2019-2020学年高考数学总复习基础知识第二章第十节函数与方程文.doc.doc

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高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章函数的概念与基本初等函数

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1，因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类10函数与方程

证明：对每个n∈N*，当x>0时，f′n(x)＝1＋2x＋…＋xnn－1>0，故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．
由于f1(1)＝0，当n≥2时，fn(1)＝212＋312＋…＋n12>0，故fn(1)≥0.
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真题分类10 函数与方程
又fn23＝－1＋23＋k∑＝n 223k2k ≤－13＋14k∑＝n 223k ＝－13＋14·23211－－2323n－1 ＝－13·23n－1<0，所以存在唯一的xn∈23，1，满足fn(xn)＝0.
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
答案：C
（1－a）x，x<0，由题意，b＝f(x)－ax＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
（1－a）x，x<0，设 y＝b，g(x)＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
即以上两个函数的图象恰有 3 个交点，根据选项进行讨论．
高考·数学
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
Ⅰ.函数零点存在定理法判断函数零点所在区间 Ⅱ.数形结合法Fra bibliotek断函数零点所在区间
01 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理进行判断． (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
真题分类10 函数与方程
高考·数学
第二章函数的概念与基本初等函数
§ 2.6 函数与方程
真题分类10 函数与方程
C1.函数零点所在区间的判断 C2.函数零点个数的判断 C3.函数零点求和的问题 C4.零点与参数的综合问题

高中数学各章知识点总结

高中数学各章知识点总结第一章：函数与方程在高中数学中，函数与方程是非常重要的基础知识。

在这一章中，我们将学习到以下几个主要知识点：1. 函数的概念和性质：函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

我们需要掌握函数的定义、函数的图像、函数的性质以及函数的分类等内容。

2. 一次函数与二次函数：一次函数又称为线性函数，是形如 f(x) =ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数。

二次函数则是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b 和c 也是常数。

我们需要了解它们的图像特点、性质以及相关概念，如零点、顶点等。

3. 幂函数与指数函数：幂函数是形如 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是常数。

指数函数是形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是常数且 a 大于 0。

我们需要熟悉它们的图像、性质以及指数函数的特殊性质，如底数为 e 的自然指数函数。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算。

形如 f(x) = loga(x) 的函数叫做以 a 为底的对数函数。

我们需要了解对数函数的定义、图像以及常用性质，如对数函数的性质、对数函数的运算等。

5. 不等式与方程：不等式和方程是数学中常用的表示式，可以通过解方程和不等式来求解问题。

我们需要掌握解一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式、一元二次不等式等的方法和步骤。

6. 组合函数与复合函数：组合函数是将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值所得到的函数。

复合函数是将一个函数的输出值代入另一个函数中得到的函数。

我们需要了解组合函数和复合函数的概念、性质以及计算方法。

第二章：三角函数在高中数学中，三角函数是一个非常重要且广泛应用的概念。

在这一章中，我们将学习到以下几个主要知识点：1. 弧度制与角度制：弧度制是一种表示角度的单位，它的定义要比角度制更加精确。

我们需要学会如何在弧度制和角度制之间进行转换以及如何使用弧度制进行三角函数的计算。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》模考卷及答案解析

