高中数学：新同步课堂人教B全国通用版必修一课时分层作业6 函数

课时分层作业(六)
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6
D ．x ＝y
A [对于选项A ，若x ＝5，则y ＝±2，不满足函数定义中的唯一性．] 2．下列四组函数中表示同一函数的是( )
【导学号：60462073】
A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2
C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |
D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x
C [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴
D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]
3．已知函数y ＝1－x
2x 2－3x －2，则其定义域为( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤－12，1 D [要使式子1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎨⎧
1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤1，x ≠2且x ≠－12，
所以x≤1且x≠－1
2，即该函数的定义域为⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－∞，－
1
2∪⎝
⎛
⎦
⎥
⎤
－
1
2，1.]
4．下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是()
A．(0,5)∪(10，＋∞)
B．[0,5)∪(10，＋∞)
C．(5,0]∪[10，＋∞)
D．[0,5]∪(10，＋∞)
B[根据区间的定义可知数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}可以用区间[0,5)∪(10，＋∞)表示．故选B.]
5．函数f(x)＝
1
1＋x2
(x∈R)的值域是()
A．[0,1]B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1)
C[∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜1
x2＋1
≤1，
∴值域为(0,1]．]
二、填空题
6．用区间表示下列数集：
【导学号：60462074】
(1){x|x≥0}＝________.
(2){x|1≤x≤3}＝________.
(3){x|x＞1，且x≠2}＝________.
[答案](1)[0，＋∞)
(2)[1,3]
(3)(1,2)∪(2，＋∞)
7．已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
若f (g (x ))＝2，则x ＝________. 1,2,4 [由f (g (x ))＝2，得g (x )＝1或3， 当g (x )＝1时，x ＝1；当g (x )＝3时x ＝2或4.]
8．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋f (x －1)的定义域是
________．
(0,2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
－1<x 2<1，－1<x －1<1，
即⎩⎨⎧
－2<x <2，
0<x <2.
从而0＜x ＜2， 于是函数g (x )的定义域为(0,2)．] 三、解答题
9．求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋1＋3－4x ； (2)y ＝
1
|x ＋2|－1
.
[解] (1)由已知得⎩⎨
⎧
2x ＋1≥0，
3－4x ≥0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－12，x ≤3
4，
∴－12≤x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，34.
(2)由已知得：
∵|x ＋2|－1≠0，∴|x ＋2|≠1，即x ≠－1，－3，
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝3－x ＋
1
x ＋2
的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }. 【导学号：60462075】
(1)求集合A ；
(2)若A ⊆B ，求a 的取值范围；
(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∁U A 及A ∩∁U B . [解] (1)由已知得⎩⎨⎧ 3－x ≥0，x ＋2>0，所以⎩⎨⎧
x ≤3，x >－2，
－2<x ≤3，函数f (x )的定义域为(－2,3]， 即A ＝(－2,3]．
(2)因为A ＝{x |－2<x ≤3}， B ＝{x |x <a }且A ⊆B ， 所以a >3.
所以a 的取值范围是(3，＋∞)． (3)因为U ＝{x |x ≤4}， A ＝{x |－2<x ≤3}，
所以∁U A ＝(－∞，－2]∪(3,4]． 因为a ＝－1，所以B ＝{x |x <－1}， 所以∁U B ＝[－1,4]， 所以A ∩∁U B ＝[－1,3]．
[冲A 挑战练]
一、选择题
1．已知函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，那么集合{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]}∩{(x ，y )|x ＝1}中元素的个数为( )
A ．1
B ．0
C ．1或0
D ．1或2
C [这里给出了函数y ＝f (x )的定义域是[a ，b ]，但未明确给出1与[a ，b ]的关系，当1∈[a ，b ]时有1个交点，当1∉[a ，b ]时没有交点，故选C.]
2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( )
A ．－1
4 B ．14 C ．32
D ．－32
A [由题知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－1＝2x ＋3，且f (m )＝6，令x 2－1＝m ，则x ＝2＋2m ，
则f (m )＝2(2＋2m )＋3＝7＋4m ＝6， 解得m ＝－1
4.]
二、填空题
3．已知f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.
【导学号：60462076】
2m ＋n [∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，
∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .] 4．已知函数f (x )＝
2x ＋1
x －2
，则f (x )的值域为________． (－∞，2)∪(2＋∞) [f (x )＝2x ＋1x －2＝2(x －2)＋5x －2＝2＋5
x －2
. ∵x ≠2，∴5
x －2
≠0. ∴f (x )≠2.
所以f (x )的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．] 三、解答题
5．已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2
.
【导学号：60462077】
(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14的值；
(2)由(1)的计算猜想关于f (x )的一个性质，并证明；
(3)根据第(2)题的猜想，请计算f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＋…＋f (2 018)＋
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12 018的值． [解] (1)f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12
＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝45＋1
5
＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝910＋110
＝1.
f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＝421＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1421＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1617＋117
＝1.
(2)猜想：当x ≠0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝1.
证明如下：
f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝x 2＋11＋x 2
＝1.
(3)由f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1及f (1)＝121＋12＝12可得f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13＋…＋
f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝1
2＋1×2 017＝2 01712.。