第1讲 集合
第一讲 集合的概念和运算
。
解析：对于新定义题，关键是读懂题目， 弄清概念的含义，准确运用。 ∵n=4, ∴ Sn {1, 2,3, 4}, ，则X可取 ,{1}, {2}, {3},
{4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}.不是偶子集有{1}，
A B 0,1,2,4,16
则a的值为（ A. 0 答案：D. B. 1
） C. 2 D. 4
a4 解析：抓住并集中的元素，由此知 a 2 16 2
a 4 或 ，∴选D。 a 16
变式题：含有三个实数的集合可表示为{a,b,lg(ab)},也可 表示为{|a|,b,0},则 a 2015 b2015 的值等于 。
7.特别提醒的几点：
①．注意区分几种常见集合
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注 意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)＞0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集合的意义 方程f(x)＝0的解源自 不等式f(x)＞0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点集
⑶
无序性
。
5.集合中元素和集合、集合与集合的关系： ⑴元素和集合的关系：若元素a 是集合A的元素， A”。 记作：a A ，否则“a
⑵集合与集合的关系：包含和不包含关系。包含关系又 分为真包含和相等关系。符号为“ ”，“＝”， ”，“ “ ”，“ ” .
特别提醒：规定空集是 空集是
1-1_集合的概念与运算课件
补集： 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． ＝ ∈ 且 ∉ ． U为全集，∁UA表示 相对于全集 的补集． 为全集， 表示A相 于全集U的 表示 (2)集合的运算性质 集合的运算性质 集合的运算性 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ∪ ＝ ⇔ ⊆ ， ＝ ⇔ ⊆ ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ＝ ， ∅ ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ∪ ＝ ， ∪ ； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. ∁ ＝ ∪ ＝ ， ∁ ＝ ；
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
②若 B≠∅，
m＋1≤2m－1， 则－2≤m＋1， 2m－1≤5.
(2)若 A⊆B，
解得 2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m－5.
∴m 的取值范围是[3,4]．
第 1 讲 集合的概念与运算
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 ．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法 描述不同的具体问题 集合语言 列举法或描述法)描述不同的具体问题，理解集合之间包含与相等 列举法或描述法 描述不同的具体问题， 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解 ．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图 (Venn)表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算
高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用
第1讲 集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ， 故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． 由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来． 又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
20180709高一第一讲集合概念和表示方法
第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{}，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。
（2）集合是一个“整体。
（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。
例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。
高中数学高考第1讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
24
2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
11
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}， 所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
第1讲 集合（解析版）
第1讲集合一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理：1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B,并且A≠BA B(或B A)集合相等两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素A＝B运算 自然语言符号语言Venn 图交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A ,且 x ∈B }并集 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }补集设A ⊆S ,由S 中不属于A的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集∁S A ＝{x |x ∈S ,且x ∉A }集合运算中常用的结论 （1）集合中的逻辑关系 ①交集的运算性质．，， ，，．②并集的运算性质．，， ，，．③补集的运算性质．∁U (∁U A)=A ，∁U ∅=U ，∁U U =∅． ④结合律与分配律．结合律： ． 分配律： ． （2）由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．（3）．三、高考试题：1. （2022.新高考1）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2. （2022.新高考2）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则AB =（ ）A B B A ⋂=⋂A B A ⋂⊆A B B ⋂⊆A I A ⋂=A A A ⋂=A ⋂∅=∅A B B A ⋃=⋃A A B ⊆⋃B A B ⊆⋃A I I ⋃=A A A ⋃=A A ⋃∅=()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃*(N )n n ∈A A 2n 21n -21n -22n -()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D.{1,4}-【答案】B【解析】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2AB =，故选：B.3. （2022.全国乙（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ） A. 2M ∈ B. 3M ∈C. 4M ∉D. 5M ∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误，故选:A 4. （2022.全国甲（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则∁U (A ∪B)=（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以∁U (A ∪B )={−2,0}.故选：D.5. （2022.北京）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则∁U A =（ ） A. (2,1]- B.(3,2)[1,3)--C. [2,1)-D.(3,2](1,3)--【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．6. （2022.浙江）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ） A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】{}1,2,4,6AB =，故选：D.7．（2021.全国乙卷（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N)=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.8．（2021.全国乙（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S ∩T =（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，ST T =.故选：C.9．（2021.全国甲（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.10．（2021.全国甲（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.11．（2021.新高考1）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2021.新高考2）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则A ∩∁U B =（ ） A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}【答案】B【解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1UB =，5，6}，故{1UAB =，6}．故选：B ．13.（2020.新高考1）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4} D. {x |1<x <4} 【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C14．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D.15．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}， 且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 16．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A ={x ||x |<3，x ⅠZ }，B ={x ||x |>1，x ⅠZ }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.17．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B)=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故AB 中元素的个数为3.故选：B19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.。
集合一
