2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理4解决一些简单的相关问题． [知识链接]公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．[预习导引]1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． (1)若从公共点的数目分，可以分为 ①只有一个公共点——相交． ②没有公共点⎩⎨⎧平行.异面.(2)若从平面的基本性质分，可以分为 ①在同一平面内⎩⎨⎧相交.平行.②不同在任何一个平面内——异面． 2．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 4．等角定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]． (3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .要点一空间两条直线位置关系的判断例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案①平行②异面③相交④异面解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．跟踪演练1(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 (1)D (2)C解析 (1)若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a ∥b ，a 、c 是异面直线，那么b 与c 不可能平行，否则由公理4知a ∥c .要点二 公理4、等角定理的应用例2 在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是棱AB 、AD 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：(1)EF 綉E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1. 证明 (1)连接BD ，B 1D 1，在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以EF 綉12BD . 同理，E 1F 1綉12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綉DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 因此，BD 綉B 1D 1，又EF 綉12BD ，E 1F 1綉12B 1D 1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F ＝∠E1CF1.规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．跟踪演练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.要点三求异面直线所成的角例3如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD 的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．解如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綉12AD，FM綉12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝3 2，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.规律方法 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．跟踪演练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________；(4)AC和A1B所成的角是________．答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交答案 B解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案 A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．4．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝________.答案80°或100°解析由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或80°.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．答案 13解析 设棱长为1， 因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角． 在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．一、基础达标1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面答案 D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 2．a 、b 为异面直线是指①a ∩b ＝∅，且a 不平行于b ；②a ⊂平面α，b ⊄平面α，且a ∩b ＝∅；③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b ⊂α成立．( )A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④答案 D解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案 C解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C 中RS与PQ是异面直线．4．下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A．4 B．3C．2 D．1答案 D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E 不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC 为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是________．答案③解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．解如图，连接BD、A1D，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴DD1綉BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.二、能力提升8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B 与AD1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()A．15°B．30°C．75°D．15°或75°答案 D解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉12AB，FG綉12CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．∵AB＝CD，∴EG＝GF.当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN ∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．答案①③解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF 与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．解连接A1C1，BC1，由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，C 1N ⊥A 1B ，垂足为N . 由已知可设A 1B 1＝1， 则AA 1＝BB 1＝2， ∴A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝ 2.∴点M 是A 1C 1中点， ∴A 1M ＝22.∴cos ∠BA 1C 1＝A 1M A 1B ＝225＝1010.∵在Rt △A 1NC 1中， A 1N ＝A 1C 1cos ∠BA 1C 1＝55， ∴BN ＝A 1B －A 1N ＝5－55＝455.∴cos ∠A 1BC 1＝BN BC 1＝455×15＝45.三、探究与创新12.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥F A ，BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD，GH＝12AD.又BC∥AD，BC＝12AD，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：由BE∥F A，BE＝12F A，G为F A中点知，BE∥FG，BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，EF＝BG.由(1)知BG∥CH，BG＝CH，∴EF∥CH，EF＝CH，∴四边形EFHC是平行四边形，∴CE与HF共面，又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且OAOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
C A
D B
两条直线 既不平行 也不相交
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有 可能是异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 相交、异面 . (4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已 知直线垂直.