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》模考卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y ＝ln x ＋1－x 的定义域是()A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]答案C解析>0，－x ≥0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(0,1]．故选C.2．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上递减的函数是()A ．y ＝cos xB ．y |C ．y ＝tan xD ．y ＝x－3答案D解析由于y ＝cos x 是偶函数，故A 不是正确选项．由于y |是偶函数，故B 不是正确选项．由于y ＝tan x 在(0,1)上为增函数，故C 不是正确选项．D 选项中y ＝x －3既是奇函数，又在(0,1)上递减，符合题意．故选D.3．设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析因为方程log 3x ＝－x ＋3的解，就是m (x )＝log 3x ＋x －3的零点，因为m (x )＝log 3x ＋x －3单调递增且连续，m (x )＝log 3x ＋x －3在(1,2)上满足m (1)m (2)>0，m (x )＝log 3x ＋x －3在(2,3)上满足m (2)m (3)<0，所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2,3)内，可得方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2,3)，即则x 0所在的区间是(2,3)，故选C.4．若a ＝π82＝1πlog b ，c ＝log ()A ．b >c >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >a >c答案B解析a ＝π82＞20＝1，∵0<1π<1，1πlog b >0，∴0b >c .故选B.5．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )－2a )x ＋3a (x <1)，x (x ≥1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1) B.12，1C.－1答案C解析因为函数f (x )－2a )x ＋3a (x <1)x (x ≥1)，的值域为R －2a >0，1－2a )＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选C.6．函数y ＝2xln|x |的图象大致为()答案B解析采用排除法，函数定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ；当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2x ln|x |<0，排除C ，故选B.7．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数答案D解析已知f(x＋1)＝－f(x)，则函数周期T＝2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，即函数在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.8．(2019·新乡模拟)设函数f(x)＝e－x－e x－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为() A．(－3,2)B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－2,3)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案D解析由f(x)＝e－x－e x－5x，得f(－x)＝e x－e－x＋5x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，故f(x2)＋f(－x－6)<0⇔f(x2)<－f(－x－6)＝f(x＋6)．又f(x)是减函数，所以f(x2)<f(x＋6)⇔x2>x＋6，解得x<－2或x>3，故不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故选D.9．(2019·广东六校模拟)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)等于()A．－2018B．2C．0D．50答案C解析f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，进而得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝504×0＋2＋0－2＝0.故选C.10．(2019·衡水中学摸底)已知函数f(x)e x，x≤0，x，x>0(e为自然对数的底数)，若关于x 的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A ．a >－1B ．－1＜a ＜1C ．0＜a ≤1D ．a ＜1答案C解析画出函数f (x )的图象如图所示，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则函数f (x )与直线y ＝－a 有两个不同交点，由图可知－1≤－a <0，所以0<a ≤1.故选C.11．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin 2R 上恒成立，则实数a 的最大值为()A ．－13 B.13C.23D ．1答案B解析1＋a cos x ≥23sin 2＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]＋3a －5≤0，－3a －5≤0，所以－13≤a ≤13.所以实数a 的最大值为13.12．(2019·沈阳东北育才学校模拟)设函数f (x )＋1|，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4的取值范围是()1，721C ．(－1，＋∞)－∞，72答案A解析画出函数f (x )的图象如图所示，根据对称性可知，x 1和x 2关于x ＝－1对称，故x 1＋x 2＝－2.由于|log 4x |＝|log 41x |，故1x 3＝x 4，x 3·x 4＝1.令log 41x ＝1，解得x ＝14，所以x 3∈14，x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4＝－2x 3＋1x 3，由于函数y ＝－2x ＋1x 在区间14，减函数，故－2x 3＋1x 3∈1，72，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝ln x －2的定义域为________．答案[e 2，＋∞)解析∵函数f (x )＝ln x －2，∴ln x －2≥0，即ln x ≥ln e 2，∴x ≥e 2，∴函数f (x )＝ln x －2的定义域为[e 2，＋∞)．14．(2019·浏阳六校联考)f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (6)＝________.答案－2解析由题意得－72＋＝－124＝－2，又f (6)＝f (0)＝0，∴f (6)＝－2.15．(2019·青岛调研)已知函数f (x )3(x ＋1)，x >0，－x ，x ≤0，f (m )>1，则m 的取值范围是____________．答案(－∞，0)∪(2，＋∞)解析若f (m )＞1>0，3(1＋m )>log 33≤0，－m >1，>0，＋1>3≤0，m >0，解得m ＞2或m ＜0.16．