推荐学习K122018-2019版高中物理 第一章 机械振动 3 简谐运动的图像和公式学案 教科版选

3 简谐运动的图像和公式[学习目标] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.一、简谐运动的图像 1.图像的建立以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t ，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x .2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线.3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅. 二、简谐运动的表达式及相位 简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ).(1)式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间. (2)A 表示振幅.(3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T 及频率f 的关系：ω＝2πT＝2πf .所以表达式也可写成：x ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πT t ＋φ或x ＝A sin (2πft ＋φ).(4)2πft ＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t ＝0时的相位，称为初相位或初相. [即学即用]1.一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系曲线如图1所示，根据图像，判断下列说法的正误.图1(1)质点振动的频率是4Hz.( ) (2)质点振动的振幅是2cm.( ) (3)在t ＝3s 时，质点的速度最大.( ) (4)在t ＝4s 时，质点所受的合外力为零.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.有一弹簧振子，振幅为0.8cm ，周期为0.5s ，初始时(t ＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x ＝m.答案 0.008sin (4πt ＋π2)一、简谐运动的图像 [导学探究]1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x －t 图像：如图2所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO ′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O 点沿垂直于OO ′方向振动画线，乙同学沿O ′O 方向水平向右匀速拖动白纸.图2(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿OO ′与垂直OO ′方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？ 答案 (1)是一条垂直于OO ′的直线. (2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.(3)垂直O ′O 方向的轴为位置坐标轴x (如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO ′方向的轴为时间轴t .图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.2.绘制简谐运动的x －t 图像图3如图3所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x 轴，垂直于振动方向建立t 轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？答案 当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律. [知识深化]1.对x －t 图像的理解x －t 图像上的x 坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹. 2.图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应t 1、t 2时刻的位移分别为x 1＝7cm ，x 2＝－5cm.图4(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是10cm.(3)确定振动的周期和频率.由图可知，T ＝0.2s ，频率f ＝1T＝5Hz.(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t 1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t 3时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.例1如图5所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则( )图5A.振动的振幅为6mB.振动的周期为6sC.t＝1.5s时和t＝2.5s时，振子的速度相同D.t＝2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向答案 C解析由题图知，振子运动的周期为T＝4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅A＝3cm，故A、B错误；在t＝1.5s时和t＝2.5s时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿x轴的负方向，故C正确；t＝2.5s时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D错误.针对训练如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知( )图6A.振子的振动周期等于t1B.在t＝0时刻，振子的位置在a点C.在t＝t1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动答案 D解析 振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T ＝2t 1，故A 错误；由题图乙知在t ＝0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O 点，故B 错误；在t ＝t 1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C 错误；从t 1到t 2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O 点向b 点运动，故D 正确.二、简谐运动的表达式及相位差 [导学探究]1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案 它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？ 答案 它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.3.图7是弹簧振子做简谐运动的x －t 图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.图7答案 表达式x ＝A sin (2πTt ＋φ)，式中A 表示振幅，T 表示周期，φ表示初相位.φ＝0，x ＝A sin2πTt .[知识深化]1.简谐运动的表达式的理解2.从表达式x ＝A sin (ωt ＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt 2＋φ)－(ωt 1＋φ)＝2n π时，Δt ＝2n πω＝nT ，振子位移相同，每经过周期T 完成一次全振动.3.从表达式x ＝A sin (ωt ＋φ)体会特殊点的值.当(ωt ＋φ)等于2n π＋π2时，sin (ωt＋φ)＝1，即x ＝A ；当(ωt ＋φ)等于2n π＋3π2时，sin (ωt ＋φ)＝－1，即x ＝－A ；当(ωt ＋φ)等于n π时，sin (ωt ＋φ)＝0，即x ＝0.例2 (多选)一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝0.1sin2.5πt ，位移x 的单位为m ，时间t 的单位为s.则( ) A.弹簧振子的振幅为0.2m B.弹簧振子的周期为1.25sC.