数学复习专题六二次函数应用题练习无答案新人教版

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二次函数应用题专项练习

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二次函数应用题分类解析1.某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:(1)求y与x的函数关系式;(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式;(3)如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。

市场调查发现:单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克。

在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。

设销售单价为x元,日均获利为y元。

(1)求y关于x的二次函数关系式,注明x的取值范围;(2)将(1)中所求出的二次函数配方成顶点式,写出顶点坐标;在图2所示的坐标系中画出草图;观察图象,指出单价定为多少元时日均获得最多,是多少?(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式,哪一种获总利较多,多多少?3.如图4,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点处到边MN的距离是4dm,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上,A、D落在抛物线上,问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm?4.某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.(1)求y关于x的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?4.如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式;(2) 求证:点D一定在l2上;(3) □ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.注:计算结果不取近似值 .5.如图,已知二次函数y=-21x2+4x+c的图像经过坐标原点,并且与函数y=21x 的图像交于O、A两点.(1)求c的值; (2)求A点的坐标;(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F,与这个二次函数的图像交于点E,求线段EF的最大长度.6.利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时,我们采用的一种方法是:在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法(2)已知函数y=x 3的图象(如图):求方程x 3-x-2=0的解.(结果保留2个有效数字) 7.已知抛物线y =ax 2+b x +c 经过A ,B ,C 三点,当x ≥0时,其图象如图所示. (1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标; (2)画出抛物线y =ax 2+b x +c 当x <0时的图象; (3)利用抛物线y =ax 2+b x +c ,写出为何值时,y >0.8.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8 m ,宽为2 m ,隧道最高点P 位于A B 的 中央且距地面6 m ,建立如图所示的坐标系. (1)求抛物线的解析式;(2)一辆货车高4 m ,宽2 m ,能否从该隧道内通过,为什么? (3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?9.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB 时,宽20m ,水位上升3m 就达到警戒线CD ,这时水面宽度为10m 。

人教中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣3x。

(2)点B的坐标为:(4,4)。

(3)存在;理由见解析;【解析】【分析】(1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值,从而求得抛物线的解析式。

(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标,也就求出了OA的长,根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

(3)根据B点坐标可求出直线OB的解析式,由于OB⊥OP,由此可求出P点的坐标特点,代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求△POB的面积时,求出OB,OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】解:(1)∵函数的图象与x轴相交于O,∴0=k+1,∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

(2)如图,过点B做BD⊥x轴于点D,令x 2﹣3x=0,解得:x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6,∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上,∴4=x 2﹣3x ,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。

又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4,∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为:(4,4)。

(3)存在。

∵点B 的坐标为:(4,4),∴∠BOD=45°,22BO 442=+=。

若∠POB=90°,则∠POD=45°。

人教中考数学复习《二次函数》专项综合练习含答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(6分)(2015•牡丹江)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0).请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)点E (2,m )在抛物线上,抛物线的对称轴与x 轴交于点H ,点F 是AE 中点,连接FH ,求线段FH 的长.注:抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的对称轴是x=﹣.【答案】(1)y=-2x-3;(2).【解析】 试题分析:(1)把A,B 两点坐标代入,求待定系数b,c ,进而确定抛物线的解析式;(2)连接BE ,点F 是AE 中点,H 是AB 中点,则FH 为三角形ABE 的中位线,求出BE 的长,FH 就知道了,先由抛物线解析式求出点E 坐标,根据勾股定理可求BE ,再根据三角形中位线定理求线段HF 的长.试题解析:(1)∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0),∴把A,B 两点坐标代入得:,解得:,∴抛物线的解析式是:y=-2x-3;(2)∵点E (2,m )在抛物线上,∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得:m=4﹣4﹣3=﹣3,∴E (2,﹣3),∴BE==.∵点F 是AE 中点,点H 是抛物线的对称轴与x 轴交点,即H 为AB 的中点,∴FH 是三角形ABE 的中位线,∴FH=BE=×=.∴线段FH 的长.考点:1.待定系数法求抛物线的解析式;2.勾股定理;3.三角形中位线定理.2.如图,已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ,B 两点,直线y x m =+过顶点C 和点B .(1)求m 的值;(2)求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式;(3)抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=︒?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)﹣3;(2)y 13=x 2﹣3;(3)M 的坐标为(3632). 【解析】【分析】 (1)把C (0,﹣3)代入直线y =x +m 中解答即可;(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标,再利用待定系数法确定函数关系式即可; (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可.【详解】(1)将C (0,﹣3)代入y =x +m ,可得:m =﹣3;(2)将y =0代入y =x ﹣3得:x =3,所以点B 的坐标为(3,0),将(0,﹣3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中,可得:390b a b =-⎧⎨+=⎩, 解得:133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以二次函数的解析式为:y 13=x 2﹣3; (3)存在,分以下两种情况:①若M 在B 上方,设MC 交x 轴于点D ,则∠ODC =45°+15°=60°,∴OD =OC •tan30°3=设DC 为y =kx ﹣33,0),可得:k 3= 联立两个方程可得:233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得:121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 所以M 1(36);②若M 在B 下方,设MC 交x 轴于点E ,则∠OEC =45°-15°=30°,∴OE =OC •tan60°=3设EC 为y =kx ﹣3,代入(30)可得:k 3= 联立两个方程可得:2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得:12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩, 所以M 23,﹣2).综上所述M 的坐标为(3,63,﹣2).【点睛】此题是一道二次函数综合题,熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.3.已知二次函数的图象以A (﹣1,4)为顶点,且过点B (2,﹣5)(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15.【解析】【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,故A'(2,4),B'(5,﹣5),∴S△OA′B′=12×(2+5)×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15.【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4.如图,抛物线y=12x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)判断△ABC 的形状,证明你的结论;(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点,当MC +MA 的值最小时,求点M 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y =213x -22x ﹣2,顶点D 的坐标为 (32,﹣258);(2)△ABC 是直角三角形,证明见解析;(3)点M 的坐标为(32,﹣54). 【解析】【分析】(1)因为点A 在抛物线上,所以将点A 代入函数解析式即可求得答案;(2)由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标,即可求得AB 、BC 、AC 的长,由勾股定理的逆定理可得三角形的形状;(3)根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称,求出点B ,C 的坐标,根据轴对称性,可得MA =MB ,两点之间线段最短可知,MC +MB 的值最小.则BC 与直线x 32=交点即为M 点,利用得到系数法求出直线BC 的解析式,即可得到点M 的坐标. 【详解】 (1)∵点A (﹣1,0)在抛物线y 212x =+bx ﹣2上,∴2112⨯-+()b ×(﹣1)﹣2=0,解得:b 32=-,∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2. y 21322x =-x ﹣212=(x 2﹣3x ﹣4 )21325228x =--(),∴顶点D 的坐标为 (32528,-). (2)当x =0时y =﹣2,∴C (0,﹣2),OC =2.当y =0时,21322x -x ﹣2=0,∴x 1=﹣1,x 2=4,∴B (4,0),∴OA =1,OB =4,AB =5.∵AB 2=25,AC 2=OA 2+OC 2=5,BC 2=OC 2+OB 2=20,∴AC 2+BC 2=AB 2.∴△ABC 是直角三角形. (3)∵顶点D 的坐标为 (32528,-),∴抛物线的对称轴为x 32=.∵抛物线y 12=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ,B 两点,∴点A 与点B 关于对称轴x 32=对称. ∵A (﹣1,0),∴点B 的坐标为(4,0),当x =0时,y 21322x =-x ﹣2=﹣2,则点C 的坐标为(0,﹣2),则BC 与直线x 32=交点即为M 点,如图,根据轴对称性,可得:MA =MB ,两点之间线段最短可知,MC +MB 的值最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b ,把C (0,﹣2),B (4,0)代入,可得:240b k b =-⎧⎨+=⎩,解得:122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴y 12=x ﹣2. 当x 32=时,y 1352224=⨯-=-,∴点M 的坐标为(3524-,). 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质,解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式.5.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k +1)x +k 2=0有两个实数根.(1)求k 的取值范围;(2)设x 1,x 2是方程两根,且121111x x k +=-,求k 的值. 【答案】(1)k ≥﹣14;(2)k =1+52. 【解析】【分析】 (1)根据方程有两个实数根可以得到△≥0,从而求得k 的取值范围;(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解:(1)△=(2k +1)2﹣4k 2=4k 2+4k +1﹣4k 2=4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14; (2)∵x 1,x2是方程两根,∴x 1+x 2=2k +1x 1x 2=k 2,又∵121111x x k +=-, ∴121211x x x x k +=⋅-, 即22111k k k +=+ , 解得:121515,k k +-==, 又∵k ≥﹣14 , 即:k =15-. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,根的判别式等知识,牢记“两根之和等于b a - ,两根之积等于c a”是解题的关键.6.如图,已知抛物线经过原点O ,顶点A (1,﹣1),且与直线y =kx +2相交于B (2,0)和C 两点(1)求抛物线和直线BC 的解析式;(2)求证:△ABC 是直角三角形;(3)抛物线上存在点E (点E 不与点A 重合),使∠BCE =∠ACB ,求出点E 的坐标; (4)在抛物线的对称轴上是否存在点F ,使△BDF 是等腰三角形?若存在,请直接写出点F 的坐标.【答案】(1)y =x 2﹣2x ,y =﹣x +2;(2)详见解析;(3)E (5524,);(4)符合条件的点F 的坐标(111,1,2【解析】【分析】(1)将B (2,0)代入设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1,求得a ,将B (2,0)代入y =kx +2,求得k ;(2)分别求出AB 2、BC 2、AC 2,根据勾股定理逆定理即可证明;(3)作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .根据对称与三角形全等,求得A '(3,1),然后求出A 'C 解析式,与抛物线解析式联立,求得点E 坐标;(4)设F (1,m ),分三种情况讨论:①当BF =BD=②当DF =BD=,③当BF =DFm =1,然后代入即可.【详解】(1)设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1,将B (2,0)代入,0=a (2﹣1)2﹣1,∴a =1,抛物线解析式:y =(x ﹣1)2﹣1=x 2﹣2x ,将B (2,0)代入y =kx +2,0=2k +2,k =﹣1,∴直线BC 的解析式:y =﹣x +2;(2)联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩, 解得1113x y =-⎧⎨=⎩,2220x y =⎧⎨=⎩, ∴C (﹣1,3),∵A (1,﹣1),B (2,0),∴AB 2=(1﹣2)2+(﹣1﹣0)2=2,AC 2=[1﹣(﹣1)]2+(﹣1﹣3)2=20,BC 2=[2﹣(﹣1)]2+(0﹣3)2=18,∴AB 2+BC 2=AC 2,∴△ABC 是直角三角形;(3)如图,作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .∵∠BCE =∠ACB ,∠ABC =90°,∴点A 与A '关于直线BC 对称,AB =A 'B ,可知△AFB ≌△A 'HB (AAS ),∵A (1,﹣1),B (2,0)∴AG =1,BG =OG =1,∴BH =1,A 'H =1,OH =3,∴A '(3,1),∵C (﹣1,3),∴直线A 'C :1522y x =-+, 联立:215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩,解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴E (52,54); (4)∵抛物线的对称轴:直线x =1,∴设F (1,m ),直线BC 的解析式:y =﹣x +2;∴D (0,2)∵B (2,0),∴BD =12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+①当BF =BD 2122m +=m =7∴F 坐标(11②当DF =BD=,m =∴F 坐标(1,1,2③当BF =DF,m =1,F (1,1),此时B 、D 、F 在同一直线上,不符合题意.综上,符合条件的点F 的坐标(111,1,2﹣【点睛】考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.7.如果一条抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点,那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a ,b ,c ]称为“抛物线系数”.(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题;(2)若一条抛物线系数为[1,0,﹣2],则其“抛物线三角形”的面积为 ;(3)若一条抛物线系数为[﹣1,2b ,0],其“抛物线三角形”是个直角三角形,求该抛物线的解析式;(4)在(3)的前提下,该抛物线的顶点为A ,与x 轴交于O ,B 两点,在抛物线上是否存在一点P ,过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ,使得△BPQ ∽△OAB ?如果存在,求出P 点坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)假;(2)3)y =-x 2+2x 或y =-x 2-2x ;(4)P (1,1)或P (-1,-3)或P (1,-3)或(-1,1).【解析】分析:(1)当△>0时,抛物线与x 轴有两个交点,由此可得出结论;(2)根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-,由此可得出结论;(3)根据“抛物线三角形”定义得到y =-x 2+2bx ,它与x 轴交于点(0,0)和(2b ,0);当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形,由抛物线顶点为(b ,b 2),以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯,解方程即可得到结论; (4)分两种情况讨论:①当抛物线为y =-x 2+2x 时,②当抛物线为y =-x 2-2x 时. 详解:(1)当△>0时,抛物线与x 轴有两个交点,此时抛物线才有“抛物线三角形”,故此命题为假命题;(2)由题意得:22y x =-,令y =0,得:x=,∴ S=122⨯=12x x ;(3)依题意:y =-x 2+2bx ,它与x 轴交于点(0,0)和(2b ,0);当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形. ∵y =-x 2+2bx =22()x b b --+,∴顶点为(b ,b 2),由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到:2122b b =⨯,∴2b b =,解得:b =0(舍去)或b =±1, ∴y =-x 2+2x 或y =-x 2-2x .(4)①当抛物线为y =-x 2+2x 时.∵△AOB 为等腰直角三角形,且△BPQ ∽△OAB ,∴△BPQ 为等腰直角三角形,设P (a ,-a 2+2a ),∴Q ((a ,0), 则|-a 2+2a |=|2-a |,即(2)2a a a -=-.∵a -2≠0,∴1a =,∴a =±1,∴P (1,1)或(-1, -3).②当抛物线为y =-x 2-2x 时.∵△AOB 为等腰直角三角形,且△BPQ ∽△OAB ,∴△BPQ 为等腰直角三角形,设P (a ,-a 2-2a ),∴Q ((a ,0),则|-a 2-2a |=|2+a |,即(2)2a a a +=+.∵a +2≠0,∴1a =,∴a =±1,∴P (1,-3,)或(-1,1).综上所述:P (1,1)或P (-1,-3)或P (1,-3,)或(-1,1).点睛:本题是二次函数综合题.考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义.解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a (a <0)与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,顶点为D ,直线DC 与x 轴相交于点E .(1)当a=﹣1时,求抛物线顶点D 的坐标,OE 等于多少;(2)OE 的长是否与a 值有关,说明你的理由;(3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a 的取值范围;(4)以DE 为斜边,在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE .设P (m ,n ),直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围.【答案】(1)(﹣1,4),3;(2)结论:OE 的长与a 值无关.理由见解析;(3)﹣3≤a≤﹣1;(4)n=﹣m ﹣1(m <1).【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题;(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断;(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断;(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,∴E(3,0),∴OE=3,(2)结论:OE的长与a值无关.理由:∵y=ax2+2ax﹣3a,∴C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a,当y=0时,x=3,∴E(3,0),∴OE=3,∴OE的长与a值无关.(3)当β=45°时,OC=OE=3,∴﹣3a=3,∴a=﹣1,当β=60°时,在Rt△OCE中,OC=3OE=33,∴﹣3a=33,∴a=﹣3,∴45°≤β≤60°,a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1.(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,∴∠DPM=∠EPN ,∴△DPM ≌△EPN ,∴PM=PN ,PM=EN ,∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),∴EN=4+n=3﹣m ,∴n=﹣m ﹣1,当顶点D 在x 轴上时,P(1,﹣2),此时m 的值1,∵抛物线的顶点在第二象限,∴m <1.∴n=﹣m ﹣1(m <1).故答案为:(1)(﹣1,4),3;(2)OE 的长与a 值无关;(3)﹣3≤a≤﹣1;(4)n=﹣m ﹣1(m <1).【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质。