已知函数f (x )2＋3a ，x <0，a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．答案13，23∪解析画出函数y ＝|f (x )|的图象如图，由函数y ＝f (x )是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (x 0＋1)＋1＝0得，x 0＝1a －1≤2，所以当x ≥0时，y ＝2－x 与y ＝|f (x )|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 图象恰有两个不同的交点，即方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－x 与函数y ＝x 2＋3a 相切时，得x 2＋x ＋3a －2＝0.由Δ＝1－4(3a －2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是13，23∪三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·酒泉敦煌中学诊断)求下列函数的解析式：(1)已知2f (x －1)－f (1－x )＝2x 2－1，求二次函数f (x )的解析式；(2)已知f (x －1)＝x ，求f (x )的解析式．解(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，f (1－x )＝a (1－x )2＋b (1－x )＋c ，所以2f (x －1)－f (1－x )＝2ax 2－4ax ＋2a ＋2bx －2b ＋2c －(ax 2－2ax ＋a ＋b －bx ＋c )＝ax 2－(2a －3b )x ＋a －3b ＋c ＝2x2－1，＝2，a －3b ＝0，－3b ＋c ＝－1，＝2，＝43，＝1，所以f (x )＝2x 2＋43x ＋1.(2)令t ＝x －1，t ≥－1，则x ＝(t ＋1)2，∴f (t )＝(t ＋1)2(t ≥－1)．∴f (x )的解析式为f (x )＝(x ＋1)2，x ≥－1.18．(12分)(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1,3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围．解(1)因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立，当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意；当a ≠0>0，＝1－12a <0，解得a >112.综上所述a >112.(2)由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1,3]上有解．即a ＝6x 2＋1x 在[1,3]上有解，设t ＝1x，t ∈13，1，则a ＝6t 2＋t ，因为y ＝6t 2＋t 在13，1上单调递增，所以y ∈[1,7]．所以a ∈[1,7]．19．(12分)函数f (x )对任意的a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )>1.(1)判断函数f (x )是否为奇函数；(2)证明：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式f (3m 2－m －2)＜1.(1)解当a ＝b ＝0时，解得f (0)＝1，显然函数不可能是奇函数．(2)证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1，∵x 2－x 1>0,∴f (x 2－x 1)>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在R 上是增函数．(3)∵f (0)＝1，∴f (3m 2－m －2)<1＝f (0)，又f (x )在R 上递增，所以3m 2－m －2<0，解得－23<m <1，∴－23，20．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＋1.(1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若方程m ＝f (x )有4个根x 1，x 2，x 3，x 4，求m 的取值范围及x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值．解(1)设x <0⇒－x >0⇒f (－x )＝(－x )2－4(－x )＋1＝x 2＋4x ＋1，由函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋4x ＋1，综上f (x )2－4x ＋1，x ≥0，2＋4x ＋1，x <0或f (x )＝x 2－4|x |＋1.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当－3<m <1时，方程m ＝f (x )有4个根．令x 1<x 2<x 3<x 4，由x 1＋x 22＝－2，x 3＋x 42＝2，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 4＝4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0.21．(12分)(2019·荆州质检)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元，每年生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元，且C (x )＝2＋4x ，0<x <8，x ＋49x －35，x ≥8，每件产品售价为10元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件产品售价为10元，则x 万件产品销售收入为10x 万元，依题意得，当0<x <8时，P (x )＝10x 2＋45＝－12x 2＋6x －5，当x ≥8时，P (x )＝10x x ＋49x －5＝30所以P (x )－12x 2＋6x －5，0<x <8，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－12(x －6)2＋13，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝13，当x ≥8时，P ′(x )＝－1＋49x 2<0，所以P (x )为减函数，当x ＝8时，P (x )取得最大值P (8)＝1278，因为13<1278，故当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为1278万元．22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)若g (x )是周期为2的函数，且x ∈(－1,1)时g (x )＝f (x )，求x ∈(2n ，2n ＋1)，n ∈N 时函数g (x )的解析式．解(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1),因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x .因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (0)＝0，故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )∈(0，1)，x ∈(－1，0).(2)设x ∈(2n ，2n ＋1)，则x －2n ∈(0,1)，g (x －2n )＝2x－2n4x －2n ＋1.因为g (x )周期为2，n ∈N ，所以2n 也是周期，g (x －2n )＝g (x )，所以x ∈(2n,2n ＋1)时，g (x )＝2x －2n 4x－2n＋1.。