第1讲 集合及其表示1.集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2.常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N ，{} ,2,1,0=N ； （2）正整数集：非负整数集内除0的集合.记作N *或N +，{}*1,2,3,N = ；（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,{} ，，，210±±=Z ； （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q ,{}整数与分数=Q ；（5）实数集：全体实数的集合.记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R ； 3.元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4.集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准，给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，二者居其一而且只居其一.不能模棱两可；（2）互异性：集合中的元素没有重复；（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）. 5.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合； 如：{}6,4,8A =，{}B =刘，世，华，{}C =刘，思，法…（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x ∈A|P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合； 如：{}x R 2x-30∈≥…（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. 点拨：{}21A x y x ==-，{}21B y y x ==-，(){}2,1C x y y x ==-是互不相同的集合.6.按元素的多少，集合可分为以下三类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x点拨：注意Φ，0，{}0三者的区别与联系.三【典例精析】例1.下列语句能确定是一个集合的是 （要简述理由）（1）著名的科学家：（2）留长发的女生；（3）不超过π的正整数；（4）视力差的男生：（5）本班中成绩好的同学；（6）高一数学课本中所有的简单题；（7）平方后等于自身的数． 例2.下列对象能否组成集合：（1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学； （3）方程210x -=的所有解；（4）不等式20x ->的所有解． 例3.由实数,,x x x -,332,x x -所组成的集合中，最多含几个元素？例4.用描述法表示下列集合：（1）{1，4，7，10，13}； （2）{-2，-4，-6，-8，-10}；（3）所有奇数组成的集合； （4）坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.例5.用列举法表示下列集合（1）{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}； （2）⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ；（3）},)1(|{N n x x n ∈-=； （4）},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+；（5）设a,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合.例6. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）−3 N ，0.5 N ，3 N ； （2）1.5 Z ，−5 Z ，3 Z ； （3）−0.2 Q ，π Q ，7.21 Q ； （4）1.5 R ，−1.2 R ，π R ．例7.设集合A=（x,y,x+y ）,B=(0,2x ，xy)且A=B ，求实数x ，y 的值例8. 指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程210x +=的解集； （2）方程22x +=的解集．例9 用列举法表示下列集合：（1）由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合； （2）方程2560x x --=的解集．例10 用描述法表示下列各集合： （1）不等式210x +…的解集； （2）所有奇数组成的集合；（3）由第一象限所有的点组成的集合．例11．用列举法表示下列各集合：（1）方程2340x x --=的解集；（2）方程430x +=的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合． 2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程240x -=的解集； （3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式253x ->的解集．四【过关精练】一.选择题1.给定四个集合：(){}(){}1,22,1M N ==，，{}{}1,22,1P ==，Q ,则（ ）A.M N =B.N P =C.M P =D.P Q = 2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．A a ∉C ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可 6．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}7.将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3} D ．(2,3)8.集合,,,b a c x x a b c R a b c ⎧⎫⎪⎪=++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的列举法表示应该是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{1,3} C ．{－1,1,3} D ．{－1,1}二.填空题9.集合A=}{0122=++x ax x 中只有一个元素，则a 的值是______10.已知P=}{R k N x k x x ∈∈<<,,2，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是_____ 11.用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N}＝____________12.已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，()14A -∉，则满足条件的a 的值为________． 三.解答题13.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？14.用适当的方法表示下列集合：①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．15.对于,a b N +∈，现规定：()()b b a b a a b a b a ⎧+⎪*=⎨⨯⎪⎩，与的奇偶性相同，与的奇偶性不同集合(){},36,,M a b a b a b N +=*=∈.(1)用列举法表示,a b 奇偶性不同时的集合M ； (2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？第2讲 子集、全集、补集1．子集的概念：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 为集合B 的子集.记作A B (B A)⊆⊇或，读作A B (B A )“包含于”或“包含”.当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2.集合相等与真子集的概念：（1）如果A B ⊆，且B A ⊆，则称 ，记作A B ＝ （2）如果A B ⊆，但存在元素B A x x ∈∉，且，则称A 是B 的真子集，记作A B(B A)⊂⊃≠≠或3.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.并规定： 空集是任何一个集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 4.集合之间的基本关系.（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆；（2）对于集合A B C 、、，如果A B B C ⊆⊆，，那么A C.⊆+结论：含n 个元素的集合共有2n个子集；有 个真子集；有 个非空真子集. 5.补集：引入：观察下列三个集合： U ＝{高一年级的同学}——全集； A ＝{高一年级参加军训的同学}； B ＝{高一年级没有参加军训的同学}. 可知：（1）A U ⊆，B U ⊆；（2）集合B(或A)就是集合U 中除去集合A(或B)之外．——补集（1）定义定义（1）所要研究的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就是全集.全集常用U 表示. 定义（2）设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），则由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作S A ð， （2）符号语言：{|}且ðS A x x S x A =∈∉ （3）图形语言：如右图：（3）性质：ðU U φ=；ðU U φ=：()痧U UA A =.三【典例精析】例1.写出集合{}1,2,3A =的所有子集和真子集.例2.说出下列每对集合之间的关系： （1）{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5B =； （2）{}21P x x ==，{}1Q x x ==；（3）{}21,C x x k k Z ==+∈,{}D x x Z =∈.例3.（1）填空：N___Z ； N___Q ； R___Z ； R___Q ； Φ___{0}.（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？（3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 点拨：（1）“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}.（2）{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.例4.填空：（1）U={x|0≤X<6,X ∈Z},A={1,3,5},B=｛1,4}, 则U A ð=_____________,U B ð=_____________（2）U={3,6,9},{}210A x R x x =∈++=,则U A ð=____ ____ （3）U={实数}，A={有理数},则U A ð=____ ____（4）A={1,3,5},U A ð={2,4,6},B={4,6},则U B ð=____ ____ （5）全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则U A ð=_____________ ______例5.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求U A ð.例6.已知U ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与U Bð的关系四【过关精练】一、选择题1.下列八个关系式①{0}=φ；②φ=0；③φ={φ}；④φ∈{φ}；⑤{0}⊇φ；⑥0∉φ；⑦φ≠{0}；⑧φ≠{φ}其中正确的个数（ ）A.4B.5C.6D.7 2.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个 3.集合A={x Z k k x ∈=,2}；B={Z k k x x ∈+=,12}；C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈AB.(a+b)∈BC.(a+b)∈CD.(a+b)∈A 、B 、C 任一个 4.下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=1图象上所有的点 5.设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M N = B.M ⊆N C ．M ≠⊃N D ．M≠⊂N 6.下列各式中，正确的是（ ）A.2}2{≤⊆x xB.{12<>x x x 且}C.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}7.设一元二次方程()200ax bx c a ++=<的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式20ax bx c ++≥的解集为（ ）A.RB.φC.{abx x 2-≠} D.{a b 2-}8.集合A={x|x=2n ＋1，n∈Z}， B={y|y=4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为 （ ） A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A≠B二、填空题9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为__________________10.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围 是 。