初中-数学-人教版-6 二次函数的应用 第一课时 同步训练

初中-数学-人教版-6 二次函数的应用 第一课时 同步训练

6二次函数的应用第一课时同步训练基础巩固把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为x (cm ),它的面积为()2cm y (cm 2),则y 与x 之间的函数关系式为( )A. 250y x x =-+B. 2 50y x x =-C. 225y x x =-+D. 2225y x =-+一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD 是边长为80cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A ,B ,C ,D 四点重合于图中的点O ,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设cm BE CF x ==,要使包装盒的侧面积最大,则x 应取( )A. 30cmB. 25cmC. 20cmD. 15cm某农场计划用12m 长的篱笆(不能用作门)围成饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),现有四种方案供选择(如图):A 方案为一个封闭的矩形;B 方案为一个等边三角形,并留一处1m 宽的门;C 方案为一个矩形,中间用一道垂直于墙的篱笆隔开,并在如图所示的三处各留1m 宽的门;D 方案为一个矩形,中间用一道平行于墙的篱笆隔开,并在如图所示的四处各留1m 宽的门.则能建成的饲养室中面积最大的方案为( )A. B.C. D.如图,用12m 长的木材做窗框,要使透过窗户的光线最多,当窗框的AB 边长应为______m 时,透光面最大面积(窗框遮挡的面积忽略不计)为______2m .如图,菱形ABCD 的边长为8,60BAD ∠=︒,点E 是AD 上一动点(不与A ,D 重合),点F 是CD 上一动点,且8AE CF +=,则DEF △面积的最大值为______.阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃,花圃的一边利用20m 长的院墙,另三边用总长为32m 的篱笆恰好围成.如图,设AB 边的长为m x ,矩形ABCD 的面积为2m S . (1)求S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.用长为6m 的铝合金条制成如图所示的窗框,设窗框的高为m x ,窗户的透光面积为2m S (铝合金条的宽度不计).(1)S 与x 之间的函数关系式为______,自变量x 的取值范围为______;(2)如何安排窗框的高和宽,才能使窗户的透光面积最大?最大面积是多少?提高训练如图,利用一面长为34m 的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD ,在AB 和BC 边各有一个2m 宽的小门(不用铁栅栏),设矩形ABCD 的边AD 长为m x ,AB 长为m y ,矩形的面积为2m S ,且x y <.(1)若所用铁栅栏的长为40m ,写出y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围;(2)在(1)的条件下,求S 与x 的函数关系式,并求出怎样围才能使矩形场地的面积为2192m ?(3)在(2)的条件下,请直接写出当矩形场地的面积大于2192m 时x 的取值范围.我们曾经探究过“设计制作长方体形状的包装纸盒”,今天我们继续运用所学知识,解决“设计制作长方体形状的包装纸盒”中常见的问题.如图1是一块边长为60cm 的正方形薄铁片,现在用它来制作成如图2的一个长方体盒子.图1 图2 备图2(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形,边长为cm x ,然后把四边折合起来.①求做成的盒子底面积2cm y ,与截去小正方形边长cm x 之间的函数关系式; ②当做成的盒子的底面积为2900cm 时,试求该盒子的容积.(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子,其制作方案要求同时符合下列两个条件: ①必须在薄铁片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截);②折合后薄铁片既无空隙、又不重叠地围成各盒面,请你画出符合上述制作方案的一种草案(不必说明画法与根据),并求当底面积为2800cm 时,该盒子的高.为了美化环境,学校准备在如图所示的矩形ABCD 空地上进行绿化,规划在中间的一块四边形MNPQ 地上种花,其余的四块三角形地上铺设草坪,要求AM AN CP CQ ===,已知30 m BC =,42 m AB =,设 m AN x =,种花的面积为21m y ,草坪面积22m y . (1)分别求1y 和2y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (2)当AN 的长为多少米时,种花的面积为2640m ?(3)若种花每平方米需200元,铺设草坪每平方米需100元,现设计要求种花的面积不大于2640m ,设学校所需费用为W (元),求W 与x 之间的函数关系式,并求出学校所需费用的最大值.答案第1页,共4页 参考答案1、【答案】C【分析】【解答】2、【答案】C【分析】【解答】3、【答案】C【分析】【解答】4、【答案】3 6【分析】【解答】5、【答案】【分析】【解答】6、【答案】解:(1)由题意可得()2322232S x x x x =-=-+∵032220,0,x x <-⎧⎨>⎩解得616x <,即S 与x 之间的函数关系式是()2232616S x x x =-+<. (2)∵()2223228128S x x x =-+=--+,∴当8x =时,S 有最大值,最大值是2128m .【分析】【解答】7、【答案】解:(1)根据题意,得窗框的高为 m x ,则长为()1632x - ∴()21363322S x x x x =-⋅=-+. ∵0x >,630x ->,∴02x <<. 故答案为2332S x x =-+,02x <<. (2)()2233331222S x x x =-+=--+. ∵302-<, ∴当1x =时,S 有最大值,最大值为21.5 m .∴窗框的高为1m ,宽为1.5m ,才能使窗户的透光面积最大,最大面积是21.5 m .【分析】【解答】8、【答案】解:(1)由题意得2240y x x -++-=,∴244y x =-+.∵x y <,∴244x x <-+, ∴443x <. ∵长为34m 的墙,∴24434x -+,∴5x , ∴4453x <. (2)()2244244S xy x x x x ==-+=-+,∴S 与x 的函数关系式为2244S x x =-+当192S =时,有2244192x x -+=.解得16x =,216x =.∵244163x =>, ∴216x =不符合题意,舍去.∴264432y =-⨯+=.∴AD 长为6m ,AB 长为32m ,能使矩形场地的面积为2192m .(3)由(2)可知2244S x x =-+是开口向下的二次函数,∴当4463x <<时,矩形场地的面积大于2192m . 【分析】【解答】答案第3页,共4页9、【答案】解:(1)∵由题意可得()()260260242403600y x x x x =--=-+,即做成的盒子底面积2cm y 与截去小正方形边长cm x 之间的函数关系式是242403600y x x =-+.②令242403600900x x -+=,解得115x =,245x =.∵454560+>,∴45x =不符合题意,舍去.∴盒子的容积是()39001513500cm ⨯=30=,6030152x -==), ∴当做成的盒子的底面积为2900cm 时,该盒子的容积是313500cm .(2)截去的四边形是左上角和右上角的两个小四边形和四边形ABCD 、四边形EFGH ,如图所示,设盒子的高为cm h ,则底面积()()16026022S h h =-⋅-.当2800cm S =时,()()16026028002h h --=. 解得110h =,250h =.∵当50h =时,6020h -<,不合题意,∴10h =.∴当底面积为2800cm 时,该盒子的高是10cm .【分析】【解答】10、【答案】解:(1)根据题意,得()()2211223042272126022y x x x x x x =⨯⋅⋅+⨯--=-+, 2124230272y y x x =⨯-=-+.(2)根据题意,知1640y =,即2272640x x -+=.解得118x =,220x =.故当AN 的长为16m 或20m 时种花的面积为2640m .(3)根据题意可知()()()222200272100272126020018190800W x x x x x =-++-+=--+.由(2)知当016x <或2030x <时,1640y .在()220018190800W x =--+中,当18x <时,W 随x 的增大而增大,当18x >时,W 随x 的增大而减小, ∴当16x =时,W 取得最大值,最大值190000W =;当20x =时,W 取得最大值,最大值190000W =.∵学校所需费用的最大值为190000元.【分析】【解答】。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.某公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元,经市场调查发现,日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80,当x=50时,y=100.(1)求y与x的函数解析式;(2)若该公司销售该原料日获利为w(元),销售单价为x(元),那么当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大利润是多少元?2.已知某品牌床单进价为每件60元,每月的销量w(件)与售价x(元)的相关信息如下表(符合一次函数关系):售价(元/件)100110120130…月销售量(件)200180160140…(1)销售该品牌床单每件的利润是元(用含x的式子表示).(2)用含x的代数式表示月销量w.(3)设销售该品牌床单的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?3.某商场销售甲、乙两种产品,其中甲商品进价为20元.在销售过程中发现,甲商品每天的销售利润w1(单位:个)与其销售单价x(单位:元)有如下关系:w1=-x2+bx-1260,当x=30时,w1=330;乙商品每天的销售利润w2(单位:个)与其销售单价z(单位:元)有如下关系w2=-z2+102z+c,当z=50时,w2=440.其中x、z均为整数,并且销售单价均高于进价.(1)求b,c的值;(2)若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍,当两种商品每天获得的利润相同时,甲、乙两种商品销售单价分别为多少;(3)若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍,当这两种商品每天销售利润的和最大时,请直接写出此时甲的销售单价.4.某网店经营一种热销商品,每件进价为20元,出于营销考虑,要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该商品每周的销售量(y件)与销售单价(x元)之间满足一次函数关系;当销售单价为22元时,销售量为36件;当销售单价为24元时,销售量为32件.(1)请求出y与x的函数关系式;(2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元,①写出w与x的函数关系式;②将该商品销售单价定为多少元时,才能使网店每周销售该商品所获利润最大?最大利润是多少?5.某网店销售一种文具袋,成本为30元/件,每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)如果规定每天的销量不低于240件,那么当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?6.某超市销售一种商品,成本价为20元/千克,经市场调查,每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示,规定每千克售价不能低于30元,且不高于80元.设每天的总利润为w元.(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式;(2)请写出w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当销售单价定为多少元时,该超市每天的利润最大?最大利润是多少元?7.某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现.在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.(1)现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?(2)若该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多.8.某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件。

2020年人教版九年级数学上册专题小练习六《二次函数图象实际问题》解答题练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册专题小练习六《二次函数图象实际问题》解答题练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册专题小练习《二次函数图象实际问题》解答题练习1.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.(1)图中点P所表示的实际意义是;销售单价每提高1元时,销售量相应减少件;(2)请直接写出y与x之间的函数表达式:;自变量x的取值范围为;(3)第二个月的销售单价定为多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?2.某公司经营杨梅业务,以3万元/t的价格向农户收购杨梅后,分拣成A,B两类,A类杨梅包装后直接销售,B类杨梅深加工再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/t,根据市场调查,它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8-2,B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:t)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/t.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅,其中A类杨梅x t,经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润=销售总收入-经营总成本).①求W关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直接销售的A类杨梅有多少吨?(3)第二次该公司准备投人132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.3.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)当销售价定为45元时,计算月销售量和销售利润;(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下,使月销售利润达到10 000元,销售价应定为多少?(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润?求出最大利润.4.某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元售出,那么每月可售出500个,根据销售经验,销售单价每提高1元,销售量相应减少10个.(1)设销售单价提高x元(x为正整数),写出每月销售量y(个)与x(元)之间的函数关系式;(2)假设这种篮球每月的销售利润为w元,试写出w与x之间的函数关系式,并通过配方讨论,当销售单价定为多少元时,每月销售这种篮球的利润最大,最大利润为多少元?5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,据调查显示,每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数,且1≤x≤10);为了便于调控,此工厂每天只生产一个档次的产品,当生产质量档次为x的产品时,当天的利润为y万元.(1)求y关于x的函数关系式;(2)工厂为获得最大利润,应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的最大值.6.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.7.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?8.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y=a(x﹣6)2,已知球网与点O 的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.(1)当h=2.6时,求y与x的函数关系式.(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少?9.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB,使C,D点在抛物线上,A,B点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少米?10.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB(单位:米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2-4.(1)求a的值;(2)点C(-1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD 的面积.11.解:(1)图中点P所表示的实际意义是:当售价定为35元/件时,销售量为300件;第一个月的该商品的售价为20×(1+50%)=30(元),销售单价每提高1元时,销售量相应减少数量为(400-300)÷(35-30)=20(件).(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(30,400),(35,300)代入,得30k+b=400,35k+b=300解得k=-20,b=1000.∴y与x之间的函数表达式为y=-20x+1 000.当y=0时,x=50,∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为W元,由已知得:W=(x-20)y=(x-20)(-20x+1 000)=-20x2+1 400x-20 000=-20(x-35)2+4 500,∵-20<0,∴当x=35时,W取最大值4 500.答:第二个月的销售单价定为35元时,可获得最大利润,最大利润是4 500元.12.解:1.解:(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y=(x-30)[600-10(x-40)]=-10x2+1 300x-30 000;(2)当x=45时,600-10(x-40)=550(件),y=-10×452+1 300×45-30 000=8 250(元);(3)令y=10 000,代入(1)中函数关系式,得10 000=-10x2+1 300x-30 000,解得x1=50,x2=80.当x=80时,600-10(80-40)=200<300(不合题意,舍去),故销售价应定为50元;(4)y=-10x2+1 300x-30 000=-10(x-65)2+12 250,∴x=65时,y取最大值12 250.答:当销售价定为65元时会获得最大利润,最大利润为12 250元.2.解:(1)由题意得:y=500﹣10x.(2)w=(50﹣40+x)=5000+400x﹣10x2=﹣10(x﹣20)2+9000当x=20时,w有最大值,50+20=70,即当销售单价定为70元时,每月销售这种篮球的利润最大,最大利润为9000元.3.解:(1)由题意,得y=(2x+4),y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整数);答:y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400;(2)∵y=﹣10x2+180x+400,∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.∵1≤x≤10的整数,∴x=9时,y最大=1210.答:工厂为获得最大利润,应选择生产9档次的产品,当天利润的最大值为1210万元.4.解:(1)当1≤x<50时,Y=(x+40-30)(200-2x)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时,Y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000.(2)当1≤x<50时,y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,∵a=-2<0,∴当x=45时,y有最大值,最大值为6050元;当50≤x≤90时,y=-120x+12000,∵k=-120<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=50时,y有最大值,最大值为6000元.综上可知,当x=45时,当天的销售利润最大,最大利润为6050元(3)41;5.【答案】(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;(2)y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);(3)当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.6. 7.8.解:(1)∵ ,由抛物线的对称性可知,∴(4,0).∴ 0=16a-4.∴ a.(2)如图所示,过点C作于点E,过点D作于点F.∵ a=,∴ -4.当-1时,m=×-4=-,∴ C(-1,-).∵点C关于原点O的对称点为点D,∴ D(1,).∴ .∴△BCD的面积为15平方米.。

(名师整理)最新人教版数学中考《二次函数的综合应用》专题复习精品教案(含配套练习及答案)

(名师整理)最新人教版数学中考《二次函数的综合应用》专题复习精品教案(含配套练习及答案)

中考数学人教版专题复习:二次函数的综合应用一、考点突破1. 了解二次函数的概念和表示方法。

2. 会画二次函数的图象,从图象上直观地认识二次函数的性质,会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴、最大(小)值。

3. 能够用函数的观点看一元二次方程,了解求一元二次方程近似解的基本思想方法。

4. 掌握建立二次函数模型的方法,培养解决实际问题的能力。

二、重难点提示重点:二次函数的图象和性质。

难点:二次函数的综合运用。

考点精讲函数 y =ax 2+bx +c (a >0)y =ax 2+bx +c (a <0)图象xy Ox =-b2axyOx =-b 2a开口 向上 向下对称轴 x =-2b a顶点(-2ba,244ac b a -)增减性 当x <-2ba时,y 随x 的增大而减小, 当x >-2b a时,y 随x 的增大而增大。

当x <-2ba时,y 随x 的增大而增大,当x >-2b a时,y 随x 的增大而减小。

最值当x =-2b a时,y最小=244ac b a-。

当x =-2b a 时,y最大=244ac b a-。

2+k的图象。

平移规律是:(1)把抛物线y =ax 2向右(h >0)或向左(h <0)平移︱h ︱个单位,得到y =a (x -h )2的图象;(2)再把抛物线y =a (x -h )2向上(k >0)或向下(k <0)平移︱k ︱个单位,便得到y =a (x -h )2+k 的图象。

【难点剖析】二次函数与一元二次方程的关系【重要提示】(1)由抛物线的对称性易求对称轴为直线x =122x x ,且对称轴与x 轴交点恰为两交点间线段的中点。

(2)求两个函数的交点坐标,就是求出两个函数解析式组成的方程组的解。

二、二次函数的应用在利用二次函数的图象和性质解决实际问题时,常常需要根据条件建立二次函数的表达式,在求最大(或最小)值时,可以采取如下的方法:(1)画出函数的图象,观察图象的最高(或最低)点,就可以得到函数的最大(或最小)值。

人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案

人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案
x
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出 a,b,c 的值取值范围,进而利用一次函数与反比 例函数的性质得出答案. 【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下, ∴a<0,
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点, ∴c=0, ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧, ∴a,b 同号, ∴b<0, ∴一次函数 y=ax+c,图象经过第二、四象限,
A.①④
B.②④
C.②③
D.①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点,则 b2 4ac 0 ,即 b2 4ac ,所以①正确;②由二次函
数图象可知, a 0 , b 0 , c 0 ,所以 abc 0 ,故②错误;
③对称轴:直线 x b 1, b 2a ,所以 2a b c 4a c , 2a
有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A.2 个 【答案】B 【解析】
B.3 个
C.4 个
D.5 个
解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵顶点坐标(1,n),∴对称轴为直线 x=1,∴ b 2a
=1,∴b=﹣2a>0,∵与 y 轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),∴3≤c≤4, ∴abc<0,故①错误; 3a+b=3a+(﹣2a)=a<0,故②正确; ∵与 x 轴交于点 A(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,∴a﹣(﹣2a)+c=0,∴c=﹣3a,∴3≤﹣
∴函数 y= 的图象在第二、第四象限,
故选 B. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求 m 的取值范围是本题的关键.

