福建省南安第一中学2017-2018学年高三元旦练习数学(文)试题

南安一中2017-2018学年高三数学（文）元旦练习
（测试时间120分钟，满分150分）2015.1
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.若0.5log 1x > ，则x 的取值范围是 （ ▲ ）
A ．1(,)2-∞
B ． 1
(,)2
+∞ C ．1(,1)2 D ．1(0,)2
2. 设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ;那么q p 是的 （ ▲ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知函数)(x f 与)(x g 的图像在R 上不间断，由下表知方程)()(x g x f =有实数解的区间是（ ▲ ）
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3) 4. 已知复数z 满足2
2
z i z +=-（其中i 是虚数单位）
，则z 为 （ ▲ ） A ．2i
B ．i
C ．2i -
D ．i -
5. 投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{
}
2
||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为 （ ▲ ） A.
1
2
B. 13
C. 14
D.16
6. 数列{}n a 中，5
22
1
-=
+n n
n a a a 已知该数列既是等差数列又是等比数列，则该数列的前20项的和等于
A.100
B.0或100
C.100或-100
D.0或-100 （ ▲ ） 7. 如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则
CQ BP ∙的最大值为 （ ▲ ）
A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．2
8．设{(,)|()()0},D x y x y x y =-+≤记“平面区域D 夹在直线1-=y 与([1,1])y t t =∈-之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的图象的大致形状为（ ▲ ）
9．已知α、β是两个平面,l 是直线,下列条件：①α⊥l ,②β//l ,③βα⊥.若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则构成的中,真的个数为 （ ▲ ） A .3个 B .2个 C .1个 D .0个
10. 函数⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,
1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则（ ▲ ）
A 、6,21,21π
ϕω===k
B 、3,21,21π
ϕω===k
C 、6
,2,21π
ϕω==-=k
D 、3
,2,2π
ϕω==-=k
11. 抛物线C 1：x 2
＝2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：x 23
－y 2
＝1的左焦点的连线交C 1于第二
象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝ （ ▲ ） A ．
316 B ．38 C ．233 D ．433
12. 设函数()f x 在(0,)+∞内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k
f x k f x k
≤⎧=⎨>⎩。

若ln 1
()x
x f x e +=
，且恒有()()k f x f x =，则（ ▲ ） A ．k 的最大值为1e B ．k 的最小值为1
e
C ．k 的最大值为2
D ．k 的最小值
为2
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 圆心在曲线3
(0)y x x
=->上，且与直线3430x y -+=相切的面积最小的圆的方程是 ▲ ．
14. 已知,4
3π
βα=
+则=--)tan 1)(tan 1(βα ▲ ． 15. 已知()f x 定义域为(0，+∞)，'()f x 为()f x 的导函数，且满足()'()f x xf x <-，则不等
式2
(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是 ▲
． 16. 有一个奇数组成的数阵排列如下：
则第30行从左到右第3个数是 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越越严重，空气质量指数API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到22⨯列联表如下：
（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关； （Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．
参考公式与临界值表：K 2
＝2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d -++++
18.（本小题满分12分）
一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件，经市场调查后发现如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S （件）与电视广告每天的播放量n （次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.
（Ⅰ）试写出该产品每天的销售量S （件）关于电视广告每天的播放量n （次）的函数关系式；
（Ⅱ）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加%90，则每天电视广告
的播放量至少需多少次？
19. (本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面
CDEF ， 90=∠=∠CDA BAD ，122
AB AD DE CD ====，M 是线段AE 上
的动点．
（Ⅰ）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF 将几何体BCF ADE -分成的两部分的体积之比．
20.（本小题满分12分）
已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线 设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.
21.（本小题满分14分）
在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 成等比数列. （Ⅰ）求角B 的最大值； （Ⅱ）若B =4
π
，求sin （4π2-A ）的值.
22．（本小题满分14分）
已知,m t ∈R ，函数3()()f x x t m =-+． （Ⅰ）当1t =时，
（1）若(1)1f =，求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，求m 的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线()y f x =在其图象上的两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）处的切线分别为12,l l ．若直线1l 与2l 平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．
南安一中2015届元旦练习参考答案
一．选择题：
1--5 DBBCB 6--10 AACCA 11--12 DB
小题详解5. 答案：
31
解析：由()4n A =知,函数2
|3|y x ax =++和1y =的图像有四个交点,所以2
3y x ax =++的最小值2
1214
a -<-, ,所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能
是6种,故概率是2163
=。

7. 答案：
1
2
解析：由图可知-=，-=， 从而21
1+∙-∙--=∙，记θ=∠BAP ，
则2
1)180cos()60cos(--︒-︒+-=∙θθ21
)30sin(-︒+=θ
故当︒=60θ时，CQ BP ∙的最大值为2
1。

