平行四边形的性质与判定复习用
平行四边形的性质及判定复习课教案
平行四边形的性质及判定复习课教案平行四边形的性质及判定复习课教案「篇一」一教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质与判定复习
平行四边形的性质与判定复习1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A B ．32 C ．7 D ．72．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm第1题图 第3题图 第4题图 第5题图3．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）A ．6 B ．C ．D ．6+ 4．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cm B ．40cm C ．48cm D ．无法确定5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠．如果5cm AD =，8cm AP =，则ABP △的面积等于（ ）2cm ．A ．24 B ．30 C ．D ． 6．平行四边形的一边长是10cm ，那么它的两条对角线的长可以是（ ）A ．4cm 和6cmB ．6cm 和8cmC ．8cm 和10cmD ．10cm 和12cm 7．如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，ABCD 的周长为40，则S ABCD 四边形为______．第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第12题图8．如图，在平行四边形ABCD 中，110B ∠=︒，则D ∠=_______________°．9．如图，已知ABCD 的周长为18cm ，2BC AB =，2A B ∠=∠，则ABCD 的面积为______2cm ． 10．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在BD 上，DC ＝DE ＝AE ，∠1＝25°，则∠C 的大小是_____．11．已知ABCD 的周长是20cm ，且:3:2AB BC =，则AB =_______cm ．12．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB AC ⊥，2AB =，BC =（1）平行四边形ABCD的面积 АВСD S _________；（2）对角线BD 的长__________．13．如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若6,16AD AC BD =+=，则BOC 的周长为________． 14．在平面直角坐标系中，,,A B C 三点的坐标分别为(0,0),(0,5),(2,2)---，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第__________象限．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 、A 、C 的坐标分别是（0，0）、（6，0）、（2，4），则点B 的坐标为_____． 16．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）17．在四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，给出下列条件：①AB CD =，AD BC =；②AD AB =，//AD BC ；③//AB CD ，//AD BC ；④AO CO =，BO DO =．其中能够判定ABCD 是平行四边形的有______． 18．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D 点共有____个．19．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，点G 是AC 的中点，若10BC =，7AB =，则EG 的长为______．20．如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．第13题图 第15题图 第19题图 第20题图 第21题图21．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ，BE AF ⊥． （1）求证：AE 平分DAB ∠；（2）若60DAB ∠=︒，4AB =，求平行四边形ABCD 的面积．23．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，∠BCD 的角平分线交AB 于E ，交DA 的延长线于F ．（1）求证：DF ＝DC ；（2）若E 是FC 的中点，已知BC ＝2，DE ＝3，求FC 的长．24．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线BD 所在直线上的两点，且DE BF =，求证：四边形AECF 是平行四边形．25．如图，点E 和点F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，连接DE 、DF 、BE 和BF ，ADE CBF ∠=∠． 求证：四边形BEDF 是平行四边形．26．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点． （1）求证：//EF DG ，EF DG =；（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．27．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ． （1）证明：//DE CB ；（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．28．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，若ADE CBF ≌．求证：四边形ABCD 是平行四边形．29．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别是,AB AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A ∠=∠． （1）求证：四边形DCFE 是平行四边形；（2）若26,==BC AB ，求四边形DCFE 的周长．30．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AC 中点，作//AE BC ，交BD 的延长线于点E ． （1）求证：四边形ABCE 为平行四边形；（2）若30BAC ∠=︒，2AD =，求四边形ABCE 的面积．31．如图，将ABCD 的AD 边延长至点E ，使得12DE AD =，连结CE ，F 是BC 边的中点，连结FD ． （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若3AB =，4=AD ，60A ︒∠=，求CE 的长．32．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 在BC 边上，ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交线段AC 于点E ，连接BF ，求证：（1）AFB ADC ≅；（2）四边形BCEF 是平行四边形．。
平行四边形的性质与判定复习课
FC
达标
• 1、平行四边形的周长为36cm，相邻两边 的比为1:2，则它的两邻边长分别是
____________
• 2、在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、
CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)和16，
则这个四边形的周长是
。
达标
3、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD, GH ∥ AB, EF 、 GH相交于点O，则图中共有_____个平行四边形．
于G, 交BC于H, 连结EH、HF、FG、GE,
求证: 四边形EHFG是平行四边形.
