对任意0≥x 成立，进一步转化为)(x f 在),0[∞+上的最小值大于零，从而求出实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）由e k =得ex e x f x -=)(，所以e e x f x -=')(．由0)(>'x f 得1>x ，故)(x f 的单调递增区间是),1(∞+，由0)(<'x f 得1<x ，故)(x f 的单调递减区间是)1,(∞-．（Ⅱ）由|)(||)(|x f x f =-可知|)(|x f 是偶函数，于是0|)(|>x f 对任意R ∈x 成立等价于0)(>x f 对任意0≥x 成立．由0)(=-='k e x f x 得k x ln =． ①当]1,0(∈k 时，)0(01)(>≥->-='x k k e x f x ，此时)(x f 在),0[∞+上单调递增，故01)0()(>=≥f x f ，符合题意．)(x f ')(x f由此可得，在),0[∞+上，k k k k f x f ln )(ln )(-=≥．依题意，0ln >-k k k ，又1>k ，∴e k <<1．综合①，②得，实数k 的取值范围是e k <<0． （Ⅲ） x x e e x f x f x F -+=-+=)()()(，∴22)()(21212121212121)()(21+>++>+++=++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e x F x F ， ∴2)()1(1+>+n e n F F ，2)1()2(1+>-+n e n F F ，…, 2)1()(1+>+n e F n F ．由此得，n n e F n F n F F F F n F F F )2()]1()([)]1()2()][2()1([)]()2()1([12+>⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅+故*21,)2()()2()1(N ∈+>⋅⋅⋅+n en F F F nn ．评注：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（Ⅱ）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R 上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间),0[∞+上问题来讨论．六、空间与平面的转化事物的空间形式总是表现为不同维数，并且遵循由低维到高维的发展规律，通过降维转化，可以把问题由一个领域转化到另一个领域得到解决，这种问题在复数和立体几何中非常多．例6、（2009年陕西，理15）如图2，球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，．21=O O ，B A 、是圆1O 上 两点，B A 、两点间的球面距离为32π，则=∠B AO 1________． 分析：首先利用B A 、两点间的球面距离求出球心角AOB ∠，然后再求出弦AB 长，在B AO 1∆中，利用余弦定理即可求出．解：3232ππ===∠r l A O B ，则2==r AB ．2121O O OA A O -=2)2(222=-=，211==A O B O ，故有22121AB A O B O =+，所以21π=∠B AO ．评注：在立体几何中充满了化归与转化思想，最常用的有两类：一是通过平移或投影，把空间问题转化为平面的问题来处理；二是立体几何内部知识之间的相互转化，如线、面间的位置关系的判定．图2七、函数、不等式及方程的转化函数、不等式及方程之间有着密切的联系．在解决某些问题（如解不等式）时，可以利用这种联系，巧妙实现对问题的化归求解．例7、（2006年江西，理3）若0,0>>b a ，则不等式a xb <<-1等价于（ ） A ．01<<-x b或a x 10<< B ．b x a 11<<- C ．a x 1-<或b x 1> D ．bx 1-<或a x 1>分析：把不等式转化为函数，分别作出它们的图象，然后利用方程求出图象交点的横坐标，并看图写出结果．解：可令xy b y a y 1,,321===，在同一坐标系中分别作出这三个函数的图象（如图3所示）．通过观察可得x 的取值范围是ax b x 11>-<或．故选D ．评注：利用函数、不等式及方程三者之间的等价关系，先把不等式转化为函数，并画出它们的图象，然后根据不等式解集的意义，由不等式两端对应的函数的图象的高低及交点情况，确定未知数的取值范围．八、一般与特殊的转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．例8、（2007年江苏卷15）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点)0,4(-A 和)0,4(C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+B C A sin sin sin ___________． 分析：这里顶点B 是椭圆上的动点，所以C B A sin sin sin 、、不易确定．但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为B 点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易．当然：注意到C A 、是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果． 解：顶点B 取椭圆短轴端点，即)3,0(B ，则542sin ,532cossin sin ====B B C A ,∴ ==2cos 2sin 2sin BB B 252454532=⨯⨯,∴45sin sin sin =+B C A ． 