在t ＝0.2s 时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子B 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π4，则A 滞后B π4答案 CD解析 由振动方程x ＝0.1sin2.5πt ，可读出振幅为0.1m ，圆频率ω＝2.5πrad/s ，故周期T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8s ，故A 、B 错误；在t ＝0.2s 时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C 正确；两振动的相位差Δφ＝π4，即B 超前A π4，或者说A 滞后B π4，D 正确.应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A 、周期T 、频率f 的对应关系，其中T ＝2πω，f ＝ω2π，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.例3 如图8所示，一弹簧振子在M 、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O 为平衡位置，MN ＝8cm.从小球经过图中N 点时开始计时，到第一次经过O 点的时间为0.2s ， 则小球的振动周期为s ，振动方程为x ＝cm.图8答案 0.8 4cos 5π2t解析 从N 点到O 点刚好为T 4，则有T4＝0.2s ，故T ＝0.8s ；由于ω＝2πT ＝5π2rad/s ，而振幅为4cm ，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x ＝4cos 5π2t cm.1.(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图像如图9所示，由图可知( )图9A.质点振动的频率是4Hz ，振幅是2cmB.质点经过1s 通过的路程总是2cmC.0～3s 内，质点通过的路程为6cmD.t ＝2s 时，质点的振幅为零 答案 C解析 由题图可以直接看出振幅为2cm ，周期为4s ，所以频率为0.25Hz ，所以A 错误；质点在1s 即14个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B 错误；因为t ＝0时质点在平衡位置处，0～3s 为34T ，质点通过的路程为3A ＝6cm ，所以C 正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t ＝2s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm ，所以D 错误.2.(简谐运动的图像)(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图10所示，则可知( )图10A.两弹簧振子完全相同B.振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1 答案 BC解析 由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A 错误；两弹簧振子振动周期之比T 甲∶T 乙＝2∶1，频率之比是f 甲∶f 乙＝1∶2，故B 正确； 由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C 正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x 甲∶x 乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F ＝－kx ，由于弹簧的劲度系数k 可能不等，回复力最大值之比F 甲∶F 乙不一定等于2∶1，故D 错误. 3.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x 1＝5sin (8πt ＋14π) cm 的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为x 2＝5sin (8πt ＋54π) cm ，求它们的相位差.答案 (1)14s 4Hz 5cm π4(2)π解析 (1)已知ω＝8π rad/s ，由ω＝2πT 得T ＝14s ，f ＝1T ＝4 Hz.由x 1＝5sin (8πt ＋14π) cm 知A ＝5 cm ，φ1＝π4(2)由Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1 得Δφ＝54π－π4＝π.4.(简谐运动的表达式)如图11所示为A 、B 两个简谐运动的位移—时间图像.请根据图像回答：图11(1)A 的振幅是cm ，周期是s ；B 的振幅是cm ，周期是s. (2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在t ＝0.05s 时两质点的位移分别是多少？ 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8(2)x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cm ，x B ＝0.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π2cm (3)x A ′＝－24cm ，x B ′＝0.2sin 58πcm 解析 (1)由题图知：A 的振幅是0.5cm ，周期是0.4s ；B 的振幅是0.2cm ，周期是0.8s. (2)t ＝0时刻A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA ＝π，由T A ＝0.4s ，得ωA ＝2πT A＝5πrad/s.则A 简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cm.t ＝0时刻B 中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了14周期，φB ＝π2，由T B ＝0.8s 得ωB ＝2πT B ＝2.5πrad/s ，则B 简谐运动的表达式为x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π2cm.(3)将t ＝0.05s 分别代入两个表达式中得：x A ′＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm ＝－0.5×22cm ＝－24cm ，x B ′＝0.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2.5π×0.05＋π2cm ＝0.2sin 58πcm.一、选择题考点一 简谐运动的图像1.如图1所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是( )图1A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹B.振动图像反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向答案 B2.(多选)如图2表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是( )图2A.t1、t2时刻的速度相同B.从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C.从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小D.t1、t3时刻的回复力方向相反答案BC解析t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，故A错误；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度方向、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误.3.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图3所示，由图可知( )图3A.质点振动的频率是4HzB.质点振动的振幅是2cmC.t＝3s时，质点的速度最大D.t＝3s时，质点振动的振幅为零E.t＝3s时，质点的动能最大答案BCE解析由题图可以直接看出质点振动的振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确.t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，动能最大，所以选项C、E 正确.振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以选项D错误.4.如图4所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是( )图4答案 D解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.5.