E
证明: 在 ABCD中
A1
G
3
D
AD∥BC, OA=OC, ∴∠1=∠2, ∠3=∠4,
O
∴△AOG≌△COH ∴ OG = OH
B
42
H
C
又∵ AE=CF ∴ OE=OF
F∴四边形EHFG是平行四边形.
合作探究
证明：连接BD交AC于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
∴OB=OD OA=OC
∵ AE=CF ∴OA-AE=OC-CF
即OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形
变式2、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在
对角线AC上, 且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形
证明：连接BD交AC于O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
∴OB=OD OA=OC
∵ AE=CF ∴ AE-OA=CF-OC
即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
变式3、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在
对角线AC所在的直线上, 且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形
平行四边形的性质与判定经典例题练习
平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
2. 性质1：平行四边形的对边相等。
性质1：平行四边形的对边相等。
3. 性质2：平行四边形的对角线相等。
性质2：平行四边形的对角线相等。
4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定
初三数学复习教案平行四边形与梯形的性质与判定一、平行四边形的性质与判定1. 平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边是平行的四边形。
具体而言，如果一个四边形的对边两两平行，则它可以被称为平行四边形。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线相交：平行四边形的对角线相交于一点，并且这个交点将对角线分为两条相等的线段。
（3）同位角相等：平行四边形的内角与外角以及同位角之间互相相等。
（4）对角矩形：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它可以被称为对角矩形。
3. 平行四边形的判定（1）对边相等判定：如果一个四边形的对边长度相等，则它是一个平行四边形。
（2）对角线比例判定：如果一个四边形的两条对角线被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个平行四边形。
二、梯形的性质与判定1. 梯形的定义梯形是指有两个平行边的四边形，这两个平行边被称为梯形的底边，而两个非平行边被称为梯形的腰。
2. 梯形的性质（1）底角相等：梯形的两个底角相等。
（2）腰角相等：梯形的两个腰角相等。
（3）对腰异侧角互补：梯形的对腰异侧角互为补角。
（4）对角矩形：如果一个梯形的两个连续内角互为补角，则它可以被称为对角矩形。
3. 梯形的判定（1）底边平行判定：如果一个四边形的两个非平行边被一条直线分成比例相等的线段，则它是一个梯形。
（2）腰长比例判定：如果一个四边形的两个非平行边长度成比例，则它是一个梯形。
总结：平行四边形和梯形是初三数学中重要的几何概念。
通过了解平行四边形和梯形的性质与判定方法，我们可以更好地理解和应用这些概念，解决与其相关的数学问题。
在做题和复习时，我们应该熟练掌握平行四边形和梯形的定义、性质和判定方法，灵活运用于解题过程中。
这样可以提高我们的数学解题能力，更好地应对考试和学习中的数学难题。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
平行四边形性质与判定综合
平行四边形的性质与判定一、平行四边形性质1.对边平行且相等2.对角相等，邻角互补。
3.对角线互相平分应用：（一）角的应用1.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝，∠C＝，∠D＝.2.在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝，∠C＝，∠D＝．3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠-∠=︒A B70，求平行四边形各角的度数。
A D（二）边及对角线的应用1.一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为____________．2.平行四边形ABCD的周长32，5AB＝3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜163．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A.12和2B．3和4C．14和16D．4和84中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB ＝____________，BC＝____________．5如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC 的周长长8cm，求这个四边形各边长．6如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？7如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？（三）平行四边形面积公式1、底*高2、2倍大三角形面积3、4倍的三角形的面积。
1.在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________．2.如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是4.平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．5.平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 6．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是__________．**拓展应用 三角形及梯形的面积（四）角平分线遇平行线等腰三角形必出现1. 平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．2. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5cm ， BC ＝3cm ， ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F ，E ， 求AE ， EF ， BF 的长?FE DBAC二、平行四边形的判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形习题专练1.用边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。
平行四边形的性质和判定讲义(教师版)
平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。
平行四边形的性质与判定复习
平行四边形的性质与判定复习一、学习目标：⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.二、典型例题：例1、已知:如图在□ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？及时练习：1．如图，在ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．2．如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；⑵求证：△BCG≌△DCE．例2、如图，□ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积为．及时练习：1．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．2．在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°，求BC的长．例3、如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.及时练习：1．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关2．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（）.A.3B.4C.5D.6例4、如图，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.及时练习：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE ＝DE,求∠BAC的度数．三、巩固提高：1．如图，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm2．如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A.3B.6 C .12 D.243．如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE4．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE 的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm5．某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF ∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等6．如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC; ②BE＝CF③S△ABE＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个7．已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________.9．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD 上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________.10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是 .①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.求证:△ABC≌△EAD若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是多少？13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。
平行四边形性质和判定(复习)
D
O
B
C
定义 平 行 四 边 形
性质
边、角、对角线
判定
（两个条件）
1、判断题: (1).邻角互补的四边形是平行四边形 . （√） (2).一组对边平行,另一组对边相等的四 边形是平行四边形（×） . (3).一组对边平行, 一组对角相等的四边 形是平行四边形.（√） (4).两组对角分别相等的四边形是平行四 边形. （√） (5).对角线相等的四边形是平行四边形.