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第一讲 集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1） （2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3） （4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。
高考专题复习—集合与常用逻辑用语 第一讲+第二讲(解析版)
高考专题复习—集合与常用逻辑用语（解析版）➱第一讲集合◎基础巩固1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N ＋Z Q R(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③韦恩图.2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B(或B⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B 或B A集合相等集合A ，B 中的元素相同或集合A ，B 互为子集A ＝B3.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示数学语言{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }运算性质A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A；A ∪B ＝B ∪A .A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A；A ∩B ＝B ∩A .A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A.1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N＋⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：D[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B[由题意可得：A∩B＝{2,4}，故选B.]3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁U A)∪B＝()A．{3,4,5}B．{2,3,5}C．{5}D．{3}解析：B[因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁U A＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,3,5}．] 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(－∞，1]5．(教材改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝___________________.答案：{2,4}◎考点探究考点一集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A[∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1；所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝()A.92B.98C ．0D ．0或98解析：D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2019＝________.解析：由M ＝N ＝1，2n ＝m ＝m ，2n ＝1，＝0，＝12，＝2.∴(m －n )2019＝－1或0.答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(师生共研)[典例](1)已知集合A ＝{x |ax ＝1},B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是()A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析](1)由题意，得B ＝{－1,1}，因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．＋1≥－2m －1≤7＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.[答案](1)D (2){m |m ≤4}[互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________.解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A |x >1a因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A |x <1a因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练](1)若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素，即方程ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根．当a ＝0时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4.故a ＝4.答案：4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )．由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(文科)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝()A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A[根据集合交集中元素的特征，可以求得A ∩B ＝{0,2}，故选A.]2．(文科)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则()A ．A ∩B |x B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B |xD ．A ∪B ＝R解析：A[由3－2x ＞0得x ＜32，所以A ∩B ＝{x |x ＜2}|x |x ，故选A.][命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(文科)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{x |2＜x ＜5}，则A ∩(∁R B )等于()A ．{2,3,4,5}B ．{1,2,5,6}C ．{3,4}D ．{1,6}解析：B[因为∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥5}，A ＝{1,2,3,4,5,6}；所以A ∩(∁R B )＝{1,2,5,6}．][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝()A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：C[由题意知x ＝1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，代入解得m ＝3，所以x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，从而B ＝{1,3}．]5．已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________.解析：∁R B ＝{x |x ＜1，或x ＞2}，要使A ∪(∁R B )＝R ，则a ≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个[解析]C[由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4}D．{x|2≤x≤4}解析：B[A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．]◎课时作业[基础训练组]1．已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝()A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x ＜3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：C[集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C[因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝()A.0B ．(－∞，0)∪12，＋∞D ．(－∞，0]∪12，＋∞解析：D[A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}A ∩B所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪12，＋7．已知A ＝[1，＋∞)，B ∈R |12a ≤x ≤2a －A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．[1，＋∞) B.12，1 C.23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：A[因为A ∩B ≠∅a －1≥1，a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]8．函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝()A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D[使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0>0＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B[当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ，12，－3个元素．]15．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.答案：1或－1816．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人，同时会打乒乓球和排球的学生有y人，同时会打排球和篮球的学生有z人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人，会打乒乓球或排球的学生有16人，会打篮球或打排球有22人，∴x＋y＋z＝24＋16＋22－40＝22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22.答案：22➱第二讲命题、充分条件与必要条件◎基础巩固1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：A[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：D[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题.故选D.]3．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝14．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为_________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤05．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________.解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④◎考点探究考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1．命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：C[根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q.∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：C[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.]3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1．设p∶0＜x＜1，q∶2x≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[q∶2x≥1，解得x≥0.又p∶0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p∶f′(x0)＝0，q∶x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：C[函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．]3．已知向量a＝(－2，m)，b m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：B[∵a＝(－2，m)，b m∈R，∴a＋2b＝(4,2m)若a⊥(2a＋2b)，则－8＋2m2＝0，解得m＝±2，故“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A，B⇒A与非A⇒非B，A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．4．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围．解析：由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______.解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10} {x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．◎课时作业[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D[写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]2．设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1，因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.4．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D[由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]5．若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C[由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B[若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案：充要11．若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p |12≤x ≤由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．非p 对应的集合A |x ＞1或x q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是0，12.答案：0，12[能力提升组]13祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是()A.－2，－12B.12，2C ．[－1,2]，12∪[2，＋∞)解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a －3)＝－a 2＋a ＋6≥0，1)＝－a 2＋a ＋2≥0，2＜a ＜31≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.[a ，a ＋1]．≤12，＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0，12。
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、 无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝” 括起来，基本形式为｛a 1,a 2,a 3,,a n ｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛x A |P （x ）｝，既要关注代表元素 x ，也要把 握其属性P （x ） ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 A ,B ,C ,表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ， 正整数集N *或N +，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号 、 表示，例如3N ，-2N . ¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程x （x 2 -2x -3）=0的所有实数根组成的集合；（2）大于 2且小于 7的整数. 解：（1）用描述法表示为：｛x R |x （x 2 -2x -3）=0｝； 用列举法表示为｛0,-1,3｝.（2）用描述法表示为：｛x Z |2 x 7｝； 用列举法表示为｛3,4,5,6｝.【例 2】用适当的符号填空：已知 A =｛x |x =3k + 2,k Z ｝， B =｛x | x = 6m -1,m Z ｝，则有：17 A ； － 5 A ； 17 B . 解：由3k +2=17，解得k =5Z ，所以17A ；7 由3k +2=-5，解得k =7Z ，所以-5A ； 3 由6m -1=17，解得m =3Z ，所以17B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数y = x + 3与y = -2x + 6的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y =x 2 - 4的函数值组成的集合；（3）反比例函数 y = 2 的自变量的值组成的集合. x2){y |y =x 2 -4}={y | y -4}. 2（3）｛x |y = 2｝=｛x |x 0｝.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为｛1,4｝ ， 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心.*【例4】已知集合A = ｛a | x +a =1有唯一实数解｝，试用列举法表示集合 A ． 解：化方程 x +a =1为：x 2 - x - （a + 2） = 0 ．应分以下三种情况：x 2 - 2 ⑴方程有等根且不是2：由 △=0，得a = - 9 ，此时的解为x = 1 ，合．42 ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是- 2 ：将 x = 2 代入得 a =- 2 ，此时另一解 x =1-2， 合．}={(1,4)}.解：（1）｛（x , y ）|y =x +3y = -2x + 6⑶方程有一解为- 2 ，而另一解不是 2 ：将x=- 2 代入得a= 2 ，此时另一解为x=2+1，合．综上可知，A=｛-9,- 2, 2｝．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B ，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset ），记作A B（或B A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2.如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B 是集合A的子集（B A），即集合A 与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B.3.如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset），记作A B（或B A）.4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：A A；若A B，B C，则A C；若A I B= A，则A B；若A U B= A，则B A.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）｛菱形｝｛平行四边形｝；｛等腰三角形｝｛等边三角形｝.（2）｛x R|x2+2=0｝；0 ｛0｝；｛0｝；N ｛0｝.解：（1），；（2）=，∈，，.【例2】设集合A = ｛x | x = n ,n Z｝, B = ｛x | x = n + 1 ,n Z｝，则下列图形能表示A与B关系的 A B B A A B A B是（）.A ．B ．C． D ．解：简单列举两个集合的一些元素，A = ｛, - 3-1,-1,0,1,1,3,｝，B =｛,-3,-1,1,3,｝，易知B A，故答案选A．另解：由B =｛x | x = 2n +1 , n Z｝，易知B A，故答案选A．【例3】若集合M =x|x2+x-6=0,N=x|ax-1=0，且N M，求实数a的值. 解：由x2+x-6=0x=2或-3，因此，M = 2, -3.(i)若a=0时，得N=，此时，N M；(ii)若a0 时，得N = {}. 若N M,满足= 2或= -3，解得a= 或a= - .a aa 23 故所求实数a的值为0或1或-1.23 点评：在考察“ A B”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为A=时存在A B. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0 或x=1.a +2b =ax2 当a=0 时，集合B中的元素均为0 ，故舍去；当x=1 时，集合B2中的元素均相同，故舍去.若a +b =ax 2ax2-ax-a=0.a +2b =ax因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有x =-1.经检验，此时A=B成立. 综上所述x=-1.2 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 3 讲§1.1.3 集合的基本运算(一)¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(union set )由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)记号A U B (读作“A并B”)A I B (读作“A交B”)ðU A (读作“A的补集”)符号A U B={x|x A,或x B}A I B ={x|x A,且x B}ðA ={x|x U,且x A}图形表示U A¤例题精讲：【例1解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：BA I B={x|3x5}，A A BC (A U B)={x| x-1,或x9}-1 3 5 9 x4【例2】设A ={x Z | | x | 6}， B =1, 2,3, C =3,4,5,6，求： (1)A I(B I C )； (2)A Ið(B U C ).解：Q A =-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.(1)又Q B I C =3，∴ A I ( B I C ) = 3； (2)又Q B U C =1,2,3,4,5,6，∴ A I C (B U C )=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.例3】已知集合A = {x | - 2 x 4} ， B = {x | x m } ，且A I B = A ，求实数m 的取值范围. 解：由A I B = A ，可得A B . 在数轴上表示集合A 与集合 B ，如右图所示： B A由图形可知， m 4. 4-2m x 4 m x点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之 间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集U =｛x |x 10,且x N *｝，A =｛2,4,5,8｝，B =｛1,3,5,8｝，求C (A U B )，C (A I B )， (C U A )I (C U B )， (C U A ) U (C U B ) ，并比较它们的关系. 解：由A U B ={1,2,3,4,5,8}，则C U (A U B )={6,7,9}. 