人教中考数学复习二次函数专项综合练及详细答案

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(10分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).【解析】试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,).考点:二次函数的综合题2.如图1,对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2x2+bx+c,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且点A坐标为(-1,0).又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与抛物线对称轴交于点E,点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.(1)求点B 的坐标和抛物线的表达式;(2)当AE:EP=1:4 时,求点E 的坐标;(3)如图 2,在(2)的条件下,将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′,旋转角为α(0°<α<90°),连接C ′D、C′B,求C ′B+23C′D 的最小值.【答案】(1)B(3,0);抛物线的表达式为:y=12x2-x-32;(2)E(1,6);(3)C′B+23C′D4103【解析】试题分析:(1)由抛物线的对称轴和过点A,即可得到抛物线的解析式,令y=0,解方程可得B的坐标;(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15,从而求出E的坐标;(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,得到D(0,3).如图,取点M(0,43),连接MC′、BM.则可求出OM,BM的长,得到△MOC′∽△C′OD.进而得到MC′=23C′D,由C′B+23C′D=C′B+MC′≥BF可得到结论.试题解析:解:(1)∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1,∴-122b=1,∴b=-1.∵抛物线过点A(-1,0),∴12-b+c=0,解得:c=-32,即:抛物线的表达式为:y=12x2-x-32.令y=0,则12x2-x-32=0,解得:x1=-1,x2=3,即B(3,0);(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.∵EG∥PF,AE:EP=1:4,∴AEAP =AGAF=EGPF=15.又∵AG=2,∴AF=10,∴F(9,0).当x=9时,y=30,即P(9,30),PF=30,∴EG=6,∴E(1,6).(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,则D(0,3).∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称,∴EG=6,∴C(2,0),∴OC′=OC=2.如图,取点M(0,43),连接MC′、BM.则OM=43,BM=2243()3+=97.∵423'23OMOC==,'23OCOD=,且∠DOC′=∠C′OD,∴△MOC′∽△C′OD.∴'2'3MCC D=,∴MC′=23C′D,∴C′B+23C′D=C′B+MC′≥BM=4103,∴C′B+23C′D的最小值为4103.点睛:本题是二次函数的综合题,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的性质和判定,求得AF的长是解答问题(2)的关键;和差倍分的转化是解答问题(3)的关键.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:2y mx2mx3m=--(m<0)的顶点.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值. 【答案】(1)A (,0)、B (3,0).(2)存在.S △PBC 最大值为2716(3)2m 2=-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【解析】 【分析】(1)在2y mx 2mx 3m =--中令y=0,即可得到A 、B 两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式,由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出DM 2,BD 2,MB 2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m 的值. 【详解】解:(1)令y=0,则2mx 2mx 3m 0--=,∵m <0,∴2x 2x 30--=,解得:1x 1=-,2x 3=. ∴A (,0)、B (3,0).(2)存在.理由如下:∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-(a 0≠),把C (0,32-)代入可得,12a =. ∴C1的表达式为:()()1y x 1x 32=+-,即213y x x 22=--.设P (p ,213p p 22--), ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+().∵3a 4=-<0,∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716. (3)由C 2可知: B (3,0),D (0,3m -),M (1,4m -), ∴BD 2=29m 9+,BM 2=216m 4+,DM 2=2m 1+. ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:当∠BMD=90°时,BM 2+ DM 2= BD 2,即216m 4++2m 1+=29m 9+, 解得:12m =-,22m =(舍去). 当∠BDM=90°时,BD 2+ DM 2= BM 2,即29m 9++2m 1+=216m 4+, 解得:1m 1=-,2m 1=(舍去) . 综上所述,2m 2=-或1m =-时,△BDM 为直角三角形.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx ﹣3(a≠0)与x 轴交于点A (﹣2,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K ,使S △CBK :S △PBQ =5:2,求K 点坐标.【答案】(1)y=38x 2﹣34x ﹣3 (2)运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910(3)K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158)【解析】 【详解】试题分析:(1)把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a 、b 的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t 秒.利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910(t ﹣1)2+910.利用二次函数的图象性质进行解答; (3)利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3).如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △CBK =94.则根据图形得到:S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•(4﹣m ),把相关线段的长度代入推知:﹣34m 2+3m=94.易求得K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158).解:(1)把点A (﹣2,0)、B (4,0)分别代入y=ax 2+bx ﹣3(a≠0),得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以该抛物线的解析式为:y=38x 2﹣34x ﹣3;(2)设运动时间为t 秒,则AP=3t ,BQ=t . ∴PB=6﹣3t .由题意得,点C 的坐标为(0,﹣3). 在Rt △BOC 中,BC=2234+=5. 如图1,过点Q 作QH ⊥AB 于点H .∴QH ∥CO , ∴△BHQ ∽△BOC , ∴HB OC BGBC=,即Hb 35t=,∴HQ=35t.∴S△PBQ=1 2PB•HQ=12(6﹣3t)•35t=﹣910t2+95t=﹣910(t﹣1)2+910.当△PBQ存在时,0<t<2∴当t=1时,S△PBQ最大=910.答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是910;(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).把B(4,0),C(0,﹣3)代入,得403k cc+=⎧⎨=-⎩,解得3k4c3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC的解析式为y=34x﹣3.∵点K在抛物线上.∴设点K的坐标为(m,38m2﹣34m﹣3).如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m,34m﹣3).∴EK=34m﹣3﹣(38m2﹣34m﹣3)=﹣38m2+32m.当△PBQ的面积最大时,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ=910.∴S△CBK=94.S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•(4﹣m)=12×4•EK=2(﹣38m2+32m)=﹣34m2+3m.即:﹣34m2+3m=94.解得 m1=1,m2=3.∴K1(1,﹣278),K2(3,﹣158).点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围,即自变量的取值范围.5.如图①,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ 上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.①若点P的横坐标为12,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D 的坐标;②直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.【答案】(1)抛物线y=-x2+2x+3;(2)①点D(31524,);②△PQD面积的最大值为8【解析】分析:(1)根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)(I)由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ的表达式,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+54),进而即可得出DE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+72,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,进而可得出点P、Q的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ的表达式,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E 的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),进而即可得出DE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.详解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得:309330a ba b-+⎧⎨++⎩==,解得:12ab-⎧⎨⎩==,∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)(I)当点P的横坐标为-12时,点Q的横坐标为72,∴此时点P的坐标为(-12,74),点Q的坐标为(72,-94).设直线PQ的表达式为y=mx+n,将P(-12,74)、Q(72,-94)代入y=mx+n,得:17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩==,解得:154mn-⎧⎪⎨⎪⎩==,∴直线PQ的表达式为y=-x+54.如图②,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+54),∴DE=-x 2+2x+3-(-x+54)=-x 2+3x+74, ∴S △DPQ =12DE•(x Q -x P )=-2x 2+6x+72=-2(x-32)2+8. ∵-2<0,∴当x=32时,△DPQ 的面积取最大值,最大值为8,此时点D 的坐标为(32,154). (II )假设存在,设点P 的横坐标为t ,则点Q 的横坐标为4+t ,∴点P 的坐标为(t ,-t 2+2t+3),点Q 的坐标为(4+t ,-(4+t )2+2(4+t )+3), 利用待定系数法易知,直线PQ 的表达式为y=-2(t+1)x+t 2+4t+3.设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-2(t+1)x+t 2+4t+3), ∴DE=-x 2+2x+3-[-2(t+1)x+t 2+4t+3]=-x 2+2(t+2)x-t 2-4t ,∴S △DPQ =12DE•(x Q -x P )=-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t=-2[x-(t+2)]2+8. ∵-2<0,∴当x=t+2时,△DPQ 的面积取最大值,最大值为8.∴假设成立,即直尺在平移过程中,△DPQ 面积有最大值,面积的最大值为8.点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)(I )利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+72;(II )利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t .6.如图所示,已知平面直角坐标系xOy ,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+,对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4)(2)m 、n 的值分别为 5,-5【解析】(1) 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c ,得:4b+c-16=0,b+c-1="3" ,解得:b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为:24y x x =-+.y=-224(2)4y x x x =-+=--+,所以 抛物线的对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4).(2) 由题可知,E 、F 点坐标分别为(4-m ,n ),(m-4,n ).三角形POF 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,三角形AOP 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20,所以 4|n|=20, n=-5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以n<0)又n=-2m +4m ,所以2m -4m-5=0,m=5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5,-5.7.如图,某足球运动员站在点O 处练习射门,将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上),足球的飞行高度y(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间满足函数关系y =at 2+5t +c ,已知足球飞行0.8s 时,离地面的高度为3.5m .(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m )与飞行时间t(单位:s )之间具有函数关系x =10t ,已知球门的高度为2.44m ,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m ,他能否将球直接射入球门?【答案】(1)足球飞行的时间是85s 时,足球离地面最高,最大高度是4.5m ;(2)能.【解析】试题分析:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t 2+5t+,当t=时,y 最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门.解:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),∴, 解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,∴当t=时,y最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,∴他能将球直接射入球门.考点:二次函数的应用.8.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC 的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,∴B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),设M(2,t),且C(0,3),∴MC=,MP=|t+1|,PC=,∵△CPM为等腰三角形,∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),∵0<x<3,∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.考点:二次函数综合题.9.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=12x2+32x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.(1)求直线l 的解析式;(2)若直线x=m (m <0)与该抛物线在第三象限内交于点E ,与直线l 交于点D ,连接OD .当OD ⊥AC 时,求线段DE 的长;(3)取点G (0,﹣1),连接AG ,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P ,使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=122x --;(2)DE=3225;(3)存在点P (139,9881),使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标,从而可以求得直线l 的函数解析式;(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;(3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB ,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.【详解】(1)∵抛物线y=12x 2+32x-2, ∴当y=0时,得x 1=1,x 2=-4,当x=0时,y=-2,∵抛物线y=12x 2+32x-2与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C , ∴点A 的坐标为(-4,0),点B (1,0),点C (0,-2),∵直线l 经过A ,C 两点,设直线l 的函数解析式为y=kx+b , 402k b b -+⎧⎨-⎩==,得122k b ⎧-⎪⎨⎪-⎩==, 即直线l 的函数解析式为y=−12x−2; (2)直线ED 与x 轴交于点F ,如图1所示,由(1)可得,AO=4,OC=2,∠AOC=90°,∴5∴45525=, ∵OD ⊥AC ,OA ⊥OC ,∠OAD=∠CAO ,∴△AOD ∽△ACO , ∴AD AO AO AC =, 即425AD =,得85, ∵EF ⊥x 轴,∠ADC=90°,∴EF ∥OC ,∴△ADF ∽△ACO , ∴AF DF AD AO OC AC==, 解得,AF=165,DF=85, ∴OF=4-165=45, ∴m=-45, 当m=-45时,y=12×(−45)2+32×(-45)-2=-7225, ∴EF=7225, ∴DE=EF-FD=7225−85=3225; (3)存在点P ,使∠BAP=∠BCO-∠BAG ,理由:作GM ⊥AC 于点M ,作PN ⊥x 轴于点N ,如图2所示,∵点A (-4,0),点B (1,0),点C (0,-2),∴OA=4,OB=1,OC=2,∴tan ∠OAC=2142OC OA ==,tan ∠OCB=12OB OC =,5, ∴∠OAC=∠OCB ,∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ,∠GAM=∠OAC-∠BAG ,∴∠BAP=∠GAM , ∵点G (0,-1),5OA=4,∴OG=1,GC=1,∴17,••22AC GM CG OA =25?142GM ⨯, 解得,25, ∴22AG GM -222595(17)()55-=, ∴tan ∠GAM=2525995GM AM =, ∴tan ∠PAN=29, 设点P 的坐标为(n ,12n 2+32n-2), ∴AN=4+n ,PN=12n 2+32n-2, ∴2132222 49n n n +-+=, 解得,n 1=139,n 2=-4(舍去),当n=139时,12n2+32n-2=9881,∴点P的坐标为(139,9881),即存在点P(139,9881),使∠BAP=∠BCO-∠BAG.【点睛】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,作出合适的辅助线,找出所求问题需要的条件,利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答.10.如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,3),点B(3,﹣3),O为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC 的大小及点C的坐标.【答案】(1)22353y x x=;(2)t>4;(3)∠BOC=60°,C(323【解析】分析:(1)将已知点坐标代入y=ax2+bx,求出a、b的值即可;(2)利用抛物线增减性可解问题;(3)观察图形,点A,点B到直线OC的距离之和小于等于AB;同时用点A(13点B(33详解:(1)把点A(13B(33y=ax2+bx得3=393a ba b⎧+⎪⎨-=+⎪⎩,解得2353ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣2235333x x (2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x=54, 当x >54时,y 随x 的增大而减小, ∴当t >4时,n <m . (3)如图,设抛物线交x 轴于点F ,分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ,BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ,BC≥BE ,∴AD+BE≤AC+BE=AB ,∴当OC ⊥AB 时,点A ,点B 到直线OC 的距离之和最大.∵A (13B (33∴∠AOF=60°,∠BOF=30°,∴∠AOB=90°,∴∠ABO=30°.当OC ⊥AB 时,∠BOC=60°,点C 坐标为(323 点睛:本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式,抛物线的增减性.解答问题时注意线段最值问题的转化方法.。

人教中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题及详细答案

人教中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=14x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1.(2)点P的坐标为(2813,﹣1).(3)定点F的坐标为(2,1).【解析】分析:(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B′的坐标,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,即可得出(1-12-12y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组,解之即可求出顶点F的坐标.详解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.∵该抛物线经过点(4,1),∴1=4a,解得:a=14,∴抛物线的解析式为y=14(x-2)2=14x2-x+1.(2)联立直线AB 与抛物线解析式成方程组,得:214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩==,解得:11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩==,2241x y ⎧⎨⎩==, ∴点A 的坐标为(1,14),点B 的坐标为(4,1). 作点B 关于直线l 的对称点B′,连接AB′交直线l 于点P ,此时PA+PB 取得最小值(如图1所示).∵点B (4,1),直线l 为y=-1,∴点B′的坐标为(4,-3).设直线AB′的解析式为y=kx+b (k≠0),将A (1,14)、B′(4,-3)代入y=kx+b ,得: 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩==,解得:131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩==, ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43, 当y=-1时,有-1312x+43=-1, 解得:x=2813, ∴点P 的坐标为(2813,-1). (3)∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等,∴(m-x 0)2+(n-y 0)2=(n+1)2,∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1.∵M (m ,n )为抛物线上一动点,∴n=14m2-m+1,∴m2-2x0m+x02-2y0(14m2-m+1)+y02=2(14m2-m+1)+1,整理得:(1-12-12y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0.∵m为任意值,∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩===,∴021xy⎧⎨⎩==,∴定点F的坐标为(2,1).点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用两点之间线段最短找出点P的位置;(3)根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于x0、y0的方程组.2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P 在第三象限.①当线段PQ=34AB时,求tan∠CED的值;②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =x 2-2x -3.(2)直线BC 的函数表达式为y =x -3.(3)①23.①P 1(12),P 2(1,74). 【解析】【分析】已知C 点的坐标,即知道OC 的长,可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长,即可得出B 点的坐标.已知了△AOC 和△BOC 的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO 与OB 的比.由此可求出OA 的长,也就求出了A 点的坐标,然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.【详解】(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴− 221bb a-⨯==1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C (0,-3),∴c=-3,∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3;(2)∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点,当y=0时,x 2-2x-3=0.∴x 1=-1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧,∴A (-1,0),B (3,0)设过点B (3,0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m ,则033k m m ==+⎧⎨-⎩, ∴13k m ⎧⎨-⎩== ∴直线BC 的函数表达式为y=x-3;(3)①∵AB=4,PQ=34AB , ∴PQ=3∵PQ ⊥y 轴∴PQ ∥x 轴,则由抛物线的对称性可得PM=32, ∵对称轴是直线x=1,∴P 到y 轴的距离是12,∴点P的横坐标为−12,∴P(−12,−74)∴F(0,−74),∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F,∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DG⊥CE于点G,∴DG=1,CG=1,∴GE=CE-CG=52-1=32.在Rt△EGD中,tan∠CED=23 GDEG=.②P1(2,-2),P2(6-52).设OE=a,则GE=2-a,当CE为斜边时,则DG2=CG•GE,即1=(OC-OG)•(2-a),∴1=1×(2-a),∴a=1,∴CE=2,∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2,把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:2或2∵点P在第三象限.∴P1(-2),当CD为斜边时,DE⊥CE,∴OE=2,CE=1,∴OF=2.5,∴P和F的纵坐标为:-52,把y=-52,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:∵点P在第三象限.∴P2(1-2,-52).综上所述:满足条件为P1(-2),P2(1-2,-52).【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.3.童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元;(2)每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】(1)根据售量与售价x(元/件)之间的关系列方程即可得到结论.(2)设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解:(1)根据题意得,(60﹣x)×10+100=3×100,解得:x=40,60﹣40=20元,答:这一星期中每件童装降价20元;(2)设利润为w,根据题意得,w=(x﹣30)[(60﹣x)×10+100]=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10(x﹣50)2+4000,答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】本题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.4.如图,已知A (﹣2,0),B (4,0),抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点,并与过A 点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C . (1)求抛物线解析式及对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使四边形ACPO 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;(3)点M 为y 轴右侧抛物线上一点,过点M 作直线AC 的垂线,垂足为N .问:是否存在这样的点N ,使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似,若存在,求出点N 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为:y=211184x x --,抛物线对称轴为直线x=1;(2)存在P 点坐标为(1,﹣12);(3)N 点坐标为(4,﹣3)或(2,﹣1) 【解析】 分析:(1)由待定系数法求解即可;(2)将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可; (3)利用相似三角形对应点进行分类讨论,构造图形.设出点N 坐标,表示点M 坐标代入抛物线解析式即可.详解:(1)把A (-2,0),B (4,0)代入抛物线y=ax 2+bx-1,得 042101641a b a b --⎧⎨+-⎩== 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩== ∴抛物线解析式为:y=18x 2−14x−1∴抛物线对称轴为直线x=-141 228ba-=-⨯=1(2)存在使四边形ACPO的周长最小,只需PC+PO最小∴取点C(0,-1)关于直线x=1的对称点C′(2,-1),连C′O与直线x=1的交点即为P 点.设过点C′、O直线解析式为:y=kx∴k=-12∴y=-12x则P点坐标为(1,-12)(3)当△AOC∽△MNC时,如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似,∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称,则N为DM中点设点N坐标为(a,-12a-1)由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为(0,-52a−1)∵N为DM中点∴点M 坐标为(2a ,32a−1) 把M 代入y=18x 2−14x−1,解得 a=4 则N 点坐标为(4,-3)当△AOC ∽△CNM 时,∠CAO=∠NCM∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N由(2)N (2,-1)∴N 点坐标为(4,-3)或(2,-1)点睛:本题为代数几何综合题,考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似.解答时,应用了数形结合和分类讨论的数学思想.5.在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -,对称轴为直线l ,点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴,交y 轴于点C .(Ⅰ)求该抛物线的解析式及对称轴;(Ⅱ)点P 在y 轴上,当PA PB +的值最小时,求点P 的坐标;(Ⅲ)抛物线上是否存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;(Ⅱ)P 点坐标为9(0,)4-;(Ⅲ)存在,Q 点坐标为或(-,理由见解析【解析】【分析】(Ⅰ)将3)A -点代入二次函数的解析式,即可求出a ,再根据对称轴的公式即可求解.(Ⅱ)先求出B 点胡坐标,要求PA PB +胡最小值,只需找到B 关于轴的对称点1B ,则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ,根据待定系数法求出AB 1的解析式,令y=0,即可求出P 点的坐标.(Ⅲ)设点Q 的坐标,并求出△AOQ 面积,从而得到△AOQ 面积,根据Q 点胡不同位置进行分类,用m 及割补法求出面积方程,即可求解.【详解】(Ⅰ)∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -,∴232a-=⨯-12a=,∴抛物线的解析式为212y x x=,∵21222bxa=-=-=⨯∴抛物线的对称轴为直线2x=.(Ⅱ)∵点(0,0)O,对称轴为x=,∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B,得1(B-,设直线AB1的解析式为y kx b=+,把点3)A-,点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩,解得494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴944y x=--.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-,∵P点坐标为9(0,)4-.(Ⅲ)∵3)A-,//AC x轴,∴AC=3OC=,∴11322AOCS OC AC∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQS S∆∆=,∴3AOQ AOCS S∆∆==.设Q点坐标为21(,)22m m m-,如图情况一,作QR CA⊥,交CA延长线于点R,∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形, ∴()21133113333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 化简整理得23180m m --=,解得133m =,223m =-.如图情况二,作QN AC ⊥,交AC 延长线于点N ,交x 轴于点M ,∵932AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形, ∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=,化简整理得23180m m --=,解得133m =,223m =-,∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-,∴抛物线上存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质,以及求两边和的最小值,面积等常见的题型,计算量较大,但难度不是很大.6.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值;(3)如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E 与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=--+.(2)3210.(3)①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可.(2)根据BC 是定值,得到当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E 的横坐标为m ,表示出E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+),最后表示出EF 的长,从而表示出S 于m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C (0,3),∴a 1=-.∴抛物线的解析式为:()()y x 3x 1=-+-,即2y x 2x 3=--+.(2)∵△PBC 的周长为:PB+PC+BC ,且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称,∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点.∵AP=BP ,∴△PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3),∴AC=32,BC=10.∴△PBC 的周长最小是:3210+.(3)①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为(﹣1,4),A (﹣3,0),∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ,∴E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+)∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++,∴当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).7.如图,抛物线y=ax 2+bx 过点B (1,﹣3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x 轴的正半轴交于点A .(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x 的取值范围; (2)在第二象限内的抛物线上有一点P ,当PA ⊥BA 时,求△PAB 的面积.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ,自变量x 的取值范图是0≤x≤4;(2)△PAB 的面积=15.【解析】【分析】(1)将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中,再和对称轴方程联立求出待定系数a和b;(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,设P(x,x2-4x),证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标,将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积.【详解】(1)由题意得,3 22a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩==,解得14ab-⎧⎨⎩==,∴抛物线的解析式为y=x2-4x,令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,结合图象知,A的坐标为(4,0),根据图象开口向上,则y≤0时,自变量x的取值范围是0≤x≤4;(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,设P(x,x2-4x),∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=,即244213x x x--=-,解得,x= −1,x=4(舍去)∴x2-4x=-5∴点P的坐标为(-1,-5),又∵B点坐标为(1,-3),易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为(14,0)∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题,求出函数解析式是解题的关键,特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出,利用点的坐标求三角形的面积是关键.8.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?【答案】(1)足球飞行的时间是85s时,足球离地面最高,最大高度是4.5m;(2)能.【解析】试题分析:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,当t=时,y最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门.解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,∴当t=时,y最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,∴他能将球直接射入球门.考点:二次函数的应用.9.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.【答案】(1)E(3,1);(2)S最大=214,M坐标为(32,3);(3)F坐标为(0,﹣32).【解析】【分析】1)把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值,确定出二次函数解析式,与一次函数解析式联立求出E坐标即可;(2)过M作MH垂直于x轴,与直线CE交于点H,四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大,构造出二次函数求出最大值,并求出此时M坐标即可;(3)令y=0,求出x的值,得出A与B坐标,由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似,由相似得比例求出OF的长,即可确定出F坐标.【详解】(1)把C(0,2),D(4,﹣2)代入二次函数解析式得:2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩,解得:2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩,即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2,联立一次函数解析式得:2225233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩, 消去y 得:﹣13x+2=﹣23x 2+53x+2, 解得:x=0或x=3,则E (3,1); (2)如图①,过M 作MH ∥y 轴,交CE 于点H ,设M (m ,﹣23m 2+53m+2),则H (m ,﹣13m+2), ∴MH=(﹣23m 2+53m+2)﹣(﹣13m+2)=﹣23m 2+2m , S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =12×2×3+12MH•3=﹣m 2+3m+3, 当m=﹣a b =32时,S 最大=214,此时M 坐标为(32,3); (3)连接BF ,如图②所示,当﹣23x 2+53x+20=0时,x 15+73,x 2=5-734, ∴OA=73-54,OB=734, ∵∠ACO=∠ABF ,∠AOC=∠FOB ,∴△AOC ∽△FOB ,∴OA OC OF OB = ,即73-545+73OF = ,解得:OF=32,则F坐标为(0,﹣32).【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数图象与性质,以及图形与坐标性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.10.已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.【答案】(1)(﹣1,0)或(5,0)(2)①(0,﹣5),(4,﹣5)②y=﹣ax2+4ax﹣5(3)a=或【解析】试题分析:(1)将a=1代入解析式,即可求得抛物线与x轴交点;(2)①化简抛物线解析式,即可求得两个点定点的横坐标,即可解题;②根据抛物线翻折理论即可解题;(3)根据(2)中抛物线C2解析式,分类讨论y=2或﹣2,即可解题试题解析:(1)当a=1时,抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,∴对称轴为y=2;∴当y=0时,x﹣2=3或﹣3,即x=﹣1或5;∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)或(5,0);(2)①抛物线C1解析式为:y=ax2﹣4ax﹣5,整理得:y=ax(x﹣4)﹣5;∵当ax(x﹣4)=0时,y恒定为﹣5;∴抛物线C1一定经过两个定点(0,﹣5),(4,﹣5);②这两个点连线为y=﹣5;将抛物线C1沿y=﹣5翻折,得到抛物线C2,开口方向变了,但是对称轴没变;∴抛物线C2解析式为:y=﹣ax2+4ax﹣5,(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,则x=2时,y=2或者﹣2;当y=2时,2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;当y=﹣2时,﹣2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;∴a=或;考点:1、抛物线与x轴的交点;2、二次函数图象与几何变换。

