高中数学人教A版选修2-2学案：第三章3.23.2.2 复数代数形式的乘除运算-含解析

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高中数学第三章 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修22

3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有3.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立．所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。

人教a版数学高二选修2-2习题_第三章_数系的扩充与复数的引入_3.2.2复数代数形式的乘除运算有答案

人教a 版数学高二选修2-2习题_第三章_数系的扩充与复数的引入_3.2.2复数代数形式的乘除运算有答案3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算A 级基础巩固一、选择题1．徽卷)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A ．3＋3i B ．－1＋3i C ．3＋i D ．－1＋i 解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i. 答案：C2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1等于 ( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：z 2－2z z －1＝（1＋i ）2－2（1＋i ）1＋i －1＝2i －2－2i i ＝－2i＝2i.答案：A3．设z ＝3＋i ，则1_z＝( )A ．3＋iB ．3－i C.310i ＋110D.310＋110i 解析：1z ＝13－i ＝3＋i （3－i ）（3＋i ）＝3＋i 10＝310＋110i.答案：D4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：因为a1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，所以1－a 2＝0，得a ＝1.答案：B5．设复数z 的共轭复数是_ z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且_ z 1·_z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：因为z 2＝t ＋i ，所以_ z 2＝t －i.z 1·_z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又z 1·_ z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.答案：A 二、填空题6．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：z ＝－3＋2i i －1＝－3（－i ）＋2i （－i ）i （－i ）－1＝1＋3i ，所以复数z 的实部是1. 答案：17．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：设z ＝b i(b ∈R)，则z ＋21－i＝b i ＋21－i＝（b i ＋2）（1＋i ）2＝2－b 2＋2＋b2i ，因为z ＋21－i是实数，所以2＋b2＝0，得b ＝－2，所以z ＝－2i. 答案：－2i8．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________．解析：由(z 1－2)(1＋i)＝1－i 得z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i )·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2是实数，所以a ＝4，所以z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i 三、解答题9．计算：(1)2＋2i（1－i ）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解：(1)2＋2i（1－i ）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 009＝－1＋i ＋(－i)1 009＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.10．设_ z 的共轭复数是z ，若z ＋_ z ＝4，_ z ·z ＝8，求_zz 的值．解：法一设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则_z ＝x －y i. 由z ＋_ z ＝4，z ·_z ＝8，得⎩⎨⎧x ＋y i ＋x －y i ＝4，（x ＋y i ）（x －y i ）＝8 即⎩⎨⎧x ＝2，x 2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2，所以_z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i.法二因为z ＋_z ＝4，设z ＝2＋b i(b ∈R)，又z ·_z ＝|z |2＝8，所以4＋b 2＝8.所以b 2＝4，所以b ＝±2，所以z ＝2±2i ，z ＝2∓2i.所以_ zz＝±i.B 级能力提升1．计算（－1＋3i ）3（1＋i ）6＋－2＋i1＋2i 的值是( )A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：原式＝（－1＋3i ）3[（1＋i ）2]3＋（－2＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（－1＋3i ）3（2i ）3＋－2＋4i ＋i ＋25＝1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3＋i ＝ i ＋i ＝2i. 答案：D2．已知x ＝1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0的一个根(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：把x ＝1＋2i 代入x 2－mx ＋2n ＝0中，得(1＋2i)2－m (1＋2i)＋2n ＝0，即1－4＋4i －m －2m i ＋2n ＝0，整理得(2n －m －3)＋(4－2m )i ＝0，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧2n －m －3＝0，4－2m ＝0，解得m ＝2，n ＝52，m ＋n ＝92.答案：923．设z 是虚数，w ＝z ＋1z是实数，且－1＜w ＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．解：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R 且y ≠0)，可得w ＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，因为w 是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1，所以|z |＝1，此时w ＝2x . 由－1＜w ＜2得－1＜2x ＜2，1 2＜x＜1，即z的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，1.所以－。

(新)高中数学第三章3_2复数代数形式的四则运算3_2_2复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修2-2

