简单分式不等式的解法

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分式不等式的解法及应用

分式不等式的解法及应用

分式不等式的解法及应用分式不等式是一种常见的数学问题,其解法涉及到分式的运算和不等式的求解。

在解决分式不等式问题时,我们需要运用一些特定的方法和技巧,以确定不等式的解集。

本文将介绍分式不等式的解法及其应用。

一、分式不等式的解法1. 消去分母法当分式不等式的分母不为0时,可以通过消去分母来求解。

消去分母的关键是要找到一个合适的公因式,将不等式转化为一个一次不等式。

具体步骤如下:(1)当分式不等式中只含有一个分式时,可以将其分母相乘,合并为一个分子,然后化简为一个一次不等式进行求解。

(2)当分式不等式中含有多个分式时,可以通过求最小公倍数,将分式表示为等值的形式,然后化简为一个一次不等式进行求解。

2. 分别讨论法当分式不等式无法通过消去分母进行求解时,可以采用分别讨论法。

具体步骤如下:(1)首先判断分式不等式的两边是否有相等的情况,若有,则将相等的情况加入到解集中。

(2)然后讨论分式不等式两边的正负情况,分别列出符号相同和符号相反的情况,求解每种情况下的不等式。

3. 图像法图像法是一种直观的分式不等式求解方法,通过绘制函数图像,可以直观地确定不等式解集的范围。

具体步骤如下:(1)将不等式转化为等式,并求解其等式的解集。

(2)根据不等式的符号确定解集的范围,绘制函数的图像。

(3)根据图像判断解集的具体范围,得出分式不等式的解集。

二、分式不等式的应用分式不等式作为一种常见的数学问题,广泛应用于各个领域。

以下是一些分式不等式应用的实际例子。

1. 经济领域在经济领域,分式不等式可以用于解决生产规模、销售价格等问题。

例如,在生产规模不变的情况下,利润与生产成本的关系可以用分式不等式表示。

2. 工程领域在工程领域,分式不等式可以用于解决时间、成本等问题。

例如,某个工程的完成时间与工人数量的关系可以用分式不等式表示。

3. 自然科学领域在自然科学领域,分式不等式可以用于解决物理、化学等问题。

例如,在化学反应中,反应速率与物质的浓度之间存在关系,可以用分式不等式表示。

分式不等式解法课件

分式不等式解法课件
正正得正,正负得负,负正得负,负负得正。
不等式的性质
在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式,不等号的方向不变;在不等 式的两边同时乘或除以同一个正数,不等号的方向不变;在不等式的两边同时 乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。
02
CATALOGUE
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
实例
对于不等式 $frac{x - 2}{x + 1} < 0$,分子为正数,分母为 负数,解集为 $-1 < x < 2$。
03
CATALOGUE
分式不等式的应用
在数学解题中的应用
分式不等式是数学中常见的一种不等式类型,掌握其解法对 于解决数学问题至关重要。分式不等式常常出现在代数、几 何、三角函数等数学领域中,是数学竞赛和日常学习的必备 知识点。
01
02
03数分离出来,形成一元 一次不等式组。
注意事项
在转化过程中,需要注意 不等式的符号和分母不为 零的条件。
实例
对于分式不等式 $frac{x 2}{x + 1} > 1$,可以转 化为 $x - 2 > x + 1$ 或 $x - 2 < -(x + 1)$,从而 得到一元一次不等式组。
分式不等式的练习题与解析
基础练习题
题目
01 不等式(2x - 5)/(x + 3) ≥ 0的
解集为 _______.
答案
$(- infty , - 3) cup lbrackfrac{5}{2}, + infty)$
02
解析
03 首先确定不等式的分母和分子
符号,然后根据不等式的性质 求解。