二次函数的实际应用题专项训练卷(3)

二次函数的实际应用题专项训练卷(3)

二次函数的实际应用题专项训练卷(3)1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.若设每件衬衫降价x元,解答下列问题:(1)当每件衬衫降价5元,则每件利润元,平均每天可售出件.(2)若平均每天获利为Q元,请求出Q与x的函数关系式.(3)若商场想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?2.某超市销售一种商品,成本价为20元/千克,经市场调查,每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示,规定每千克售价不能低于30元,且不高于80元.设每天的总利润为w元.(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式;(2)请写出w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当销售单价定为多少元时,该超市每天的利润最大?最大利润是多少元?3.普洱茶是中国十大名茶之一,也是中华古老文明中的一颗瑰宝.某公司经销某种品牌普洱茶,每千克成本为50元.经市场调查发现:每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表所示,销售单价x(元/千克)566575销售量y(千克)12811090解答下列问题:(1)求y与x的函数关系式;(2)求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值;(3)物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克,公司想获得不低于2000元周利润,请计算销售单价范围.4.为了研究飞机着陆后滑行的距离s(单位:米)与滑行的时间t(单位:秒)之间的关系,测得一些数据如表:滑行的时间t02468滑行的距离s0114216306384(1)若滑行的距离和时间之间是一个一次函数或二次函数关系,用你学过的知识进行判断并求出这个函数关系式;(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来?5.有一如图所示的纸片,拱形边缘呈抛物线形状,MN=8米,抛物线顶点到边MN的距离是8米.点A和点D是抛物线上的两动点,且AD∥BC,过点A作AB⊥BC作DC⊥BC,过点B作DC⊥BC,点B、C在边MN上.(1)四边形ABCD是否可能为正方形?试说明明理由;(2)试求四边形ABCD周长的最大值.6.小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓,了解到某品种草莓成本为10元/千克,在第x天的销售量与销售单价如下(每天内单价和销售量保持一致):销售量m(千克)m=40﹣x销售单价n(元/千克)当1≤x≤15时,n=20+x当16≤x≤30时,n=10+设第x天的利润w元.(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克?(2)这30天中,该同学第几天获得的利润最大?最大利润是多少?注:利润=(售价﹣成本)×销售量(3)在实际销售的前15天中,草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给a(a≥2)元奖励.通过销售记录发现,前8天中,每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大,试求a的取值范围.7.受我国经济刺激政策和全球经济复苏的影响,2009年我国房地产市场开始回暖,下图反映08年7月至09年6月我国70个大城市房价同比增长率变化情况(注:同比增长率是指房价与上一年同时期相比增长的百分比)(1)看图分析:2008年7月房价比2007年7月的房价;2008年8月的房价比2008年7月的房价;(填“高”、“相等”、“低”、“不能确定”.)(2)从图上可以看出:同比增长率与月份之间折线图可以“近似”的看成一段抛物线,以2008年7月的坐标为(0,7.0)建立平面直角坐标系.请你根据图中信息求出同比增长率与月份之间“近似”的函数关系式,并据此推算2009年9月同比增长率会达到多少?(3)若从2008年7月到2008年9月房价持平,求从2009年7月开始到2009年9月房价月平均增长率.(结果精确到0.01,可能用到数据:)8.现有边长为180厘米的正方形铁皮,准备将它设计并制成一个开口的水槽,使水槽能通过的水的流量最大.某校九年级(2)班数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,则通过水槽的水的流量越大.为此,他们对水槽的横截面,进行了如下探索:(1)方案①:把它折成横截面为矩形的水槽,如图.若∠ABC=90°,设BC=x厘米,该水槽的横截面面积为y厘米2,请你写出y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值又是多少?方案②:把它折成横截面为等腰梯形的水槽,如图.若∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y的最大值比较大小.(2)假如你是该兴趣小组中的成员,请你再提供一种方案,使你所设计的水槽的横截面面积更大.画出你设计的草图,标上必要的数据(不要求写出解答过程).9.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y 元/千克,y关于x的函数解析式为y=,且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).(1)m=,n=;(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天?10.近年来,西部某民族聚居区扶贫工作小组结合当地实际,大力开发乡村旅游扶贫项目,积极挖掘乡村生态休闲、旅游观光、文化教育价值,发展乡村民宿.某民宿建有40个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每天需对每个房间支出40元的各种费用,设每个房间的定价为x元,相应的住房数为y间.(1)求y与x的函数关系式;(2)求每个房间定价为多少元时,该民宿当天利润W最大?最大利润是多少?11.某服装经销商甲,库存有进价每套400元的A品牌服装1200套,正常销售时每套600元,每月可卖出100套,一年内刚好卖完,现在市场上流行B品牌服装,此品牌服装进价每套200元,售出价每套500元,每月可卖出120套(两套服装的市场行情互不影响).目前有一可进B品牌的机会,若这一机会错过,估计一年内进不到这种服装,可是,经销商手头无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,经与经销商乙协商,达成协议,转让价格(元/套)与转让数量(套)有如下关系:转让数量120011001000900800700600500400300200100(套)240250260270280290300310320330340350价格(元/套)方案1:不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装;方案2:全部转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装;方案3:部分转让A品牌服装,用转让来的资金购B品牌服装后,经销B品牌服装,同时经销A品牌服装.问:①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元?②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润?若选用方案3,请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少(精确到百套)?此时他在一年内共得利润多少元?12.一辆电瓶车在实验过程中,前10秒行驶的路程s(米)与时间t(秒)满足关系式s=at2,第10秒末开始匀速行驶,第24秒末开始刹车,第28秒末停在离终点20米处.下图是电瓶车行驶过程中第2秒记录一次的图象.(1)求电瓶车从出发到刹车时的路程s(米)与时间t(秒)的函数关系式.(2)如果第24秒末不刹车继续匀速行驶,那么出发多少秒后通过终点?(3)如果10秒后仍按s=at2的运动方式行驶,那么出发多少秒后通过终点?(参考数据:≈2.24,≈2.45,计算结果保留两个有效数字.)Array 13.如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?.(本小题只需直接写出答案)14.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时,到地面OA的距离为m.(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?15.【问题实验】如图①,在地面BD上有两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.(1)求绳子最低点到地面的距离;(2)如图②,因实际需要,需用一根立柱MN撑起绳子.①若在离AB为4米的位置处用立柱MN撑起,使立柱左侧的抛物线的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;②将立柱MN来回移动,移动过程中,在一定范围内,总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变,其函数表达式为y=x2﹣mx+3,当抛物线最低点到地面距离为0.5米时,求m 的值.【问题抽象】如图③,在平面直角坐标系中,函数y=﹣mx+3(x<0)的图象记为M1,函数y=﹣mx+3(x≥0)的图象记为M2,其中m是常数,图象M1、M2合起来得到的图象记为M.设M在﹣3≤x≤2上的最低点纵坐标为y0,当﹣6≤y0≤2时,直接写出m的取值范围.16.某水果超市以每千克6元的价格购进了一批水果,经测算,此水果超市每天需支出固定费用(包括房租,水电费,员工工资等)为600元.若该种水果的销售单价不超过10元,则日销售量为300千克;若该种水果的销售单价超过10元,则每超过1元,日销售就减少12千克.设该种水果的销售单价为x(x>6,且x为整数)元,日净收入为y元(日净收入=日销售利润﹣每天固定支出的费用).(1)求y与x之间的函数关系式;(2)此水果超市销售该种水果的日净收入能否达到1560元?否能,请求出此时的销售单价.17.我市一家电子计算器专卖店每只进价12元,售价20元,多买优惠;凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20﹣10)=1(元),因此,所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为每只16元.(1)求一次至少买多少只,才能以最低价购买;(2)求该专卖店当一次销售x只时(x>10),所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间,问一次卖多少只获得的利润最大?其最大利润为多少元?18.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y=﹣50x+2600,去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表:月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少?(2)由于受国际金融危机的影响,今年1,2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m的值(保留一位小数).(参考数据:≈5.831,≈5.916,≈6.083,≈6.164)。

人教版九年级数学22.3:二次函数应用题 分类训练(无答案)

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二次函数应用题分类训练一.(拱桥问题)1.河上有一座抛物线形的石拱桥,水面宽6m时,水面离桥拱顶部3米,因暴雨水位上升1m,(1)求抛物线的解析式.(2)一首装满货物的小船,露出水面部分的高为0.5m,宽为4m,暴雨后,这艘小船能从这座石拱桥下通过吗?请说明理由.二.(隧道问题)2.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为m.(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?三.(球类运行问题)3.如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.羽毛球沿水平方向运动4m时,达到羽毛球距离地面最大高度是m.(1)求羽毛球经过的路线对应的函数关系式;(2)通过计算判断此球能否过网;(3)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q 处时,乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离.四.(靠墙围矩形问题)4.在某市开展的环境创优活动中,某居民小区要在一块靠墙(墙长20m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为60m的栅栏围成,若设花园靠墙的一边长为x(m),花园的面积为y(m2)(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)满足条件的花园面积能达到450m2吗?若能,求出此时x的值,若不能,请说明理由;(3)根据(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?五.(销售利润问题)5.某商场销售一种进价为每件10元的日用商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=﹣10x+400,设销售这种商品每天的利润为W(元)(1)求W与x之间的函数关系式;(2)在保证销售量尽可能大的前提下,该商场每天还想获得2000元的利润,应将销售单价定为多少元?(3)当每天销售量不少于50件,且销售单价至少为32元时,该商场每天获得的最大利润是多少?6.某网店经市场调查,发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y(件)与售价x(元)的相关信息(1)试用你学过的函数来描述y与x的关系,这个函数可以是(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”),求这个函数关系式;(2)当售价为元时,当月的销售利润最大,最大利润是元;(3)若获利不得高于进价的80%,那么售价定为多少元时,月销售利润达到最大?7.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售y(件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系,如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?六.(利润范围求售价问题)8.在春节来临之际,某商场抓住商机,以单价40元的价格购进一批商品,再以单价50元出售,每天可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每天少卖10件(假如售价不能低于50且不能高于56元),设每件商品的售价为x元(x为正整数),每天的销量为y件.(1)写出y与x的函数关系式;(2)每件商品的价定为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?(3)为保证每天的利润不低于2210元,求该商品销售单价x的范围.9.某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?七.(二次函数分段函数问题)10.小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机,在试销的60天内整理出了销售数据如下(1)若试销阶段每天的利润为W元,求出W与x的函数关系式;(2)请同在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值?最大值为多少?11..某工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发,批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系.(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若一次性批发量不超过60件,当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?八.(双图像结合问题)12.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:某件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲),这件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份成本最高(如图乙).(1)这件商品在6月份出售时的利润是多少元?(2)求出图乙中表示的这件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)你能求出3月份至7月份这件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品3000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?13.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资金额x成正比例关系,如图1所示:种植花卉的利润y2与投资金额x成二次函数关系,如图2所示(注:利润与投资金额的单位均为万元)(1)分别求出利润y1与y2关于投资金额x的函数关系式;(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,设他投入种植花卉的金额是x万元,求这位专业户能获取的最大总利润是多少万元?。

九年级数学上册二次函数应用题习题(新版)新人教版

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二次函数应用题(习题)例题示范例:有一座抛物线型拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20 米,拱顶距离水面 4 米,建立如图所示的平面直角坐标系,若正常水位时,桥下水深 6 米.为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于 18 米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行?解:如图,设该抛物线的解析式为y ax2 ,由题意得,抛物线过点(10,-4),代入解析式得 4 102 a ,∴ a1,25∴该抛物线的解析式为y125令x=9,可得y=-3.24,x2 .此时水深为 6+4-3.24=6.76 米,即当水深超过 6.76 米时就会影响过往船只的顺利航行.巩固练习1.某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P 处装上喷头,由P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).已知OP=3 米,喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是 4 米,离柱子OP 的水平距离为 1 米.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求这条抛物线的解析式;(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?2.如图,有一座抛物线型的拱桥,在正常水位时,桥下水面宽AB=20m,当水位上升 3m 时,水面宽CD=10m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求此抛物线的函数表达式;(2)有一条船以 5km/h 的速度向此桥驶来,当船距离此桥35km 时,桥下水位正好在AB 处,之后水位每小时上涨 0.25m,当水位达到CD 处时,将禁止船只通行.如果该船按原来的速度行驶,那么它能否安全通过此桥?OC DA B3.某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20 元.调查发现:销售单价是 30 元时,月销售量是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量就减少 10 件,但每件玩具售价不能高于 40 元.设每件玩具的销售单价上涨了x 元时(x 为正整数),月销售利润为y 元.(1)求y 与x 之间的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围.(2)当每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰好为2 520 元?(3)每件玩具的售价定为多少元时,可使月销售利润最大?最大的月销售利润是多少?【分析】解:4.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资 3 000 元,已知绿茶每千克的成本为 50 元,在第一个月的试销时间内发现,销量w(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示:设该绿茶的月销售利润为y(元).(销售利润=单价×销售量-成本-投资).(1)请根据上表,写出w 与x 之间的函数关系式(不必写出自变量x 的取值范围);(2)求y 与x 之间的函数关系式(不必写出自变量x 的取值范围),并求出当x 为何值时,y 的值最大;(3)若在第一个月里,按使y 获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门的干预,销售单价不得高于90 元/kg,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700 元,那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?【分析】解:【参考答案】1. (1)yx 2 2x3(2)3 米2. (1)y 1x225(2)能安全通过此桥3. (1)y10x 2 130x 2 300 (1≤x≤10,且x 为正整数)(2)32 元(3)36 或37,最大的月销售利润是2 720 元4. (1)w2x 240(2)y2x 2 340x 15 000 ,当x=85 时,y max=-550(3)75。