(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图5甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图5A.OB ＝5cmB.第0.2s 末质点的速度方向是A →OC.第0.4s 末质点的加速度方向是A →OD.第0.7s 末质点的位置在O 点与A 点之间E.在4s 内完成5次全振动 答案 ACE解析 由题图乙可知振幅为5cm ，则OB ＝OA ＝5cm ，A 项正确；由题图可知0～0.2s 内质点从B 向O 运动，第0.2s 末质点的速度方向是B →O ，B 项错误；由题图可知第0.4s 末质点运动到A 点处，则此时质点的加速度方向是A →O ，C 项正确；由题图可知第0.7s 末质点位置在O 点与B 点之间，D 项错误；由题图乙可知周期T ＝0.8s ，则在4s 内完成全振动的次数为4s0.8s＝5，E 项正确. 6.(多选)如图6所示为甲、乙两单摆的振动图像，则( )图6A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l 甲∶l 乙＝2∶1B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l 甲∶l 乙＝4∶1C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝4∶1D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4 答案 BD解析 由题图可知T 甲∶T 乙＝2∶1，由公式T ＝2πlg可知：若两单摆在同一地点，则两单摆摆长之比为l 甲∶l 乙＝4∶1，故A 错误，B 正确；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4，故C 错误，D 正确. 考点二 简谐运动的表达式7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A.第1s 末与第3s 末的位移相同B.第1s 末与第3s 末的速度相同C.第3s 末与第5s 末的位移方向相同D.第3s 末与第5s 末的速度方向相同 答案 AD解析 根据x ＝A sin π4t 可求得该质点振动周期为T ＝8s ，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s 末和第3s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3s 末和第5s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确.8.(多选)物体A 做简谐运动的振动方程是x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2m ，物体B 做简谐运动的振动方程是x B ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π6m.比较A 、B 的运动( )A.振幅是矢量，A 的振幅是6m ，B 的振幅是10mB.周期是标量，A 、B 周期相等，都为100sC.A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD.A 的相位始终超前B 的相位π3答案 CD解析 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6m 、10m ，但振幅分别为3m 、5m ，A 错；A 、B 的周期均为T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2s ，B 错；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φA－φB ＝π3，为定值，D 对.9.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图7所示，下列叙述中正确的是( )图7A.质点的振动频率为4HzB.在10s 内质点经过的路程为20cmC.在5s 末，质点做简谐运动的相位为32πD.t ＝1.5s 和t ＝4.5s 两时刻质点的位移大小相等，都是2cm 答案 BD解析 由题图可直接得到周期T ＝4 s ，频率f ＝1T＝0.25 Hz ，故选项A 错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A ＝8 cm.10 s 为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm ，选项B 正确；由题图可知位移与时间的关系为x ＝0.02sin (π2t ) m.当t ＝5 s 时，其相位为π2×5＝52π，故C 错误；在1.5 s 和4.5 s 两时刻，质点位移相同，x ′＝2sin (π2×1.5) cm ＝ 2 cm ，故D 正确.10.(多选)如图8所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x ＝0.1sin (2.5πt ) m.t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6s 时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g ＝10m/s 2.以下判断正确的是( )图8A.h ＝1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s 内物块运动的路程是0.2mD.t ＝0.4s 时，物块与小球运动方向相反 答案 AB解析 t ＝0.6s 时，物块的位移为x ＝0.1sin (2.5π×0.6) m ＝－0.1m ，则对小球h ＋|x |＝12gt 2，解得h ＝1.7m ，选项A 正确；简谐运动的周期是T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8s ，选项B 正确；0.6s 内物块运动的路程是3A ＝0.3m ，选项C 错误；t ＝0.4s ＝T2，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D 错误. 二、非选择题11.(简谐运动的图像)某单摆及其振动图像如图9所示，取g ＝9.8m/s 2，π2＝9.8，根据图给信息可计算得摆长约为；t ＝5s 时间内摆球运动的路程为；若在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且O ′E ＝14OE ，则摆球从F 点释放到第一次返回F 点所需时间为s.图9答案 1m 30cm 1.5解析 从题图可知完成一个全振动的时间即周期为T ＝2s ，根据T ＝2πLg，解得摆长为：L ＝gT 24π2＝1m ，由题图可知振幅为3cm ，摆球一个周期内的路程是振幅的4倍，所以t ＝5s时间内摆球运动的路程为30cm ；碰钉后改变了摆长，因此单摆周期应分为钉左侧的半个周期和钉右侧的半个周期，前面求出摆长为1m ，根据周期公式可得：T 左＝πLg＝1s ，T 右＝πL4g＝0.5s ，所以周期为T ′＝T 左＋T 右＝1.5s. 12.(简谐运动的表达式)某个质点的简谐运动图像如图10所示.图10(1)求振动的振幅和周期； (2)写出简谐运动的表达式.答案 (1)102cm 8s (2)x ＝102sin (π4t ) cm解析 (1)由题图读出振幅A ＝102cm 简谐运动方程x ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πT t代入数据得－10＝102sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT ×7s得T ＝8s.(2)x ＝A sin (2πT t )＝102sin (π4t ) cm.13.(简谐运动的表达式)一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为8cm ，频率为0.5Hz ，在t ＝0时，位移是4cm ，且向x 轴负方向运动. (1)试写出用正弦函数表示的振动方程. (2)10s 内通过的路程是多少？答案 (1)x ＝0.08sin (πt ＋56π) m (2)1.6m解析 (1)简谐运动振动方程的一般表达式为x ＝A sin (ωt ＋φ).根据题给条件有：A ＝0.08m ，ω＝2πf ＝πrad/s.所以x ＝0.08sin (πt ＋φ) m.将t ＝0，x ＝0.04m 代入得0.04＝0.08sin φ，解得初相位φ＝π6或φ＝56π，因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小， 所以取φ＝56π.故所求的振动方程为x ＝0.08sin (πt ＋56π) m.(2)周期T ＝1f＝2s ，所以10s ＝5T ，因一个周期内通过的路程是4A ，则10s 内通过的路程s＝5×4A ＝20×8cm ＝160cm ＝1.6m.。