考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

考点二十二 一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1.一元一次不等式的解法一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集为 (1)当a >0时,解集为{x |x >ba }.(2)当a <0时,解集为{x |x <ba }.2. 一元二次不等式的解法 判别式Δ=b 2-4ac Δ>0Δ=0Δ<二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x 1=-b -Δ2a ,x 2=-b +Δ2a有两相等实根 x 1=x 2=-b2a无实根ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠-b2a ,x ∈R } Rax 2+bx +c <0(a >0){x |x 1<x <x 2} ∅∅口诀:大于取两边,小于取中间. 3.分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0f (x )·g (x )>0,f (x )g (x )<0f (x )·g (x )<0; (2) f (x )g (x )≥0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≥0, g (x )≠0,, f (x )g (x )≤0⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤0,g (x )≠0,; (3)f (x )g (x )>m f (x )g (x )-m >0f (x )-m ·g (x )g (x )>0.4.简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解,步骤是先求出各表达式为零时的根,再作图求解.作图口诀:“自右向左,自上向下,奇穿偶不穿”,其中“奇穿偶不穿”含义为,若对应根对应根为奇数个,则穿过该点,如果为偶数个,则作图时不穿过该点.例如解不等式x (x -1)2(x -2)3>0,在作图时,由于0,2这两个根分别是1个、3个,有奇数个根,因此作图时应穿过;而1这个根有2个,也就是有偶数个,因此作图时不穿过,如下图所示:由图知不等式x (x -1)2(x -2)3>0解集为{x |x <0或x >2}. 5.几点注意事项(1)对于不等式ax 2+bx +c >0(或>0),若二次项含有字母参数时,不一定是二次不等式,要分a =0和a ≠0讨论.(2)解分式不等式f (x )g (x )>m 时,不要直接在不等式两边同乘以分母,因为此时g (x )正负不确定.正确做法是移项将右边化为0,即化为f (x )g (x )-m >0,然后通分求解.典例剖析题型一 一元二次不等式解法 例1 解下列不等式 (1)-3x 2-2x +8≥0; (2) x 2-3x +2≥0;解析 (1)原不等式可化为3x 2+2x -8≤0,即(3x -4)(x +2)≤0.解得-2≤x ≤43,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x -1)(x -2)≥0,解得x ≤1或x ≥2. 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}. 变式训练 解不等式0<x 2-x -2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <-1,-2≤x ≤3.借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为{}x |-2≤x <-1或2<x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时,一般先通过变形,将不等式右边化为0,左边x 2前系数化为正,求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边,小于取中间”写出解集. 题型二 分式不等式解法例2 不等式x -3x -1≤0的解集为________.答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x -3)(x -1)≤0,x ≠1,∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )= 1-xx +2的定义域为________. 答案 (-2,1]解析 1-x x +2≥0⇔x -1x +2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -1)(x +2)≤0,x +2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤1,x ≠-2⇔-2<x ≤1. 解题要点 求解分式不等式时,需要将各个因式x 前系数化为正,然后也可以借助口诀“大于取两边,小于取中间”写出解集.但应注意等号问题,分母不可为0. 题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题例3 关于x 的不等式x 2+(a +1)x +ab >0的解集是{x |x <-1或x >4},则a +b =________. 答案 -3解析 由题意知,-1,4为方程x 2+(a +1)x +ab =0的两根,∴ a +1=-3,ab =-4.∴ a =-4,b =1.∴ a +b =-3.变式训练 已知f (x )=ax 2-x -c ,不等式f (x )>0的解集为{x |-2<x <1},则a =________,c =________. 答案 -1,-2解析 由根与系数的关系知1a =-2+1,-ca=-2,得a =-1,c =-2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系,一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根,利用一元二次方程的根,结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式.因此反过来,由一元二次不等式的解集,可以得到对应的一元二次方程的根,结合根与系数关系即可求出参数值.题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2-2x -1<0恒成立,则m 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1)解析 由⎩⎨⎧m <0(-2)2-4m (-1)<0,解得m <-1. 变式训练 已知不等式x 2-2x +k 2-1>0对一切实数x 恒成立,则实数k 的取值范围为______________.答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)解析 由题意,知Δ=4-4×1×(k 2-1)<0, 即k 2>2,∴k >2或k <- 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx +c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a =b =0,c >0,或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx +c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a =b =0,c <0,或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2-2ax -3a 2>0(a ∈R ,a ≠0) 解析 由x 2-2ax -3a 2>0知(x -3a )(x +a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论. 当a <0时,x <3a 或x >-a ; 当a >0时,x <-a 或x >3a .