人教备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案

人教备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点,OA =1,tan ∠BAO =3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t ,设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3;(2)当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).【解析】【分析】(1)根据正切函数,可得OB ,根据旋转的性质,可得△DOC ≌△AOB ,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)分两种情况讨论:①当∠CEF =90°时,△CEF ∽△COD ,此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点;②当∠CFE =90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于M 点,得到△EFC ∽△EMP ,根据相似三角形的性质,可得PM 与ME 的关系,解方程,可得t 的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.【详解】(1)在Rt △AOB 中,OA =1,tan ∠BAO OB OA==3,∴OB =3OA =3. ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC ≌△AOB ,∴OC =OB =3,OD =OA =1,∴A ,B ,C 的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3;(2)∵抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3,∴对称轴为l 2b a=-=-1,∴E 点坐标为(﹣1,0),如图,分两种情况讨论:①当∠CEF =90°时,△CEF ∽△COD ,此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P(﹣1,4);②当∠CFE =90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于M 点,∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM ,∴△EFC ∽△EMP ,∴13EM EF OD MP CF CO ===,∴MP =3ME . ∵点P 的横坐标为t ,∴P (t ,﹣t 2﹣2t +3). ∵P 在第二象限,∴PM =﹣t 2﹣2t +3,ME =﹣1﹣t ,t <0,∴﹣t 2﹣2t +3=3(﹣1﹣t ),解得:t 1=﹣2,t 2=3(与t <0矛盾,舍去).当t =﹣2时,y =﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P (﹣2,3).综上所述:当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).【点睛】本题是二次函数综合题.解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC ,OD 的长,又利用了待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP =3ME .2.童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元;(2)每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】(1)根据售量与售价x (元/件)之间的关系列方程即可得到结论.(2)设每星期利润为W 元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解:(1)根据题意得,(60﹣x )×10+100=3×100,解得:x =40,60﹣40=20元,答:这一星期中每件童装降价20元;(2)设利润为w ,根据题意得,w =(x ﹣30)[(60﹣x )×10+100]=﹣10x 2+1000x ﹣21000=﹣10(x ﹣50)2+4000,答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】本题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.3.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标.【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1;当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2;【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,将点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,∴0a b c016a4b c 2c=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x2+32x+2;(2)∵点C与点D关于x轴对称,∴D(0,-2).设直线BD的解析式为y=kx-2.∵将(4,0)代入得:4k-2=0,∴k=12.∴直线BD的解析式为y=12x-2.当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(-1,0);当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,∴-2x+8=-21x2+32x+2,可求x=3或x=4(舍)∴x=3;∴Q(3,2)或Q(-1,0);(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A1(x,y),则C1(x+2,y-1),O1(x,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时, ∴()2213y xx 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩, ∴A 1的横坐标是1;当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.4.如图所示,已知平面直角坐标系xOy ,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+,对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4)(2)m 、n 的值分别为 5,-5【解析】(1) 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c ,得:4b+c-16=0,b+c-1="3" ,解得:b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为:24y x x =-+.y=-224(2)4y x x x =-+=--+,所以 抛物线的对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4).(2) 由题可知,E 、F 点坐标分别为(4-m ,n ),(m-4,n ).三角形POF 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,三角形AOP 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20,所以 4|n|=20, n=-5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以n<0)又n=-2m +4m ,所以2m -4m-5=0,m=5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5,-5.5.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k +1)x +k 2=0有两个实数根.(1)求k 的取值范围;(2)设x 1,x 2是方程两根,且121111x x k +=-,求k 的值.【答案】(1)k ≥﹣14;(2)k【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根可以得到△≥0,从而求得k 的取值范围;(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解:(1)△=(2k +1)2﹣4k 2=4k 2+4k +1﹣4k 2=4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14;(2)∵x 1,x 2是方程两根,∴x 1+x 2=2k +1x 1x 2=k 2,又∵121111x x k +=-,∴121211x x x x k +=⋅-, 即22111k k k +=+ , 解得:121515,22k k +-==, 又∵k ≥﹣14 , 即:k =152-. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,根的判别式等知识,牢记“两根之和等于b a - ,两根之积等于c a”是解题的关键.6.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x .(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.详解:(1)依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A ,∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,得303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之得:13m n =⎧⎨=⎩, ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得: 1317t +=,2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.7.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣43与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32. (1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ;(3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【解析】【分析】(1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可;(2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可;(3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可.【详解】(1)当y=0时,14033x -=,解得x=4,即A (4,0),抛物线过点A ,对称轴是x=32,得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩, 解得14a c =⎧⎨=-⎩,抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4; (2)∵平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,∴直线m 的解析式为y=13x . ∵点P 是直线1上任意一点, ∴设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a .又∵PE=3PF ,∴PC PB PF PE=. ∴∠FPC=∠EPB .∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP ⊥PE .(3)如图所示,点E 在点B 的左侧时,设E (a ,0),则BE=6﹣a .∵CF=3BE=18﹣3a ,∴OF=20﹣3a .∴F (0,20﹣3a ).∵PEQF 为矩形,∴22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=, ∴Q x +6=0+a ,Q y +2=20﹣3a+0,∴Q x =a ﹣6,Q y =18﹣3a . 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a ﹣6)2﹣3(a ﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q (﹣2,6).如下图所示:当点E 在点B 的右侧时,设E (a ,0),则BE=a ﹣6.∵CF=3BE=3a ﹣18,∴OF=3a ﹣20.∴F (0,20﹣3a ).∵PEQF 为矩形,∴22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=, ∴Q x +6=0+a ,Q y +2=20﹣3a+0,∴Q x =a ﹣6,Q y =18﹣3a .将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a ﹣6)2﹣3(a ﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q (2,﹣6).综上所述,点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式,用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键.8.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ,与坐标轴交于B 、C 、D 三点,且B 点的坐标为(1,0)-.(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ,且点N 在点M 的左侧,过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点,当四边形MNHG 为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG 的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P ,使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=-++ (2)最大值为10 (3)故点P 坐标为:315(,)24或33232(24+--或332362(,24--+. 【解析】【分析】(1)二次函数表达式为:()214y a x =-+,将点B 的坐标代入上式,即可求解; (2)矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++,即可求解; (3)2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==,即可求解.【详解】(1)二次函数表达式为:()214y a x =-+,将点B 的坐标代入上式得:044a =+,解得:1a =-,故函数表达式为:223y x x =-++…①;(2)设点M 的坐标为()2,23x x x -++,则点()22,23N x x x --++,则222MN x x x =-+=-,223GM x x =-++,矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++, ∵20-<,故当22b x a=-=,C 有最大值,最大值为10, 此时2x =,点()0,3N 与点D 重合; (3)PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916, 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=, 连接DC ,在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ,过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ,即PH GH =,过点P 作PK CD ⊥于点K ,将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得:直线CD 的表达式为:3y x =-+,OC OD =,∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠,32CD =设点()2,23P x x x -++,则点(),3H x x -+, 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得:94PH HG ==, 则292334PH x x x =-+++-=, 解得:32x =, 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 直线n 的表达式为:93344y x x =-+-=-+…②, 联立①②并解得:3322x ±=, 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--⎝⎭、332362--+⎝⎭; 故点P 坐标为:315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或33236224⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或33236224⎛--+ ⎝⎭. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.9.已知函数()()22,1,222x nx n x n y n n x x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩(n 为常数) (1)当5n =,①点()4,P b 在此函数图象上,求b 的值;②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.【答案】(1)①92b =②458;(2)1845n <≤,823n ≤<时,图象与线段AB 只有一个交点;(3)函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时,8n >或3142n ≤<. 【解析】【分析】(1)①将()4,P b 代入2155222y x x =-++;②当5x ≥时,当5x =时有最大值为5;当5x <时,当52x =时有最大值为458;故函数的最大值为458; (2)将点()4,2代入2y x nx n =-++中,得到185n =,所以1845n <≤时,图象与线段AB 只有一个交点;将点()2,2)代入2y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中,得到82,3n n ==, 所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点; (3)当x n =时,42n >,得到8n >;当2n x =时,1482n +≤,得到312n ≥,当x n=时,22y n n n n =-++=,4n <.【详解】解:(1)当5n =时,()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩, ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++,∴92b =; ②当5x ≥时,当5x =时有最大值为5;当5x <时,当52x =时有最大值为458; ∴函数的最大值为458; (2)将点()4,2代入2y x nx n =-++中, ∴185n =, ∴1845n <≤时,图象与线段AB 只有一个交点; 将点()2,2代入2y x nx n =-++中,∴2n =,将点()2,2代入21222n n y x x =-++中, ∴83n =, ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点; 综上所述:1845n <≤,823n ≤<时,图象与线段AB 只有一个交点; (3)当x n =时,22112222n n y n n =-++=,42n >,∴8n >; 当2n x =时,182n y =+, 1482n +≤,∴312n ≥, 当x n =时,22y n n n n =-++=,4n <; ∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时,8n >或3142n ≤<. 【点睛】考核知识点:二次函数综合.数形结合分析问题是关键.10.如图,抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C .直线y=x ﹣5经过点B ,C .(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).【解析】分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以2,接着根据平行四边形的性质得到2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到2PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(12,-52),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b,把E(12,-52)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125,则解方程组511255 y xyx-⎧⎪⎨--⎪⎩==得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=13+62x,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.详解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩,解得15ab=-⎧⎨=-⎩,∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),∵B(5,0),C(0,﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=2AB=2×4=22,∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴PQ=AM=22,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,∴222=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=5+41,m2=5-41,综上所述,P点的横坐标为4或5+412或5-412;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(12,﹣52,设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b,把E(12,﹣52)代入得﹣110+b=﹣52,解得b=﹣125,∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则M1(136,﹣176);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),∵3=13+ 62x∴x=236,∴M2(236,﹣76).综上所述,点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.。

中考数学复习:《二次函数的应用》复习练习题含解析

中考数学复习:《二次函数的应用》复习练习题含解析

中考数学复习:《二次函数的应用》复习练习题含分析二次函数应用1 、某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为 3 米的小正方形构成,且每个小正方形的栽种方案同样.此中的一个小正方形 ABCD如图乙所示, DG=1 米, AE=AF=x米,在五边形 EFBCG地区上栽种花卉,则大正方形花坛栽种花卉的面积 y与 x 的函数图象大概是()A.B.C.D.2、以下图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(-2 ,0)、 B(1,0),直线 x=-0.5 与此抛物线交于点 C,与 x 轴交于点 M,在直线上取点 D,使 MD=MC,连结AC、BC、AD、BD,某同学依据图象写出以下结论:① a-b=0 ;②当 -2 <x< 1 时, y>0;③四边形 ACBD是菱形;④ 9a-3b+c >0 你以为此中正确的选项是()A.②③④ B .①②④ C .①③④ D .①②③3、某商品此刻的售价为每件60 元,每礼拜可卖出300 件.市场检查反应,假如调整商品售价,每降价 1 元,每礼拜可多卖出20 件.设每件商品降价x 元后,每礼拜售出商品的总销售额为y 元,则 y 与 x 的关系式为()A. y=60( 300+20x)B. y=(60-x )( 300+20x)C. y=300(60-20x )D. y=(60-x )( 300-20x )4、为了雅观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(以下图),对应的两条抛物线对于y 轴对称, AE∥x 轴, AB=4cm,最低点 C在 x 轴上,高 CH=1cm,BD=2cm ,则右轮廓 DFE 所在抛物线的分析式为()A . y= 1 ( x+3)24 B . y= 1( x-3 )2 4C . y=- 1 (x+3) 24 D . y=- 1(x-3 ) 245、如图,半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于 O ,其直径 CD , EF 均和 x 轴垂直,以 O为极点的两条抛物线分别经过点C ,E 和点D , F ,则图中暗影部分面积是( )A .πB .C .D .条件不足,没法求236、某地要建筑一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ,O 恰为水面中心,安臵在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状同样的抛物 线路径落下.在过OA 的任一平面上,成立平面直角坐标系(如图),水流喷出的高度 y( m )与水平距离 x (m )之间的关系式是 y=-x 2+2x+ 5,则以下结论:4(1)柱子 OA 的高度为 5m ;4(2)喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度;(3)喷出的水流距水平面的最大高度是;(4)水池的半径起码要 2.5m 才能使喷出的水流不至于落在池外.此中正确的有()A .1个B .2个C .3个D . 4 个7、如图,一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为 2 米时,水面宽度为 4 米;那么当水位降落 1 米后,水面的宽度为米.8、某电商销售一款夏天时装,进价 40 元 / 件,售价 110 元 / 件,每日销售 20 件,每销售一件需缴纳电商平台推行花费 a 元( a> 0).将来 30 天,这款时装将展开“每日降价 1 元”的夏令促销活动,即从第 1 天起每日的单价均比前一天降 1 元.经过市场调研发现,该时装单价每降 1 元,每日销量增添 4 件.在这 30 天内,要使每日缴纳电商平台推行花费后的收益随天数t (t 为正整数)的增大而增大, a 的取值范围应为9、已知:如图,有长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花园.设花园的宽 AB为 x 米,面积为 S 米2.则 S 与 x的函数关系式;自变量的取值范围10、某文具店购进一批纪念册,每本进价为20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20 元且不高于 28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间知足一次函数关系:当销售单价为22 元时,销售量为36 本;当销售单价为24 元时,销售量为32 本.(1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式;(2)当文具店每周销售这类纪念册获取150 元的收益时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这类纪念册所获取的收益为w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获收益最大?最大收益是多少?11、某网店销售某款童装,每件售价60 元,每礼拜可卖300 件,为了促销,该网店决定降价销售.市场检查反应:每降价 1 元,每礼拜可多卖30 件.已知该款童装每件成本价 40 元,设该款童装每件售价x 元,每礼拜的销售量为y 件.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)当每件售价定为多少元时,每礼拜的销售收益最大,最大收益多少元?(3)若该网店每礼拜想要获取不低于6480 元的收益,每礼拜起码要销售该款童装多少件?12、九年级( 3)班数学兴趣小组经过市场检查整理出某种商品在第x 天( 1≤ x≤90,且 x 为整数)的售价与销售量的有关信息以下.已知商品的进价为30 元/ 件,设该商品的售价为 y(单位:元 / 件),每日的销售量为p(单位:件),每日的销售收益为w(单位:元).时间 x(天) 1 30 60 90每天销售量 p198 140 80 20 (件)(1)求出 w 与 x 的函数关系式;(2)问销售该商品第几日时,当日的销售收益最大?并求出最大收益;(3)该商品在销售过程中,共有多少天每日的销售收益不低于5600 元?请直接写出结果.参照答案1、分析:先求出△ AEF 和△ DEG 的面积,而后可获取五边形 EFBCG 的面积,既而可得 y 与 x 的函数关系式.解:S = 1 AE ×AF= 1 2 ,S = 11 ×1×( 3-x )= 3 x ,x DG × DE=△ AEF22△DEG222S 五边形 EFBCG =S 正方形 ABCD -S △ AEF -S △ DEG =9- 1x 2- 3 x=- 1 x 2+ 1 x+ 15 ,22 2 2 2则 y=4×( - 1x 2+ 1 x+15)=-2x 2+2x+30,2 22∵AE < AD ,∴x <3,综上可得: y=-2x 2+2x+30(0<x <3).应选: A2、分析:①由抛物线与 x 轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为 x=- b=-0.5 ,2a由此即可得出 a=b ,①正确;②依据抛物线的张口向下以及抛物线与x 轴的两交点坐标,即可得出当 -2 < x < 1 时, y >0,②正确;③由 AB 对于 x=0.5 对称,即可得出 AM=BM ,再联合 MC=MD 以及 CD ⊥ AB ,即可得出四边形ACBD 是菱形,③正确;④依据当 x=-3 时,y <0,即可得出 9a-3b+c < 0,④错误.综上即可得出结论.2解:①∵抛物线 y=ax +bx+c (a ≠0)与 x 轴交于点 A (-2 , 0)、 B ( 1, 0),b∴该抛物线的对称轴为 x=-=-0.5 ,∴a=b ,a-b=0 ,①正确;②∵抛物线张口向下,且抛物线与x 轴交于点 A (-2 ,0)、 B (1,0),∴当 -2 <x <1 时, y > 0,②正确;③∵点 A 、B 对于 x=0.5 对称,∴AM=BM ,又∵ MC=MD ,且 CD ⊥AB ,∴四边形 ACBD 是菱形,③正确;④当 x=-3 时, y <0,即 y=9a-3b+c < 0,④错误.综上可知:正确的结论为3、分析:依据降价 x 元,则售价为( 60-x )元,销售量为( 300+20x )件,由题意可得等量关系:总销售额为 y=销量×售价,依据等量关系列出函数分析式即可.解:降价 x 元,则售价为( 60-x )元,销售量为( 300+20x )件,依据题意得, y=(60-x )( 300+20x ),应选: B .4、分析:利用 B 、 D 对于 y 轴对称, CH=1cm ,BD=2cm 可获取 D 点坐标为( 1,1),由 AB=4cm ,最低点 C 在 x 轴上,则 AB 对于直线 CH 对称,可获取左侧抛物线的极点 C 的坐标为( -3 ,0),于是获取右侧抛物线的极点 C 的坐标为( 3, 0),而后设极点式利用待定系数法求抛物线的分析式.解:∵高 CH=1cm , BD=2cm ,且 B 、D 对于 y 轴对称,∴D 点坐标为( 1, 1),∵AB ∥ x 轴, AB=4cm ,最低点 C 在 x 轴上,∴AB 对于直线 CH 对称,∴左侧抛物线的极点 C 的坐标为( -3 ,0),∴右侧抛物线的极点 F 的坐标为( 3, 0),2把 D (1,1)代入得 1=a ×( 1-3 )2,解得 a=1, 4∴右侧抛物线的分析式为 y= 1(x-3 ) 2,4应选: B .5、分析:察看图形在 y 轴两边暗影部分面积,将 y 轴左侧的暗影对称到右侧获取一个半圆的暗影,就是所求的图中暗影面积.解:由剖析知图中暗影面积等于半圆的面积,则s= r2=22应选 B .6、分析:在已知抛物线分析式的状况下,利用其性质,求极点(最大高度),与 x轴, y 轴的交点,解答题目的问题.解:当 x=0 时, y= 5,故柱子 OA 的高度为 5m ;( 1)正确;44∵ y =-x 2+2x+ 5=- ( x-1 )2+2.25 ,∴极点是( 1,2.25 ),故喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度,喷出的水流距水平面的最大高度是米;故( 2)正确,( 3)错误;解方程 -x 2+2x+ 5=0, 4得 x 1=- 1 ,x 2= 5,2 2故水池的半径起码要 2.5 米,才能使喷出的水流不至于落在水池外,(4)正确.应选: C .7、分析:依据已知得出直角坐标系,从而求出二次函数分析式,再经过把y=-1 代入抛物线分析式得出水面宽度,即可得出答案.解:如图,成立平面直角坐标系,设横轴 x 经过 AB ,纵轴 y 经过 AB 中点 O 且经过 C 点,则经过绘图可得悉 O 为原点,抛物线以 y 轴为对称轴,且经过 A ,B 两点, OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米,抛物线极点 C 坐标为( 0,2),经过以上条件可设极点式 y=ax 2 +2,此中 a 可经过代入 A 点坐标( -2 , 0),到抛物线分析式得出: a=-0.5 ,因此抛物线分析式为 y=-0.5x 2+2,当水面降落 1 米,经过抛物线在图上的察看可转变为:当 y=-1 时,对应的抛物线上两点 之间的距离,也就是直线 y=-1 与抛物线订交的两点之间的距离,能够经过把 y=-1 代入抛物线分析式得出:2+2,解得: x=± 6 ,因此水面宽度增添到 2 6 米,故答案为: 2 6 米.8、分析:依据题意能够列出相应的不等式,从而能够解答此题.解:设将来 30 天每日获取的收益为y,y=(110-40-t )( 20+4t )- (20+4t )a化简,得y=-4t 2+(260-4a ) t+1400-20a每日缴纳电商平台推行花费后的收益随天数t (t 为正整数)的增大而增大,∴-2604a>2 (4)解得, a< 6,又∵ a>0,即 a 的取值范围是: 0< a< 6.9、分析:可先用篱笆的长表示出BC 的长,而后依据矩形的面积=长×宽,得出S 与 x 的函数关系式.解:由题可知,花园的宽AB为 x 米,则 BC为( 24-3x )米.这时面积 S=x( 24-3x )=-3x 2+24x.∵0<24-3x ≤ 10 得14≤ x< 8,3故答案为: S=-3x2+24x,14≤x<8.310、分析:( 1)设 y=kx+b,依据题意,利用待定系数法确立出y 与 x 的函数关系式即可;(2)依据题意联合销量×每本的收益=150,从而求出答案;(3)依据题意联合销量×每本的收益=w,从而利用二次函数增减性求出答案.解:( 1)设 y=kx+b,把( 22,36)与( 24,32)代入得: 22k+b=36, 24 k+b= 32解得: k= - 2, b =80,则 y=-2x+80 ;(2)设当文具店每周销售这类纪念册获取150 元的收益时,每本纪念册的销售单价是 x 元,依据题意得:( x-20 )y=150,则( x-20 )( -2x+80 )=150,整理得: x2-60x+875=0,(x-25 )( x-35 )=0,解得: x1=25,x2=35(不合题意舍去),答:每本纪念册的销售单价是25 元;(3)由题意可得:w=(x-20 )( -2x+80 )=-2x 2+120x-1600=-2 ( x-30 )2+200,此时当 x=30 时, w最大,又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元,∴x<30 时,y 随 x 的增大而增大,即当 x=28 时,w最大 =-2(28-30 )2+200=192(元),答:该纪念册销售单价定为 28 元时,才能使文具店销售该纪念册所获收益最大,最大收益是 192 元.11、分析:( 1)依据售量 y(件)与售价x(元 / 件)之间的函数关系即可获取结论.(2))设每礼拜收益为W元,建立二次函数利用二次函数性质解决问题.(3)列出不等式先求销售价的范围,再确立销售数目即可解决问题.解:(1)y=300+30( 60-x ) =-30x+2100.(2)设每礼拜收益为W元,W=(x-40 )( -30x+2100)=-30 (x-55 )2+6750.∴x=55 时, W最大值 =6750.∴每件售价定为 55 元时,每礼拜的销售收益最大,最大收益6750 元.(3)由题意( x-40 )( -30x+2100)≥ 6480,解得 52≤ x≤ 58,当 x=52 时,销售 300+30×8=540,当 x=58 时,销售 300+30×2=360,∴该网店每礼拜想要获取不低于6480 元的收益,每礼拜起码要销售该款童装360 件.9< x≤90 时,y=90.再联合给定表格,设每日的销售量p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p 对于 x 的函数关系式,依据销售收益=单件收益×销售数目即可得出w 对于 x 的函数关系式;(2)依据w 对于 x 的函数关系式,分段考虑其最值问题.当 1≤ x≤ 50 时,联合二次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值;当 50< x≤ 90 时,依据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;(3)令 w≥5600,可得出对于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出 x 的取值范围,由此即可得出结论.解:( 1)当 1≤x≤50 时,设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b(k、b为常数且 k≠ 0),∵y=kx+b 经过点( 0, 40)、( 50,90),∴b=40, 50 k+b=90,解得: k=1, b = 40,∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40;当 50<x≤90 时, y=90.x40(1 ≤x ≤50,且 x为整数 ) ∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为y90(50< x ≤90,且 x为整数 )由数据可知每日的销售量p 与时间 x 成一次函数关系,设每日的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n(m、n 为常数,且 m≠0),∵p=mx+n过点( 60,80)、( 30 ,140), 60m+n=80,30 m+n= 140, 解得:m= - 2, n =200∴p=-2x+200(0≤x≤90,且 x 为整数),当 1≤x≤50 时, w=(y-30 )? p=(x+40-30 )( -2x+200 )=-2x2+180x+2000;当 50<x≤90 时, w=(90-30 )( -2x+200) =-120x+12000.综上所示,每日的销售收益 w 与时间 x 的函数关系式是- 2x 2180x 2000(1 x ≤50,且 x为整数 )y-120x + 12000(50< x ≤90,且 x为整数 )(2)当 1≤ x≤ 50 时, w=-2x2+180x+2000=-2(x-45 )2 +6050,∵a=-2 <0 且 1≤ x≤ 50,∴当 x=45 时, w取最大值,最大值为6050 元.当 50<x≤90 时, w=-120x+12000,∵k=-120 <0,w随 x 增大而减小,∴当 x=50 时, w取最大值,最大值为 6000 元.∵6050>6000,∴当 x=45 时, w最大,最大值为 6050 元.即销售第 45 时节,当日获取的销售收益最大,最大收益是6050 元.2 2(3)当 1≤ x≤ 50 时,令 w=-2x +180x+2000≥5600,即 -2x +180x-3600≥0,解得: 30≤x≤50,50-30+1=21(天);当 50<x≤90 时,令 w=-120x+12000≥ 5600,即 -120x+6400 ≥0,解得: 50<x≤53 1,3∵x为整数,∴50< x≤ 53,53-50=3(天).综上可知: 21+3=24(天),故该商品在销售过程中,共有24 天每日的销售收益不低于5600。