（×）
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是 AB、CD、AC、BD的中点． 求证：EF和GH互相平分．
证明：连接EH、HF、FG、GE ∵E、H分别是AB、BD的中点 ∴EH是△ABD的中位线 1 ∴EH∥AD，EH= 2 AD 1 同理，GF∥AD,GF= 2 AD ∴EH∥GF,EH=GF ∴四边形GFHE是平行四边形 ∴EF和GH互相平分
小组讨论本节课的收获
作பைடு நூலகம்： 完成《平行四边形性质与判定（巩固练习）》
学习目标
1、通过练习，进一步掌握平行四边形的性质和判定， 提高知识的综合运用能力； 2、通过应用所学知识，培养学生观察、探究、科学 论证的能力。
如图， ABCD的面积为24，AE、 AF是其两条高，AE=４,AF=３, 求 ABCD的周长． D F C E
A B
如图 ABCD的周长是60cm， AC、BD交于点O，△AOB的周长 比△BOC的周长少8cm，求这个 四边形的边长．
平行四边形性质与判定复习
A
C.
B
学习目标
1、通过复习进一步掌握平行四边形的性质和判定 2、会运用平行四边形的性质和判定解决实际问题 3、通过归纳总结，提高分析问题和解决问题的能力
解决问题 广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如 图EF∥AB，GH∥AD，BD经过GH、EF的交点M）， 分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的 花．下列说法中错误的是（ ）
A． 红花、绿花种植面积一定相等
B． 紫花、橙花种植面积一定相等 C． 红花、蓝花种植面积一定相等 D． 蓝花、黄花种植面积一定相等
延伸迁移
A
P
D
P、Q两人沿四边形ABCD 道路晨练。如图， AD∥BC，
AD=240米，BC=270米，
B
Q
C
P从点A沿AD边向点D以1m/s的速度行走，
Q从点C沿CB边向点B以3m/s的速度跑步。
P、Q两人分别从A、C两点同时出发多少时 间时，四边形PQCD(P，Q两人所在的位置 为P、Q点)是平行四边形？
3、如图， ABCD的对角线AC、BD长度之和为
20cm,若△OAD的周长为17cΒιβλιοθήκη ，则AD=__7__cmD
C
平行四边形的对角线互相平分
O
A
B
4、下列条件中，不能判定四边形ABCD是 平行四边形的是（D ）
A、∠A=∠C，∠B=∠D B、AD=BC,AB=CD C、∠A+∠B=1800 ，∠B+∠C=1800 D、∠A+∠B=1800 ，∠C+∠D=1800
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
平行四边形的判定与性质的综合应用专题练习
平行四边形的判定与性质的综合应用专题练习本文旨在通过综合练来帮助读者深入理解平行四边形的判定和性质。
一、平行四边形的判定平行四边形有四种判定方法，分别是：1. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3. 有一组对边既相等又平行的四边形是平行四边形。
4. 如果一条直线平分一个四边形的两个内角，那么它所在的另一条边是这个四边形的平行线。
二、平行四边形的性质平行四边形有以下性质：1. 对边平行且相等。
2. 对角线互相平分。
3. 同底角相等，异底角互补。
4. 中线长等于底边长。
三、综合应用下面通过几道练题来综合应用平行四边形的判定和性质：1. 已知平行四边形$ABCD$中，$AB=4cm$，$BC=3cm$，连接$AC$，$BD$交于$E$，则$CE$的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_。
解析：由于$ABCD$是平行四边形，所以$AB \parallel CD$且$AD \parallel BC$。
又因为$AC$是平行四边形的一条对角线，所以$AC$平分$BD$，即$BE=ED$。
根据相似三角形可得$\frac{CE}{BC}=\frac{ED}{AB}=\frac{1}{2}$，所以$CE=\frac{1}{2}\times BC=1.5cm$。
2. 已知平行四边形$ABCD$中，$AB=4cm$，$AM$是$BC$的中线，交$CD$于$N$，则$DN$的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_。
解析：由于$ABCD$是平行四边形，所以$AM$平分$BD$，即$BM=MD$。
由于$AM$是$BC$的中线，所以$MN=\frac{1}{2}DC$。
根据中线定理可得$DN=NC-MN=DC-MN-MN=\frac{1}{2}DC=2cm$。
四、总结平行四边形的判定和性质是初中数学中非常重要的一部分，通过综合应用题的练习，我们可以更加深入地理解和掌握这个知识点。
希望读者通过本文的学习和练习，对平行四边形的判定和性质有更加深入的理解和掌握。
人教版八年级下册数学 第18章《平行四边形》讲义 第12讲 平行四边形-复习训练(有答案)
第12讲平行四边形复习训练考点一、平行四边形的性质及判定 【知识要点】（1）、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性 （2）、平行四边形判定方法 （3）、三角形中位线【典型例题】例1、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A 、菱形 B 、矩形 C 、正方形 D 、平行四边形例2、如图,□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE 的度数为 例3、如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E,与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE 的长为（ ） A 、2B 、4C 、4D 、8例4、平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点，A ，B ，D 的坐标分别是（0，0）（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）A 、（3,7）B 、(5,3)C 、(7,3)D 、 (8,2)（例2） （例3） （例4） 例5、如图，E 是平行四边形内任一点， 若S 平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、3B 、4C 、5D 、6例6、如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处。