由A I B ={5,8}，则C U (A I B )={1,2,3,4,6,7,9} 由C U A ={1,3,6,7,9}，C U B ={2,4,6,7,9}， 则(C U A )I (C U B )={6,7,9}， (C U A )U(C U B )={1,2,3,4,6,7,9}. 由计算结果可以知道，(C U A )U(C U B ) =C U (A I B )，(C U A )I(C U B ) =C U (A U B ). 另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用 Venn 图研究(CA )U(CB ) =C (A I B ) 与(C A )I(C B ) =C (A U B ) ，在理解的 基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.¤知识要点：Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图 形，我们还可以发现一些集合性质： C U (A I B ) = (C U A ) U (C U B ) , C U (A U B ) = (C U A ) I (C U B ) .2. 集合元素个数公式：n (A U B ) =n (A )+n (B )-n (A I B ).3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查 创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A =-4,2a -1,a 2,B =9,a -5,1-a，若A I B =9，求实数a 的值. 解：由于A =-4,2a -1,a 2,B =9,a -5,1-a ，且A I B =9 ，则有：当2a -1＝9时， 解得a ＝5，此时A =｛－4, 9, 25｝，B =｛9, 0, －4｝，不合题意，故舍去； 当 a 2＝9 时，解得 a ＝3或－3 .a ＝3时， A =｛－4,5,9｝， B =｛9,－2,－2｝，不合题意，故舍去； a ＝－3，A =｛－4, －7， 9｝，B =｛9, －8, 4｝ ，合题意. 所以， a ＝－3.【例2】设集合A ={x |(x -3)(x -a )=0,a R }，B ={x |(x -4)(x -1)=0}，求A U B , A I B .(教 材 P 14 B 组题 2 ) 解：B ={1,4}.当a =3时，A ={3}，则A U B ={1,3,4}，A I B =； 当a = 1时， A = {1,3} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={1}； 当a = 4时， A = {3, 4} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={4}； 当a 3且a 1且a 4时，A ={3,a }，则A U B ={1,3,4,a }，A I B =. 点评：集合 A 含有参数 a ，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时， 需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x|x2+4x=0}，B ={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a R}，若A I B=B，求实数a的值．解：先化简集合A={-4,0}. 由A I B=B，则B A，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或{-4,0}.(i)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a<-1；(ii)若0 B，代入得a2-1=0a=1或a=-1，当a =1 时，B=A，符合题意；当a = -1时，B={0} A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得a2-8a + 7 = 0 a=7或a=1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a=1或a≤-1．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B，若定义A-B={x|x A,且x B}，当集合A={x|x8,x N*}，集合B = {x | x(x - 2)(x - 5)(x - 6) = 0}时，有A - B = . (由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A={x| x U,且x A}”而拓展)解：根据题意可知，A={1,2,3,4,5,6,7,8}，B={0,2,5,6} 由定义A-B={x| x A,且x B}，则A-B={1,3,4,7,8}.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则A-B也相当于A I (C U B).¤知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作y = f(x)，x A．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{ f (x) | x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数，且a<b，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；6{x |a ≤x <b }＝［a ,b ) ， {x |a <x ≤b }＝(a ,b ］，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{x | x a } = (a , +) ， {x | x a }=［a ,+)，{x | x b }=(-,b )，{x |x b }=(-,b ］，R =(-,+).3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分 别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：(2)由，解得 x 3且 x 9，3x -1-2所以原函数定义域为[3,9)U(9,+).【例 2】求下列函数的定义域与值域：(1) y = 3x + 25- 4x解：(1)要使函数有意义，则5-4x 0，解得x 5. 所以原函数的定义域是{x | x 5}.3x + 2 1 12 x + 8 1 3(4 x - 5) + 23 3 23 3 3 3 y = = = =- + - +0=- ，所以值域为{y | y - }.5- 4x 4 5-4x 4 5- 4x 4 5- 4x444(2) y = -x 2+ x + 2 = -(x - 1)2+ 9. 所以原函数的定义域是 R ，值域是(-,9]. 24 4【例3】已知函数 f (1-x )=x . 求：(1) f (2)的值； (2) f (x )的表达式1 + x解：( 1)由1-x =2，解得x =-1，所以 f (2)=-1.1 + x3 32)设1+x =t ，解得x =1+t ，所以 f (t )=1+t ，即 f (x )=1+x. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函 数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.2【例 4】已知函数 f (x )=x ,x R .1 + x 21)求 f (x )+ f (1)的值；(2)计算：x(2)原式= f (1)+(f (2)+ f (12))+(f (3)+ f (13))+(f (4)+ f (14))=12+3=72 点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的 关键.¤知识要点：简明，给自变量可求函数值)；图象法(用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象， 反应变化趋势)；列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看 出函数值).例 1 】求下列函数的定义域： ( 1 ) y =x +12-1；(2) x -3 y = 3 x -1-2.解：( 1)由 x +2 -10，解得x -1且x -3， 所以原函数定义域为(-,-3)U(-3,-1)U(-1,+).解：( 1)由 f (x )+ f (1)=x 2x 2x2 1 + x 21 + x 21+x2+= 1 + x 1 + x 1 + x=1.2) y = - x + x + 2.f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f : A→ B 为从集合A 到集合B的一个映射（mapping）．记作“ f : A→ B”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是______________ ，这个函数的定义域为______ ．解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝x（a－2 x）2. 又由a－2 x0 ，解得x a.2所以，体积V以x为自变量的函数式是V =x（a－2x）2，定义域为{x|0x a}.【例2】已知f(x)= x+2x+2 x(-,1)，求f [f(0)]的值.x3+ x-3x(1,+)解：∵ 0(-,1)，∴ f(0)= 3 2.又∵ 3 2 >1 ，∴ f(32)=(3 2)3+(3 2)-3=2+1=5，即f[f(0)]= 5.【例3】画出下列函数的图象：(1)y=|x-2|； (教材P26 练习题3)(2) y =| x-1|+|2x+4|.解：( 1)由绝对值的概念，有y =| x - 2 |= x - 2, x2.2 -x, x 2 所以，函数y=| x - 2 |的图象如右图所示.3x+3, x 1（2）y =|x-1|+|2x+4|=x+5, -2x 1，-3 x- 3, x -2所以，函数y=|x -1|+|2x+4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，当x（-2.5,3]时，写出f（x）的解析式，并作出函数的图象.-3, -2.5 x -2-2, -2 x -1-1, -1x0 解：f(x)=0, 0x 11, 1x 2函数图象如右：2, 2 x 33, x = 3点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.8域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ， x 2 ，当 x 1<x 2 时， 都有 f (x 1)<f (x 2)，那么就说 f (x )在区间 D 上是增函数(increasing function ). 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数 f (x )在某个区间 D 上是增函数或减函数，就 说 f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫 f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1)，减函数的图象 从左向右是下降的(如右图 2). 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得 到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1 、x 2 ∈给定区间，且 x 1<x 2；→计算 f (x 1 )－f (x 2 ) →判断符 号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数 f (x )= 2x 在区间(0，1)上的单调性.x - 1解：任取x 1, x 2 ∈(0,1)，且x 1 x 2 . 则 f (x 1)- f (x 2)= 2x 1 - 2x 2 = 2(x 2-x 1) .x - 1 x -1 (x -1)(x -1) 由于0x x 1，x -10，x -10，x -x0，故 f (x )-f (x )0，即 f (x ) f (x ).所以，函数 f (x )= 2 x 在(0，1)上是减函数.x -1【例2】求二次函数 f (x )=ax 2+bx +c (a 0)的单调区间及单调性. 解：设任意x ,x R ，且x x . 则f (x )- f (x )=(ax 2+bx +c )-(ax 2+bx +c )=a (x 2-x 2)+b (x -x ) =(x -x )[a (x +x )+b ]. 若 a 0 ，当x x -时，有x -x 0 ， x +x - ，即a (x +x )+b 0 ，从而122 a12 12a12f (x 1)-f (x 2)0，即 f (x 1)f (x 2 ) ，所以 f (x )在(-,- b]上单调递增. 同理可得 f (x )在[- b ,+) 2a 2a上单调递减.【例 3】求下列函数的单调区间： (1)y =|x -1|+|2x +4|；(2)y =-x 2 +2|x |+3.3x +3, x1解：(1)y =|x -1|+|2x +4|=x +5, -2x 1，其图象如右. -3 x - 3, x -2由图可知，函数在［-2,+)上是增函数，在(-,-2］上是减函数.