二元一次方程
二元一次的求根公式
二元一次的求根公式二元一次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
求解二元一次方程的根需要用到二元一次方程的求根公式。
二元一次方程的求根公式是：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，即正根和负根。
√表示开方运算。
对于给定的二元一次方程，我们可以通过求根公式来求解它的根。
下面通过一个具体的例子来说明。
假设我们要求解方程2x^2-5x+3=0的根。
根据二元一次方程的求根公式，我们可以计算出：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*3)) / (2*2)= (5 ± √(25 - 24)) / 4= (5 ± √1) / 4因为√1=1，所以可以进一步化简为：x1 = (5 + 1) / 4 = 6/4 = 3/2x2 = (5 - 1) / 4 = 4/4 = 1所以，方程2x^2-5x+3=0的根为x1=3/2和x2=1。
可以看出，在求解二元一次方程的过程中，求根公式起到了至关重要的作用。
它将复杂的方程求解问题转化为简单的计算问题，方便了我们的计算工作。
除了上面的例子，求根公式还可以用于解决其他类型的二元一次方程。
只要给定了方程的系数a、b、c，我们就可以利用求根公式来求解方程的根。
不过需要注意的是，方程的根可能是实数，也可能是复数，这取决于判别式b^2-4ac的值。
如果判别式大于0，则方程有两个不同的实根；如果判别式等于0，则方程有两个相同的实根；如果判别式小于0，则方程有两个共轭复根。
二元一次方程的求根公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种类型的二元一次方程。
通过应用求根公式，我们可以高效地求解方程的根，从而解决实际问题。
在实际应用中，我们常常会遇到需要求解二元一次方程的情况，因此掌握求根公式的使用方法是非常有益的。
二元一次方程及其解法
二元一次方程及其解法我们越来越多地关注数学这一学科，这是因为它越来越重要，并且成为我们生活的一部分。
在我们的日常生活中，我们经常需要计算数字或解决数学问题。
今天，我要向大家介绍的是一个非常常见的数学问题——二元一次方程。
首先，我们来看一下什么是二元一次方程。
二元一次方程是一个含有两个未知数的一次方程，其形式可以用一般形式表示为ax + by + c = 0，其中a、b和c都是实数，且a和b不同时为零。
解决二元一次方程的常见方法是代入法、消元法和高斯消元法。
接下来，我将介绍这些方法的详细步骤。
首先，我们来看代入法。
这种方法的基本思想是将其中一个未知数的系数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，最后将其化简为一元一次方程。
以下是一个例子：解决方程组：x + y = 7x - y = 1假设我们选定y作为未知数，则第一个方程可以表示为y = 7 - x。
将其代入第二个方程可以得到：x - (7 - x) = 1，然后我们解决出x = 4。
由于第一个方程是x + y = 7，那么我们可以得到y = 3。
接下来，我们介绍消元法。
这种方法也有两种形式：分离系数和相消法。
这里我们将介绍分离系数。
以以下方程为例：解决方程组：3x + 2y = 8x - y = 1我们可以将第二个方程的系数都乘以3，然后将其与第一个方程相减：9x + 6y = 24- 3x - 3y = -3---------------------6x + 3y = 21然后，我们将其化简为二元的一次方程3x + y = 7，再将其代入第一个方程中：3x + 2(7 - 3x) = 83x + 14 - 6x = 8-3x = -6x = 2通过将x的值代入第二个方程中，我们可以得到y = -1。
最后，我们介绍高斯消元法。
这种方法可以将方程组变为阶段尽量高的三角形矩阵，然后通过回代求解未知数。
以以下方程组为例：解决方程组：0.5x + 2y - 3z = 1x - y + z = 22x + y - 0.5z = 3首先，我们可以将其表示为增广矩阵的形式：[0.5 2 -3 | 1][ 1 -1 1 | 2][ 2 1 -0.5 | 3]然后，我们可以依次消元：- 将第一行乘以2，再减去第三行的4倍，得到矩阵：[ 0.5 2 -3 | 1][ 1 -1 1 | 2][ 0 5 5 | -1]- 将第二行乘以5，再加上第三行的5倍，得到矩阵[ 0.5 2 -3 | 1][ 1 -1 1 | 2][ 0 0 10 | 9]最后，我们通过回代法解决未知数。
二元一次方程数学定义
二元一次方程数学定义
摘要：
一、二元一次方程的定义
二、二元一次方程的基本形式
三、如何解二元一次方程组
四、二元一次方程的实际应用
正文：
二元一次方程，又称双线性方程，是含有两个未知数的一次方程。
它的一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f 均为已知常数，x、y 为未知数。
解二元一次方程组的方法有多种，常见的有代入法、消元法、矩阵法等。
其中，代入法是将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程求解；消元法是通过加减消去一个未知数，从而将二元一次方程转化为一个一元一次方程求解；矩阵法则是将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算性质求解。
二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理、化学、地理等自然科学领域，以及在经济学、社会学等社会科学领域。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法在数学中，二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，其一般形式为ax + by = c。
解决二元一次方程可以采用代入法、消元法、图解法等不同的方法。
下面将逐一介绍这些解法。
1. 代入法代入法是解决二元一次方程的常用方法之一。
假设有两个二元一次方程：(1) 方程1：ax + by = c1(2) 方程2：dx + ey = c2其中，a、b、c1、d、e、c2为已知常数。
首先，从其中一个方程中解出x（或y），然后将所得到的x（或y）的值代入另一个方程中求解另一个未知数。
具体步骤如下：(1) 从方程1中解出x，得到x = (c1 - by) / a。
(2) 将x的值代入方程2中，即将x的值替换到方程2中的x位置，然后解出y。
(3) 将求得的y的值代入方程1或方程2中，计算出x的值。
2. 消元法消元法也是解决二元一次方程的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，最终得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：假设有两个二元一次方程：(1) 方程1：ax + by = c1(2) 方程2：dx + ey = c2首先，通过将两个方程中的某一项乘以适当的系数，使得两个方程中的某一项的系数相等或相差一个常数倍。
然后将两个方程相加或相减，得到含有一个未知数的一次方程。
解出这个未知数的值后，将其代入原来的方程中求解另一个未知数。
3. 图解法图解法是通过在平面直角坐标系中画出方程的图像，并求解图像的交点来得到方程的解。
具体步骤如下：假设有两个二元一次方程：(1) 方程1：ax + by = c1(2) 方程2：dx + ey = c2首先，将方程转化为y关于x的函数形式，即将方程表示为y = f(x)的形式。
然后在坐标系中画出方程的图像，可以得到两个直线。
二元一次方程的解即为两条直线的交点的坐标。