人教中考数学复习二次函数专项综合练附详细答案

人教中考数学复习二次函数专项综合练附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣12,﹣94a);(2)2732748aa--;(3)2≤t<94.【解析】【分析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得△DMN的面积即可;(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),∴a+a+b=0,即b=-2a,∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a,∴抛物线顶点D 的坐标为(-12,-94a ); (2)∵直线y=2x+m 经过点M (1,0), ∴0=2×1+m ,解得m=-2, ∴y=2x-2,则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩==, 得ax 2+(a-2)x-2a+2=0, ∴(x-1)(ax+2a-2)=0, 解得x=1或x=2a-2, ∴N 点坐标为(2a-2,4a -6),∵a <b ,即a <-2a , ∴a <0,如图1,设抛物线对称轴交直线于点E ,∵抛物线对称轴为122a x a =-=-, ∴E (-12,-3), ∵M (1,0),N (2a-2,4a -6),设△DMN 的面积为S ,∴S=S △DEN +S △DEM =12|( 2a -2)-1|•|-94a -(-3)|=274−3a −278a ,(3)当a=-1时,抛物线的解析式为:y=-x 2-x+2=-(x+12)2+94,由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩,-x2-x+2=-2x,解得:x1=2,x2=-1,∴G(-1,2),∵点G、H关于原点对称,∴H(1,-2),设直线GH平移后的解析式为:y=-2x+t,-x2-x+2=-2x+t,x2-x-2+t=0,△=1-4(t-2)=0,t=94,当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),把(1,0)代入y=-2x+t,t=2,∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是2≤t<94.【点睛】本题为二次函数的综合应用,涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键,在(2)中联立两函数解析式,得到关于x的一元二次方程是解题的关键,在(3)中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键,本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.2.已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ,求出点C ,D 的坐标,并判断△BCD 的形状;(3)点P 是直线BC 上的一个动点(点P 不与点B 和点C 重合),过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,点Q 在直线BC 上,距离点P为2个单位长度,设点P 的横坐标为t ,△PMQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式.【答案】(1)223y x x =--;(2)C (3,0),D (1,﹣4),△BCD 是直角三角形;(3)2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩<<<或>【解析】试题分析:(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先解方程求出抛物线与x 轴的交点,再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,从而得到结论;(3)先求出QF=1,再分两种情况,当点P 在点M 上方和下方,分别计算即可. 试题解析:解(1)∵2+430x x +=,∴11x =-,23x =-,∵m ,n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3,∵抛物线223y x x =--的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),∴10{3b c c -+==-,∴2{3b c =-=-,∴抛物线解析式为223y x x =--;(2)令y=0,则2230x x --=,∴11x =-,23x =,∴C (3,0),∵223y x x =--=2(1)4x --,∴顶点坐标D (1,﹣4),过点D 作DE ⊥y 轴,∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD 是直角三角形;(3)如图,∵B (0,﹣3),C (3,0),∴直线BC 解析式为y=x ﹣3,∵点P 的横坐标为t ,PM ⊥x 轴,∴点M 的横坐标为t ,∵点P 在直线BC 上,点M 在抛物线上,∴P (t ,t ﹣3),M (t ,223t t --),过点Q 作QF ⊥PM ,∴△PQF 是等腰直角三角形,∵2,∴QF=1.①当点P 在点M 上方时,即0<t <3时,PM=t ﹣3﹣(223t t --)=23t t -+,∴S=12PM×QF=21(3)2t t-+=21322t t-+,②如图3,当点P在点M下方时,即t<0或t >3时,PM=223t t--﹣(t﹣3)=23t t-,∴S=12PM×QF=12(23t t-)=21322t t-.综上所述,S=2213(03)22{13(03)22t t tt t t t或-+<<-.考点:二次函数综合题;分类讨论.3.已知,点M为二次函数2()41y x b b=--++图象的顶点,直线5y mx=+分别交x 轴正半轴,y轴于点,A B.(1)如图1,若二次函数图象也经过点,A B,试求出该二次函数解析式,并求出m的值.(2)如图2,点A坐标为(5,0),点M在AOB∆内,若点11(,)4C y,23(,)4D y都在二次函数图象上,试比较1y与2y的大小.【答案】(1)2(2)9y x=--+,1m=-;(2)①当12b<<时,12y y>;②当12b=时,12y y=;③当1425b<<时,12y y<【解析】【分析】(1)根据一次函数表达式求出B 点坐标,然后根据B 点在抛物线上,求出b 值,从而得到二次函数表达式,再根据二次函数表达式求出A 点的坐标,最后代入一次函数求出m 值.(2)根据解方程组,可得顶点M 的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案. 【详解】(1)如图1,∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ,∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上,∴25(0)41b b =--++,解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时,得15=x ,21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得,550m +=,∴1m =-(2)如图2,根据题意,抛物线的顶点M 为(,41)b b +,即M 点始终在直线41y x =+上,∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ,与y 轴交于点F ,而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ,(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内,∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴(直线x b =)对称时,1344b b -=-,∴12b = 且二次函数图象的开口向下,顶点M 在直线41y x =+上 综上:①当102b <<时,12y y >;②当12b =时,12y y =;③当1425b <<时,12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用,难度系数大同学们需要认真分析即可.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.【答案】(1)y=38x2﹣34x﹣3(2)运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是9 10(3)K1(1,﹣278),K2(3,﹣158)【解析】【详解】试题分析:(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣9 10(t﹣1)2+910.利用二次函数的图象性质进行解答;(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=34x﹣3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为(m,38m2﹣34m﹣3).如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得S△CBK=94.则根据图形得到:S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•(4﹣m),把相关线段的长度代入推知:﹣34m2+3m=94.易求得K1(1,﹣278),K2(3,﹣158).解:(1)把点A (﹣2,0)、B (4,0)分别代入y=ax 2+bx ﹣3(a≠0),得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以该抛物线的解析式为:y=38x 2﹣34x ﹣3; (2)设运动时间为t 秒,则AP=3t ,BQ=t . ∴PB=6﹣3t .由题意得,点C 的坐标为(0,﹣3).在Rt △BOC 中,BC=2234+=5. 如图1,过点Q 作QH ⊥AB 于点H .∴QH ∥CO , ∴△BHQ ∽△BOC , ∴HB OC BGBC=,即Hb 35t=,∴HQ=35t . ∴S △PBQ =12PB•HQ=12(6﹣3t )•35t=﹣910t 2+95t=﹣910(t ﹣1)2+910.当△PBQ 存在时,0<t <2 ∴当t=1时,S △PBQ 最大=910. 答:运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910; (3)设直线BC 的解析式为y=kx+c (k≠0). 把B (4,0),C (0,﹣3)代入,得403k c c +=⎧⎨=-⎩, 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3. ∵点K 在抛物线上.∴设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3). 如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .则点E 的坐标为(m ,34m ﹣3).∴EK=34m ﹣3﹣(38m 2﹣34m ﹣3)=﹣38m 2+32m .当△PBQ 的面积最大时,∵S △CBK :S △PBQ =5:2,S △PBQ =910. ∴S △CBK =94. S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•(4﹣m ) =12×4•EK =2(﹣38m 2+32m )=﹣34m 2+3m . 即:﹣34m 2+3m=94.解得 m 1=1,m 2=3.∴K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158).点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围,即自变量的取值范围.5.(2017南宁,第26题,10分)如图,已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ,B ,C 三点,其中C (0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ,交BC 于点E ,过点D 的直线l 与射线AC ,AB 分别交于点M ,N .(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标; (3)证明:当直线l 绕点D 旋转时,11AM AN+均为定值,并求出该定值.【答案】(1)a =13-,A 30),抛物线的对称轴为x 32)点P 的坐标为3034);(33 【解析】试题分析:(1)由点C 的坐标为(0,3),可知﹣9a =3,故此可求得a 的值,然后令y =0得到关于x 的方程,解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;(2)利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°,依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1,则可得到点D 的坐标.设点P 的3,a ).依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长,然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可;(3)设直线MN 的解析式为y =kx +1,接下来求得点M 和点N 的横坐标,于是可得到AN 的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长,最后将AM 和AN 的长代入化简即可.试题解析:(1)∵C (0,3),∴﹣9a =3,解得:a =13-.令y =0得:22390ax ax a --=,∵a ≠0,∴22390x x --=,解得:x =3x =33∴点A 30),B (330),∴抛物线的对称轴为x 3(2)∵OA 3OC =3,∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°.∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠DAO =30°,∴DO =33AO =1,∴点D 的坐标为(0,1). 设点P 的坐标为(3,a ). 依据两点间的距离公式可知:AD 2=4,AP 2=12+a 2,DP 2=3+(a ﹣1)2.当AD =PA 时,4=12+a 2,方程无解.当AD =DP 时,4=3+(a ﹣1)2,解得a =0或a =2(舍去),∴点P 的坐标为(3,0). 当AP =DP 时,12+a 2=3+(a ﹣1)2,解得a =﹣4,∴点P 的坐标为(3,﹣4). 综上所述,点P 的坐标为(3,0)或(3,﹣4).(3)设直线AC 的解析式为y =mx +3,将点A 的坐标代入得:330m -+=,解得:m =3,∴直线AC 的解析式为33y x =+.设直线MN 的解析式为y =kx +1.把y =0代入y =kx +1得:kx +1=0,解得:x =1k -,∴点N 的坐标为(1k -,0),∴AN =13k-+=31k -. 将33y x =+与y =kx +1联立解得:x =3k -,∴点M 的横坐标为3k -.过点M 作MG ⊥x 轴,垂足为G .则AG =33k +-.∵∠MAG =60°,∠AGM =90°,∴AM =2AG 233k -233k k -,∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(32(31)k k -3 点睛:本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,分类讨论是解答问题(2)的关键,求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题(3)的关键.6.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上,动点N 在对称轴l 上.①当PA ⊥NA ,且PA=NA 时,求此时点P 的坐标;②当四边形PABC 的面积最大时,求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣32,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c b a++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得21(舍去)或x=21-,∴点P (21-,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P(32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.7.如图,抛物线y=﹣(x ﹣1)2+c 与x 轴交于A ,B (A ,B 分别在y 轴的左右两侧)两点,与y 轴的正半轴交于点C,顶点为D ,已知A (﹣1,0).(1)求点B ,C 的坐标;(2)判断△CDB 的形状并说明理由;(3)将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度(0<t <3)得到△QPE .△QPE 与△CDB 重叠部分(如图中阴影部分)面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.【答案】(Ⅰ)B(3,0);C(0,3);(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形;(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B ,C 的坐标.(2)分别求出△CDB 三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形. (3)△COB 沿x 轴向右平移过程中,分两个阶段:①当0<t≤32时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形; ②当32<t <3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形. 【详解】解:(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上, ∴()2011c =---+,得4c = ∴抛物线解析式为:()214y x =--+, 令0x =,得3y =,∴()0,3C ;令0y =,得1x =-或3x =,∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下:由抛物线解析式,得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示,过点D 作DM x ⊥轴于点M ,则1OM =,4DM =,2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ,则1CN =,1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中,由勾股定理得:22223332BC OB OC =+=+=;在Rt CND ∆中,由勾股定理得:2222112CD CN DN =+=+=;在Rt BMD ∆中,由勾股定理得:22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=,∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+,∵()()3,0,0,3B C ,∴303k b b +=⎧⎨=⎩, 解得1,3k b =-=,∴3y x =-+,直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到,∴直线QE 的解析式为:()33y x t x t =--+=-++;设直线BD 的解析式为y mx n =+,∵()()3,0,1,4B D ,∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得:2,6m n =-=, ∴26y x =-+.连续CQ 并延长,射线CQ 交BD 交于G ,则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中:(1)当302t <≤时,如答图2所示:设PQ 与BC 交于点K ,可得QK CQ t ==,3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ,则:263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩, ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时,如答图3所示:设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =,∴KQ t =,3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+,令x t =,得62y t =-,∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述,S 与t 的函数关系式为:2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C (0,﹣43),OA=1,OB=4,直线l 过点A ,交y 轴于点D ,交抛物线于点E ,且满足tan ∠OAD=34. (1)求抛物线的解析式;(2)动点P 从点B 出发,沿x 轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A 运动,动点Q 从点A 出发,沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动,当点P 运动到点A 时,点Q 也停止运动,设运动时间为t 秒.①在P 、Q 的运动过程中,是否存在某一时刻t ,使得△ADC 与△PQA 相似,若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.②在P 、Q 的运动过程中,是否存在某一时刻t ,使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为y=21433x x +-;(2)①存在t=10047或t=3534,使得△ADC 与△PQA 相似;②当t=139时,△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【解析】 分析:(1)应用待定系数法求解析式(2)①分别用t 表示△ADC 、△PQA 各边,应用分类讨论相似三角形比例式,求t 值; ②分别用t 表示△APQ 与△CAQ 的面积之和,讨论最大值.详解:(1)∵OA=1,OB=4,∴A (1,0),B (﹣4,0),设抛物线的解析式为y=a (x+4)(x ﹣1),∵点C (0,﹣43)在抛物线上, ∴﹣4=4(1)3a ⨯⨯-, 解得a=13. ∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)333x x x x +-=+-. (2)存在t ,使得△ADC 与△PQA 相似. 理由:①在Rt △AOC 中,OA=1,OC=43, 则tan ∠ACO=34OA OC =, ∵tan ∠OAD=34, ∴∠OAD=∠ACO , ∵直线l 的解析式为y=3(1)4x -, ∴D (0,﹣34),∵点C(0,﹣43),∴CD=4373412-=,由AC2=OC2+OA2,得AC=53,在△AQP中,AP=AB﹣PB=5﹣2t,AQ=t,由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC与△PQA相似,只需AP CDAQ AC=或AP ACAQ CD=,则有7521253tt-=或5523712tt-=,解得t1=10047,t2=3534,∵t1<2.5,t2<2.5,∴存在t=10047或t=3534,使得△ADC与△PQA相似;②存在t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大,理由:作PF⊥AQ于点F,CN⊥AQ于N,在△APF中,PF=AP•sin∠PAF=352)5t-(,在△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=54,在△ADC中,由S△ADC=11··22AD CN CD OA=,∴CN=71·7125154CD OAAD⨯==,∴S △AQP +S △AQC =21137313169()[(52)]()2251559135AQ PF CN t t t +=--+=--+ , ∴当t=139时,△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 点睛:本题为代数、几何综合题,考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值,应用了分类讨论和数形结合思想.9.空地上有一段长为a 米的旧墙MN ,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ,已知木栏总长为100米.(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD 的长;(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值.【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米.(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD ,表示AB 构成方程;(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系.【详解】(1)设AD=x 米,则AB=1002x 米 依题意得,(100)2x x -=450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米.(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得:S=2(100)1(50)125022x x x ---+=,0<x <a∵0<a <50∴x <a <50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a-12a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x =+---+++,a≤x <50+2a 当a <25+4a <50时,即0<a <1003时, 则x=25+4a 时,S 最大=(25+4a )2=21000020016a a ++, 当25+4a ≤a ,即1003≤a <50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -, 综合①②,当0<a <1003时,21000020016a a ++-(21502a a -)=2(3100)16a ->0 21000020016a a ++>21502a a -,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米 当1003≤a <50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等. ∴当0<a <1003时,围成长和宽均为(25+4a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米; 当1003≤a <50时,围成长为a 米,宽为(50-2a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为(21502a a -)平方米. 【点睛】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系.10.一次函数y=x的图象如图所示,它与二次函数y=ax2-4ax+c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标;(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式;②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.【答案】(1)点C(2,);(2)①y=x2-x;②y=-x2+2x+.【解析】试题分析:(1)求得二次函数y=ax2-4ax+c对称轴为直线x=2,把x=2代入y=x求得y=,即可得点C的坐标;(2)①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标,并且求得CD的长,设A(m,m),根据S△ACD=3即可求得m的值,即求得点A的坐标,把A.D的坐标代入y=ax2-4ax+c得方程组,解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A(m,m)(m<2),过点A作AE⊥CD于E,则AE=2-m,CE=-m,根据勾股定理用m表示出AC的长,根据△ACD的面积等于10可求得m的值,即可得A 点的坐标,分两种情况:第一种情况,若a>0,则点D在点C下方,求点D的坐标;第二种情况,若a<0,则点D在点C上方,求点D的坐标,分别把A、D的坐标代入y=ax2-4ax+c即可求得函数表达式.试题解析:(1)y=ax2-4ax+c=a(x-2)2-4a+c.∴二次函数图像的对称轴为直线x =2.当x=2时,y=x=,∴C(2,).(2)①∵点D与点C关于x轴对称,∴D(2,-),∴CD=3.设A(m,m)(m<2),由S△ACD=3,得×3×(2-m)=3,解得m=0,∴A(0,0).由A(0,0)、 D(2,-)得解得a=,c=0.∴y=x2-x.②设A(m,m)(m<2),过点A作AE⊥CD于E,则AE=2-m,CE=-m,AC==(2-m),∵CD=AC,∴CD=(2-m).由S△ACD=10得×(2-m)2=10,解得m=-2或m=6(舍去),∴m=-2.∴A(-2,-),CD=5.若a>0,则点D在点C下方,∴D(2,-),由A(-2,-)、D(2,-)得解得∴y=x2-x-3.若a<0,则点D在点C上方,∴D(2,),由A(-2,-)、D(2,)得解得∴y=-x2+2x+.考点:二次函数与一次函数的综合题.。

