2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第二章 第十节函数与方程 文.doc.doc

2019-2020学年高考数学总复习基础知识第二章第十节函数与方

程文

1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

知识梳理

一、函数的零点

1．定义：一般的，如果函数y＝f(x)在________________，即f(a)＝0，则__________叫做这个函数的零点．

2．函数的零点存在性定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是________，并且在______________，即__________________，则函数y＝f(x)在________________，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根．

3．函数的零点具有下列性质：当它________(不是偶次零点)时函数值________，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

二、二分法

1．定义：对于区间[a，b]上图象连续不断的，且f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．

2．用二分法求函数零点的近似值的步骤．

第一步：________________________________________

第二步：________________________________________

第三步：________________________________________

(1)若_________，则x1就是函数f(x)的零点；

此时零点x0∈(a，x1)；

(2)若________________，则令b＝x1[]

此时零点x0∈(x1，b).

(3)若________________，则令a＝x1[]

第四步：判断是否达到精确度ε，即若________，则得到零点近似值a (或b )．否则，重复第二、三、四步．

注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果，所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算；

(2)二分法的条件f (a )·f (b )<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 三、一元二次方程根的分布问题

关键是抓住方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑．

二次方程f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件：

(1)方程f (x )＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0；

(2)二次方程f (x )＝0的两根都大于r ⇔⎩⎪⎨⎪⎧

Δ＝b 2－4ac >0，

－b

2a >r ，

a ·f (r )>0；

(3)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内有两根⇔⎩⎪⎨⎪⎧

Δ＝b 2－4ac >0，

p <－b 2a

a ·f (q )>0，a ·f (p )>0；

(4)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0或f (p )＝0或f (q )＝0，检验另

一根在(p ，q )内成立．

一、1.实数a 处的值等于零 a

2.连续不间断的 区间端点的函数值符号相反 f (a )·f (b )<0 区间(a ，b )内至少有一个零点

3.通过零点 变号

二、2.确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε 求区间 (a ，b )的中点x 1 计算f (x 1)

(1)f (x 1)＝0 (2)f (a )·f (x 1)< 0 (3)f (x 1)·f (b )<0 |a －b |<ε

基础自测

1．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )

A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则由题设知f (1)＝－0.28＜0，f (2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1,2)内．

答案：C

2．(2013·河北名师俱乐部一模)下列函数中，在(－1,1)上有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2(x ＋2) B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12

D ．y ＝－x 2

解析：在(－1,1)上递增的函数只有y ＝log 2(x ＋2)和y ＝2x －1，又y ＝log 2(x ＋2)的零点为x ＝－1，y ＝2x －1的零点为x ＝0.故选B.

答案：B

3．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是________．

解析：依题意知：m ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x .

∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2，即函数f (x )的另一个零点是2. 答案：2

4．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是___________________________________________．

解析：(法一)利用韦达定理．

设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪

⎧

(x 1

－1)(x 2

－1)＞0，(x 1

－1)＋(x 2

－1)＞0，Δ≥0，

解得2≤a ＜5

2

.

(法二)利用二次函数图象的特征． 设f (x )＝x 2

－2ax ＋4，则⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ≥0，f (1)＞0，

a ＞1，

解得2≤a ＜5

2

.

答案：⎣⎡⎭⎫2，52

1．(2012·湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析：由f (x )＝0，得x ＝0或cos x 2＝0，即x 2＝k π＋π

2，k ∈Z .又∵x ∈[0,4]，∴k ＝0,1,2,3,4.∴

共有6个解．故选C.

答案：C

2．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

解析：2x |log 0.5x |－1＝0⇒|log 0.5x |＝1

2x ⇒|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，画这两个函数的图象，由图可知选项B 正确．