总结：二元一次方程的解法有代入法、消元法和图解法。
根据具体问题的要求和方程的形式，选择合适的解法进行求解。
这些方法可以帮助我们解决实际问题中的二元一次方程，进而得到未知数的值。
二元一次方程基本概念及基本解法讲解
二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x -5＝y ； (2)x -1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x -4y ＝7； (6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y+=．【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）A .71xy -=B .2131x y -=+C .4535x y x y -=-D . 231x y-= 二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．如：10x y +=的解可以是241,,869x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等等 练习2：二元一次方程x -2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨=-⎩ 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a= .三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 22375(9)1x y x y ⎧+=⎨+=-⎩B. 2138237y x x y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩C. 135()237x z x y x z y =+-⎧⎨-=⎩D. 5()()82317x y x y x y -++=⎧⎨=-+⎩（）四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x y x y +=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个． 【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A ．xy -7＝1B ．2x -1＝3y+1C ．4x -5y ＝3x -5yD ．231x y-= 2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．53x y z x +=⎧⎨+=⎩B ．1113x x y x⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ C ．434x y xy x y -+=⎧⎨-=⎩ D ．12132112(2)32x y x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3. 以31x y =⎧⎨=⎩为解建立一个二元一次方程，不正确的是（ ）A ．3x -4y ＝5B ．103x y -= C ．x +2y ＝-3 D ．25236x y -= 4. 方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩5.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解6. 关于,m n 的两个方程23321m n m n -=+=与的公共解是（ ）A. 03m n =⎧⎨=-⎩B. 11m n =⎧⎨=-⎩C. 012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩ D. 122m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 二、填空题7．由x+2y ＝4，得到用y 表示x 的式子为x ＝________；得到用x 表示y 的式子为y ＝________．8.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==9.若22(32)0x y x -++=，则xy的值是 ． 10.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.11.已知，且，则___________.12.若方程ax -2y ＝4的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a 的值是 .三、解答题 13．已知23x y =⎧⎨=⎩是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．（1）甲数的13比乙数的2倍少7； （2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：（1）变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来； （2）代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程（这一点要特别注意），求出另一个 未知数的值；（4）写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是1或常数项为0时，用代入法简便．例2 解方程组 327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y = 把 1y =代入③，得 3.x =所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.变式2：用代入法解方程组：34,110.42x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 方法2.加减消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步： （1）变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；（2）加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； （4）写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：（1）当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的形式，若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值（系数的最小公倍数的绝对值）相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式.（2）两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出.（3）当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便．例3 解方程组：521,7316.m n m n +=⎧⎨-+=⎩①②解析：法一：①×3，②×2，得1563,14632.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④③-④，得29m =-29，m =-1.将m =-1代入①，得-5+2n =1，n =3. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩法二：①×7，②×5，得35147,351580.m n m n +=⎧⎨-+=⎩③④③+④，得29n=87，n=3.把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为1,3.m n =-⎧⎨=⎩点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等. 因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等. 比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数n ，解法较为简捷. 另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理. 练习（1） （2）（3）（4）；（5）； （6）附加题（7）（8） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x。