(2)y =-x2+2|x|+3=-x +2x +3, x 0，其图象如右.- x - 2x + 3, x 0由图可知，函数在(-,-1］、［0,1］上是增函数，在［-1,0］、［1,+) 上是减函数. 点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作 y 轴右侧的图象，并把 y 轴右侧的图象对折 到左侧，得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.1.定义最大值：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f (x) ≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y = f (x)的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义，可以给出最小值(Minimum Value)的定义.2.配方法：研究二次函数y=ax2+bx+c (a0) 的最大(小)值，先配方成y=a(x+ b )2+4ac-b后，当a0时，函数取最小值为4ac-b；当a0时，函数取最大值2a4a4a4ac - b24a3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数y= 6的最大值.x+x+1解：配方为y= 6，由(x+1)2+33，得068.y=1)2 +3 (x+2)+4 4 0(x+1)2 +38(x+24 24 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件10 元售出时，每天可售出100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了(x-10)元，减少了10g(x-10)件，所赚得的利润为y = (x -8)g[100-10g(x -10)].即y=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360. 当x=14时，y =360. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360 元. 【例3】求函数y = 2x + x - 1的最小值.解：此函数的定义域为1, +) ，且函数在定义域上是增函数，所以当x =1时，y min =2+ 1-1 = 2 ，函数的最小值为2.点评：形如y = ax + b cx+d的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令x-1=t，则t0 ，x=t2+1 ，所以y=2t2+t+2=2(t+1)2+15，在t0时是增函数，当t =0时，y =2，故48函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：53(1)y=3-2x-x , x[-2,2]； (2)y=|x+1|-|x-2|. 解：( 1)二次函数y =3-2x-x2的对称轴为x =-b，即x=-1.2a画出函数的图象，由图可知，当x=-1时，y max=4；当x = 23时，y min10所以函数y =3-2x -x 2, x [-5,3]的最大值为 4,最小值为- 9 . 3(x 2)(2) y =|x +1|-|x -2|=2x -1 (-1 x 2).-3 ( x -1)作出函数的图象，由图可知， y [-3,3]. 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图 象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函 数的图象注意分段作出.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数 f (x )定义域内的任意一个x ，都有 f (- x ) = f (x ) ，那么函数 f (x )叫偶函数(even function ). 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f (-x ) =-f (x ) )，那么 函数 f (x )叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函 数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判 别 f (-x )与 f (x )的关系.¤例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：(1) f (x )=x 3-1； (2) f (x )=|x -1|+|x +1|；(3) f (x )=x 2-x 3.x 解：( 1)原函数定义域为{x | x 0} ，对于定义域的每一个 x ，都有 f (-x )=(-x )3- 1=-(x 3- 1)=-f (x )， 所以为奇函数.- xx(2)原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个 x ，都有 f (-x )=|-x -1|+|-x +1|=|x -1|+|x +1|= f (x ) ，所以为偶函数. (3) 由于 f (-x )=x 2+x 3f (x )，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (x )-g (x )=1 ，求 f (x )、g (x ).x +1 解：∵ f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴ f (-x )=-f (x )，g (-x )=g (x ).两式相减，解得 f (x )= x ；两式相加，解得 g (x )= 1x 2 - 1 x 2 - 1则f ( x ) -g ( x ) =1x +1 f (-x )-g (-x ) = 1-x +1即f (x )-g (x )=x1+1-f (x )-g (x )=1 -x +1。
高中数学必修一第一讲集合
升高一数学精选精讲第一讲A A =∅=∅ B A ⊆A A = A ∅=B A ⊇()U A =∅ð 2()U A U =ð()()()U U A B A B =痧?()()()U U A B A B =痧?NM．B)=(∪（; (2)B)=(（(A A求且A 求(B)={1,5},((课后测试卷考试说明：1、本试卷完成时间为 分钟；2、本试卷满分为 100 分；3、考试中考生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生草稿纸要求规范使用，考试结束后上交。
一、选择题（每小题4分，共48分）1．设A={x|x ≤4}， ）（A ）{a} A （B ）a ⊆A （C ）{a}∈A （D ）a ∉A 2．若{1，2} A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）33．下面表示同一集合的是（ ）（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2210}x x -+=,N={1}4．若P ⊆U ，Q ⊆U ，且x ∈C U （P ∩Q ），则（ ）（A ）x ∉P 且x ∉Q （B ）x ∉P 或x ∉Q （C ）x ∈C U (P ∪Q) （D ）x ∈C U P 5． 若M ⊆U ，N ⊆U ，且M ⊆N ，则（ ）（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）C U N ⊆C U M （D ）C U M ⊆C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2+1,x ∈R}，N={y|y=x 2,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（ ）（A ）{(x,y)|x=1,,}22y x y R ±=∈ （B ）{(x,y)|x 1,,}22y x y R ≠±≠∈（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成≠ ≠绩都及格的人数是( )（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {}(,)1y x y x=,则A 、B 间的关系为（ ）（A ）AB （B ）BA （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（ ）（A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或 （C ）{}15x x x ≤>或 （D ） {}05x x x <≥或10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则00y x 与集合,M N 的关系是 （ ）（A ）00y x M ∈但N ∉（B ）00y x N ∈但M ∉（C ）00y x M ∉且N ∉（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩C U （N ∪P ） （C ）M ∪C U （N ∩P ） （D ）M ∪C U （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ⊆I,B A,则下列结论错误的是（ ）（A ）C I AC I B （B ）A ∩B=B （C ）A ∩C I B =Φ （D ） C I A ∩B=Φ二、填空题（每题3分，共12分）13．已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x=__________．14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有 个． 15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ． 16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”） 三、解答题（40分）17．（5分）已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A ∩(C U B)={1，2，8}，A ∩B={9}， 试求A ∪B ．18．（6分）设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)． 19．（6分）设集合A={x|2x 2+3px+2=0}；B={x|2x 2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}12时，求p 的值和A ∪B ．20．（7分）设集合A={2(,)462x y y x x a=++,B={}(,)2x y y x a =+,问：(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素．21．（7分）已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={}22221234,,,a a a a ，其中1234,,,a a a a 均为正整数，且1234a a a a <<<，A ∩B={a 1,a 4},a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．22．（7分）已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．。
第1讲 集合的基本概念(教师)
集合的基本概念 一、集合的概念 1．定义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。
集合中每一个对象称为该集合的元素，简称元。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……；元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……2.常用数集及记法(1)非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {},3,2,1*=N (3)整数集：全体整数的集合记作Z , {}012Z =±±，，， (4)有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q (5)实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R3.元素对于集合的隶属关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 注意“属于”号∈与“不属于”号∉，使用时不可反过来写！“A －6”与“A 8”的写法是错误的。
4.集合中元素的特性(1)确定性：A a ∈和A a ∉，二者必居其一，不能模棱两可．集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．(2)互异性：若A a ∈，A b ∈，则.b a ≠集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个。