评注：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用． 九、数学语言的相互转化数学语言是表达数学思想的专门语言，是进行数学思维和数学交流的工具．它具有抽象性，精确性，简约性，一义性，形式化等特点．数学语言分为符号语言、文字语言和图形语言，三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位．例9、（2004年全国I ，理6）设I B A 、、均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ）A.I B A C I = )(B. I B C A C I I =)()(C. ∅=)(B C A ID. B C B C A C I I I =)()(分析：将题设条件转化为图形语言，即画出韦恩图，即可求出. 解：将题设条件转化为图形语言，即构造图4，由图形逐一验证，得B 项不正确，故应选B.评注：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，便于将问题解决.图3IB图4A。
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
转化与化归思想
转化与化归思想作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第04期大家都熟悉曹冲称象的故事，把大象的重量转化为石头的重量以称出大象的重量.两千多年前，幼小的曹冲就有这样惊人的智慧，怎不叫人称赞.这个故事启发我们在现实生活中遇事要多动脑筋，经常锻炼自己的思维能力，使人变得越来越聪明.同时它也体现了数学中的一种重要的数学思想方法——转化与化归.解题常用的转化策略有：正与反的转化、空间与平面的转化、命题之间的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、函数与方程的转化等.因此，有关转化与化归的数学命题在高考试题中占有重要位置.■ 等价转化在数学中，存在着许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程.■ 若数列{an}满足■-■=d（n∈N？鄢，d∈R），则称数列{an}为调和数列. 已知数列■为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=_______.思路点拨本题为新定义题，但也不要被表象所迷惑，透过现象看本质，转化为我们熟悉的数列再做进一步破解. 注意此题中角色的变化，由数列■为调和数列，得到数列{xn}为等差数列是解题的关键.根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此就可以转化，然后利用等差数列的性质即可求解.破解已知数列{an}为调和数列，则■-■=d（n∈N？鄢，d∈R），也就是数列■为等差数列；现在数列■为调和数列，则数列{xn}为等差数列，那么由x1+x2+…+x20=200，根据等差数列的性质可得x1+x2+…+x20=10（x5+x16）=200，所以x5+x16=20.■ 已知函数f（x）=2x，等差数列{an}的公差为2. 若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log■[f （a1）·f（a2）·f（a3）·… ·f（a10）]=________.思路点拨仔细分析题目，由题目中的已知条件很容易求得a2+a4+a6+a8+a10的值，而所求log■[f（a1）·f（a2）·f（a3）·…·f（a10）]可以转化为等差数列{an}的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，从而求解.破解由f（x）=2x和f（a2+a4+a6+a8+a10）=4知a2+a4+a6+a8+a10=2，log■[f（a1）·f（a2）·f（a3）·…·f（a10）]=log■f（a1）+log■f（a2）+…·+log■f（a10）=a1+a2+a3+…+a10=2（a2+a4+a6+a8+a10）-5×2=-6.本题将所求对数值的运算转化为数列的相关计算，大大地节省了时间，提高了做题的效率. 再则，把等差数列{an}的前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，减少了计算量.■？摇1. 若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上有两个不同的解，则实数a的取值范围是_______.2. 函数f（x）=■+■的最小值为_______.■ 正与反的转化如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决. 如证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现（如不存在、不相交等），并伴有“至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化. 反证法是数学解题中逆向思维的直接体现.■ 已知0思路点拨题目对f（f（x0））的性质给出太少，直接证明所给命题有困难，所以可以考虑其反面情况，用反证法来证明. 增加反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了条件. 但是反设中有两种情况，必须逐一否定，否则证明便不完整.破解假设f（x0）≠x0，则必有f（x0）>x0或f（x0）x0≥1，由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（f（x0））>f（x0），又f（f（x0））=x0，所以x0>f（x0），与假设矛盾；若x0>f（x0）≥1，则f（x0）>f（f（x0）），又f（f（x0））=x0，所以f（x0）>x0也与假设矛盾.