【解析】湖北省武汉市2014届高三11月调研考试数学文试题(1)

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中湖北省 八校2014届高三第一次联考数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★ 祝考试顺利 ★注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列结论中成立的是（ ） A ．M N M =B ．M N N =C ．()U M C N =∅D ．()U C M N =∅2．命题“x ∀∈R ，2e xx >”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，使2e x x > B ．x ∃∈R ，使2e x x < C ．x ∃∈R ，使e x≤2x D ．x ∀∈R ，使e x≤2x3．已知αβ、为锐角，3cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则tan β的值为（ ） A ．13B ．3C ． 913D ．1394．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足6542a a a =+，则64aa 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1或4D ．15．已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（ ） A ．1096π+B ．996π+C ．896π+D ．980π+6．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()s i n (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ． b a c >>8．若,(0,2]x y ∈且2xy =,使不等式2a x y +（）≥(2)(4)x y --恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≤12B ．a ≤2C ．a ≥2D ．a ≥129．已知集合{}(,)|()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立， 则称集合M 是“理想集合”， 则下列集合是“理想集合”的是（ ） A ．1{(,)|}M x y y x==B ．{(,)|cos }M x y y x ==C ．2{(,)|22}M x y y x x ==-+D ．2{(,)|log (1)}M x y y x ==-10．如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为(),()y f x y g x ==，定义函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，，．对于函数()y h x =，下列结论正确的个数是（ ）第10题图①(4)h = ；②函数()h x 的图象关于直线6x =对称； ③函数()h x值域为0⎡⎣ ；④函数()h x 增区间为05（，）． A ．1 B ．2C ．3D ．44正视图侧视图俯视图 第5题图OPPO第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11．如果复数1i 12im z -=-的实部与虚部互为相反数，则实数=m ．12．设,x y ∈R ，向量(,1)x =a ，(1,)y =b ，(3,6)=-c ，且⊥c a ，b ∥c ，则+⋅（）a b c = ． 13．直线(1)y k x =+与曲线()ln f x x ax b =++相切于点(1,2)P ，则2a b +=________．14．在△ABC 中，cos cos =b C c Ba+ ． 15．已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n ∈N 在直线3(6)y k x -=-上，则数列{}n a 的前11项和11S = ．16．设点(,)P x y 为平面上以(4,0)0,4),1,2A B C ,（（）为顶点的三角形区域（包括边界）上一动点，O 为原点，且OP OA OB λμ=+，则+λμ的取值范围为 ． 17．用符号[)x 表示超过x 的最小整数，如4,1[)[ 1.5)π==--，记{}[)x x x =-． （1）若(1,2)x ∈，则不等式{}[)x x x ⋅<的解集为 ；（2）若(1,3)x ∈，则方程22cos sin 10[){}x x +-=的实数解为 ．三、解答解：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数2()2cos cos f x x x x x =+∈R ，. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间,64[]ππ-上的值域．19．（小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 12=2A A A CA B ==，且11BC A C ⊥．（Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面1A C ；（Ⅱ)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ， 使DE ‖平面1ABC ；若存在，求三棱锥1E ABC -的体积．20．（本小题满分13分）若数列{}n A 满足21n n A A =+,则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，91=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 2)(2+=的图象上，其中n 为正整数．