二元一次方程的公式解法
二元一次方程的公式解法二元一次方程是指含有两个未知数和一次方程的方程，它的一般形式为ax+by=c。
其中，a、b、c都是已知的常数，x、y是未知数。
解二元一次方程的方法有很多种，其中最常用的是公式解法。
本文将介绍二元一次方程的公式解法，并通过例题详细说明解题步骤。
一、二元一次方程的公式解法设二元一次方程为ax+by=c，先将它化为标准形式，即y=(-a/b)x+c/b。
然后，将y代入另一个方程，得到一个只含有x的一次方程。
这个方程可以通过求解一元一次方程的方法求得x的值，然后将x代入y=(-a/b)x+c/b中，即可求得y的值。
解二元一次方程的公式如下：x=(bc-ad)/(a^2+b^2)y=(ac+bd)/(a^2+b^2)其中，a、b、c、d都是已知的常数。
二、例题解析例1：解方程2x+3y=7x-4y=-5解：将第一个方程化为标准形式，得到y=(-2/3)x+7/3。
将y代入第二个方程，得到x-4(-2/3)x+7/3=-5，化简得到8x=8，即x=1。
将x=1代入y=(-2/3)x+7/3，得到y=1。
因此，方程的解为x=1，y=1。
例2：解方程3x+4y=105x-2y=4解：将第一个方程化为标准形式，得到y=(-3/4)x+5/4。
将y代入第二个方程，得到5x-2(-3/4)x+5/4=4，化简得到23x=31，即x=31/23。
将x=31/23代入y=(-3/4)x+5/4，得到y=11/23。
因此，方程的解为x=31/23，y=11/23。
三、总结二元一次方程是初中数学中比较重要的内容，掌握解题方法对于提高数学成绩有很大帮助。
公式解法是解二元一次方程的常用方法之一，它的优点是简单易懂，适用范围广泛。
在解题过程中，需要注意将方程化为标准形式，并将y代入另一个方程中，化简后求解一元一次方程，最后代入求得y的值。
通过反复练习，相信大家能够轻松掌握这种解题方法，取得优异的成绩。
二元一次方程
1. 二元一次方程（1）概念：方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：①等号两边的代数式是整式；②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.（2）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.你能试着解方程3x－y=6吗？2. 二元一次方程组（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.3.代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.例题：{x-y=3 ①{3x-8y=4②由①得x=y+3③③代入②得3（y+3)-8y=4y=1所以x=4则：这个二元一次方程组的解{x=4{y=14. 加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
二元一次方程
二元一次方程一元一次方程是我们在学习初中数学时遇到的最简单的方程类型之一。
它可以用来解决各种实际问题，从简单的数学题到复杂的物理方程都可以归结为一元一次方程的形式。
然而，在实际问题中，我们经常会遇到两个未知数的情况，这就引出了二元一次方程。
本文将介绍二元一次方程的概念、解法以及一些相关的应用例题。
为了更好地理解二元一次方程，首先让我们回顾一下一元一次方程的概念。
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，形如ax + b = 0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
我们可以通过移项、合并同类项等基本的方程变换来解一元一次方程，得到唯一的解。
但对于二元一次方程，情况就复杂了一些。
二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形如ax + by = c，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程通常有两种方法：代入法和消元法。
在代入法中，我们首先将其中一个未知数表示为关于另一个未知数的式子，再将其代入到方程中求解。
例如，对于方程2x + 3y = 7和3x+ 2y = 8，我们可以将第一个方程化简为x = (7 - 3y) / 2，然后将其代入第二个方程，得到3 * ((7 - 3y) / 2) + 2y = 8。
通过整理方程，我们可以得到一个关于y的一元一次方程，解之后再代回到x的式子中求得最终的解。
在消元法中，我们通过对两个方程进行适当的运算，使得未知数的系数相同或相反，从而可以通过相减或相加来消去一个未知数。
例如，对于方程2x + 3y = 7和3x + 2y = 8，我们可以将第一个方程的两边同乘以2，第二个方程的两边同乘以3，得到4x + 6y = 14和9x + 6y = 24。
然后，我们将两个方程相减，消去y的项，得到5x = 10。
最后，解一元一次方程x = 2，并将其代入到原方程中求得y的值。
除了代入法和消元法，还有一种图解法可以帮助我们求解二元一次方程。
在平面直角坐标系上，我们可以将方程表示为一条直线，两个方程则表示为两条直线。
解二元一次方程的四种方法
解二元一次方程的四种方法解二元一次方程是数学中经常遇到的问题，只涉及二元（两个）未知数的方程叫做二元一次方程，其通式为ax+b=0，例如：2x+1=0。
要求一个方程未知数的值，可以采用四种方法来解这种方程：一、根据加减法法则，把未知数及其数字、变量等统一到同一边，想办法消去另一边的未知数或变量，从而求得未知数的值。
如：2x+3=8，将等号右边8减去等号左边的3，得到x=（8-3）/2=5/2。
二、因为分母不能为零，所以要在最初就用不等式的方法判断方程的未知数的取值范围，再根据所取值范围，再求解未知数的值。
如：（1-x）/x>1，将不等式的左边的分子乘以x得x-x²>1x，再消去x后，得1>x²，由上式我们可以得出x的取值范围为x＜-1和x＞1.三、因式分解是一种比较简单的求解方法，把一个复杂式，按未知数加减乘除以及因子之间的关系，拆分为各个因子，分解各个式子，然后把式子分解成两个简单式，最后求解未知数。
如：6x－3(x-1)=18，先把等号两边同乘以3，则有18x-3x²+3=54，再把等号两边同除以3，得到6x-x²+1=18，因式分解，则有(6x-1)*(x+1)=18，将有（6x-1）=18，得到x=3。
四、如果二元一次方程的俩未知数为有理数，可以用图像法求解，利用坐标系(x轴和y轴)，如：2x-y=4，可以画出y=2x-4的图象，再从它的交点推出未知数的值，最后得到x=2，y=4。
总之，解决二元一次方程有很多种方法，但这四种是最重要且最常用的方法。
它们可以帮助我们清楚、高效地求解二元一次方程，使我们掌握这些基本的解方程技巧。
解二元一次方程公式法