（1）求证：AE ＝AF （2）求证：△ABE ≌△AGF例7、如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．例8、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，以三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF。
（1）求证：四边形EFAD是平行四边形；（2）求四边形EFAD的面积。
1、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A、1：2：3：4B、2：2：3：3C、2：3：2：3D、2：3：3：22、顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是（）A、等腰梯形B、直角梯形C、矩形D、平行四边形3、如图，在ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD、∠ADC的平分线分别交BC于E、F，则EF的长为（）A、1B、2C、3D、44、如图，在□ABCD中，EF∥AD, GH∥AB,EF、GH相交于点Ｏ，则图中共有个平行四边形．（3）（4）5、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D、E分别为AC，AB中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A。
平行四边形的性质与判定复习
平行四边形的性质与判定赤眉一初中：张亚博且 AE=CF ，连结 AF 、EC 、BE 、DF 交于 M 、N ,求证：线段MN 、EF 互相平分.•••四边形ABCD 是 活动二复习课本85页练习2, 3题，然后完成下面问题：（3分钟） 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的中点 1.根据题中条件，你能画出几种不同的平行四边形？试画一画。
2.若将本题中E 、F 分别是边BC 和AD 上的中点”改为AF = CE ，其它 条件不变，影响上述结论吗？试证明一下。
D H E由中点E 、F 变 成线段上的一般 点，学生从中体 验由特殊到一般 的思维方法。
在实验得出初步 结论的基础上,再运用逻辑推理 （变式1）已知：平行四边形 ABCD 中, E，F 分别在边BC ，DA 上,予以证明。
且 AE // CF 。
求证：AE=CF （变式2）如图，平行四边形 ABCD 中, EF 为边 AD 、BC 上的点, 的图形（由未知 到已知的转化）， 既考查学生的识 图能力，又考查 学生对知识的掌 握。
让学生能从复杂 图形中看到熟悉活动三（巩固课本78页例6）如图，□ ABCD的对角线AC, BD交于点0。
EF过点0且与边AB、CD分别交于点E、F.1. 证明：0E = OF .此题把证明两线段相等的问题转化为证明（）的问题。
2. 如下图将直线EF绕点o旋转任意角度，上题结论仍成立吗?3. 连接EE' FF'所组成的四边形是平行四边形吗？试证明。
4. 完成课本95页14题.课堂检测1.如图，G、H是口ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH , E、F分别是AB、CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.1..借助课本例题从学生熟悉的图形入手，学生通过动手操作，直观感知所画图形，从而在一定程度上验证猜想，发展合情推理的能力。
2.整合教材，并让学生学会转化的数学思想。
3通过例题，预设问题，以达到复习巩固知识的目的。
小学数学知识归纳平行四边形的性质与判定
小学数学知识归纳平行四边形的性质与判定平行四边形是小学数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行归纳总结，并介绍如何准确判定一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的性质1. 相对边平行四边形的对边是两两平行的。
具体来说，如果一个四边形的两条边分别与另外一条边平行，那么这两条边互相平行。
2. 相等边平行四边形的对边长度相等。
也就是说，如果一个四边形的对边长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
3. 相对角平行四边形的对角线互相等长。
也就是说，如果一个四边形的对角线长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
4. 内角和平行四边形的内角和为180度。
也就是说，如果一个四边形的内角和等于180度，那么这个四边形是平行四边形。
二、判定平行四边形的条件1. 边对应角相等如果一个四边形的对应角相等，那么这个四边形是平行四边形的可能性很大。
通过测量四边形的对应角，我们可以初步判断出它是否为平行四边形。
2. 夹角相等如果一个四边形的夹角相等，那么这个四边形很有可能是平行四边形。
通过测量四边形的夹角，我们可以进一步判断它是否为平行四边形。
3. 边平行如果一个四边形的两条边分别与另外一条边平行，那么这个四边形是平行四边形的可能性很大。
通过测量四边形的边是否平行，我们可以确定它是否为平行四边形。
4. 对边相等如果一个四边形的对边长度相等，那么这个四边形很有可能是平行四边形。
通过测量四边形的对边长度，我们可以更加准确地判断它是否为平行四边形。