综上所述，当x0≥1，f（x0）≥1且f（f（x0））=x0时，有f（x0）=x0.■ 设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明：数列{cn}不是等比数列.思路点拨观察到命题的结论呈否定形式，故可考虑用反证法来证明.在用反证法时，要做到以下几点：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论. 利用反证法引出矛盾的结论，从而说明假设错误，肯定原命题成立.破解设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn=an+bn. 假设{cn}是等比数列，则只需证明c■■=c1·c3. 由于c■■=（a1p+b1q）2=a■■p2+b■■q2+2a1b1pq，而c1·c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=a■■p2+b■■q2+a1b1·（p2+q2），从而需证明2a1b1pq=a1b1（p2+q2）. 而a1b1≠0，故需证明p2+q2=2pq，即p=q，这与已知p≠q相矛盾. 因此假设不成立，故{cn}不是等比数列.■1. 已知函数f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内至少有一个零点，则实数a的取值范围是________.2. 试求常数m的值，使曲线y=x2的所有的弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分.■ 数与形的转化数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题更容易得到解决.■ 若不等式■≤k（x+1）的解集为区间[a，b]，且b-a=1，则k=______.思路点拨如果直接解不等式，那么计算过程会比较麻烦；而如果把原不等式的两边分别看做两个不同的函数（直线y=k（x+1）和半圆y=■），按照不等式中的大小关系，那么可将原不等式看做函数图象的上下问题. 从而对照直线y=k（x+1）的图象在半圆y=■之上且区间长度为1时，即可求得k的值.■图1破解如图1，由数形结合，直线y=k（x+1）过定点（-1，0），当直线y=k（x+1）的斜率k0时，半圆y=■的右边部分必在直线的下方，则必有b=2，且b-a=1，那么只能a=1. 所以直线y=k（x+1）过点（1，■），则k=■.■ 已知不等式（2x-1）2思路点拨？摇如果本题从不等式的角度去考虑求解，过程将比较烦琐. 如果画出函数f （x）=（2x-1）2，g（x）=ax2（a>0）的大致图象（如图2所示），通过数形结合，把所求不等式中字母a的问题，化归为两个二次函数在几个关键值处的大小问题，则来得相对简便. 从图象上可以看到，要使不等式成立，必须a>0，而且满足不等式（2x-1）2■图2破解由图可得f（3）■1. 当0≤x≤1时，不等式sin■≥kx成立，则实数k的取值范围是_？摇__.2. 设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=lg（3a-ax-x2）总有意义，则实数a的取值范围是__________.■ 函数与方程的转化函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法.一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答.■ 若已知方程■sinx+cosx=a在x∈[0，2π]上有两个不同的实数解x1，x2，求a的取值范围，以及此时x1+x2的值.思路点拨利用方程的思想，a的取值范围即为函数y=■sinx+cosx在x∈[0，2π]的图象与直线y=a有两个交点时的范围.因此，可采用数形结合的方法求解.破解设f（x）=■sinx+cosx=2sinx+■，x∈[0，2π]，令t=x+■，则y=2sint，且t∈■，■π. 在同一坐标系中作出y=2sint与y=a的图象（如图3）. 从图象上可看出，当1■图3综上所述，a的取值范围是（-2，1）∪（1，2）. 当a∈（1，2）时，x1+x2=■；当a∈（-2，1）时，x1+x2=■.■1. 若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）-g（x）=ex，则有（）A. f（2）B. g（0）C. f（2）D. g（0）2. 设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时，a的取值集合为_______.■ 空间与平面的转化■ 如图4，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）■图4■A B■C D思路点拨本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由MN与平面BB1D1D垂直，可以把MN向平面ABCD内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成求解.破解设正方体的棱长为a，由图形的对称性知P点始终是MN的中点，而且随着P点从B 点向BD1的中点滑动，y值逐渐增大到最大；再由中点向D1点滑动，而逐渐变小，排除A，C. 把MN向平面ABCD内正投影得M′N′，P向平面ABCD内正投影得P′，则M′N′=MN=y. 由于■=■=■=■（此处设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a），所以BP′=■x，所以当x≤■a时，MN=y=2BP′=■x为一次函数，故选B.■？