3 投影变换

X1⊥ad
作图过程：
b
●
● ●
★ 在平面内取一条 正平线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
a
c b d c
V X H
a
3.2 变换投影面法
三、换面法的六个基本问题
5.投影面垂直面
b
投影面平行面
V X H
a
c c b c1 △ ABC 的实形
X1∥abc
a a1 b1
1.点的一次变换
V1 V
换 V面
a 1

a

a

V X H
A

ax ax1
a
a1

ax
X

ax1

a
X1
一般规律
1) 点的新投影和不变投影的连线⊥新投影轴。
2)点的新投影到新投影轴的距离=被代替的投影 到原投影轴的距离。
3.2 变换投影面法 二、变换投影面法的基本规律
1.点的一次变换
X
a
X1
a
a1
α
b1 AB实长
新投影轴的位置？X1∥ab
3.2 变换投影面法 三、换面法的六个基本问题
1．一般位置直线 投影面平行线 例2：求直线AB的实长及与V面的夹角 。
a1 a β AB实长 b1
X
V H
b
新投影轴的位置？
X1∥ab
a
b
3.2 变换投影面法 三、换面法的六个基本问题
a1
a k1 c1 b1 k2 ' a2'b2' b a k AB∥ H1
A 距离 B
k' c
X V H
c2 '
K
k2' a2'b2'
V2
c
b
a1
k1
b1
c2'
C
c1
X2
[例2］求△ABC和△ABD之间的夹角。
a c
V X H
分析 d 把直线AB变换成投影面 的垂直线 几次换面 两次
b c a
换 V面
a 1

a

a

V X H
A

ax ax1
a
a1

ax
X


ax1
X1
a
V 旧投影体系 X— H A点的两个投影：a,a V1 新投影体系 X1 — H A点的两个投影：a, a1
新旧投影之间的关系
1) aa1 X1 2) a1 ax1= aax
3.2 变换投影面法 二、变换投影面法的基本规律
a
n
n k b
c
VX H
d a
●
c
m
[例2] 求两直线AB与CD的公垂线 。
f a c X V H f a c b ed d1' c2 e2 d2
EF ⊥AB AB ⊥ H
b e
d
E D
C
A
d
e
c
F B
f ab
EF∥H
c1 '
e1 ' f1 '
f2 a2b2
EF ⊥CD EF ∥H
3.2 变换投影面法
三、换面法的六个基本问题
先换H面, 再换V面 先换V面, 再换H面 [例] 求△ABC的实形。 a b
● ●
6.一般位置平面 投影面平行面 投影面垂直面 b
2●
●
a2
实形
●
c2
X2∥a1b1c1
d
c b
●
X V H
a
X1⊥ad
d
c
[例 ] 1] 求点 C点作直线 到直线AB 的距离。 [例 过C CK 与直线AB正交。
线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 c V a
A
V1
C
c1 a1 d1 b1
X1
在平面内取一条投影面 平行线。 AD⊥V1
b
D B
AD⊥X1
AD∥H
ad ⊥X1

X
c d
a
b
3.2 变换投影面法
三、换面法的六个基本问题 4. 一般位置平面 投影面垂直面 例：求平面 △ABC对 H面的倾角α1 。
b o1 o2 a1
o1
b2
b
o2
三、旋转法 —— 绕垂直于投影面的轴旋转
4、旋转法的六个基本问题 （4）一般位置平面 → 投影面垂直面
b’ n’
X V H
b1’ o’
c’n1’
α1 o’ b a1’
a’
n a
o c b1
n1
cn1 ⊥ X
求平面的α 1角
a1
三、旋转法 —— 绕垂直于投影面的轴旋转
4、旋转法的六个基本问题 （5 （需两次旋转） 4）投影面垂直面 6 ）一般位置平面 → 投影面平行面 投影面垂直面
b’ n’
X V H
b1’ c’
a2’b2’c2’∥ X
c1’n1’
a1’ c1 c2
a’
b n a c b1
α1
a2’
c2’
b2’
b2
n1 a1
c1n1 ⊥ X
a2
△ ABC 的实形

V X H
ax
a ax1
a1
ax2
3.2 变换投影面法 三、换面法的六个基本问题
1．一般位置直线 投影面平行线 反映直线的实长和对投影面的倾角
3.2 变换投影面法 三、换面法的六个基本问题
1．一般位置直线 投影面平行线 空间分析： 用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，
AB//V1。 b
a1
X
V H
o
a o
X
V
H
o b o a
a1
b b1
b
o
4、旋转法的六个基本问题 （需两次旋转） （3）一般位置直线 → 投影面垂直线
o1 a a
V X H
a2 b
o1
o2 a1 b2 o2
b
o1 a o1
o2
b1
X
V H
o2
a2 b1 a
●
●
其水平投影作圆周运动； 正面投影作直线运动。
3.3 旋 转 法 三、直线和平面的旋转规律
1）“三同”旋转规律： （（ 2）在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后的 绕同一根轴，按同一方向，旋转同一角度 形状和大小不变，与该投影面的倾角不变。
o a1 b1 o a b a b b o c c1
c a b
V XH
d
在平面内取一条投影面 平行线。
作图过程：
★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
α1
a c d
●
b
X1⊥ad
b1
a1d1
●
●
c1
3.2 变换投影面法
三、换面法的六个基本问题 4. 一般位置平面 ABC 投影面垂直面 ［例］求平面△ 对V面的倾角1。
3.1 投影变换的方法 3.2 变换投影面法 3.3 旋转法 本章小结
概述
一般位置的直线，其投影不反映实长。 一般位置的平面，其投影不反映实形。 特殊位置的直线和平面，其投影反映 真实形状和大小，同时也具有积聚性。
3.1 投影变换的方法
一般位置 投影变换 特殊位置：有利于解题
投影变换的方法：
1、变换投影面法(换面法) 空间几何元素的位置保持不动，而建立新的 投影面体系。
V V1 B A
X
b
a a1
X V
b1
H
a
b
b
a
X1
a
新投影轴的位置？X1∥ab
3.2 变换投影面法 三、换面法的六个基本问题
换H面行吗？
不行！ 1．一般位置直线 投影面平行线 作图： 例1：求直线AB的实长及与H面的夹角 。 b
b
V V1
a b
B
A
b1
X
a
V H
a1
b
5、旋转法的应用实例 a2 b2 ⊥ X [例］求△ ABC 和△ ABD 之间的夹角。 a2
a c d
X
V
c1
a1 c2 d2 b2 c2
b c a d b
b1 c1
d1
H
b1
a1
d1
a2 θ b2 d2
a1b1∥X
ef⊥cd
3.3 旋 转 法
一、旋转法的基本概念 保持原投影面体系不动，将空间几何 元素绕某个选定的轴旋转。 正垂轴 或铅垂轴
3.3 旋 转 法 二、点旋转时的投影变换规律
点绕铅垂轴旋转
o
●
点绕正垂轴旋转
●
a
a
a1
●
o ●
R
θ
●
a1
X
V H
o
X
V H
a●
R
o θ o
● ●
a1
a a1 o 其正面投影作圆周运动； 水平投影作直线运动。
V

换 H面

a
a

ax1

a 1
ax1
V X H
a1
A
ax

ax
X


a
a
V X— 旧投影体系 H A点的两个投影：a,a
V 新投影体系 X1 — H1 A点的两个投影：a1,a
3.2 变换投影面法 二、变换投影面法的基本规律
1.点的一次变换 求新投影的作图方法