解二元一次方程公式法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，其一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知数。
解二元一次方程可以用多种方法，其中一种常用的方法是公式法。
公式法是一种通过计算公式来求解方程的方法，简单直观，适用于大多数情况。
公式法的基本思想是通过一系列代数运算，将二元一次方程转化为一个只包含一个未知数的一元一次方程，从而求得未知数的值。
下面将详细介绍解二元一次方程的公式法。
步骤一：将原方程适当变形，将其转化为方程组的标准形式，即将所有项都移到方程的左边，并按照形式排列。
例如，对于方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1我们可以将其写为：2x + 3y - 7 = 04x - 5y - 1 = 0这样就将原方程组转化为标准形式。
步骤二：根据公式法的原理，我们知道二元一次方程有唯一解的条件是系数行列式不等于0。
因此，我们需要计算系数行列式的值。
系数行列式的计算公式为：D = ae - bd其中，a、b、d、e为方程组的系数。
对于我们的例子，系数行列式的值为：D = (2)(-5) - (3)(4) = -22进一步计算，如果D不等于0，则方程组有唯一解；如果D等于0，则方程组无解或有无穷多解。
步骤三：如果系数行列式D不等于0，则我们可以利用公式法求解方程组，计算出未知数x和y的值。
未知数x的计算公式为：x = (ce - bf) / D未知数y的计算公式为：y = (af - cd) / D利用这两个公式，我们可以得到未知数x和y的具体值。
对于我们的例子，代入相应的数值计算得到：x = (7)(-5) - (3)(1) / -22 = -26 / -22 ≈ 1.18y = (2)(1) - (4)(7) / -22 = -26 / -22 ≈ -1.18因此，方程组的解为x ≈ 1.18，y ≈ -1.18。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
(完整版)二元一次方程组知识点归纳
t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。
二元一次方程的解析式
二元一次方程的解析式
二元一次方程的解析式是指可以通过代数运算和方程的特定形式，得到方程的解的表达式。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为已知系数，x、y为未知数。
为求解该方程，可以采用以下步骤：
1. 将方程化简为标准形式，即将x的系数与y的系数乘以同一个数，使得方程变为dx + ey = f，其中d、e、f为新的系数。
2. 求解方程中的一个未知数，通常选择x或y作为主元进行求解。
可以通过移项、合并系数等代数运算得到一个未知数的表达式。
3. 将求解得到的未知数表达式代入方程的另一个未知数，得到另一个未知数的表达式。
4. 将求解得到的两个未知数的表达式合并，即可得到二元一次方程的解析式。
需要注意，二元一次方程可能有唯一解，无解或无穷多解。
具体的解取决于方程中的系数与常数以及方程的形式。
这就是二元一次方程的解析式的一般步骤和规则。
二元一次方程两点式
二元一次方程两点式二元一次方程是一种常见的数学表达式，通常由两个未知数和一个等号组成。
二元一次方程的两点式表示方式可以写作(x1, y1)和(x2, y2)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为直线上的两个点。
二、二元一次方程两点式的基本形式二元一次方程两点式的基本形式如下所示：(Y - y1)/(y2 - y1) = (X - x1)/(x2 - x1)其中，(X, Y)为方程中的一组解，(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两个已知点。
三、例题分析为了更好地理解二元一次方程两点式的计算过程，我们来看一个例题：已知直线上的两个点分别为P(2, 3)和Q(5, 7)，求直线上一点R的坐标。
解题步骤如下：1. 根据已知条件，将点P和Q的坐标代入二元一次方程两点式基本公式中：(Y - 3)/(7 - 3) = (X - 2)/(5 - 2)。
2. 化简方程，得到：(Y - 3)/4 = (X - 2)/3。
3. 消去分数，得到：3(Y - 3) = 4(X - 2)。
4. 展开并整理方程，得到：3Y - 9 = 4X - 8。
5. 移项，得到：3Y = 4X + 1。
6. 解方程，得到：Y = (4/3)X + 1/3。
因此，直线上一点R的坐标为(R, (4/3)R + 1/3)。
通过以上例题分析，我们可以看出，在已知直线上两个点的坐标的情况下，可以利用二元一次方程两点式来求解其它点的坐标。
在解题过程中，要注意化简方程、消去分数、整理方程以及解方程的具体步骤，确保求解过程的准确性和可靠性。
综上所述，二元一次方程两点式是解决直线上点的坐标问题常用的数学工具，掌握了这种求解方法，可以更加灵活地解决相关问题。
希望本文对读者在二元一次方程两点式的应用上有一定的帮助。
二元一次方程
解法1：加减法消元
移项得到 3x = 17 - 5。 计算得到 x = 12 / 3 = 4。
解法2：代入法
代入得到 3x = 5 + 17。 计算得到 x = 22 / 3 ≈ 7.33。
06
二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
• 二元一次方程常常用于选择题和排列组合问题。 • 例如：从一堆苹果和橙子中选取若干个水果，其中苹果数量是橙子数量的2倍，
02
例子1：二元一次方程的形 式
例子1：二元一次方程的形式
二选二元一次方程的一般形式：ax + b = c 或 ax - b = c。 a、b、c为已知常数，x为未知数。 例子：2x + 3 = 9 或 5x - 2 = 13。03解法ຫໍສະໝຸດ ：加减法消元解法1：加减法消元
对于形如 ax + b = c 的方程，可使用加减法消元法解决。 • 步骤： 1. 将 b 移至方程另一侧，得到 ax = c - b。 2. 求出 x 的值，计算得到 x = (c - b) / a。
04
解法2：代入法
解法2：代入法
对于形如 ax - b = c 的方程，可使用代入法解决。 • 步骤： 1. 将 x 代入方程，得到 ax = b + c。 2. 求出 x 的值，计算得到 x = (b + c) / a。
05
例子2：解二元一次方程
例子2：解二元一次方程
方程：3x + 5 = 17。 • 解法1：加减法消元 • 解法2：代入法
求解苹果和橙子的个数。
07
总结
总结
• 二元一次方程是一种含有未知数的方程，次数为1，且只包含两个选项。 • 可使用加减法消元或代入法解决二元一次方程。
二元一次方程