摇一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1=kV2，则kmin=_________.■ 变量与常量的转化在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元. 由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的，但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.■ 设y=（log■x）2+（t-2）·log■x-t+1，若t在[-2，2]上变化时，y恒取正值，求x的取值范围.思路点拨本题中，如果把y看做x的函数，则该题就是一个有限制条件的定义域问题，解法较为复杂.由于t在[-2，2]上变化，所以如果转换思维角度，把y看做t的函数，则y就是关于t的一次函数或常数函数. 原命题转变为“关于t的函数y，当自变量t在[-2，2]上变化时，y恒大于零，求字母x的取值范围”，这样解起来就比较便捷了.破解设y=f（t）=（log■x-1）t+（log■x）2-2log■x+1，则f（t）为一次函数或常数函数.当t∈[-2，2]时，f（x）>0恒成立，则f（-2）>0，f（2）>0，即（log2x）2-4log■x+3>0，（log2x）2-1>0，解得log■x3. 所以08，所以x的取值范围是0，■∪（8，+∞）.■已知函数f（x）=x2+ax+1，当a∈[0，2]时，f（x）>0恒成立，求实数x的取值范围.■ 抽象与具体的转化在解一些函数问题时，如果没有具体的函数解析式，不能套用函数的性质，那么要想办法把抽象问题具体化，得到该函数能具有哪些性质，以用来解决问题.■ 设f（x）定义在实数集R上，当x>0时，f（x）>1，且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）·f（y），同时f（1）=2，解不等式f（3x-x2）>4.思路点拨由于指数函数有类似f（x+y）=f（x）·f（y）的性质a■=ax·ay，所以猜想模型函数为f（x）=ax（a>0，a≠1）. 由f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，则将不等式化为f（3x-x2）>f（2），只要证明了f（x）的单调性，利用函数单调性解出不等式即可.破解由f（x+y）=f（x）·f（y）中取x=y=0，得f（0）=f（0）2. 若f（0）=0，则令x>0，y=0，则f（x）=0，与x>0时，f（x）>1矛盾. 所以f（0）=1.当x>0时，f（x）>1>0；当x0，f（-x）>1>0，而f（x）·f（-x）=1，所以f（x）=■>0. 又f（0）=1，所以x∈R，f（x）>0.设x1，x2∈R且x10， f（x2-x1）>1，f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）=f（x1）f （x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0.所以y=f（x）在R上为单调增函数.又f（1）=2，所以f（3x-x2）>f（1）·f（1）=f（1+1）=f（2）.由f（x）的单调性可得3x-x2>2，解得1■1. 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f （x）-y（2x-y+1）成立，则f（x）=_______.2. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，则函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数f -1（x）的值f -1（19）等于_______.■ 换元的转化对结构较为复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，通过适当的引入新变量（换元），往往可以简化原有结构，使其转化为便于研究的形式. 常用的换元法有代数代换、三角代换、整体代换等. 在应用换元法时要特别注意新变量的取值范围，即代换的等价性.■ 已知实数x，y满足■+■=1，若x+y-k>0恒成立，求k的取值范围.思路点拨由已知条件■+■=1，可以发现它与a2+b2=1有相似之处，于是实施三角换元.破解由■+■=1，设■=cosθ，■=sinθ，即x=1+3cosθ，y=-1+4sinθ，代入不等式x+y-k>0得3cosθ+4sinθ-k>0，即k利用三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数取值范围.一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.■ 已知a∈R，求函数y=（a-sinx）（a-cosx）的最小值.思路点拨？摇把函数y=（a-sinx）·（a-cosx）展开后，可以观察到该函数是关于sinx·cosx 与sinx+cosx的三角函数式，因此可以把sinx+cosx看做一个量，把该问题转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题.破解设t=sinx+cosx，则t=■·sinx+■，其中t∈[-■，■]. 而sinx·cosx=■[（sinx+cosx）2-1]=■·（t2-1），所以y=f（t）=a2-a（sinx+cosx）+sinx·cosx=a2-at+■（t2-1）=■t2-at+a2-■=■（t-a）2+■a2-■，t∈[-■，■].①若-■≤a≤■时，当t=a，f（t）min=■a2-■；②若a>■时，f（t）在[-■，■]上单调递减，f（t）min=f（■）=a2-■a+■；③若a■设a为实数，若记函数f（x）=a■+■+■的最大值为g（a），求g（a）.