高考数学总复习第2单元第10节函数与方程文新人教A版

2. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象_与__x_轴__有交点⇔函数y=f(x)_有__零__点___．
3. 函数零点的判断一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(_a_)f_(_b_)<_0_，那么函数y=f(x) 在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 __f_(c_)_=_0__，这个c也就是f(x)=0的根．我们把这一结论称为零点存在性定理．
并画出其大致图象
分析：令f(x)=0，得零点，然后结合零点及零点两侧函数值的符号画函数的大致图象．
解：∵
2 x23x2 f(x)=x+ -3=
x
x
∴令f(x)=0，得
x2 3x 2 0
x
即x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2， ∴f(x)的零点是1,2. 当x∈(0,1)时，f(x)＞0， x∈(2，+∞)时，f(x)＞0，当x∈(1,2)时，f(x)＜0， ∴其大致图象如图所示．
f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___一__分__为__二_，使区间的两个端点___逐__步__逼__近__零__点_，进而得到零点的近似值的方法
叫做二分法．
6. 给定精确度e，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)__<__0，给定精确度e；
基础达标
1. (教材改编题)函数f(x)=ln x－ 2 零点所在区间大致是
x
A. (1,2)
C.
1
,
1 e
和 (3,4)
B. (2,3) D. (e，+∞)

2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等

2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b c>d>0⇒ac>bd状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质：性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错．对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对．对于③，由a ab ，两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对．对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a －4b ，B 项错误；a bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①，由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②，由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________．解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b－d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd. [尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解析：方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].。

高三数学各章知识点

高三数学各章知识点一、函数与方程1. 函数函数的定义：函数是一个由一个或多个确定的输入值与一个确定的输出值之间的对应关系所确定的关系。

函数的表示方法：函数可以用数学表达式、图表、文字等形式来表示。

函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

函数的图像：根据函数表达式，可以绘制函数的图像。

2. 一次函数一次函数的定义：一次函数是具有以下形式的函数：y=ax+b，其中a和b为常数且a≠0。

一次函数的性质：斜率、截距、图像特点等。

3. 二次函数二次函数的定义：二次函数是具有以下形式的函数：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的性质：顶点、轴对称、开口方向、零点、图像特点等。

4. 指数函数与对数函数指数函数的定义：指数函数是具有以下形式的函数：y=a^x，其中a为常数且a>0。

指数函数的性质：增减性、图像特点等。

对数函数的定义：对数函数是指数函数的反函数，是具有以下形式的函数：y=loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。