二．填空题：
13. ()2
2
3292x y ⎛
⎫-++= ⎪⎝
⎭ 14.2 15. (2，+∞) 16. 1051
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）列联表如下
··································· 4分
（Ⅱ）， ········ 7分
所以有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. ············ 8分 （Ⅲ）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A 、B 、C 、D ，无呼吸系统疾病的抽2 人，记为E 、F ，从中抽两人，共有15种抽法，A=“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有6种，P(A)=2/5.
12分
18.（Ⅰ）设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为i S (0,i n i N ≤≤∈).
由题意知，*
1,0,1,2i i i b i S b S i n i N -=⎧⎪
=⎨+≤≤∈⎪⎩
······ 4分
于是当i n =时，21()(2),()2222i n n
b
b b S b b n N =++
+⋅⋅⋅+=-∈。

所以该产品的销售量S （件）与电视广告播放量n （次/天）的函数关系式为
1
(2),()2
n S b n N =-
∈. ········· 7分
（Ⅱ）由题意，有*1
(2) 1.92104()2
n n b b n n N -
≥⇒≥⇒≥∈， 所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加%90，则每天广告的播放量至少
需要4次. 12分 19. （Ⅰ）当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ．证明如下： 连结CE ，交DF 于N ，连结MN ，
由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以MN ∥AC ，
由于MN ⊂平面MDF ，又AC AC ⊄平面MDF ，
所以AC ∥平面MDF ． ··············· 4分 （Ⅱ）如图，将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B CF ，
三棱柱ADE －B CF 的体积为1
22482
ADE
V S CD ∆=⋅=⨯⨯⨯=， 则几何体ADE －BCF 的体积
ADE BCF F BB C ADE BCF V V V '---=-三棱柱＝11208(22)23
2
3
-⨯⨯⨯⨯=．
三棱锥F －DEM 的体积V 三棱锥M －DEF ＝114
(24)1323
⨯⨯⨯⨯=，
故两部分的体积之比为42041
:()3334
-=（答1:4，4，4:1均可）． ······· 12分20.
（I ）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是2
8x y =………………….5分 （II ）,AB x 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y …………….6分
22,1.8y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
由可得28160x kx --=， 128x x k +=，1621-=x x ………8分
抛物线方程为.4
1
,812x y x y ='=
求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是
1114k x =
，2214k x = ，121212111
14416
k k x x x x ⋅=⋅=⋅=- 所以，AQ BQ ⊥
21. ⑴∵,,a b c 成等比数列，∴2
b a
c =， 根据余弦定理
cos B =)1(212222222-+=-+=-+a
c c a ac ac c a ac b c a ≥21)12(21=-，…3分
当且仅当a c =时取等号，此时B =
3
π
， 因为余弦函数在[0,]π上是减函数，所以03
B π
<≤.
故角B 的最大值是
3
π
； 6分 ⑵ 由2
b a
c =，及正弦定理得2
sin sin sin B A C =，
∵ 4
B π
=
，∴ 31
sin sin(
)42
A A π-=， 8分
展开整理得2
2sin 2sin cos A A A +=
即1cos 2sin 21)4
A A A π
-+=-
= 10分
∴2sin(2)4
2
A π
-
=
. 12分 22. （Ⅰ）（1）因为(1)1f =，所以1m =，
……………………1分
则()3
3211()33f x x x x x -+==+-， 而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立，
所以函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞． …………………4分
（2）不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，
即不等式2330x x m --≤在区间[1,2]上有解， 即不等式233m x x ≥-在区间[1,2]上有解，
等价于m 不小于233x x -在区间[1,2]上的最小值． ……………6分
因为[1,2]x ∈时，[]2213
333()0,624
x x x -=--∈，
所以m 的取值范围是[0,)+∞．……………………9分
（Ⅱ）.因为3()f x x =的对称中心为(0,0)，
而3()()f x x t m =-+可以由3()f x x =经平移得到，
所以3()()f x x t m =-+的对称中心为(,)t m ,故合情猜测，若直线1l 与2l 平行， 则点A 与点B 关于点(,)t m 对称． ……………………10分
对猜想证明如下：
因为()3
3223()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+， 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-，
所以1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-． 又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-， 因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ……………………12分 从而3312()()x t x t -=--，
所以3333121222()()()()()()2f x f x x t m x t m x t m x t m m +=-++-+=--++-+=． 又由上 122x x t +=，
所以点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）关于点(,)t m 对称．
故当直线1l 与2l 平行时，点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………14分。