■ 分离变量的转化在题中若要求一个参数的取值范围，通常把该参数分离出来单独放在一边，而只求剩下的式子的最值问题.■ 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0，■成立，则a的最小值为________.思路点拨要求a的最小值，需要求出a的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较烦琐；若把字母a单独分离出来，放于不等式的一边，则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或取值范围，可以求得字母a的取值范围.破解因为x∈0，■，所以可以把不等式x2+ax+1≥0化为a≥ -x+■. 设f（x）=x+■，x∈0，■. 因为f（x）=x+■在x∈0，■上单调递减，所以f（x）≥■，？摇-x+■≤ -■. 要使不等式a≥-x+■对一切x∈0，■成立，则a≥-■，所以a的最小值为-■.■设函数f（x）=x2-1，对任意x∈■，+∞，f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是_____.■ 构造法的转化为了解决某些较为复杂的数学问题，通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、方程、函数、模型等，以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，叫做构造法. 它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想.■ 已知x，y∈R，且2x+3y>2-y+3-x，那么（）A. x+y0C. x·y0思路点拨？摇已知不等式两边都含有x，y两个变量，所以先移项，把不等式转化为2x-3-x>2-y-3y，即2x-3-x>2-y-3-（-y），这样不等式的两边都只含有一个变量了.再构造辅助函数f（x）=2x-3-x，把不等式问题化归为函数单调性问题.破解因为函数y=2x，y=-3-x均为R上的增函数，所以f（x）=2x-3-x是R上的增函数. 不等式2x-3-x>2-y-3-（-y）即f（x）>f（-y），所以x>-y，即x+y>0，故选B.■在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，如图5所示，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是（）A. ■πa2B. ■πa2C. 3πa2D. ■πa2■图5■ 特殊化的转化解答数学题除了常规的直接法以外，还有其他一些事半功倍的方法.如果在解题活动中能够发挥方法沟通上的灵活性，采取一些特殊值来“投机取巧”从而求得结果，不但可以提高解题的速度和效率，还可以使一些难以解决的问题“起死回生”.■ 已知■=1，■=■，■·■=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°. 设■=m■+n■（m，n∈R），则■等于（）A.？摇■B.？摇3C. ■D.？摇■思路点拨本题若按照通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把■=m■+n■两边平方后，得到m，n的关系式，从中求出■，比较烦琐. 现在若把m，n特殊化，如取m=1，则AC∥OB.由■=1，∠AOC=30°，OA⊥AC得■=■，所以n=■，则■=3，由此判断选择支A、C、D错误，故B正确.■1. 对于0①loga（a+b）②log■（a+b）>log■a+■；③b■④b■>b■.其中成立的是________. （填所有成立的不等式的序号）？摇2. 已知奇函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α+β>0，β+γ>0，γ+α>0，则f（α）+f（β）+f（γ）______0. （填大小关系）化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和熟悉解题技能、技巧.■ 参考答案1 等价转化1. cos2x+4asinx+a-2=1-2sin2x+4asinx+a-2=-2sin2x+4asinx+a-1.令t=sinx，t∈[0，1]，则原题转化为方程-2t2+4at+a-1=0在[0，1]上有两个根. 令f（t）=-2t2+4at+a-1，由二次函数图象可知Δ>0，f（0）≤0，f（1）≤0，02. 由已知得f（x）=■+■=■+■，设A（2，3），B（6，1），P（x，0），则上述问题转化为求PA+PB的最小值. 如图6，点A关于x轴对称的点为C（2，-3），因为PA+PB=PC+PB≥BC=4■，所以f（x）的最小值为4■.2 正与反的转化1. 函数f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内没有零点？圳4x2-ax+1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，a≠4x+■.？摇而当x∈（0，1）时，4x+■≥2■=4，得4x+■∈[4，+∞）. 要使a≠4x+■，必有a2. 设抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=m（x-3）对称，AB的中点为M（x0，y0），y1=x■■，y2=x■■. 直线AB的斜率k=■=x1+x2=2x0= -■，所以x0=-■，所以y0=m（x0-3）= -■-3m，所以M-■，-■-3m. 而点M必在抛物线的内部，所以-■-3m>-■■，所以（2m+1）（6m2-2m+1）3 数与形的转化1. 作出y■=sin■与y■=kx的图象（如图7），要使不等式sin■≥kx成立，由图可知须k≤1.■图72.