(Ⅰ)证明数列{1}n a +是“平方递推数列”，且数列{lg(1)}n a +为等比数列；(Ⅱ）设（Ⅰ)中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++ ，求lg n T ； (Ⅲ）在(Ⅱ）的条件下，记)1lg(lg +=n nn a T b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2014n S >的n 的最小值．21．（本小题满分14分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m ∈R ≤≤且个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中16048()154102x xf x x x ⎧⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，≤≤，，≤．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m 的最小值．22．（本小题满分14分）已知实数0,a >函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ)求函数()f x 的单调区间及最小值；（Ⅱ）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；A 1C 1BAC第19题图DB 1（Ⅲ）证明：*12482ln(1)ln(1)ln(1)ln 1 1 ().233559(21)(21)n n nn -⎡⎤++++++++<∈⎢⎥⨯⨯⨯++⎣⎦N湖北省八校2014届高三第一次联考文科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共10小题）．1．D 2．C 3． B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．B 10．C 1．提示：(0,),(2,)M N =+∞=+∞，可知D 错．2．提示：命题“2,e xx x ∀∈>R ”的否定为“2,e xx x ∃∈R ≤”． 3．提示：由3cos 5α=，得4tan 3α=． 又tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，则tan 3β=．4．提示：由6542a a a =+可得244442(0)a q a q a a =+≠，即22q q =+．又0n a >，所以q =2，则2644a q a ==． 5．提示：几何体是一个正方体与一个圆柱的组合体，则其表面积为：644214968S ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．6．提示：函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π得cos(2)y x ϕ=+，图象关于4(,0)3π中心对称，则有422()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ,则min 132,,||66k k πϕππϕ=-∈=Z ． 7．提示：由()()g x g x '=得cos sin (0),4x x x a ππ=<<=则；由()()h x h x '=得1ln (0)x x x=>，则(1,3)b ∈；由()()x x ϕϕ'=得233(0)x x x =≠，则c =3．∴c >b >a ．8．提示：由x 、(0,2],2y xy ∈=，得a ≥(2)(4)102(2)102222x y x y x y x y x y---+==-+++．又由24x y +≥，∴a ≥12．9．提示：由题意可知：11(,)A x y M ∀∈，22(,)B x y M ∃∈，使=0OA OB ⋅即为“理想集合”．由1y x=图象可知，当(1,1)A M ∈，不存在B M ∈，使=0OA OB ⋅ ． 由222y x x =-+图象可知,当(0,2)A M ∈，不存在B M ∈， 使=0OA OB ⋅．由2log (1)y x =-图象可知当(2,0)A M ∈，不存在B M ∈，使=0OA OB ⋅．由cos y x =图象可知为“理想集合”．10．提示：由题意可得, 04()812, 812x x f x x x x <⎧=<-⎪⎩≤，≤，≤≤．, 03 36() 6912 , 912x x x g x x x x <⎧<=<-⎩≤，≤，≤，≤≤．由函数()y f x =与()y g x =的图象可得函数()y h x =的图象由图象可知：①②③对，函数h (x )在(0,5)(6,7),上单调递增，④错．二、填空题（每小题5分，共7小题,）．11．3- 12．15 13．2 14．1 15．33 16．3[,1]4 17．4(,2)3；6π- 11．提示：由1i (1i)(12i)12(2)i 12i 55m m m m z --+++-===-得1220m m ++-=则3m =-．12．提示：由⊥c a ，b ∥c 得(2,1),(1,2)==-a b ，()15+⋅=a b c ． 13．提示：由(1)1k f a '==+，又由(1,2)P 即在直线上，又在曲线上可得k =1，a =0，b =2，则22a b +=．14．提示：cos cos =sin cos sin cos sin 1sin sin b C c B a B C C B AA A ++==．15．提示：(6)3n a k n =-+，即6=3a ，且{a n }为等差数列， ∴1161133S a ==．16．提示：OP OA OB λμ=+， 得4,4x y λμ==．由线性规划问题，求得[3,4]x y +∈．则3[,1]44x y λμ++=∈． 17．提示：（1）当(1,2)x ∈时，[)2,{}2x x x ==-， 由{}[)x x x ⋅< 得(2)2x x -⋅< ， 即423x <<, 其解集为4(,2).3（2）当(1,2)x ∈时 ，22cos [)sin {}10x x +-= 即22sin (2)sin 2x -=∵2(0,)x π-∈ ，2(0,)π∈ ， ∴22x -=或22x π-+=．