1．基本概念二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程． 二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解．2．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法（简称“代入法” ）：代入法的主要步骤：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元二次方程．（2）加减消元法（简称“加减法” ）：加减法的主要步骤：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，让二元一次方程组为一元一次方程求解．3．二元一次方程组的应用：利用二元一次方程组解决实际问题的过程：主要分为“鸡兔同笼”问题、“增收节支”问题、“数字问题”．列方程组解应用题的步骤：（1）设出未知数；（2）找出相等关系；（3）根据相等关系列方程组；（4）解方程组；（5）作答．一、选择题1．方程x+y=5的解有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )A ．112x y =⎧⎨-=⎩，B ．13x y x y +=⎧⎨-=⎩，C ．2104x y xy +=⎧⎨=⎩，D ．21x y x y =⎧⎨-=⎩，3．解二元一次方程组的基本思路是( )A ．代入法B ．加减法C ．代入法和加减法D ．将二元一次方程组转化为一元一次方程4．方程5x+4y=17的一个解是( )A ．13x y =⎧⎨=⎩， B ．21x y =⎧⎨=⎩， C ．32x y =⎧⎨=⎩， D ．41x y =⎧⎨=⎩， 5．方程组5(1)210(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩，，由②—①得 ( )A ．3x=10B ．x=5C ．3x =－5D ．x=－56．若关于x 、y 的方程2211a b a b x y -++-=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是( )A ．1、0B ．0、－1C ．2、1D ．2、－37．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有 ( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个8．若x ：y=3：2，且3x+2y=13，则x 、y 的值分别为( )A ．3、2B ．2、3C ．4、1D ．1、49．若二元一次方程3x －y=7，2x+3y=1，y=kx －9有公共解，则k 的值为( )A ．3B ．－3C ．－4D ．410．某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是( )A ．()4921x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩，B ．()4921x y y x +=⎧⎪⎨=+⎪⎩，C ．()4921x y y x -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，D ．()4921x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩， 11．“五一”黄金周，某人民商场“女装部”推出“全部服装八折”．男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价x 元、男装部购买了原价为y 元的服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为 ( )A ．5800.80.85700x y x y +=⎧⎨+=⎩，B ．7000.850.8580x y x y +=⎧⎨+=⎩， C ．7000.80.85700580x y x y +=⎧⎨+=-⎩， D ．7000.80.85580x y x y +=⎧⎨+=⎩， 12．某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：“(1)班与(5)班得分比为6：5．”乙同学说：“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分．”若设(1)班得x 分，(5)班得y 分，根据题意所列的方程组应为( )A ．65240x y x y =⎧⎨=-⎩，B ．65240x y x y =⎧⎨=+⎩，C ．56240x y x y =⎧⎨=+⎩，D ．56240x y x y =⎧⎨=-⎩， 二、填空题13．在方程2x －y=1中，若x=－4，则y=________；若y=－3，则x=________．14．写出满足二元一次方程x+2y=9的一对整数解_____________．15．已知12x y =⎧⎨=⎩，是方程a x －3y=5的一个解，则a =____________．16．若x －y=5，则14－3x+3y=______________．17．若一个二元一次方程的一个解为21x y =⎧⎨=-⎩，，则这个方程可以是_______．(只要求写出一个)18．方程组3520x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是____________． 19．若二元一次方程组23521x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是方程8x －2y=k 的解，则k=___________．20．若12x y =⎧⎨=⎩，和24x y =-⎧⎨=-⎩，都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是_______．21．在y=kx+b 中，当x=1时，y=4：当x=2时，y=10，则k=______，b=________．22．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则用代数式表示原两位数为_________，根据题意得方程组____________________________.⎧⎨⎩， 三、解答题23．解下列方程组：(1)4519323m n m n +=-⎧⎨-=⎩，； (2)32123x y x y ++==24．已知二元一次方程：(1)x+y=4；(2)2x －y=2；(3)x －2y=1．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这方程组的解．25．若关于x 、y 的二元一次方程组3522718x y x y m +=⎧⎨+=-⎩，的解x 、y 互为相反数，求m 的值．26．已知方程组44ax y -=⎧⎨⎩，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为26x y =-⎧⎨=⎩，， 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44.x y =-⎧⎨=-⎩，若按正确的a 、b 计算，求原方程组的解．二元一次方程组解应用题题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
二元一次方程万能公式法
二元一次方程万能公式法
《二元一次方程万能公式法》是解决二元一次方程的一种有效方法。
它的公式是：x = ( -b ± √(b² - 4ac) ) / 2a。
万能公式法的原理是：将一个二元一次方程改写成 ax² + bx + c = 0 的形式，然后用万能公式解出 x 的值。
万能公式法的优点是：它可以解出任何一个二元一次方程的解，而且计算简单，不用考虑除法的因素，只需要求平方根即可。
但是，万能公式法也有一定的局限性：它只能解决二元一次方程，对于多元一次方程就无能为力了。
《二元一次方程万能公式法》是一种有效的解决二元一次方程的方法，它的优点是简单易行，但是也有一定的局限性。
解二元一次方程
解二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程。
解二元一次方程是指求解这个方程中未知数的值，使得方程成立。
下面将介绍求解二元一次方程的方法。
1、等价变形法对于一般形式的二元一次方程ax + by = c，dx + ey = f，可以通过等价变形来求解。
步骤一：将其中一个方程的系数乘以某个数，使得两个方程的系数相等，然后两个方程相减或相加消去其中一个未知数。
步骤二：将得到的一元一次方程解出一个未知数的值。
步骤三：将求得的未知数的值代入其中一个原方程，求解另一个未知数的值。
通过这种方法，可以求解二元一次方程的解。
注意：在等价变形的过程中，要保证等式两边同时乘除以同一个非零数，以确保等式的等价性。