不等式可化成a>h（x）=3-x+■-6，只要求出h（x）=3-x+■-6的最大值即可.设t=3-x，t∈[1，5]，h（t）+6的图象如图8所示，可知h（t）+6的最大值为10，则h（t）的最大值为4，故a>4.■图84 函数与方程的转化1. 要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的f（x），g（x）都未知，只有一个等式，这就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用替换，从而得到两个方程组成的方程组，解出即可.因为f（x）-g（x）=ex，用-x替换x得：f（-x）-g（-x）=e-x. 因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（x）+g（x）=-e-x，又f（x）-g（x）=ex. 解得：f （x）=■，g（x）=-■. 而f（x）单调递增且f（0）=0，所以f（3）>f（2）>0，而g（0）=-1，故选D.2. 题目给出的方程中含有x，y，a，c等多个字母，而条件中是对任意的x∈[a，2a]都有y∈[a，a2]，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y的函数，再进一步研究函数的性质. 由已知logax+logay=c，得y=■（其中x∈[a，2a]），函数为反比例函数，在[a，2a]（a>1）上单调递减，所以当x∈[a，2a]时，y∈■，a■. 又因为对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]，所以■≥a，a■≤a2■？圯c≥2+loga2，c≤3.因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}.5 空间与平面的转化记内切球的半径为r，则圆柱的体积V2=πr2·2r=2π·r3. 对于圆锥取轴截面，如图9，则圆锥的高h=■+r，圆锥的底面半径为R=h·tanθ=■+r·tanθ=■·r，所以V1=■πR2h=■πr3■.所以k=■=■·■=■·■=■·■.令t=1+sinθ，θ∈0，■，则k=■·■，t∈（1，2），所以■=6·-2■■+3·■-1，则■■=■，所以kmin=■.■图96 变量与常量的转化若视a为主元，x为辅元， f（x）即可转化为g（a）=xa+x2+1.当x=0时，g（a）=1>0恒成立；当x≠0时，g（a）是关于a的一次函数，所以当a∈[0，2]时f（x）>0恒成立等价于g（0）>0，g（2）>0，即x2+1>0，x2+2x+1>0，所以x的取值范围为{xx∈R，x≠-1}.7 抽象与具体的转化1. 因为对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，令x=0可得， f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，所以f（x）=x2+x+1.2. 由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为T=4，所以x∈[0，2]时，x+4∈[4，6]，所以f（x）=f（x+4）=2■+1. 又函数f（x）为偶函数，所以x∈[-2，0]时-x∈[0，2]，则f（x）=f （-x）=2■+1.令f（x）=2■+1=19，解得x=4-log218=3-2log23，从而f -1（19）=3-2log23.8 换元的转化令t=■+■，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1. 因为t2=2+2■∈[2，4]，且t≥0 ①，所以t∈[■，2].由①得：■=■t2-1，所以m（t）=a■t2-1+t=■at2+t-a，t∈[■，2]. 由题意知g（a）即为函数m （t）=■at2+t-a，t∈[■，2]的最大值，注意到直线t=-■是抛物线m（t）=■at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：①当a>0时，函数y=m（t），t∈[■，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t=-■②当a=0时，m（t）=t，t∈[■，2]，所以g（a）=2.③当a综上所述：g（a）=a+2，a>-■，-a-■，-■9 分离变量的转化依据题意得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈■，+∞上恒成立，即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立.当x=■时函数y=-■-■+1取得最小值-■，所以■-4m2≤-■，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-■或m≥■.■ 构造法的转化本题若只从题设条件入手，不易确定PA，PB，PC与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算. 若类比我们熟悉的球与多面体的组合体，则可以联想到球的内接正方体. 将PA，PB，PC看做正方体顶点P处的三条棱，正方体的体对角线就是球的直径. 通过类比，确定了球心及半径与已知条件的关系，把问题转化为球的内接正方体问题.所以球的半径r=■a，球的表面积S=4πr2=3πa2. 故选C.■ 特殊化的转化1. ②④2. f（α）+f（β）+f（γ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
功的思维方式.常见的转化方法有：
(1) 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、
基本公式或基本图形问题.
