人教版高中数学必修5知识点

数学必修5复习知识要点（一）解三角形：(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：2222222cos ,cos b c a a b c bc A A +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. 如ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sin cos 22A B C A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

如（1）ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A =60 4,a b == ，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）；（2）在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：12-）； (4)在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答：60 ）； （5）在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=____（答：30 ）；（6）在ABC ∆中，60 1A ,b == ABC ∆外接圆的直径是_______（答：3）；（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32B C a A +==则= ，22b c +的最大值为 （答：1932;）； （8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 （答：06C π<≤）；（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠= ，且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=，求A ∠（答：45 ）．（二）数列：1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如①等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；②首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如①数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；②已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a b A +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）2.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.如等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ ；(4) 若是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n =， 则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. 如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________；(6)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如①等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； ②若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 ；3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-=(2)n ≥。

如①一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____；②数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a q q -=-。

如等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

4.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = .如①在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___； ②各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则31323l o g l o g l o g a a a +++= 。

(2) 若{}n a 是等比数列，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。

如在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为___ ；(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是 ；5.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。