2019安徽省师范大学附属中学学年高二数学下学期期中考查试题理语文

安徽师范大学附属中学2019-2019学年度第二学期期中考查高二数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数11-2+1-2i i +的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．下列求导运算正确的是（ ）A ．(cos )sin x x '=B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x x e '=D ．2()2x x x e xe '= 3. 函数()y=f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y=x+ ，则000()(2)lim x f x f x x x∆→--∆∆等于（ ） A.－4 B.－2 C. 2 D. 44．由曲线,,x xy e y e -==以及1x =所围成的图形的面积等于（ ）A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 5．直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．ln2+1C ．ln2﹣1D ．ln26”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k + 7．已知(0,)x ??有下列各式：221442,3,22x x x x x x x +?=++? 3327274,333x x x x x x +=+++?成立，观察上面各式，按此规律若4+5,a x x³则正数a =（ ）A ．4B ．5C ．44D ．558．设函数()f x 在R 上可导，其导函数'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若ln 3ln 5ln 6,,,356a b a ===则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13-22（，）B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ． [)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若点(,)P a b 在函数2ln y x x =-+的图象上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图象上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．212.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上） 13．设复数21iz i-=+，则z 的共轭复数为 ． 14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．15．如图所示的数阵中，第15行第216．以下判断正确的序号是（1）集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，}{4M N ?，则复数4z i =-.（2）4(13)10.x x dx -+-=ò（3）已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ?-+<恒成立，则x 的取值范围为2(2,)3-．（4）设1()c o s f x x =，定义1()n f x +为()n f x 的导数，即'1()=()n n f x f x n N +Î，若△ABC 的内角A 满足1220181()()()3f A f A f A L +++=，则8sin 2.9A = 三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分8分）已知函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在(1,(1))f 处的切线方程为2y =. （1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值. 18．（本小题满分8分） 由下列不等式：112>,111123++>,111312372+++>L ,111122315+++>L,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明． 19．（本小题满分8分）（1）已知0,0a b >>且2a b +>，求证：1+1,b aa b+中至少有一个小于2；（2）已知110,1,ab a>-> 20. （本小题满分8分）已知函数()3ln af x ax x x=+-. （1）当2a =时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 在(]1,e 上为单调函数，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分8分）已知函数(),x e af x a R x-=∈. （1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立. 22．（本小题满分12分）． 已知函数()(ln 1)f x x x =+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）设2'()()()F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3） 若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，求证：121x x k<<.高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA13.14. B 15.110616. (1) (2)(3)(4) 17.解（1）因为()132f b =-+=，所以1b =；...............................1分 又()1ln ln 1b f x a x a b a x a x x'=++-=++-，..............................2分 而函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在()()1,1f 处的切线方程为2y =，所以()1110f a '=+-=，所以0a =；......................................3分 （2）由（1）得()ln 3f x x x =-+，()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<；所以()f x 在()0,1上单调递增，()f x 在()1,+∞上单调递减，....................6分 所以()f x 有极大值()12f =,无极小值．......................................8分 18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：． (2)分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1②假设n=k 时猜想成立，即则n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N +，不等式成立．......................................8分19．证明：（1）假设都不小于2，则，∵a ＞0，b ＞0，∴1+b ≥2a ，1+a ≥2b ，两式相加得：2+a+b ≥2（a+b ），解得 a+b ≤2，这与已知a+b ＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2．......................................4分（2）∵1，a ＞0，∴0＜b ＜1，要证＞，只需证•＞1，只需证1+a ﹣b ﹣ab ＞1，只需证a ﹣b ﹣ab ＞0，即＞1．即﹣＞1．这是已知条件，所以原不等式成立．...................................8分20.解：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+-，∴22223232()2x x f x x x x --'=--=.令()0f x '=，得2x =或1x =-（舍）.又当2x =时，()=(2)53ln 2f x f =-极小，∴当2a =时，函数()f x 的最小值为53ln2-.................................3分 （2）∵()3ln a f x ax x x =+-，∴223()ax x af x x --'=，又()f x 在(]1,e 上为单调函数，∴当(]1,x e ∈时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，也就是230ax x a --≥或230ax x a --≤对(]1,x e ∀∈恒成立， 即231x a x ≥-或231x a x ≤-对(]1,x e ∀∈恒成立.令23()1xG x x =-，则2223(1)()(1)x G x x -+'=-.∴当(]1,x e ∈时，()0G x '<.∴()G x 在(]1,e 上单调递减，又当1x → 时，()G x →+∞；当x e =时，23()1eG x e =-，................................8分 ∴231e a e ≤-，故()f x 在(]1,e 上为单调函数时，实数a 的取值范围为23,1e e ⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦. 21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x-+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()xg x e x '=⋅，当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减， 当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增， 又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点，∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意，所以1a ≥ ................................4分（2）()()21x e x af x x -+'=，令()()1xg x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増，∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001xf x e =>即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立. ................................8分则2211()(0,)(+)f x e e ∞在上递减，在，上递增 .1)11(ln 1)(,1222min 2ee e xf e x -=+==∴时当 ......................3分).0(1212)(,2ln )()2(22>+=+='++=x xax x ax x F x ax x F .............4分① 0≥a 当时，恒有0)(>'x F ，)(x F 在),0(+∞上是增函数；② 0<a 当时, ;210,012,0)(2ax ax x F -<<>+>'解得即令 综上，当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数； .........................5分0<a 当时，)(x F 在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减....6分 （3）221''12121ln ln ()().x x f x f x k x x x x --==--则只要证:111t t nt-<<，由,0ln 1>>t ，t 知 故等价于证:ln 1ln (1)t t t t t <-<>(*) ...............................8分 ①()1ln (1),g t t t t =-->设.ln 1t t >-∴ ......................................................10分②()ln (1)(1),()ln 0(1),h t t t t t h t t t '=-->=>>设则由①②知（*）成立，.121x kx <<∴ .......................................12分。