2、代入法对于二元一次方程ax + by = c，dx + ey = f，可以通过代入法来求解。
步骤一：从一个方程中解出一个未知数，然后将这个值代入另一个方程。
步骤二：将代入后的方程化简，求解剩下的一个未知数。
通过这种方法，可以求解二元一次方程的解。
注意：在代入的过程中，要将未知数的值代入到对应的位置，避免出现错误。
3、消元法对于二元一次方程ax + by = c，dx + ey = f，可以通过消元法来求解。
步骤一：对两个方程进行加减操作，消去一个未知数。
步骤二：得到一个新的一元一次方程，解出这个未知数的值。
步骤三：将求得的未知数的值代入其中一个原方程，求解另一个未知数的值。
通过这种方法，可以求解二元一次方程的解。
注意：在消元的过程中，要选择合适的系数相乘，以确保消去一个未知数。
总结：解二元一次方程的方法有等价变形法、代入法和消元法。
通过这些方法，可以求解二元一次方程并得到未知数的值。
举例：例1：解方程2x + 3y = 10，x - y = 2。
解：可以使用消元法来求解。
将第二个方程乘以2，得到2x - 2y = 4。
将两个方程相加，得到4x = 14，即x = 7。
将x = 7代入第一个方程，得到2 * 7 + 3y = 10，即14 + 3y = 10，解得y = -4。
二元一次方程详细解法
二元一次方程详细解法二元一次方程是指带有两个未知数的线性方程，它的一般形式可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e 和 f 是已知的实数，而 x 和 y 是未知数。
解一个二元一次方程的基本方法是消元法。
我们可以通过一系列的代数运算，将方程化简成更简单的形式，最终获得 x 和 y 的值。
首先，我们可以通过消元法中的加减消元法将方程化成更简单的形式。
具体步骤如下：1. 可以通过相加或相减两个方程，使其中一个未知数的系数相等。
这样，两个方程相加或相减后，这个未知数的系数就会被消去。
2. 接着，我们可以解得被消去的未知数的值。
3. 将这个已知的值代入到原始的一个方程中，解得另一个未知数的值。
4. 最后，将求得的两个未知数的值带入到另一个方程中进行验证。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示二元一次方程的解法。
假设我们有以下方程组：2x + 3y = 134x - 5y = -1首先，我们可以通过相加或相减两个方程来消去一个未知数的系数。
由于方程一中 y 的系数是 3，而方程二中 y 的系数是 -5，我们可以通过相乘将这两个系数调整成相等的形式：15(2x + 3y) = 15(13)-15(4x - 5y) = -15(-1)这样，我们可以得到：30x + 45y = 195-60x + 75y = 15接着，将这两个方程相加，消去 x：(30x + 45y) + (-60x + 75y) = 195 + 1515y = 210y = 14现在，将求得的 y 的值代入到方程一中，解得 x：2x + 3(14) = 132x + 42 = 132x = -29x = -14.5最后，将求得的 x 和 y 的值带入到方程二进行验证：4(-14.5) - 5(14) = -1-58 - 70 = -1-128 = -1由于等式成立，所以我们的解是正确的。
综上所述，通过消元法我们解得 x = -14.5，y = 14。
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第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组要点感知1 含有__________未知数,并且含有未知数的项的次数都是__________的方程叫做二元一次方程. 预习练习1-1 下列各式中是二元一次方程的是( )A.6x-y=7B.15x-1y=0 C.4x-xy=5 D.x2+x+1=0要点感知 2 含有__________个未知数,并且每个未知数的项的次数都是__________,将这样的__________方程合在一起组成的方程组叫做二元一次方程组.预习练习2-1 下列方程组是二元一次方程组的是( )A.12x yxy-==⎧⎨⎩B.4123x yy x-=-=+⎧⎨⎩C.2201x xy x--==+⎧⎨⎩D.1130yxx y-=+=⎧⎪⎨⎪⎩要点感知3 使二元一次方程两边的值__________的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 预习练习3-1 请写出二元一次方程x+3y=5的一组解：__________.要点感知4 二元一次方程组的两个方程的__________叫做二元一次方程组的解.预习练习4-1下列哪组数是二元一次方程组3,24x yx+==⎧⎨⎩的解( )A.3xy==⎧⎨⎩B.12xy==⎧⎨⎩C.52xy==-⎧⎨⎩D.21xy==⎧⎨⎩知识点1 认识二元一次方程(组)1.下列方程中，是二元一次方程的是( )A.3x-2y=4zB.6xy+9=0C.1x+4y=6 D.4x=24y-2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.4237x yx y+=+=⎧⎨⎩B.2311546a bb c-=-=⎧⎨⎩C.292xy x==⎧⎨⎩D.284x yx y+=-=⎧⎨⎩3.写出一个未知数为a,b的二元一次方程组：____________________.4.已知方程x m-3+y2-n=6是二元一次方程，则m-n=__________.5.已知x m+n y2与xy m-n的和是单项式,则可列得二元一次方程组____________________. 知识点2 二元一次方程(组)的解6.二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )A.12xy⎧==-⎪⎨⎪⎩B.11xy==⎧⎨⎩C.1xy==⎧⎨⎩D.11xy=-=-⎧⎨⎩7.若1,2xy==⎧⎨⎩是关于x，y的二元一次方程ax―3y＝1的解，则a的值为( )A.-5B.-1C.2D.72x=⎧，9.若,x a y b ==⎧⎨⎩是方程2x+y=0的解，则4x+2b+1=__________. 10.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.411 9x y x y ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩ B.57x y y z +=+=⎧⎨⎩ C.1326x x y =-=⎧⎨⎩ D.2130x a x y +=-=⎧⎨⎩11.下列哪组数是二元一次方程组2102x y y x +==⎧⎨⎩，的解( )A.43x y ==⎧⎨⎩ B.36x y ==⎧⎨⎩ C.24x y ==⎧⎨⎩ D.42x y ==⎧⎨⎩12.若方程6kx-2y ＝8有一组解3,2,x y =-=⎧⎨⎩则k 的值等于( )A.-16 B.16 C.23 D.-2313.写出方程x+2y=6的正整数解：__________. 14.已知方程(2m-6)x |m-2|+(n-2)23n y-=0是二元一次方程,求m,n 的值.15.已知两个二元一次方程：①3x-y=0,②7x-2y=2.(1)对于给出x 的值,(2)请你写出方程组30,722x y x y -=-=⎧⎨⎩的解.16.二元一次方程组()437,13x y kx k y +=+-=⎧⎨⎩的解x ，y 的值相等，求k.17.根据题意列出方程组：(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有一笼无鸡可放，挑战自我18.