例如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝。
(3)无序性：｛a ，b ｝和｛b ，a ｝表示同一个集合．集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。
5.集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1},用列举法表示集合时应注意以下四点： ① 元素间用分隔号“，”； ②元素不重复； ③不考虑元素顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。
第1讲 集合的概念与运算学生(新高一培优十六讲系列)
第1讲 集合的概念与运算[玩前必备]1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |p(x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系A B(或B A)8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1).求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集.题型二 集合的表示方法例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .[玩转跟踪]1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集.例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M I例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.[玩转跟踪]1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}∅C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.[玩转跟踪]1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为() A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( )A ．[0,3)B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，∁I A ＝{5}，求实数a ，b .12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值构成的集合.14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a2＜x ≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.。
高一-第1讲-集合的基本概念
如，整数集内排除0的集，表示成Z *6、集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合2．无限集：含有无限个元素的集合3．空集：不含任何元素的集合，记为“Φ”一、例题精讲例1．下列各组对象中，不能组成集合的是 （ ）A.所有的正三角形B.<<高一数学>>课本中的所有习题C.所有的数学难题D.所有的无理数解析：C 。
满足对象构成集合的条件为对象要确定，明确。
例2、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素例3、如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （B ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定例4、下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例5、（1）已知A=22{2,(1),33}a a a a ++++且1∈A，求实数a 的值；（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，2b }且M=N ，求a ，b 的值.解：（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.（2）由题意知,22a a b b =⎧⎨=⎩或2012a a b b b a =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或00a b =⎧⎨=⎩或14,12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求.例6、设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.解：∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,bb a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a ②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意，∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.例7、下列集合是无限集的是 （ D ）A.接近于1的实数组成的集合B.全世界的人口组成的集合C.{141.314.322+=+x x x }D.{}40<<x x例8、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B ＝ ___例9、直线21y x =-+上横坐标为2的点的集合是_______________________________.例10、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 __________例11、已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝－32－8a <0，∴a >98. 即实数a 的取值范围是(98，＋∞)． (2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23； 当a ≠0且Δ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43. ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.一、选择题1．下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}，P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( )A ．M 、N 、PB ．M 、P 、QC ．N 、P 、QD ．M 、N 、Q3．下列命题中正确的是( )A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( )A ．第一象限内的点B ．第三象限内的点C ．第一或第三象限内的点D ．非第二、第四象限内的点5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )A ．x ＋y ∈MB ．x ＋y ∈XC ．x ＋y ∈YD ．x ＋y ∉M6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }。
第1讲 集合的概念与表示 - 123
集合的概念和表示知识归纳和梳理：1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，…如：集合A=｛1,2,4｝ B=｛a,b,c ｝ 2.元素与集合的关系※a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 读作a 属于A, 记作 a ∈A ， ※a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 读作a 不属于A,记作 a ∉A 3. 集合的中元素的三个特性：（1）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
比如：book 中的字母构成的集合。
（3）无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
例如｛ 2，3，4 ｝与｛ 2，4，3 ｝一样，即｛ 2，3，4 ｝=｛ 2，4，3 ｝ 4.常用的数集表示法：※自然数集：N= {0，1，2，3，……}※整数集： Z={…-3，-2，-1，0，1，2，3，… } ※有理数集：Q= {所有的整数与分数} ※实数集: R ={全体实数}※正整数集 *N 或 +Z ={1,2,3,……}5.集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集 ※φ或｛ ｝表示空集，即不含任何元素的集合. 6.集合的表示法 ※列举法 ※描述法 ※图示法 例如：大于1小于5的所有整数的集合可表示为：=}4,3,2{=∈<<},51|{Z x x x 且2, 3 4(自左向右依次为列举法、描述法、图示法)【典型例题】：例1．下列命题正确的是 ( )A ．1是集合N 中最小的数B ．x 2-4x+4=0的解集为{2，2} C ．个子较高的人不能构成集合 D ．黄河中的鱼所组成的集合是无限集经典练习:1.下列各组对象哪些能形成集合，哪些不能形成集合，说明理由： (1)高一年级(四)班全体长头发女生；（ ） (2)所有正三角形；（ ）(3)高一(6)班戴眼镜的学生；（ ） (4)所有绝对值较小的无理数；（ ）(5)所有数学难题．（ ） (6)所有爱唱歌的女生( ) 2. 用符号“∈”或“∉”填空． 0_____N ，-1______ N ，3______ N ，31_____N, 0______φ, -21_____Q ； 5- Z , π R, 0 {0}, 0.3 Q, ∙-2.0 Q例2. 若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.经典练习:已知.,,},,2,2{},,,2{2的值求且b a N M b a N b a M ===例3.已知集合A={x|2mx -2x+1=0，m ∈R}. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值； （3）若A 中有2个元素，求m 的取值范围.经典练习:已知集合},032|{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围.【巩固练习】： 一、基础训练题：1．已知集合S ＝{a ，b ，c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D ．等腰三角形2．下面四个关系式中，正确的是 ( )(A)φ∈{0} (B)a ∉{a} (C){a}∈{a,b} (D)a∈{a,b}3.设M={平行四边形}，图形a 是矩形，图形b 是梯形，则a______M ，b_____M ．(填∉∈,) 4．不等式2x-3<4在自然数集中的解构成的集合为__________.5．{x ︱x=12+-n n , n∈N, n≤5}用列举法表示为________. 6．用适当的方法表示下列集合： (1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的数组成的集合；(3)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合．（4）函数32-=x y 图像上所有点的坐标的集合。
高考数学总复习第1讲 集合的概念与运算
D．{1,2,3,4,6}
解：因为 A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}， 所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜
－2 或 x＞2}，则∁UA＝(
)
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
点评：(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表 元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还 是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的 特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【变式探究】
1．(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a 等于( )
A．4
B．2
C．0
D．0 或 2
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
为
.