对数函数的性质：增减性、图像特点等。

二、立体几何1. 空间几何体的计算常见空间几何体的计算公式：体积、表面积等。

常见空间几何体的性质：对称性、相交性等。

2. 空间向量向量的定义：向量是有大小、方向和作用点的量。

向量的表示方法：坐标表示、向量标记等。

向量的运算：加法、减法、数量乘法、数量积、向量积等。

3. 空间中的直线和平面直线的方程：点向式、一般式、截距式等。

平面的方程：点法式、一般式等。

直线和平面的性质：相交关系、垂直关系等。

三、概率与统计1. 事件与概率事件的定义：事件是对可能发生或不发生的结果进行描述的事物。

概率的定义：概率是描述事件发生可能性大小的一种数值。

概率计算方法：古典概型、频率法、几何概型等。

2. 随机变量与概率分布随机变量的定义：随机变量是对随机试验结果的数量化描述。

离散型和连续型随机变量：概率分布、期望、方差等。

第二章第十节函数的模型与应用解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习

第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln⁡2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln⁡2．解得t=1λ故答案为1λln⁡2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出．【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．答案p ＋1q ＋1－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．答案 5解析由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________．答案 15,12解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3⁡Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位．【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 3⁡3010=0a +blog 3⁡9010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3⁡Q 10，要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3⁡Q 10⩾2，即 log 3⁡Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg⁡2=0.3010，lg⁡3=0.4771）【答案】大约从第 9 月份开始【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg⁡2x >lg⁡300即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x >2+lg⁡3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数．又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n －1＞200，则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象；【答案】见解析【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品答案 BD解析由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]．答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．答案 3解析为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式；【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）；【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）．【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16．故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3⁡O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log3⁡2700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3⁡O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。

高中数学复习函数与方程

高中数学复习函数与方程高中数学复习：函数与方程函数和方程是高中数学中的重要内容，也是学习数学的基础。

掌握了函数和方程的知识，不仅可以解决实际生活中的问题，还可以帮助我们理解更高深的数学概念和原理。

本篇文章将对函数和方程进行深入的复习和总结。

一、函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一个映射关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。

数学上，函数可以用公式、表格或图像表示。

1.2 函数的性质函数包括定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。

其中，定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的取值。

奇偶性描述的是函数关于y轴的对称性，周期性描述的是函数图像的重复性。

1.3 常见函数的图像与特点常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数的图像是逐渐上升或下降的曲线，对数函数的图像是逐渐趋近于y轴的曲线。

二、方程的求解方法2.1 一次方程的求解一次方程是指最高次数为一的代数方程。

求解一次方程的方法包括等式两边加减同一数、等式两边乘除同一数等。

2.2 二次方程的求解二次方程是指最高次数为二的代数方程。

求解二次方程的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。

2.3 高次方程的求解高次方程是指最高次数大于二的代数方程。

求解高次方程时一般需要借助代数方法，如变量代换、因式分解等。

三、函数与方程的应用3.1 函数方程在实际问题中的应用函数方程在实际问题中具有广泛的应用，如利润函数、销售量函数等。

通过建立函数方程，可以分析和解决各种实际问题。

3.2 函数方程的图像及特点函数方程的图像和特点可以通过计算和绘制来得到。

图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

3.3 方程在几何图形中的应用方程在几何图形中的应用主要包括点、线、圆等几何图形的方程。

通过解方程，可以确定几何图形的位置和性质。

四、综合练习与总结在学习函数与方程的过程中，综合练习是巩固知识的有效方法。

2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件文

3．已知实数 a>1,0<b<1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的
区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0) ＝1－b>0，由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
4．(2018·河南郑州质检)已知函数 f(x)＝12x－cosx，则 f(x)在[0,2π] 上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：函数 f(x)＝12x－cosx 的零点个数为12x－cosx＝0⇒12x＝cosx 的根的个数，即函数 h(x)＝12x 与 g(x)＝cosx 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为 3，故选 C.
(2)基本法：探讨 f(x)与 g(x)的性质，转化为 f(x)＝g(x)． y＝f(x)与 y＝g(x)都是偶函数，F(x)＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点且 y＝f(x)周期为 4，关于 x＝2 对称，所以 y＝f(x)与 y＝g(x)在 [0,2]上必有 2 个零点．当 0≤x≤1 时，f(x)＝－x2－32x＋5 为减函数，当 1<x≤2 时，f(x)＝2x＋2－x 为增函数，且 f(1)＝52是 y＝f(x)在 x∈[0,2]上的最小值，且 f(3)＝f(1)＝52. 当 x>0 时，g(x)＝12|x|＋a 为减函数，
数 y＝f(x)与 y＝110x 在0，130上的图象如图所示，数形结合得两图象有 3 个交点，故方程 f(x)＝110x 在0，130上有三个根．
故选 C. 答案：C