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线
分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两 条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所 成的角.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课平行直线：同一平面内，没有公共点；AB 异面的有哪些？3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥b=>a ∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
空间中直线与直线之间的位置关系(最终)
如果a//b，b//c，那么a//c 空间中平行线的传递性 C F D F
D A C
B
E
A
B
三条平行线共面
E 三条平行线不共面
例题讲解
夯实基础，练就技能
例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD， 因为 EH是 ABD 的中位线， 1 所以 EH // BD，且 EH BD 同理
学习困惑——今日事今日毕
经历了对空间中直线与直线的位置关 系的学习，你还存在着哪些困惑？
画两个相交平面，在这个平面内各画一条直线， 使它们成为： 1.平行直线； 2.相交直线； 3.异面直线
（二）空间中的直线与直线之间有且只有三种位置关系：
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
共面直线
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
找一找
例1 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D',哪 些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
D' C' B'
2.1.2 空间中直线与直 线之间的位置关系
（第一课时）
来宾市第一中学
主讲人：韦利华
复习回顾
温故而知新，可以为师矣
同一平面内的两条直线有几种位置关系？
同一平面内两条直线的位置关系 文字语言 相交
b
平行
b a
重合
图形语言
o a a (b)
符号语言
ab o
a b
ab a
玩一玩
乐学求思
如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异F
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（2）空间两条异面直线的画法
借助平面来反映线与线的异面关系
（3）异面直线的判定方法
证明和判断异面直线的方法有两种：
（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，此时需借反证法；
（2）定理法：
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（1）证明： ， ， ；
（2）求 的值。
有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：
（1）利用等角定理及其推论；
（2）利用三角形相似；
（3）利用三角形全等；
例4、如图所示，设 分别是空间四边形 的边 上的点，且 ，求证：
（1）当 时，四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是梯形；
第二课时 异面直线及其夹角
推理模式： 与 是异面直线。
图形：
注：判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。
2、异面直线所成的角
已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角（或夹角）。
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作： ，以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的即有共面垂直，也有异面垂直这两种情形；
（5）求异面直线所成的角的基本步骤：一作、二证、三计算；
一“作”：作平行线，将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解决，这是我们解决立体几何问题的常用方法；
作平行线的方法一般有三种：
①直接平移法；②中位线平移法（含成比例线平移法）；③补形平移法。
作平行线往往是在某个平面中完成，因此需要寻找一个“方便面”，该面的特点是：该面包含其中一条异面直线；该面与另一条异面直线相交，即方便作“平行线”。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
b
a
O
b
a
O
a a
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ 的取值范围：
必修2 第二章
（0， ] 90
点、直线、平面之间的位置关系
探 究 （1）在长方体 ABC来自-A'B'C'D'中，有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线？
平行公理与等角定理的应用 已 知 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中， N 分别是棱 CD、 的中点． M， AD (1)求证：四边形 MNA1C1 是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
D N C B
M
A
D1 A1 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 B1
符号表示：设a，b，c为直线
a∥b c∥b
a
b c
a∥c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
6.例题示范 例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
A H E
在例2中，如果再加 上条件AC=BD，那么 四边形EFGH是什么 图形？
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
判断题
1.平面内的一条直线和平面外的一条 直线是异面直线。
• 答：错。
b a
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
判断题 2.分别在两个平面内的两条直线一定异面。 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
高中数学人教A版必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2异面直线所成角(共20张PPT)
【例】如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
(3)直线A′B和CC′所成角是多少？
解：(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′,
D′
C′ C′D′, D′A′与直线AA′ 都垂直.
(2) 直线AD,BC, B′C′ ,A′D′与直线A′B
抛 砖 • 在平面内，如果两个角的两边分别对应 引 平行，那么这两个角有什么关系？ 玉
抛 砖 • 在空间中，如果两个角的两边分别对应 引 平行，结论是否仍然成立呢? 玉
1、等角定理：
• 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
• 【定理的推论】 如果两条相交直线和另两条相交直线
• 推论2：经过＿两＿条＿相＿交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过＿两＿条＿平＿行直线，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们＿有＿且＿只＿有＿一＿条＿过＿该＿点＿的＿公＿共＿直＿线。
• 公理4：＿平＿行＿于＿同＿一＿直＿线＿的两条直线互相平行。
• 空间中直线与直线的位置关系：
看图说话
1(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中，有没有两条棱所
在的直线是互相垂直的异面直线?
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
C' B'
C
B
D' A'
D
A
精讲点拨
求异面直线夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
2、异面直线所成角：
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系ppt
.
在正方体A 在正方体 1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对直线的位 中 置关系
（1）AB和C1D1； ） 和 （2）A1C和D1B： ） 和 ： （3）AB和CC1； ） 和 ； A1 D A B D1 B1 C C1
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 异面直线
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A D C F B
作业： 作业：P51
习题 2.1
4、6、 、 、
空间两直线的位置关系： 空间两直线的位置关系： （1）从公共点的数目来看可分为： ）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线 ②没有公共点则 两直线为异面直线 （2）从是否共面，可分为： ）从是否共面，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 则两直线为异面直线。 ②不同在任何一平面内,则两直线为异面直线。 不同在任何一平面内 则两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线 空间中直线与直线 之间的位置关系
在初中几何中，我们学过平行公理： 在初中几何中，我们学过平行公理： 平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 重要性质 在同一平面内， 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行。 那么这两条直线也互相平行。
O
.