甲、乙两人共同解方程组515,4 2.ax yx by+==-⎨-⎧⎩①②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为3,1;xy=-=-⎧⎨⎩乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为5,4.xy==⎧⎨⎩试计算a2 013+(-110b)2 014.8.2 消元——解二元一次方程组第1课时用代入消元法解方程组要点感知 1 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含__________的式子表示出来,再代入__________方程,实现__________,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称__________.这种将未知数的个数__________,逐一解决的思想叫做__________.预习练习1-1 对于方程3x-2y-5=0,用含y的代数式表示x,应是( )A.y=6x-10B.y=32x-25C.x=13(2y+5) D.x=6y+15要点感知2用代入消元法解二元一次方程组的步骤：(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.(2)把(1)中所得的方程代入__________，消去一个__________.(3)解所得到的__________，求得一个__________的值.(4)把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.预习练习2-1用代入法解方程组2320,419x yx y+-=+=⎧⎨⎩①②的正确解法是( )A.先将①变形为x=322y-，再代入② B.先将①变形为y=223x-，再代入②C.先将②变形为x=94y-1，再代入① D.先将②变形为y=9(4x+1)，再代入①知识点1 用代入法解二元一次方程组1.用代入法解方程组1,24y xx y=--=⎧⎨⎩时，代入正确的是( )A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=42.(2014·黔南)二元一次方程组3,1x yx y+=-=-⎧⎨⎩的解是( )A.21xy==⎧⎨⎩B.12xy==⎧⎨⎩C.12xy==-⎧⎨⎩D.21xy==-⎧⎨⎩3.(2013·桂林)解二元一次方程组：3219,2 1.x y x y +==⎨-⎧⎩①②知识点2 代入法解二元一次方程组的简单应用4.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是__________g.5.商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__________cm.6.(2013·苏州)苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游.已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人.问甲、乙两个旅游团各有多少人？7.方程组5,25x y x y =+-=⎧⎨⎩的解满足x+y+a=0,则a 的值是( )A.5B.-5C.3D.-38.(2014·泰安)方程5x+2y=-9与下列方程构成方程组的解为2,12x y ⎧=-=⎪⎨⎪⎩的是( )A.x+2y=1B.3x+2y=-8C.5x+4y=-3D.3x-4y=-8 9.若1,2x y ==-⎧⎨⎩是方程组7,1mx ny mx ny +=-=-⎧⎨⎩的解,则m ＝__________,n ＝__________.10.用代入法解下列方程组：(1)20,328.x y x y -=+=⎧⎨⎩①② (2)41216.x y x y -=⎧-=⎩+⎨，①②11.儿童节期间，文具商店搞促销活动.同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？12.某班将举行“数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息.解决问題：(1)试计算两种笔记本各买了多少本？(2)请你解释：小明为什么不可能找回68元？挑战自我13.老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量(注：同种类的请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克,一枚伍角硬币多少克.第2课时用加减消元法解方程组要点感知两个二元一次方程中同一个未知数的系数_________或_________时,把这两个方程的两边分别_________或_________,就能消去这个未知数,得到一个__________.这种方法叫做加减消元法,简称__________.预习练习1-1 解方程组①3,759,y xx y=-+=-⎧⎨②3512,315 6.x yx y+=-=-⎧⎨比较简便的方法是( )B.均用加减法C.①用代入法,②用加减法D.①用加减法,②用代入法 1-2 二元一次方程组28,20x y x y +=-=⎧⎨⎩的解是( )A.24x y ==-⎧⎨⎩ B.24x y ==⎧⎨⎩ C.24x y =-=⎧⎨⎩ D.24x y =-=-⎧⎨⎩知识点1 用加减法解二元一次方程组 1.方程组24,53x y x y -=+=⎧⎨⎩的解是( )A.12x y ==⎧⎨⎩ B.31x y ==⎧⎨⎩ C.02x y ==-⎧⎨⎩ D.12x y ==-⎧⎨⎩2.若|m-n-3|+(m+n+1)2=0，则m+2n 的值为( )A.-1B.-3C.0D.33.已知方程组25,27,x y x y +=+=⎧⎨⎩那么x+y=__________.4.(2013·淄博)解方程组：2332 2.x y x y -=+=-⎧⎨⎩，①②知识点2 用加减法解二元一次方程组的简单应用5.根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是()A.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本6.有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货34吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货76吨,3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？7.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对A，B两种商品实行打折出售.打折前,购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元.而店庆期间,购买50件A商品和50件B商品仅需960元,这比不打折少花多少钱？8.(2014·娄底)方程组1,25x yx y+=-=⎧⎨⎩的解是( )A.12xy=-=⎧⎨⎩B.23xy==-⎧⎨⎩C.21xy==⎧⎨⎩D.21xy==-⎧⎨⎩9.(2014·襄阳)若方程mx+ny=6的两个解是1,1,xy==⎧⎨⎩2,1,xy==-⎧⎨⎩则m，n的值为( )A.4，2B.2，4C.-4，-2D.-2，-410.已知方程组23,434x y ax y a+=-=-⎧⎨⎩的解x与y的和是2，则a=__________.11.解方程组：(1)(2014·湖州)37,2 3.x yx y+=-=⎧⎨⎩①②(2)(2014·威海)353,1.23x yx y-=-=⎧⎪⎨⎪⎩12.在课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A，B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示，请求出小敏的四次总分.13.