(完整版)新人教二次函数综合题复习(含答案)

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二次函数综合题专练一.解答题1.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.2.如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(﹣1,﹣2),抛物线F:y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为y P,求y P的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤﹣2,比较y1与y2的大小;(3)当抛物线F与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围.3.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.4.如图1,抛物线y=ax 2+b的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.5.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式;(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?6.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人.问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?7.为备战2016年里约奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方 1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为 3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围).(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,他起跳后的最大高度为 3.1米,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没出界)8.已知,点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为.(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.9.小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待,爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图1中的实线所示,行驶路程s(m)与时间t(s)的关系如图2所示,在加速过程中,s与t满足表达式s=at2(1)根据图中的信息,写出小明家到乙处的路程,并求a的值;(2)求图2中A点的纵坐标h,并说明它的实际意义;(3)爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过程中,速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示,行驶路程s(m)与时间t(s)的关系也满足s=at2,当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起,求此时妈妈驾车的行驶速度.11.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?二次函数综合题专练答案参考答案与试题解析一.解答题(共11小题)1.(2016?宁波)如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.【分析】(1)首先把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3,利用待定系数法即可求得m的值,继而求得抛物线的顶点坐标;(2)首先连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式,继而求得答案.【解答】解:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:0=﹣32+3m+3,解得:m=2,∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点坐标为:(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,设直线BC的解析式为:y=kx+b,∵点C(0,3),点B(3,0),∴,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3,当x=1时,y=﹣1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为:(1,2).【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题.注意找到点P的位置是解此题的关键.2.(2016?雅安)我们规定:若=(a,b),=(c,d),则?=ac+bd.如=(1,2),=(3,5),则=1×3+2×5=13.(1)已知=(2,4),=(2,﹣3),求;(2)已知=(x﹣a,1),=(x﹣a,x+1),求y=,问y=的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交,请说明理由.【分析】(1)直接利用=(a,b),=(c,d),则?=ac+bd,进而得出答案;(2)利用已知的出y与x之间的函数关系式,再联立方程,结合根的判别式求出答案.【解答】解:(1)∵=(2,4),=(2,﹣3),∴=2×2+4×(﹣3)=﹣8;(2)∵=(x﹣a,1),=(x﹣a,x+1),∴y==(x﹣a)2+(x+1)=x 2﹣(2a﹣1)x+a2+1∴y=x2﹣(2a﹣1)x+a2+1联立方程:x2﹣(2a﹣1)x+a2+1=x﹣1,化简得:x2﹣2ax+a2+2=0,∵△=b2﹣4ac=﹣8<0,∴方程无实数根,两函数图象无交点.【点评】此题主要考查了根的判别式以及新定义,正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键.3.(2016?三明)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(﹣1,﹣2),抛物线F:y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为y P,求y P的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤﹣2,比较y1与y2的大小;(3)当抛物线F与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围.【分析】(1)根据抛物线F:y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C(﹣1,﹣2),可以求得抛物线F的表达式;(2)根据题意,可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式,从而可以比较y1与y2的大小;(3)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以解答本题【解答】解:(1)∵抛物线F经过点C(﹣1,﹣2),∴﹣2=(﹣1)2﹣2×m×(﹣1)+m2﹣2,解得,m=﹣1,∴抛物线F的表达式是:y=x2+2x﹣1;(2)当x=﹣2时,y p=4+4m+m2﹣2=(m+2)2﹣2,∴当m=﹣2时,y p的最小值﹣2,此时抛物线F的表达式是:y=x2+4x+2=(x+2)2﹣2,∴当x≤﹣2时,y随x的增大而减小,∵x1<x2≤﹣2,∴y1>y2;(3)m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4,理由:∵抛物线F与线段AB有公共点,点A(0,2),B(2,2),∴或,解得,﹣2≤m≤0或2≤m≤4.【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.4.(2016?安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.【分析】(1)把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可;(2)如图,过A作x轴的垂直,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,分别表示出三角形OAD,三角形ACD,以及三角形BCD的面积,之和即为S,确定出S关于x 的函数解析式,并求出x的范围,利用二次函数性质即可确定出S的最大值,以及此时x的值.【解答】解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得,解得:;(2)如图,过A作x轴的垂直,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,S△OAD=OD?AD=×2×4=4;S△ACD=AD?CE=×4×(x﹣2)=2x﹣4;S△BCD=BD?CF=×4×(﹣x2+3x)=﹣x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x(2<x<6),∵S=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.5.(2016?柳州)如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.(注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料)附阅读材料:1.在平面直角坐标系中,若A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离为|AB|=,这个公式叫两点间距离公式.例如:已知A,B两点的坐标分别为(﹣1,2),(2,﹣2),则A,B两点间的距离为|AB|==5.2.因式分解:x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2.【分析】(1)待定系数法求解可得;(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式,再求出y=1时x的值,继而可分﹣2≤x≤2、﹣2≤x<﹣2或2、x<﹣2或x>2三种情况,根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1,将点A(﹣2,0)代入,得:4a﹣1=0,解得:a=,∴抛物线的解析式为y=x2﹣1;(2)如图,根据题意,当﹣2≤x≤2时,y=﹣x2+1;当x<﹣2或x>2时,y=x2﹣1;由可得点M(﹣2,1)、点N(2,1),①当﹣2≤x≤2时,设点P坐标为(a,﹣a2+1),则PO﹣PD=﹣[1﹣(﹣a2+1)]=a2+1﹣a2=1;②当﹣2≤x<﹣2或2时,设点P的坐标为(a,a2﹣1),则PO﹣PD=﹣[1﹣(a2﹣1)]=a2+1﹣2+a2=a2﹣1;③当x<﹣2或x>2时,设点P的坐标为(a,a2﹣1),则PO﹣PD=﹣[(a2﹣1)﹣1]=a2+1﹣a2+2=3;综上,当x<﹣2、﹣2≤x≤2或x>2时,PO与PD的差为定值.【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的变化及两点间距离公式,分类讨论思想的运用是解题的关键.6.(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式;(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?【分析】(1)设y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可;(2)根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案;(3)根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案.【解答】解:(1)设y=kx+b,把(22,36)与(24,32)代入得:,解得:,则y=﹣2x+80;(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是x元,根据题意得:(x﹣20)y=150,则(x﹣20)(﹣2x+80)=150,整理得:x2﹣60x+875=0,(x﹣25)(x﹣35)=0,解得:x1=25,x2=35(不合题意舍去),答:每本纪念册的销售单价是25元;(3)由题意可得:w=(x﹣20)(﹣2x+80)=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200,此时当x=30时,w最大,又∵售价不低于20元且不高于28元,∴x<30时,y随x的增大而增大,即当x=28时,w最大=﹣2(28﹣30)2+200=192(元),答:该纪念册销售单价定为28元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识,正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键.7.(2016?鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人.问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?【分析】(1)根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题.(2)构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题.(3)根据条件列出不等式组即可解决问题.【解答】解:(1)根据题意,得:y=50﹣x,(0≤x≤50,且x为整数);(2)W=(120+10x﹣20)(50﹣x)=﹣10x2+400x+5000=﹣10(x﹣20)2+9000,∵a=﹣10<0∴当x=20时,W取得最大值,W最大值=9000元,答:当每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元;(3)由解得20≤x≤40当x=40时,这天宾馆入住的游客人数最少,最少人数为2y=2(﹣x+50)=20(人).【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式等知识,解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题,属于中考常考题型.8.(2016?朝阳)为备战2016年里约奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方 1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为 3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围).(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,他起跳后的最大高度为 3.1米,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没出界)【分析】(1)根据此时抛物线顶点坐标为(7,3.2),设解析式为y=a(x﹣7)2+3.2,再将点C坐标代入即可求得;(2)由(1)中解析式求得x=9.5时y的值,与他起跳后的最大高度为 3.1米比较即可得;(3)设抛物线解析式为y=a(x﹣7)2+h,将点C坐标代入得到用h表示a的式子,再根据球既要过球网,又不出边界即x=9时,y>2.43且x=18时,y≤0得出关于h的不等式组,解之即可得.【解答】解:(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7,3.2),设抛物线解析式为y=a(x﹣7)2+3.2,将点C(0,1.8)代入,得:49a+3.2=1.8,解得:a=﹣,∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣(x﹣7)2+;(2)由题意当x=9.5时,y=﹣(9.5﹣7)2+≈3.02<3.1,故这次她可以拦网成功;(3)设抛物线解析式为y=a(x﹣7)2+h,将点C(0,1.8)代入,得:49a+h=1.8,即a=,∴此时抛物线解析式为y=(x﹣7)2+h,根据题意,得:,解得:h≥3.025,答:排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.【点评】此题主要考查了二次函数的应用题,求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,再根据题意确定范围.9.(2016?淄博)已知,点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为.(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.【分析】(1)设Q(m,),F(0,),根据QO=QF列出方程即可解决问题.(2)设M(t,t2),Q(m,),根据K OM=K OQ,求出t、m的关系,根据QO=QM列出方程即可解决问题.(3)设M(n,n2)(n>0),则N(n,0),F(0,),利用勾股定理求出MF即可解决问题.【解答】解:(1)∵圆心O的纵坐标为,∴设Q(m,),F(0,),∵QO=QF,∴m2+()2=m2+(﹣)2,∴a=1,∴抛物线为y=x2.(2)∵M在抛物线上,设M(t,t2),Q(m,),∵O、Q、M在同一直线上,∴K OM=K OQ,∴=,∴m=,∵QO=QM,∴m2+()2=(m﹣t)2=(﹣t2)2,整理得到:﹣t2+t4+t2﹣2mt=0,∴4t4+3t2﹣1=0,∴(t2+1)(4t2﹣1)=0,∴t1=,t2=﹣,当t1=时,m1=,当t2=﹣时,m2=﹣.∴M1(,),Q1(,),M2(﹣,),Q2(﹣,).(3)设M(n,n2)(n>0),∴N(n,0),F(0,),∴MF===n2+,MN+OF=n2+,∴MF=MN+OF.【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识,解题的关键是设参数解决问题,把问题转化为方程解决,属于中考常考题型.10.(2016?舟山)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待,爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图1中的实线所示,行驶路程s(m)与时间t(s)的关系如图2所示,在加速过程中,s与t满足表达式s=at2(1)根据图中的信息,写出小明家到乙处的路程,并求a的值;(2)求图2中A点的纵坐标h,并说明它的实际意义;(3)爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过程中,速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示,行驶路程s(m)与时间t(s)的关系也满足s=at2,当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起,求此时妈妈驾车的行驶速度.【分析】(1)直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案;(2)利用图形,得出速度和时间,再结合h=48+12×(17﹣8)得出答案;(3)首先求出OB的解析式进而利用二次函数解析式得出关于x的等式求出答案.【解答】解:(1)由图象得:小明家到乙处的路程为180m,∵点(8,48)在抛物线s=at2上,∴48=a×82,解得:a=;(2)由图及已知得:h=48+12×(17﹣8)=156,故A点的纵坐标为:156,表示小明家到甲处的路程为156m;(3)设OB所在直线的表达式为:v=kt,∵(8,12)在直线v=kt上,则12=8k,解得:k=,∴OB所在直线的表达式为:v=t,设妈妈加速所用时间为:x秒,由题意可得:x2+x(21+7﹣x)=156,整理得:x2﹣56x+208=0,解得:x1=4,x2=52(不符合题意,舍去),∴x=4,∴v=×4=6(m/s),答:此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用,正确利用图形得出正确信息是解题关键.11.(2016?黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?【分析】(1)构建待定系数法即可解决问题.(2)先求出馆内人数等于684人时的时间,再求出直到馆内人数减少到624人时的时间,即可解决问题.【解答】解(1)由图象可知,300=a×302,解得a=,n=700,b×(30﹣90)2+700=300,解得b=﹣,∴y=,(2)由题意﹣(x﹣90)2+700=684,解得x=78,∴=15,∴15+30+(90﹣78)=57分钟所以,馆外游客最多等待57分钟.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.。

人教版二次函数复习题

人教版二次函数复习题

人教版二次函数复习题二次函数是初中数学中的一个重要内容,它在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些复习题来巩固对二次函数的理解和应用。

# 人教版二次函数复习题一、选择题1. 二次函数的一般形式是什么?- A. \( y = ax^2 + bx + c \)(\( a \neq 0 \))- B. \( y = ax + b \)- C. \( y = a \)- D. \( y = ax^2 \)2. 抛物线的开口方向由哪个系数决定?- A. \( a \)- B. \( b \)- C. \( c \)- D. \( d \)3. 下列哪个点不在抛物线 \( y = x^2 \) 上?- A. (0, 0)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (2, 4)二、填空题1. 若二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的顶点坐标为 (1, -2),则 \( b \) 和 \( c \) 的值分别是 \_\_\_\_\_\_。

2. 已知抛物线 \( y = -3x^2 + 6x - 5 \) 与x轴的交点坐标是\_\_\_\_\_\_。

3. 若二次函数 \( y = 2x^2 - 4x + 3 \) 的对称轴是直线 \( x = 1 \),则 \( a \) 的值为 \_\_\_\_\_\_。

三、解答题1. 已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 (1, 2) 和 (3,2),求函数的表达式。

2. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 1 \) 的顶点坐标是什么?3. 某工厂生产一种产品,其成本函数为 \( C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000 \),求该产品的平均成本最低时的产量。