α
a
Oห้องสมุดไป่ตู้
.
a1
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直. 相垂直
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
两直线平行 ②没有公共点
l2
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
异面直线的画法:
b A
b
a
b
a
a
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，
与直线A1B异面的有哪些？ D1 A1 D B1 C B C1
2 3 D 2 3
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
注意：（1）定理中的“方向相同”若改成“方 向相反”，则这两个角也相等。 （2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相 反”，则这两个角互补。
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
C
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且P l
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
3: 1) ( 定义中体现了什么样的数学思想? (将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹 角, 实现了空间问题向平面问题的转化, 使平面几何与立体 几何建立了联系, 体现了转化与化归的思想)
(2) ”的选取有什么技巧吗? “O (a与 b所成角的大小与点 O 的位置无关, 为了简便, O 点 常取在两条异面直线中的一条上. 例如取在直线 b上, 然 后过点 O 作直线 a' ∥a, 与 b所成的锐角( a' 或直角) 即为异 面直线 a与 b所成的角)
公理 4及等角定理的应用
【例 2】 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, 、Q 、M 、N 分别为 AD 、 P AB、 1D 1、 1C 1的中点, C B 求证: 1P ∥C N , 1Q ∥C M , A A 且∠P A 1Q =∠M C N .
证明: A 1B 1的中点 K , 取 连接 B K、K M . 易知四边形 M K BC 为平行 四边形. ∴C M ∥B K. 又∵A 1K∥B Q 且 A 1K =B Q , ∴四边形 A 1K B Q 为平行四边形, ∴A 1Q ∥B K , 由公理 4有 A 1Q ∥CM , 同理可证 A 1P ∥C N , 由于∠P A 1Q 与∠M CN 对应边分别平行, 且方向相反, ∴∠P A 1Q =∠M C N .
������ ������ 在 Rt △M H E 中, M =1, H = E F = , E E „„„„„„„„„„( 8分) ������ ������ ������ 则 si n∠E M H = , 于是∠E M H =60° , ������
则∠E M F =2∠E M H =120° . „„„„„„„„„„„„„„( 10分) 所以异面直线 AD 、 C 所成的角为∠E M F 的补角, B 即异面直线 AD 、 B C 所成的角为 60° . „„„„„„„„„„„„„„„„„( 12分)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(2)
·
A
a
B
3
例：已知不共面的三直线a、b、c相交于点 O，M、P是a上两点，N、Q分别在 b、c上 ． 求证：MN、PQ异面 .
M O P a
10
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 b 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
O a a’
0 90 5、两条异面直线垂直
α
如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面 直线垂直。记作：a⊥b
6
典型例题
例1、如图表示一个正方体
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
8
例3．求异面直线所成的角． 转化为平面角
D1 A1
M
M
D A
E N
B1
L
C1
* 中位线
C
O
B
F
主要步骤：①构造平面角；
②证明； ③求角计算．
9
定量 ——异面直线的距离 ——公垂线段的长度 和两条异面直线都垂直、相交的直线，
叫做两条异面直线的公垂线．
处理所有课本练习：P48，51习题 2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2） （3） 5， 6
Q
N b
c角的两边和 另一个角的两边分别对应平行， A 那么这两个角相等或互补
D
B
E
C
A1
D1 E1 C1
B1
5
4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
思考： 思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？ 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 异面直线的定义: 的定义 我们把不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（ lines）。 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a 不共面的特点， 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 通常用一个或两个平面衬托。如下图: 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
A B
C
α
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
β
E 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 定理的推论: 交直线分别平行, 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 或直角)相等. 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 作直线a'∥a b'∥b，我们把a' b'所成 a'∥a， a'与 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 或夹角）。 （或夹角）。
m
α
m
l
l
想一想,做一做： 想一想,做一做： 1.已知 已知M 分别是长方体的棱C 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 那么MN AB所在的直线是异面直线吗 MN与 所在的直线是异面直线 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(夹角)
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角， 叫做l1到l2的角.