即x =0或4x π=-但(1,2)x ∈ ， 即此时方程无实解．当[2,3)x ∈， [)3x = ， {}3x x =- ， 22cos 31sin (3)0x -+-=． ∵3(0,)x π-∈ ，3(0,)π∈ ， 22sin (3)sin 3x -=，即 33x -=或33x π-+=，则x =0（舍）或6x π=-． 此时6x π=-为方程的实解.三、解答题（共5小题，共65分） 18. 解析：(I)2()2cos cos f x x x x =+⋅=1cos22x x + 2sin(2)16x π=++ ……………4分所以，周期T π=． ……………6分（II ）∵[,]64x ππ∈- ， ∴22[,].663x +∈-πππ ……………8分1sin(2)[,1]62x π+∈-， ∴()f x 的值域为03⎡⎤⎣⎦， ……………12分 19. 解析：（I ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，有1A A ⊥平面ABC . ∴1A A AC ⊥， 又1A A AC =， ∴11AC AC ⊥ ． ……………2分又BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面ABC 1 ， 则平面ABC 1⊥平面A 1C ． ……………4分 （II ）方法一：取1A A 中点F ，连EF ，FD ，当E 为1B B 中点时，EF AB ，DF ∥1AC即平面EFD ∥平面1ABC ， 则有ED ∥平面1ABC . ……………8分当E 为中点时，11-E ABC C ABE V V -===111211323⨯⨯⨯⨯= ……………12分方法二：A 1C 交AC 1于G 点连BG ，当E 为中点时，有BE DG ，则有DE ∥BG ，即DE ∥平面ABC 1，求体积同上．20. 解析：（I ）由题意得：212n nn a a a +=+， 即 211(1)n n a a ++=+， A 1C 1BAC第19题图DB 1EFA 1C 1BAC第19题图DB 1EG则{1}n a +是“平方递推数列”． ……………2分又有1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+得{lg(1)}n a +是以1lg(1)a +为首项，2为公比的等比数列． ……………4分 （II ）由（I ）知111lg(1)lg(1)22n n n a a --+=+⋅= ， ……………5分12121(12)lg lg(1)(1)(1)lg(1)lg(1)lg(1)2112n n n n n T a a a a a a -=+++=++++++==-- ．……………8分 （III ）11lg 2112()lg(1)22nn n n n n T b a ---===-+ ， ……………9分111122221212nn n S n n --=-=-+- ， ……………10分 又2014n S >，即112220142n n --+>，110082nn +>，又 1012n <<， min 1008n ∴=． ……………13分21. 解析：（I ）∵4m = ∴64(04)8202(410)x y x x x ⎧⎪=-⎨⎪-<⎩≤≤≤． ……………2分当04x ≤≤时，由6448x-≥，解得8x -≥，此时04x ≤≤； 当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤． ……………4分综上，得08x ≤≤．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天． ……………6分 （II ）当610x ≤≤时，11616162(5)[]1014428(6)1414m my x m x x x x x=⨯-+=-+=-+-----， ……………9分又14[4,8]x -∈ ， [1,4]m ∈，则44y =≥． 当且仅当161414mx x-=-，即14[4,8]x -=时取等号.令44≥，解得1m ≥ ，故所求m 的最小值为1 ． ……………14分 22. 解析：（I ）当0 ()e x a f x a '>=-时，，由e 0x a ->， 得单调增区间为()ln ,a +∞；由e 0x a -<，得单调减区间为(,ln )a -∞ ， ……………2分 由上可知min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==-- ……………4分 （II ）若()0f x ≥对x ∀∈R 恒成立，即min ()0f x ≥，由（I ）知问题可转化为ln 10a a a --≥对0a >恒成立 ． ……………6分 令()ln 1(0)g a a a a a =--> ， ()l n g a a '=-，()g a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)0g a g ==．即ln 10a a a --≤ ， ∴ln 10a a a --= ． ……………8分 由()g a 图象与x 轴有唯一公共点,知所求a 的值为1．……………9分 （III ）证明：由（II ）知e 10xx --≥， 则ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立． 又112112()(21)(21)2121n n n n n --=-++++， ……………11分∵12482ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)233559(21)(21)nn n -++++++++⨯⨯⨯++12482233559(21)(21)nn n -++++⨯⨯⨯++ ≤ ……………12分1111111112[()()()()]2335592121n n -=-+-+-++-++ 112[()]1221n =-<+．……………14分。