四、应用题1. 某公司计划在一块长为20米的长方形场地上建造一个仓库。

如果仓库的宽度为x米,那么它的面积S可以表示为 \( S = x(20 - 2x) \)。

人教版数学九年级上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

人教版数学九年级上册  二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

人教版数学九年级上册二次函数单元复习练习(Word版含答案)一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3)(1)求该二次函数所对应的函数解析式;(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值;(3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为24;(3)M点坐标为可以为(2,3),(552+,3),(552-,3).【解析】【分析】(1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式.(2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值.(3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解.【详解】解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c),∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0),∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3).又∵点D(4,3)在二次函数上,∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3,∴解得:a=1.∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.(2)如图1所示.因点P 在二次函数图象上,设P (p ,p 2﹣4p+3). ∵y =x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C , ∴点C 的坐标为(0,3). 又∵点B 的坐标为B (3,0), ∴OB =OC∴△COB 为等腰直角三角形. 又∵PF//y 轴,PE//x 轴, ∴△PEF 为等腰直角三角形. ∴EF 2PF .设一次函数的l BC 的表达式为y =kx+b , 又∵B (3,0)和C (0,3)在直线BC 上,303k b b +=⎧⎨=⎩, 解得:13k b =-⎧⎨=⎩,∴直线BC 的解析式为y =﹣x+3. ∴y F =﹣p+3.FP =﹣p+3﹣(p 2﹣4p+3)=﹣p 2+3p . ∴EF 2p 22. ∴线段EF 的最大值为,EF max 42-24. (3)①如图2所示:若∠CNB =90°时,点N 在抛物线上,作MN//y 轴,l//x 轴交y 轴于点E , BF ⊥l 交l 于点F .设点N 的坐标为(m ,m 2﹣4m+3),则点M 的坐标为(m ,3), ∵C 、D 两点的坐标为(0,3)和(4,3), ∴CD ∥x 轴.又∵∠CNE =∠NBF ,∠CEN =∠NFB =90°, ∴△CNE ∽△NBF . ∴CE NE =NFBF, 又∵CE =﹣m 2+4m ,NE =m ;NF =3﹣m ,BF =﹣m 2+4m ﹣3,∴24m mm-+=2343m m m --+-,化简得:m 2﹣5m+5=0. 解得:m 1=552+,m 2=552-.∴M 点坐标为(55+,3)或(55-,3)②如图3所示:当∠CBN =90°时,过B 作BG ⊥CD , ∵∠NBF =∠CBG ,∠NFB =∠BGC =90°, ∴△BFN ∽△CGB . ∵△BFN 为等腰直角三角形, ∴BF =FN ,∴0﹣(m 2﹣4m+3)=3﹣m . ∴化简得,m 2﹣5m+6=0. 解得,m =2或m =3(舍去) ∴M 点坐标为,(2,3).综上所述,满足题意的M 点坐标为可以为(2,3),(52+,3),(52-,3).【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式,二次函数和三角函数求值,三角形相似等相关知识点;同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系.2.在平面直角坐标系中,将函数y =x 2﹣2mx+m (x≤2m ,m 为常数)的图象记为G ,图象G 的最低点为P(x 0,y 0). (1)当y 0=﹣1时,求m 的值. (2)求y 0的最大值.(3)当图象G 与x 轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x 1,则x 1的取值范围是 .(4)点A 在图象G 上,且点A 的横坐标为2m ﹣2,点A 关于y 轴的对称点为点B ,当点A 不在坐标轴上时,以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ,使点C 、D 落在x 轴上,当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时,直接写出m 的取值范围.【答案】(1或﹣1;(2)14;(3)0<x 1<1;(4)m =0或m >43或23≤m <1【解析】 【分析】(1)分m >0,m =0,m <0三种情形分别求解即可解决问题; (2)分三种情形,利用二次函数的性质分别求解即可;(3)由(1)可知,当图象G 与x 轴有两个交点时,m >0,求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值,利用图象法判断即可;(4)分四种情形:①m <0,②m =0,③m >1,④0<m≤1,分别求解即可解决问题. 【详解】解:(1)如图1中,当m >0时,∵y=x2﹣2mx+m=(x﹣m)2﹣m2+m,图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),此时最底点P(m,﹣m2+m),由题意﹣m2+m=﹣1,解得m=51+或51-+(舍弃),当m=0时,显然不符合题意,当m<0时,如图2中,图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),此时最底点P是纵坐标为m,∴m=﹣1,综上所述,满足条件的m的值为512或﹣1;(2)由(1)可知,当m>0时,y0=﹣m2+m=﹣(m﹣12)2+14,∵﹣1<0,∴m=12时,y0的最大值为14,当m=0时,y0=0,当m<0时,y0<0,综上所述,y0的最大值为14;(3)由(1)可知,当图象G与x轴有两个交点时,m>0,当抛物线顶点在x轴上时,4m2﹣4m=0,∴m=1或0(舍弃),∴观察观察图象可知,当图象G与x轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x1,则x1的取值范围是0<x1<1,故答案为0<x1<1;(4)当m<0时,观察图象可知,不存在点A满足条件,当m=0时,图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,满足条件,如图3中,当m>1时,如图4中,设抛物线与x轴交于E,F,交y轴于N,观察图象可知当点A在x轴下方或直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.则有(2m﹣2)2﹣2m(2m﹣2)+m<0,解得m>43,或﹣m≤2m﹣2<0,解得23≤m<1(不合题意舍弃),当0<m≤1时,如图5中,当点A在直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.即或﹣m≤2m ﹣2<0, 解得23≤m <1, 综上所述,满足条件m 的值为m =0或m >43或23≤m <1. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,最值问题,不等式等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.3.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -. (1)若点(2,0)-也在该抛物线上,请用含a 的关系式表示b ;(2)若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足:当120x x <<时,()()12120x x y y --<;当120x x <<时,()()12120x x y y -->;若以原点O 为圆心,OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C (点B 在点C 左侧),且ABC ∆有一个内角为60,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,若点P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证:PA 平分MPN ∠.【答案】(1)21b a =-;(2)22y x =-;(3)见解析.【解析】 【分析】(1)把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案. (2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上,进而可得出0b =,由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形,结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形,设线段BC 与y 轴交于点D ,根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标,再利用待定系数法可求出a 值,此题得解;(3)由(1)的结论可得出点M 的坐标为1(x ,212)x -+、点N 的坐标为2(x ,222)x-+,由O、M、N三点共线可得出212xx=-,进而可得出点N及点'N的坐标,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N在直线PM上,进而即可证出PA平分MPN∠.【详解】解:(1)把点()0,2-、()2,0-分别代入,得2420ca b c=-⎧⎨-+=⎩.所以21b a=-.(2),如图1,当120x x<<时,()()1212x x y y--<,12x x∴-<,12y y->,∴当0x<时,y随x的增大而减小;同理:当0x>时,y随x的增大而增大,∴抛物线的对称轴为y轴,开口向上,b∴=.OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C,ABC∴∆为等腰三角形,又ABC∆有一个内角为60︒,ABC∴∆为等边三角形.设线段BC与y轴交于点D,则BD CD=,且30OCD∠=︒,又2OB OC OA===,·303CD OC cos∴=︒=,·301OD OC sin=︒=.不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为31).点C在抛物线上,且2c=-,0b=,321a∴-=,1a∴=,∴抛物线的解析式为22y x=-.(3)证明:由(1)可知,点M的坐标为1(x,212)x-,点N的坐标为2(x,222)x-.如图2,直线OM的解析式为()11y k x k=≠.O、M、N三点共线,1x∴≠,2x≠,且22121222x xx x--=,121222x xx x∴-=-,()1212122x xx xx x-∴-=-,122x x∴=-,即212xx=-,∴点N的坐标为12(x-,2142)x-.设点N关于y轴的对称点为点'N,则点'N的坐标为12(x,2142)x-.点P是点O关于点A的对称点,24OP OA∴==,∴点P的坐标为()0,4-.设直线PM的解析式为24y k x=-,点M的坐标为1(x,212)x-,212124x k x∴-=-,21212x k x +∴=,∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-.()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-, ∴点'N 在直线PM 上,PA ∴平分MPN ∠. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式;(2)①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标;②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上.4.定义:对于已知的两个函数,任取自变量x 的一个值,当0x ≥时,它们对应的函数值相等;当0x <时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y x =,它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.(1)已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上,求a 的值; (2)已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时,求m 的值; ②当33x -≤≤时,求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. (3)在平面直角坐标系中,点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭,连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x xn =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】(1)1;(2)①22- ;②max 432y =,min 12y =-;(3)31n -<≤-,514n <≤【解析】 【分析】(1)先求出5y ax =-的相关函数,然后代入求解,即可得到答案;(2)先求出二次函数的相关函数,①分为m <0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可; ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,然后可 此时的最大值和最小值,当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x-12,求得此时的最大值和最小值,从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值; (3)首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值,然后结合函数图象可确定出n 的取值范围. 【详解】解:(1)根据题意,一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩,∴把点()5,10A -代入5y ax =-+,则(5)510a -⨯-+=,∴1a =;(2)根据题意,二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,①当m <0时,将B (m ,32)代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=,解得:m=2 当m≥0时,将B (m ,32)代入y=-x 2+4x-12得:-m 2+4m-12=32,解得:或m=2.综上所述:m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,抛物线的对称轴为x=2,此时y 随x 的增大而减小, ∴当3x =-时,有最大值,即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=, ∴此时y 的最大值为432. 当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x 12-,抛物线的对称轴为x=2, 当x=0有最小值,最小值为12-, 当x=2时,有最大值,最大值y=72. 综上所述,当-3≤x≤3时,函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432,最小值为12-;(3)如图1所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.∴当x=2时,y=1,即-4+8+n=1,解得n=-3.如图2所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1,∴-n=1,解得:n=-1.∴当-3<n≤-1时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.如图3所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0,1),∴n=1.如图4所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M (12-,1), ∴14+2-n=1,解得:n=54. ∴1<n≤54时,线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点. 综上所述,n 的取值范围是-3<n≤-1或1<n≤54. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键.5.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).(1)若b =1,a =﹣12c ,求证:二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)若a <0,c =0,且对于任意的实数x ,都有y ≤1,求4a +b 2的取值范围;(3)若函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0,且2a +3b +6c =0,试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)240a b +≤ ;(3)12323b a <-< 【解析】 【分析】(1)根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论; (2)根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标,再整理即可;(3)将(0,y 1)和(1,y 2)分别代入函数解析式,由y 1•y 2>0,及2a +3b +6c =0,得不等式组,变形即可得出答案. 【详解】解:(1)证明:∵y =ax 2+bx+c (a≠0), ∴令y =0得:ax 2+bx+c =0 ∵b =1,a =﹣12c ,∴△=b 2﹣4ac =1﹣4(﹣12c )c =1+2c 2, ∵2c 2≥0,∴1+2c 2>0,即△>0,∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)∵a <0,c =0,∴抛物线的解析式为y =ax 2+bx ,其图象开口向下, 又∵对于任意的实数x ,都有y≤1,∴顶点纵坐标214b a-≤,∴﹣b 2≥4a , ∴4a+b 2≤0;(3)由2a+3b+6c =0,可得6c =﹣(2a+3b ), ∵函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0, ∴c (a+b+c )>0, ∴6c (6a+6b+6c )>0,∴将6c =﹣(2a+3b )代入上式得,﹣(2a+3b )(4a+3b )>0, ∴(2a+3b )(4a+3b )<0, ∵a≠0,则9a 2>0, ∴两边同除以9a 2得,24()()033b b a a ++<, ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩,∴4233b a -<<-, ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是:12323b a <-<. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.6.如图1,在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点,且其对称轴为1,x =其中点(C ,点()3,0B .(1)求抛物线的解析式;(2)①如图(1),点D 是直线CB 上方抛物线上的动点,当四边形DCAB 的面积取最大值时,求点D 的坐标;②如图(2),连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,请直接写出点M 的横坐标.【答案】(1)23233=y x ;(2)①D 3532,,②233+2 【解析】 【分析】(1)根据点(3C ,点()3,0B ,利用待定系数法,可得函数解析式;(2)①先求出直线BC 的解析式,当直线m 与抛物线只有一个交点时,点D 到BC 的距离最远,此时△BCD 取最大值,故四边形DCAB 有最大值,求出b 的值代入原式即可得到答案; ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式,可得答案. 【详解】解:(1)由题意得:120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b故抛物线的解析式是23233=-++y x x.图(1)图(2)(2)①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B(3,0),∴3则k=33-,故直线BC解析式为y=33设直线m解析式为3y x b,且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时,点D到BC的距离最远,此时△BCD取最大值,故四边形DCAB有最大值.令23323b3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m与抛物线有唯一交点解之得:73,b代入原式可求得:32x = ∴D 353(,).24图(3)过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ,△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积,∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在,点M 的横坐标为313+2 解题提示:如图3符合条件的直线有两条: CM 1和CM 2(分别在CB 的上方和下方) ∵在Rt △ACO 中,∠ACO=30°,在Rt △COB 中,∠CBO=30°, ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中,∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E (33+0)设直线CE 解析式为:3y kx =+ ∴0(323)3k解之得:32 ∴直线CE 解析式为:(32)3yx∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩解得:x 1=0,x 23-1∵ 在Rt △OCF 中,∠CBO=30°,∠BCF=15°∴在Rt△COF中,∠CFO=45°∴OC=OF=3∴F(3,0)∴直线CF的解析式为-3y x∴23233-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得:30x=(舍去),43+2x即点M的横坐标为:23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式,理解坐标与图形性质是解题关键.7.如图,已知抛物2(0)y ax bx c a=++≠经过点,A B,与y轴负半轴交于点C,且OC OB=,其中B点坐标为(3,0),对称轴l为直线12x=.(1)求抛物线的解析式;(2) 在x轴上方有一点P,连接PA后满足PAB CAB∠=∠,记PBC∆的面积为S,求当10.5S=时点P的坐标(3)在(2)的条件下,当点P恰好落在抛物线上时,将直线BC上下平移,平移后的10.5S=时点P的坐标;直线y x t=+与抛物线交于,C B''两点(C'在B'的左侧),若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形,求出t的值.【答案】(1)211322y x x=--(2)(2,6)(3)19或32【解析】【分析】(1)确定点A 的坐标,再进行待定系数法即可得出结论;(2)确定直线AP 的解析式,用m 表示点P 的坐标,由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解;(3)先确定点P 的坐标,当'''90B PC ∠=,利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标,利用''2B C PE =建立方程求解,当''''90PC B ∠=时,确定点G 的坐标,进而求出直线''C G 的解析式,得出点''C 的坐标即可得出结论. 【详解】(1)∵OC OB =,且B 点坐标为(3,0), ∴C 点坐标为(0,3)-.设抛物线解析式为21()2y a x k =-+.将B 、C 两点坐标代入得2504134a k a k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩,解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--. (2)如图1,设AP 与y 轴交于点'C .∵PAB CAB ∠=∠,OA OA =,90AOC AOC ∠'=∠=︒, ∴AOC ∆≌AOC ∆', ∴3OC OC ='=, ∴(0,3)C '. ∵对称轴l 为直线12x =, ∴(2,0)A -, ∴直线AP 解析式为332y x =+, ∵(3,0)B ,(0,-3)C , ∴直线BC 解析式为-3y x =, ∴313(3)622PF x x x =+--=+, ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+, ∵10.5S =,∴3910.54x +=, ∴2x =.此时P 点的坐标为(2,6).(3)如图2,由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P (),当90C PB ∠=''︒时,取''B C 的中点E ,连接PE . 则2B C PE ''=,即224B C PE =''. 设1122(,),(,)B x y C x y ''.由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=, ∴12123,(26)x x x x t +==-+, ∴点33(,)22E t +, 222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦'',222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+),∴226116664(21)2t t t +=-+, 解得:19t =或6(舍去),当90PC B ''''∠=︒时,延长C P ''交BC 于H ,交x 轴于G . 则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒,过点P 作PG x ⊥轴于点Q ,则12GQ PQ ==, ∴(18,0)G ,∴直线C G ''的解析式为18y x =-+,由211-322-18y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩(舍去), ∴(7,25)C '-',将(7,25)C '-'代入y x t =+中得32t =.综上所述,t 的值为19或32.【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质,属于二次函数综合题.8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l .(1)P 的坐标 ,C 的坐标 ;(2)直线1上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(3,4),(0,﹣5);(2)存在,点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5)【解析】【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标,令x=0,可得y=-5,推出C(0,-5);(2)直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点P(3,4),令x=0得到y=﹣5,∴C(0,﹣5).故答案为:(3,4),(0,﹣5);(2)令y=0,x2﹣6x+5=0,解得:x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0),设直线PC的解析式为y=kx+b,则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩,解得:35 kb=⎧⎨=-⎩,∴直线PC的解析式为:y=3x﹣5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,∵AD=23,∴BE=43,∴E(113,0)或E′(193,0),则直线PE 的解析式为:y =﹣6x +22, ∴Q (92,﹣5), 直线PE ′的解析式为y =﹣65x +385, ∴Q ′(212,﹣5), 综上所述,满足条件的点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5); 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.9.在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A (﹣3,0),B (1,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)224233y x x =--+;(2)存在,点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,使△PAC 的面积最大;(3)存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形.Q 点坐标为:Q 1(2,3),Q 2(3,1),Q 3(﹣1,﹣1),Q 4(﹣2,1).【解析】【分析】(1)直接把点A (﹣3,0),B (1,0)代入二次函数y =ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式;(2)设点P 坐标为(m ,n ),则n =﹣23m 2﹣43m+2,连接PO ,作PM ⊥x 轴于M ,PN ⊥y 轴于N .根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式,再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可;(3)以BC 为边,在线段BC 两侧分别作正方形,正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”,因此有四个点符合题意要求,再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ,过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ,根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ,△CBO ≌△BQ 2E ,故可得出各点坐标.【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx+2过点A (﹣3,0),B (1,0),∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y =﹣23x 2﹣43x+2; (2)存在.∵如图1所示,设点P 坐标为(m ,n ),则n =﹣23m 2﹣43m+2. 连接PO ,作PM ⊥x 轴于M ,PN ⊥y 轴于N .则PM =﹣23m 2﹣43m+2.,PN =﹣m ,AO =3. ∵当x =0时,y =﹣23×0﹣43×0+2=2, ∴OC =2,∴S △PAC =S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO =12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO =12×3×(﹣23m 2﹣43m+2)+12×2×(﹣m )﹣12×3×2 =﹣m 2﹣3m∵a =﹣1<0∴函数S △PAC =﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m =﹣2b a =﹣32时,S △PAC 有最大值. ∴n =﹣23m 2﹣43m+2=﹣23×(﹣32)2﹣43×(﹣32)+2=52, ∴存在点P (﹣32,52),使△PAC 的面积最大.(3)如图2所示,以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3,则点Q 1,Q 2,Q 3,Q 4为符合题意要求的点.过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ,过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E , ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,∴∠1=∠3,∠2=∠4,在△Q 1CD 与△CBO 中,∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△Q 1CD ≌△CBO ,∴Q 1D =OC =2,CD =OB =1,∴OD =OC+CD =3,∴Q 1(2,3);同理可得Q 4(﹣2,1);同理可证△CBO ≌△BQ 2E ,∴BE =OC =2,Q 2E =OB =1,∴OE =OB+BE =1+2=3,∴Q 2(3,1),同理,Q 3(﹣1,﹣1),∴存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形.Q 点坐标为:Q 1(2,3),Q 2(3,1),Q 3(﹣1,﹣1),Q 4(﹣2,1).【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数解析式,二次函数极值、全等三角形的判定与性质,正方形及等腰直角三角形的性质等知识,涉及面较广,难度较大.10.如图,经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ,C 两点,其对称轴是直线2x =,抛物线与x 轴的另一个交点为D ,线段AC 与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式,并写出点D 的坐标;(2)若点E 为线段BC 上一点,且2EC EA -=,点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点,连接PE ,过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ,连接PF ,探究在P 点运动过程中,线段PE ,PF 有何数量关系?并证明所探究的结论;(3)设抛物线顶点为M ,求当t 为何值时,DMF ∆为等腰三角形?【答案】(1)214y x x =-;点D 的坐标为(4,0);(2)5PF PE =,理由见解析;(3)51t +=98t = 【解析】【分析】(1)先求出a 、b 的值,然后求出解析式,再求出点D 的坐标即可;(2)由题意,先求出点E 的坐标,然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,得到2EF PE =,结合勾股定理,即可得到答案;(3)根据题意,可分为三种情况进行分析:FM FD =或DF DM =或FM MD =,分别求出三种情况的值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax x b =-+经过原点, ∴0b =.又抛物线的对称轴是直线2x =,∴122a --=,解得:14a =. ∴抛物线的解析式为:214y x x =-. 令2104y x x =-=, 解得:10x =,24x =.∴点D 的坐标为(4,0).(2)线段PE 、PF 的数量关系为:5PF PE =.证明:由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ,如图①,AE EG GC +=,∴EG GC AE =-,∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-,∵2EC EA -=,∴1EG =,∴(1,2)E ,过点E 作EH x ⊥轴于H ,则2EH OB ==.∵PE EF ⊥,∴90PEF ∠=︒,∵BE EH ⊥,∴90BEH ∠=︒.∴PEB HEF ∠=∠. 在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中,∵PEB HEF ∠=∠,90EHF EBP ∠=∠=︒,∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,∴12PE BE EF HE ==, ∴2EF PE =. 在Rt PEF ∆中,由勾股定理得:222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=,∴5PF PE =.(3)由2211(2)144y x x x =-=--, ∴顶点M 坐标为(2,1)-.若DMF ∆为等腰三角形,可能有三种情形:(I )若FM FD =.如图②所示:连接MG 交x 轴于点N ,则90MNF ∠=︒,∵(4,0)D , ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==,则2NF k =-.在Rt MNF ∆中,由勾股定理得:222NF MN MF +=,∴22(2)1k k -+=,解得:54k =, ∴54FM =,34NF =, ∴1MN =,即点M 的纵坐标为1-;令1y =-,则2114x x -=-, ∴2x =,即ON=2, ∴OF=114, ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵(1,2)E ,∴1,2BE BP t ==-, ∴221(2)PE t =+-, ∴251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-, ∴98t =. (II )若DF DM =.如图③所示:此时5FD DM == ∴45OF =, ∴(45,0)F ,由(I )知,221(2)PE t =+-,251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=, ∴222(45)55(2)t t +-=+- ∴512t =. (III )若FM MD =.由抛物线对称性可知,此时点F 与原点O 重合.∵PE EF ⊥,点P 在直线AC 上方,与点P 在线段OB 上运动相矛盾,故此种情形不存在.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到相似三角形的判定和性质,一次函数的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及勾股定理等知识,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.。

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专题六二次函数应用题
1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且B(1,0),C (0,3),将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°,C点恰好与A重合.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若点P为线段AB上的任一动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连结CP,求△PCE 面积S的最大值;
(3)设抛物线的顶点为M,Q为它的图象上的任一动点,若△OMQ为以OM为底的等腰三角形,求Q点的坐标.
2. 设抛物线的解析式为y = a x2, 过点B1 (1, 0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A1 (1, 2);过点B2 (1, 0 )作x轴的垂线,交抛物线于点A2,…;过点B n (, 0 ) (n为正
整数)作x轴的垂线,交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 .
(1)求a的值;
(2)直接写出线段A n B n,B n B n+1的长(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt⊿A n B n B n+1中,探究下列问题:
○1○1当n为何值时,Rt⊿A n B n B n+1是等腰直角三角形
○2○2设1≤k<m≤n (k , m均为正整数) ,问是否存在Rt⊿A k B k B k+1与Rt⊿A m B m B m+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由.
3. (2016 广西柳州市) 如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.
(注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料)
附阅读材料:
在平面直角坐标系中,若A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离为|AB|=,这个公式叫两点间距离公式.
例如:已知A,B两点的坐标分别为(﹣1,2),(2,﹣2),则A,B两点间的距离为
|AB|==5.
因式分解:x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2.
4. 如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(﹣1,3),顶点B的横坐标为1.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P在该二次函数的图象上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点,点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N.若在点T运动的过程中,
为常数,试确定k的值.。

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