5
3、直线 l1与 l2 的夹角定义:
两直线斜交时，其中的锐角叫做两条直线的夹角.
α 的范围:(00，900 ]
直线l1和直线l2的夹角公式
tan k2 k1
1 k2k1
6
练习1
求直线L1
：y＝
1 2
tan A1B2 A2B1
A1 A2 B1B2
13
1 求下列直线L1到L2的角及L2到L1的角：
（1）L1: y=x/2 + 1
L2: y=3x+10
（2）L1: x-y=3
L2: x+2y-2=0
2 求下列两条直线的夹角：
（1）L1: 5x-3y=8
L2: 6x+10y+9=0
（2）L1: x-y=4
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角， 叫做l1到l2的角.
1>0, 2>0 ,且1+2= θ 的范围：(00，1800)
2 1
l2
l1
3
l1
y l2 l1
y
l2
1 2
2 1
o (1)
xo
x
(2)
l1
4
2、直线l1到直线l2的角的公式
tan k2 k1
练习3求直线L经过点P(1,0),且和直 线 3x+y- 3 =0的夹角等于30°，则直线 L的方程是_____________.
练习：求过点P（-5,3）且与直线x+2y-3=0的 夹角为arctan2的直线l的方程.
8
3x y 3 0
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等角定理
在平面上，我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个 角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
F
D
A C E
三条平行线不共面
F
B
E
A
B
三条平行线共面
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？ 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
A1 D1 B1 C1
已知:如图所示, a ,A ,B ,B a. 求证 : 直线AB与a是异面直线.
证明:(反证法)
A
假设直线AB与a是共面,即有平面 使得AB ,a . 于是A ,B . 又 a , B ,B a. 过a和B有且只有一个平面, 即平面 , 于是平面 与 是同一个平面,即 = . A .这与已知A 相矛盾. 直线AB与a是异面直线.
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1 A1 D A 那么这两个角相等或互补．
BACK NEXT
C1 B1 C
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
3.异面直线所成的角
BACK
NEXT
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
BACK
NEXT
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子
探究一
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ A ） A、 共面 B、异面 C、可能共面也可能异面 D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ且a不平行于b； ② a 平面，b 平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使a 且b 成立 上述结论中，正确的是（C ） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线 就是异面直线.如： a
b
异面直线的判定定理： 过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内 不经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即 需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”， 若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此， 必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有 效的好方法。
a
b
c
d
e
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
公理４：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平 行． ———平行线的传递性 推广：在空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
BACK NEXT
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
D C
o o 又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
(2)连接FH， ∵HD = EA，EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥
H
E
O
G F
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o
1 EH ∥BD且EH ＝ BD 2 1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
G
C
连结BD ，E，F，G，H分别是各边中点
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边 形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连 结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。 A 证明： 连结BD
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
相交直线 平行直线 异面直线
BACK
NEXT
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A
如图：
a
b
(3)
BACK NEXT
a
b
(2)
探究二
如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 如图.
O
(2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
H E F
Hale Waihona Puke G与HF所成的角应该怎样来刻画
呢?
BACK NEXT
D
A B
C
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
D
C
∴ ABC1D1为平行四边形
故AD1 ∥ BC1
A
B
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边 形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连 结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。 分析： EFGH是一个平行四边形 EH∥FG且EH＝FG E D B F A H
BACK NEXT
D
C
A
B
练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中， 指出下列各直线所成的角：
D1 C1 B1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1。
A1
D
A B
C
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
课堂练习（课本48页第二题）
C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD A A H B F D
B
G
C
答：3对
直线AB 和直线HG
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
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求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出 角
BACK
NEXT
1、空间中两条直线的位置关系有（C ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
那么这两个角相等或互补．
一作(找)二证三求
异面直线的求法: 作业：
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NEXT
新课标实验教材:人教版
复习引入 例题选讲
新课讲解 课堂小结
课堂练习
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
a b
平行直线 （无公共点）
相交直线 （有一个公共点）
D
B
A
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
BACK NEXT
六角螺母
D C A B
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b b′
a′ ″
O
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异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两 条异面直线所成的角的取值范围是什么？ b
0, 2
a
如果两条异面直线所成角为900，那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为：ab