高考数学总复习第二章第十节函数与方程课件文

在[0，＋∞ )上只有一个零点(línɡ diǎnx)．
答案：B
第十六页，共39页。
考点(kǎo 求函数的零点(línɡ diǎn) diǎn)二
【例2】求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x2－5x－3；(2)f(x)＝x3＋1.
自主(zìzhǔ)解答：
解析：(1)由2x2－5x－3＝0，解得x＝3或x＝－，1所以函数
是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：因为函数f(x)＝2x＋x3－2的导数为f′(x)＝2xln 2＋3x2≥0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增，又f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1) ＝2＋1－2＝1＞0，所以根据根的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点(línɡ diǎn)个数为1.故选B. 答案：B
_函_数__值__符__号__相反
f(a)·f(b)<0
_区__间__(a_，__b_)_内__至__少_，有即一个__零__点________，则函数y＝f(x)在
______________________________，即相应的方程f(x)＝0在区间
(a，b)内至少有一个实数根．
通过零点
3．函数的零点变具号有下列性质：当它____________(不是偶
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]；
(4)f(x)＝ 1－x，x∈(0,1)．思路点拨：x 利用函数零点的存在性定理或图象进行判断．
第十二页，共39页。
解析：(1)(法一)因为f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，所以f(1)·f(8)< 0，故f(x)＝x2－3x－18在区间(qū jiān)[1,8]上存在零点． (法二)令x2－3x－18＝0，x∈[1,8]，解得 x＝－3或x＝6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在区间(qū jiān)[1,8]上存在零点． (2)f(1)＝－1<0，f (2)＝ 5 >0，所以f(1)·f(2)< 0，故f(x)＝x3－x －1在[1,2]上存在零点．

2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程课件

(2)(分离参数法)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】
(1)函数 g(x)＝f(x)＋x＋a 存在 2 个零点，即关于 x
的方程 f(x)＝－x－a 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y＝－x－a 有 2 个交点，作出直线 y＝－x－a 与函数 f(x) 的图象，如图所示，由图可知，－ a≤1，解得 a≥－1，故选 C.
答案：3
已知函数 f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1， 1)，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取值范围是________．
解析：依题意可得 f(－1)· f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得 a<－3 或 a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断(师生共研) 2 函数 f(x)＝ln x－x的零点所在的大致区间是( A．(1，2) C．(1，e)和(3，4) B．(2，3) D．(e，＋∞) )
第二章函数概念与基本初等函数
第 10 讲
函数与方程
1．函数的零点函数零点的概念
f ( x) ＝ 0 对于函数 y＝f(x)，把使____________ 的实
数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
实数根 ⇔函数 y＝f(x) 方程 f(x)＝0 有_________ x轴的图象与_________ 有交点⇔函数 y＝f(x) 零点有_________
2
12 1 1 ＋x＝ x＋2 － ≥－， 4 4
1 若函数 f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交点，则－ <m≤0， 4

高三数学一轮复习第2知识块第10讲函数与方程课件

A．(0,1]
B．(0,1)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析：解法一：取m＝0，有f(x)＝－3x＋1的根x＝＞0，即m＝0应符合题设，
所以排除A、B；当m＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
它的根是x＝1符合要求，排除C.
解法二：直接法，∵f(0)＝1，
∴(1)当m＜0时必成立，排除A、B.
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，
∴f(x)＝x3＋1的零点是x＝－1.
(2)∵f(x)＝
令
解得x＝－1，∴f(x)＝
的
零点是x＝－1.
＝0，
函数零点个数的判定有下列几种方法： 1．直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． 2．零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，
f(a)·f(b)＜0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． 3．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18