在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A，B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元.改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元?挑战自我14.已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=++=⎧⎨⎩的解满足x+y=-10，求式子m2-2m+1的值.8.3 实际问题与二元一次方程组第1课时利用二元一次方程组解决实际问题要点感知用方程组解应用题的一般步骤是：(1)审题：弄清题意和题目中的__________；(2)设元：用__________表示题目中的未知数,可__________设未知数，也可__________设未知数；(3)列方程组：挖掘题中的所有条件,找出两个与未知数相关的__________,并依此列出__________；(4)解方程组：利用__________法或__________法解所列方程组,求出未知数的值；(5)检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义,然后作答.预习练习(2014·温州)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是( )A.523220x yx y+=+=⎧⎨⎩B.522320x yx y+=+=⎧⎨⎩C.202352x yx y+=+=⎧⎨⎩D.203252x yx y+=+=⎧⎨⎩知识点1 建立二元一次方程组模型解决实际问题1.某校七年级一班40表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( )A.272366x yx y+=+=⎧⎨⎩B.2723100x yx y+=+=⎧⎨⎩C.273266x yy x+=+=⎧⎨⎩D.2732100x yy x+=+=⎧⎨⎩2.(2013·西双版纳)自去年3月西双版纳州启动农村义务教育学生营养改善计划以来，某校根据上级要求配备了一批营养早餐.某天早上七年级(1)班分到牛奶、面包共7件，每件牛奶24元，每件面包16元，共需144元.求这天早上该班分到多少件牛奶，多少件面包？3.(2014·泰州)今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.知识点2 建立二元一次方程组模型解决几何问题4.(2013·漳州)如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是( )A.2753x yy x+==⎧⎨⎩B.2753x yx y+==⎧⎨⎩C.2753x yy x+==⎧⎨⎩D.2753x yx y+==⎧⎨⎩5.(2012·阜新)如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影剪拼成一个长方形,如图2,这个拼成的长方形的长为30,宽为20,则图2中Ⅱ部分的面积是__________.6.(2012·吉林)如图,在东北大秧歌的踩高跷表演中,已知演员身高是高跷长度的2倍,高跷与腿重合部分的长度为28 cm,演员踩在高跷上时,头顶距离地面的高度为224 cm.设演员身高为x cm,高跷的长度为y cm,求x,y的值.7.某校春季运动会比赛中,八年级(1)班和(5)班的竞技实力相当,关于比赛结果,甲同学说：(1)班与(5)班得分的比为6∶5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分.若设(1)班得x分,(5)班得y分,根据题意所列的方程组为( )A.65240x yx y==-⎧⎨⎩B.65240x yx y==+⎧⎨⎩C.56240x yx y==+⎧⎨⎩D.56240x yx y==-⎧⎨⎩8.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15.两根铁棒长度之和为220 cm，此时木桶中水的深度是__________cm.9.(2014·滨州)某公园“6·1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，张凯和李利都随他们10.A、B两地相距20千米，甲从A地向B地匀速行进，同时乙从B地向A地匀速行进，两个小时后两人在途中相遇，相遇后甲立即以原速返回A地，乙继续以原速向A地行进，甲回到A地时乙离A地还有4千米，求甲、乙两人的速度.11.(2013·凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高__________cm，放入一个大球水面升高__________cm；(2)如果要使水面上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？挑战自我12.一个长方形的养鸡场的长边靠墙,墙长14米,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2米,谁的设计符合实际,按照他的设计,鸡场的面积多大？第2课时利用二元一次方程组的解作决策要点感知解决间接求解的应用题的思路：先根据题目中给出的等量关系建立方程组求解，再用求出的解去解决题目要求的问题.预习练习某高校有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试知：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐.同时开放这7个餐厅，可供__________名学生就餐.知识点1 建立二元一次方程组模型支配信息A.19B.18C.16D.152.仔细观察下图,认真阅读对话：根据以上对话内容,可知小明买5元邮票多少张？知识点2 利用二元一次方程组的解作决策3.为建设资源节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作.某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.(1)小张家2013年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？(2)若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费.4.(2014·铜仁)某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？5.(2013·曲靖)某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B 部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？6.(2014·聊城)某服装店用6 000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3 800元(毛利润=售价-进价)，这两种服装的进价、标价如表所示：(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？7.(2013·嘉兴)某镇水库的可用水量为12 000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量.实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量.(1)问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？挑战自我8.(2012·龙岩)已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.。