解：(1)当 a＝0 时，方程化为 1＝0，无解， 集合 A 为空集，不符合题意； 当 a≠0 时，由 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.
解：(2)因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 若 m＋2＝3，解得 m＝1，此时 A＝{3,3}与集合中元素的 互异性矛盾，所以 m＝1，不符合题意； 若 2m2＋m＝3，解得 m＝1(舍去)或 m＝－23. 检验知 m＝－32满足题意． 故所求 m 的值为－32.
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合
非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅或 A≠∅
两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起 重视．
第一讲 集合与命题
第一讲 集合与命题第一节 集合的概念与运算一、知识梳理1、集合：把某些能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
2、集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3、子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作A B ⊆，或B A ⊇4、真子集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫作集合B 的真子集，记作A B Ü，或B A Ý5、相等集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，且B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =6、空集：不含任何元素的集合，记∅。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
7、交集：由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫作A 与B 的交集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 且8、并集：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合，叫作A 与B 的并集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 或9、补集：记U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 在全集U 中的补集，记作{}U A x x U x A =∈∉且ð10、对于含有n 个元素的有限集合{}12,,,n A a a a = ，其子集的个数为2n个，其真子集的个为21n -个，其非空子集的个数为21n -个，其非空真子集的个数为22n-个 11、集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法 12、德·摩根公式：()U UU A B A B = 痧?，()U UU A B A B =痧?二、学法点拨1、理解集合的概念，掌握集合的三种表示方法，领会集合中元素的确定性、互异性、无序性（确定性和无序性主要用于列式，互异性主要用于检验），以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系。
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典例剖析
3、《课时训练1》 9 、《课时训练1 课时训练 明确什么是“孤立元” 明确什么是“孤立元”
典例剖析
题型二 集合的关系与运算 1、《课时训练1》 7 、《课时训练1 课时训练 可借助于文氏图 2、《优化设计 》 例5 、《优化设计 、《优化设计1.1》
记 A = {喜爱篮球 } , B = {喜爱乒乓球 },
典例剖析
题型一 集合的概念 1、《课时训练1》 2 、《课时训练1 课时训练 集合M表示函数的值域 表示函数的值域， 集合 表示函数的值域， 集合N表示函数的定义域 集合 表示函数的定义域 2、《课时训练 》 6 、《课时训练 、《课时训练1》
2 2 x y x y 变式： M = (x, y) + = 1 , N = ( x, y) + = 1, 9 4 3 2 则 M ∩ N = ___
知识归纳
3、重要结论： 重要结论： （1）n元素集的子集数是 2n 个 元素集的子集数是 B （2）A∩B = A ⇔ A ⊆ ； A∪B = B ⇔ A ⊆ B . ∪ （3）CU(A∩B) = (CUA) ∪ (CUB) CU(A∪B) = (CUA) ∩ (CUB) ∪ （4）card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B) ∪ A B
知识归纳
4、重要思想方法： 重要思想方法： （1）数形结合 不等式的解集间的运算多借助于数轴； 不等式的解集间的运算多借助于数轴； 一般集合可借助文氏图； 一般集合可借助文氏图；点集的几何意义为 函数图象或方程的曲线. 函数图象或方程的曲线 （2）分类讨论 含参的集合问题应注意对参数进行讨论； 含参的集合问题应注意对参数进行讨论； 关注空集！ 关注空集！
课前准备 《优化设计》+《课时训练》 优化设计》 课时训练》
知识归纳
1、集合中元素的三个特征： 集合中元素的三个特征： 确定性、无序性、互异性（注意检验） 确定性、无序性、互异性（注意检验） 2、集合分类： 集合分类： 按元素的个数： 有限集、无限集. 按元素的个数： 有限集、无限集. 按元素的性质： 数集、点集等. 按元素的性质： 数集、 集等. 对于集合问题，要确定是哪一类集合， 对于集合问题，要确定是哪一类集合，是 数集（定义域、值域、方程根的集合） 数集（定义域、值域、方程根的集合）还是 点集，然后确定处理此类问题的方法. 点集，然后确定处理此类问题的方法.
A
B
或 card(A∪B∪C) ∪ ∪ = card(A)+card(B)+card(C) -card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C) +card(A∩B∩C)
典例剖析
题型三 求参数的范围 1、《优化设计1.1》 例3 、《优化设计 》 、《优化设计 关注空集！ 关注空集！
card(A)=15Байду номын сангаас ，
card(B)=10，card(A∪B) = 30 - 8 = 22 ， ∪ 由card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)得 ∪ 得 card(A∩B)=10+15-22=3.
典例剖析
3、《课时训练1》 10 、《课时训练1 课时训练 可借助于文氏图