(2) 换元法：运用 “ 换元 ” 把式子转化为有理式或
使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问
题转化为易于解决的基本问题.
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式)与 空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
(8) 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易
于确定.
(9) 参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形
式进行解决.
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原 问题的结果看做集合 A，而把包含该问题的整体问 题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
(4)等价转化法：把原问题转化为一殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变 为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问
题是转化方法的一个重要途径.
热点分类突破
热点一
热点二 热点三
特殊与一般的转化
函数、方程、不等式之间的转化 正难则反的转化
热点一
特殊与一般的转化
例 1 (1)AB 是过抛物线 x ＝4y 的焦点的动弦，直线
2
l1，l2 是抛物线两条分别切于 A，B 的切线，则 l1，l2 的交点的纵坐标为( A.－1 B.－4 ) 1 C.－ 4 1 D.－ 16
解析
根据题意，所求数值是一个定值，
故可利用满足条件的直角三角形进行计算.
令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，
4 且 cos A＝ ，cos C＝0， 5
4 ＋ 0 cos A＋cos C 5 4 代入所求式子，得 ＝ ＝ . 4 5 1＋cos Acos C 1＋ × 0 5 4 答案 5
99 答案 2
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单 .
思 特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度 维 把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的 升 华 效果.
变式训练1
(1) 在△ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， 若a、b、c成等差数列，则
cos A＋cos C ＝________. 1＋cos Acos C
3
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学
问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的
转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题
的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向
数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转
化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内 容和解题过程中．
1.转化与化归的指导思想
＝
1 99 f ＋f 100 100
＋
2 98 f ＋f 100 100
＋ „ ＋
49 51 50 1 99 f ＋f ＋f ＝1×49＋ ＝ . 2 2 100 100 100
(2) 已知函数 f(x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的
偶函数，且对任意实数 x 都有 xf(x ＋ 1) ＝ (1 ＋ x)f(x) ， 则
5 f 2
＝________.
解析
因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，
fx＋1 1＋x 所以 ＝ ， x fx
使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)，
解析
找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝
1，则A(－2，1)，B(2,1)，
过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.
同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0，
则l1，l2的交点为(0，－1).
答案 A
1 a (2)已知函数 f(x)＝ x (a>0 且 a≠1)，则 f ＋ 100 a＋ a 2 99 f ＋„＋f 的值为________. 100 100
x
解析 由于直接求解较困难，可探求一般规律，
a a a a ∵f(x)＋f(1－x)＝ x ＋ 1－x ＝x ＋ x a ＋ a a ＋ a a ＋ a a＋ a a
a＋ a a a ＝ x ＋ ＝ 1， x＝ x a ＋ a a＋ a a ＋ a
x x
x
1－x
x
1 2 99 ∴f ＋f ＋„＋f 100 100 100
的不等式(a b)⊗x<0 的解集为{x|1<x<2}，则关于 x 的 不等式(b a)⊗x<0 的解集为( A.(1,2)
其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，
可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx，
5 f ＝0. 2
经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则
答案 0
热点二
函数、方程、不等式之间的转化
2 例 2 (1)定义运算：(a b)⊗x＝ax ＋bx＋2，若关于 x
专题28
转化与化归思想
转化与化归思想
思想方法概述
热点分类突破
真题与押题
思想方法概述 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得 到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题．
(1)把什么问题进行转化，即化归对象.
(2)化归到何处去，即化归目标.
(3)如何进行化归，即化归方法.
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，
思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一
种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，