3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0，由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立．所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。

人教版数学高二A版选修2-2学案第三章数系的扩充与复数的引入 (2)

3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1 结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.知识点三复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？答案设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一复数代数形式的乘除运算例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i. 考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i.类型二 i 的运算性质例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.考点虚数单位i 及其性质题点虚数单位i 的运算性质解 (1)原式＝2(1＋i )－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i.(2)方法一原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i. 方法二因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ；③1i＝－i. 跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. 考点虚数单位i 及其性质题点虚数单位i 的运算性质答案 i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点虚数单位i 及其性质题点虚数单位i 的运算性质解设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三共轭复数及其应用例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.引申探究例3条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3. 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z |z |＝45－35i. 3．已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案 D解析因为(1－i )2z＝1＋i ，所以z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i (1－i )2＝－1－i. 4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案－1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关系的综合问题解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( ) A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i考点虚数单位i 及其性质题点虚数单位i 的运算性质答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i7＝i ， ∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝0. 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i 考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的运算法则答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i 考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 C解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( ) A ．6B ．－6C ．0D.16 考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数， ∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系答案 D解析由图可知z ＝3＋i ，所以复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D. 6．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |等于( ) A ．1B.2C. 3D ．2 考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 A 解析由1＋z 1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， |z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i 考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合问题答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0B ．1C ．2iD ．i 考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案 C解析原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i. 二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案－1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ≠－b .因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点复数的乘除法运算法则题点乘除法的综合应用答案 16解析易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数．考点复数四则运算的综合应用题点与四则运算有关的问题(1)解因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －yx 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.(2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋2x ＋x 2＋y 2.又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y1＋x i.因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

3．2.2复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.4．复数代数形式的除法法则：(a＋b i)÷(c＋d i)＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc＋d＋bc－adc＋di(c＋d i≠0)．[点睛]在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－d i，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( )(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝ ( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i 答案：A4．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 (2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y ＝(1＋i)2＝2i. 2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i. 法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________. [解析] (1)因为i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i ＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)，∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＝0. [答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用] 计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______.解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.因为ω是实数且y ≠0，所以y －y x 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0，所以y1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0，由典例解析知x 2＋y 2＝1.则ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝⎛⎭⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝⎛⎭⎫y 1＋x 2 ＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. 因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0.于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥ 22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立．所以ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C. 3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ． 1 024 C ．0D ．512解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2.答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i.解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i 1＋i ∈R ，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：选B ∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( )A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i. 5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数．z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0， ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i.2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B. 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－z z等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( ) A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz 等于( ) A ．1 B ．－i C ．±1D ．±i解析：选D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎨⎧ z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎨⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以z z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z ＝±i. 12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx ≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i. 答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i.19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ② 又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.。