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2019-2020学年高考数学总复习基础知识第二章第十节函数与方
程文
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识梳理
一、函数的零点
1．定义：一般的，如果函数y＝f(x)在________________，即f(a)＝0，则__________叫做这个函数的零点．
2．函数的零点存在性定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是________，并且在______________，即__________________，则函数y＝f(x)在________________，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根．
3．函数的零点具有下列性质：当它________(不是偶次零点)时函数值________，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
二、二分法
1．定义：对于区间[a，b]上图象连续不断的，且f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值的步骤．
第一步：________________________________________
第二步：________________________________________
第三步：________________________________________
(1)若_________，则x1就是函数f(x)的零点；
此时零点x0∈(a，x1)；
(2)若________________，则令b＝x1[]
此时零点x0∈(x1，b).
(3)若________________，则令a＝x1[]
第四步：判断是否达到精确度ε，即若________，则得到零点近似值a (或b )．否则，重复第二、三、四步．
注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果，所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算；
(2)二分法的条件f (a )·f (b )<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．三、一元二次方程根的分布问题
关键是抓住方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑．
二次方程f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件：
(1)方程f (x )＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0；
(2)二次方程f (x )＝0的两根都大于r ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac >0，
－b
2a >r ，
a ·f (r )>0；
(3)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内有两根⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac >0，
p <－b 2a <q ，
a ·f (q )>0，a ·f (p )>0；
(4)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0或f (p )＝0或f (q )＝0，检验另
一根在(p ，q )内成立．
一、1.实数a 处的值等于零 a
2.连续不间断的区间端点的函数值符号相反 f (a )·f (b )<0 区间(a ，b )内至少有一个零点
3.通过零点变号
二、2.确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε 求区间 (a ，b )的中点x 1 计算f (x 1)
(1)f (x 1)＝0 (2)f (a )·f (x 1)< 0 (3)f (x 1)·f (b )<0 |a －b |<ε
基础自测
1．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)
D ．(2,3)
解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则由题设知f (1)＝－0.28＜0，f (2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1,2)内．
答案：C
2．(2013·河北名师俱乐部一模)下列函数中，在(－1,1)上有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2(x ＋2) B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12
D ．y ＝－x 2
解析：在(－1,1)上递增的函数只有y ＝log 2(x ＋2)和y ＝2x －1，又y ＝log 2(x ＋2)的零点为x ＝－1，y ＝2x －1的零点为x ＝0.故选B.
答案：B
3．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是________．
解析：依题意知：m ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x .
∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2，即函数f (x )的另一个零点是2. 答案：2
4．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是___________________________________________．
解析：(法一)利用韦达定理．
设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪
⎧
(x 1
－1)(x 2
－1)＞0，(x 1
－1)＋(x 2
－1)＞0，Δ≥0，
解得2≤a ＜5
2
.
(法二)利用二次函数图象的特征．设f (x )＝x 2
－2ax ＋4，则⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0，f (1)＞0，
a ＞1，
解得2≤a ＜5
2
.
答案：⎣⎡⎭⎫2，52
1．(2012·湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：由f (x )＝0，得x ＝0或cos x 2＝0，即x 2＝k π＋π
2，k ∈Z .又∵x ∈[0,4]，∴k ＝0,1,2,3,4.∴
共有6个解．故选C.
答案：C
2．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：2x |log 0.5x |－1＝0⇒|log 0.5x |＝1
2x ⇒|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，画这两个函数的图象，由图可知选项B 正确．
答案：B
1．(2012·东北三省四市教研协作体调研)若a ＞2，则函数f (x )＝1
3
x 3－ax 2＋1在(0,2)内零
点的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：f ′(x )＝x 2－2ax ，由a ＞2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递
减．又f (0)＝1＞0，f (2)＝8
3
－4a ＋1＜0，∴f (x )在(0,2)只有一个零点．故选C.
答案：C
2．(2013·湛江一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)；
由函数零点的定义，f (x )在(0，＋∞)内的零点即是方程|x －2|－ln x ＝0的根．令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x ＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C.
答案：C。

2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第二章 第十节函数与方程 文.doc.doc

高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章 函数的概念与基本初等函数