总结：平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对边平行，对角线相等，内角和为180度。
判定一个四边形是平行四边形可以通过测量对应角相等、夹角相等、边平行以及对边相等来进行初步判断和进一步确认。
通过掌握平行四边形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和解决与平行四边形相关的数学问题。
注意：无法通过该文章完成字数限制要求，请自行调整。
平行四边形的性质与判定复习
平行四边形的性质与判定复习pptxx年xx月xx日contents •平行四边形的性质•平行四边形的判定•平行四边形性质与判定的应用•拓展知识•练习题目录01平行四边形的性质平行四边形是一种几何图形，由两组对边分别平行的四边形构成。
平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等。
平行四边形的定义平行四边形的对边平行，即相邻两边分别在两个不同的直线上，且这些直线互相平行。
平行四边形的对边平行也意味着它的四个角都不是直角。
平行四边形的对边分别相等，即相邻两边的长度相等。
对边相等也意味着它的四个角不是直角，因为如果一个角是直角，那么它的对边长度就会不一样。
平行四边形的对角线互相平分，也就是通过相对的两个顶点的线段互相垂直且被对角线平分。
对角线互相平分也意味着这个平行四边形是中心对称的，因为旋转180度后，它能够与原来的图形重合。
平行四边形的对角线互相平分02平行四边形的判定总结词：直接判断详细描述：根据平行线的传递性，如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
总结词：间接判断详细描述：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形的对边平行，根据平行四边形的定义，这个四边形是平行四边形。
总结词中位线定理详细描述根据中位线定理，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形的各边中点在一条直线上，因此这个四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形总结词对角线相等详细描述如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形的对角线相等，根据平行四边形的定义，这个四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形03平行四边形性质与判定的应用总结词：全等详细描述：利用平行四边形的性质，通过构造辅助线，可以证明两个三角形全等，进而解决一些证明题和计算题。
证明两个三角形全等总结词：角度详细描述：平行四边形对角相等，利用这一性质可以求角度数。
例如，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求∠AOB的度数。
平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质一、平行四边形的判定1.对边平行：如果一个四边形的对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
2.对角相等：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是平行四边形。
3.对边相等：如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。
4.对角平行：如果一个四边形的对角线互相平行，那么这个四边形是平行四边形。
5.一组对边平行且相等：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
6.对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
4.对边相等：平行四边形的对边相等。
5.对角平行：平行四边形的对角线互相平行。
6.一组对边平行且相等：平行四边形的一组对边平行且相等。
7.对边对角相等：平行四边形的对边和对角相等。
8.对角线垂直平分：平行四边形的对角线互相垂直平分。
9.对边对角相等：平行四边形的对边和对角相等。
10.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
11.对角线互相垂直：平行四边形的对角线互相垂直。
12.对角线互相平分且垂直：平行四边形的对角线互相平分且垂直。
三、平行四边形的应用1.计算面积：平行四边形的面积可以通过底乘以高得到。
2.证明线段平行：利用平行四边形的性质证明线段平行。
3.证明四边形是平行四边形：利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形。
4.设计图形：利用平行四边形的性质设计图形，如平行四边形形的窗户、桌面等。
5.解几何题目：利用平行四边形的性质和判定解几何题目。
以上就是平行四边形的判定与性质的知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：如果一个四边形的对边平行且相等，那么这个四边形是什么？答案：平行四边形。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边平行且相等的四边形是平行四边形。
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平行四边形的性质和判定综合练习
知识点回顾
1．平行四边形的定义有_________________________四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的性质: ; ; 3．平行四边形的判定方法
（1）两组对边分别平行（定义）．
从边看：（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组_________________的四边形是平行四边形．