-高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算学案新人教a版选修2-2

3．2 复数代数形式的四则运算3．2.2 复数代数形式的乘除运算1．理解复数代数形式的乘、除运算法则．2．会进行复数代数形式的乘、除运算．3．了解互为共轭复数的概念．基础梳理1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ．(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3．想一想：|z |2＝z 2，正确吗？解析：不正确．例如，|i|2＝1，而i 2＝－1.2．共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ，z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0．想一想：三个实数|z |，|z －|，z ·z －具有怎样的关系？解析：设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i ，所以|z |＝a 2＋b 2，|z －|＝a 2＋（－b ）2＝a 2＋b 2，z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2，所以|z |2＝|z －|2＝z ·z －.3．复数代数形式的除法法则(a ＋b i )÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．想一想：(2－i )÷i ＝________．解析：(2－i )÷i ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i （－i ）＝－1－2i. 答案：－1－2i 自测自评1．(2014·高考福建卷)复数(3＋2i)i 等于(B )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i ·i ＝－2＋3i ，选B.2．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝(B ) A ．－1－3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.3．复数2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是(A ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i基础巩固1．(2014·高考江西卷)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝(C )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：因为z (1＋i)＝2i ，所以z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i 因此|z |＝|1＋i|＝ 2. 2．复数i 2＋i 3＋i 41－i＝(C ) A ．－12－12i B ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 解析：∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，∴i 2＋i 3＋i 41－i ＝－i 1－i ＝－1（1＋i ）2＝12－12i. 3．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝(B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．(2014·高考湖南卷)复数3＋ii 2(为虚数单位)的实部等于________．解析：由题可得3＋i i 2＝－3－i ，－3－i 的实部为－3，故填－3. 答案：－3 能力提升5．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，∴ad ＋bc ＝0，选D.6．已知复数z ＝1＋i ，则z ＋1z 2＝(A ) A.12－i B.12＋i C ．－12－i D ．－12＋i 7．复数z 满足方程z －i ＝1－i ，则z ＝________．解析：∵z －·i ＝1－i ，∴z －＝1－i i ＝（1－i ）i i ·i＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i. 答案：－1＋i8．已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________．解析：∵z ＝3＋i（1－3i ）2＝3＋i －2－23i ＝（3＋i ）（－2＋23i ）16＝－43＋4i 16＝－3＋i 4， ∴z －＝－34－i 4，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14. 答案：149．已知z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10. 复数z ＝（1＋i ）3（a ＋b i ）1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝（1＋i ）2（1＋i ）（a ＋b i ）1－i＝2i ·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①因为复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.②又因为z 点在第一象限内，所以a ＜0，b ＜0.由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.。

高中数学人教A版选修2-2课件第三章 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算
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课前预习导学
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学习目标 1.能记住复数乘法的运算法则及运
算律; 2.能记住复数除法的运算法则; 3.能运用复数乘法与除法法则解决相关问题; 4.能说出共轭复数的相关性质,并学会应用其性质解决有关问题.
重点难点
重点:复数的乘法与除法的运算法则; 难点:复数的除法运算.
=2-2
3i+2 -8i
3i-6i2-i=-1i -i=0.
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迁移与应用
1.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模
为
.
解析:∵z(2-3i)=6+4i,
∴z=62+-34ii = 2163i=2i,
∴|z|=2. 答案:2
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2.计算:
1+i 1-i
(2)对于复数的除法运算,要熟练掌握“分母实数化”的方法. (3)对于复数的高次乘方运算,可利用公式(zm)n=zmn 进行转化运算.
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二、in 及 ωn 的性质
活动与探究 2
求下列各式的值: (1)1+i+i2+i3+…+i2 014;
(2)1-2+23+3ii +
2 1-i
2 014
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3.复数的除法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),
则��1
��2
=
��+��i ��+��i
=
��+�� 2+��2

人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.2.2复数代数形式的乘除运算(含答案)

选修2-2 第三章 3.2 3.2.21．(2012·湖南文)复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i [答案] A[解析] z ＝i(i ＋1)＝－1＋i 的共轭复数是z －＝－1－i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 [答案] D[解析] (1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，∵此复数为纯虚数，∴b ＝2.3．(2013·安徽理，1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案] A[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(x 2＋y 2)i ＋2＝2(x ＋y i)＝2x ＋2y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y ，2＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A. 4．对于n 个复数z 1、z 2、…、z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1、k 2、…、k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1、z 2、…、z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)[答案] {1,2，32}或{2,4,3}等 [解析] 由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 3(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0. ∴k 1k 2k 3＝32. 故填{1,2，32}或{2,4,3}等．5．设关于x 的方程是x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． [解析] (1)设实数根是a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0，即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0，∵a 、tan θ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a tan θ－2＝0，a ＋1＝0； ∴a ＝－1，且tan θ＝1，又0<θ<π2，∴θ＝π4. (2)若方程存在纯虚数根，设为b i(b ∈R ，b ≠0)，则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，化简整理得－b 2＋b －2－(b tan θ＋1)i ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋b －2＝0b tan θ＋1＝0此方程组无实数解， ∴对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 6．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c ∈R )．(1)求b 、c 的值；(2)试证明1－i 也是方程的根．[解析] (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即b ＋c ＋(2＋b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. (2)由(1)知方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立∴1－i 也是方程的根．。

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