从角看：（4）两组对角______________的四边形是平行四边形．
从对角线看：（5）对角线________________的四边形是平行四边形．
4．三角形中位线定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．．
基础达标
1、在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝，∠C＝，∠D＝．
2、已知的周长为28cm，AB：BC＝3：4，则AB＝，BC＝，CD ＝，AD＝．
3、一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为____________．
4、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）
Ａ．１：２：３：４Ｂ．２：２：３：３Ｃ．２：３：２：３Ｄ．２：３：３：２5、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）
Ａ．一组对边平行，另一组对边相等Ｂ．一组对边平行，一组对角互补
Ｃ．一组对角相等，一组邻角互补Ｄ．一组对角相等，另一组对角互补
6、在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）
Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ
Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ
7、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个
8、四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°
9、中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△
OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．
10、如图，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为
6 cm，则的面积是____________
中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm,则BC =______cm．
11、ABC
解答题12、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？
=∠D BA F 。
四、能力提高
1、在MBN △中，6BM =，点A ，C ，D 分别在MB ，BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，NDC MDA =∠∠，ABCD 的周长是（ ）
Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．12
2 .已知点A （3，0）、B （-1，0）、C （0，2），以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，第四个 顶点D 的坐标为
3.平行四边形的两条高分别为5cm 和8cm ，较短的边长为7.5cm ，则这个平行四边形的周长为_______。
4、已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm ，则三条中位线的长分别 为_______________。
5、在平行四边形ABCD 中, ∠B=110O ,延长AD 至F,延长CD 至E, 连接EF,则∠E+∠F=( )
A 110O
B 30O
C 50O D70O 6、已知平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，则它的面积是( )
A.123cm 2
B.73cm 2
C.63cm 2
D.43cm 2
7、 已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢC ＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．
B C G E F
B C
8．（2011•昭通）如图所示，▱AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D ．
9求证：四边形ABCD 是平行四边形．
10．（2010•恩施州）如图，已知，▱ABCD 中，AE=CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点．求证：四边形MFNE 是平行四边形．
11．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD ，E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF ，连接AE ，EC ，CF ，FA ．
求证：四边形AECF 是平行四边形．
12．已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，
四边形AODE 是平行四边形．求证：四边形ABOE 、四边形
DCOE 都是平行四边形．
13．如图：▱ABCD 中，MN ∥AC ，试说明MQ=NP ．
14．已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E ，F ，点G ，H 分别为OA ，OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．
15．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）
16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
17．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．。