综上,a <0时,解集为{}x |x <3a 或x >-a ; a >0时,解集为{}x |x >3a 或x <-a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论: 讨论二次项系数、讨论Δ,讨论两根的大小,具体如下:(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.当堂练习1.(2015江苏)不等式2x 2-x <4的解集为________. 答案 {x |-1<x <2}解析 ∵2x 2-x <4=22,∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,解得-1<x <2.2.不等式x -2x 2-1<0的解集为________.答案 {x |x <-1或1<x <2} 解析 (x -2)(x 2-1)<0, (x +1)(x -1)(x -2)<0,数轴标根可得,x <-1或1<x <2. 3. 不等式x -1x +2<0的解集为________.答案 (-2,1)解析 原不等式化为(x -1)(x +2)<0,解得-2<x <1,∴原不等式的解集为(-2,1).4.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤-12,-13,则不等式x 2-bx -a <0的解集是________. 答案 (2,3)解析 由题意知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的根,所以由根与系数的关系得-12+⎝⎛⎭⎫-13=b a ,-12×⎝⎛⎭⎫-13=-1a,解得a =-6,b =5, 不等式x 2-bx -a <0即为x 2-5x +6<0,解集为(2,3).5.若关于x 的不等式12x 2+(2-m )x <0的解集是{x |0<x <2},则实数m =________.答案 3解析 由题知x =0或x =2是方程12x 2+(2-m )x =0的根,可得m =3.课后作业一、 填空题1.不等式x -12x +1≤0的解集为________.答案 ⎝⎛⎦⎤-12,1 解析 不等式x -12x +1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)(2x +1)≤0,2x +1≠0⇒-12<x ≤1.2.不等式(x -1)x +2≥0的解集为________. 答案 {x |x ≥1或x =-2}解析 由(x -1)x +2≥0,可知⎩⎪⎨⎪⎧x +2>0,x -1≥0或x +2=0,解得x ≥1或x =-2.3.若0<m <1,则不等式(x -m )(x -1m )<0的解集为________.答案 {x |m <x <1m }解析 当0<m <1时,m <1m.4.已知不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},则不等式2x 2+bx +a <0的解集为________. 答案 {x |-1<x <12}解析 由题意知x =-1,x =2是方程ax 2+bx +2=0的根.由韦达定理⎩⎨⎧-1+2=-b a,(-1)×2=2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1. ∴不等式2x 2+bx +a <0,即2x 2+x -1<0.可知x =-1,x =12是对应方程的根,∴不等式2x 2+bx +a <0的解集为{x |-1<x <12}.5.若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-4,1),则不等式b (x 2-1)+a (x +3)+c >0的解集为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫-43,1 解析 由不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-4,1)知a <0,-4和1是方程ax 2+bx +c =0的两根,所以-4+1=-b a ,-4×1=ca ,即b =3a ,c =-4a .故所求解的不等式为3a (x 2-1)+a (x +3)-4a >0,即3x 2+x -4<0,解得-43<x <1.6.不等式-3<4x -4x 2≤0的解集为________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12<x ≤0或1≤x <32 解析 原不等式可化为:4x -4x 2>-3,① 且4x -4x 2≤0,② 解①得:-12<x <32,解②得:x ≤0或x ≥1,①,②取交集得:-12<x ≤0或1≤x <32,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12<x ≤0或1≤x <32. 7.函数f (x )=x -2-13x -x 2的定义域是________. 答案 {x |2≤x <3}解析 要使函数有意义,应有⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,3x -x 2>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2,0<x <3,所以2≤x <3,即函数的定义域为{x |2≤x <3}.8.若函数f (x )=(a 2+4a -5)x 2-4(a -1)x +3的图象恒在x 轴上方,则a 的取值范围是________. 答案 [1,19)解析 函数图象恒在x 轴上方,即不等式(a 2+4a -5)x 2-4(a -1)x +3>0对于一切x ∈R 恒成立. (1)当a 2+4a -5=0时,有a =-5或a =1. 若a =-5,不等式化为24x +3>0,不满足题意; 若a =1,不等式化为3>0,满足题意. (2)当a 2+4a -5≠0时,应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2+4a -5>0,16(a -1)2-12(a 2+4a -5)<0,解得1<a <19. 综上可知,a 的取值范围是1≤a <19.9.(2015广东文)不等式-x 2-3x +4>0的解集为________(用区间表示). 答案 (-4,1)解析 不等式-x 2-3x +4>0,即x 2+3x -4<0,解得-4<x <1.10.若不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立,则a 的取值范围是________. 答案 a ≥-5解析 由题意,分离参数后得,a ≥-(x +4x ),设f (x )=-(x +4x),x ∈(0,1],则只要a ≥[f (x )]max 即可,由于函数f (x )在(0,1]上单调递增,所以[f (x )]max =f (1)=-5, 故a ≥-5.11.若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1},则a 的值为______. 答案 3解析 ∵(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}, ∴1-a <0,即a >1.于是原不等式可化为(a -1)x 2+4x -6<0,a -1>0, 其解集为{x |-3<x <1}.则方程(a -1)x 2+4x -6=0的两根为-3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1,-3+1=-4a -1,-3×1=-6a -1,解得a =3.二、解答题12.二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值为8,试解不等式f (x )>-1. 解析 由于f (2)=f (-1)=-1,根据二次函数的对称性,则对称轴为x =2+(-1)2=12,又知最大值为8.可设f (x )=a (x -12)2+8,将f (2)=-1代入得,a =-4.∴f (x )=-4(x -12)2+8.由f (x )>-1,-4x 2+4x +7>-1,即x 2-x -2<0,∴解集为{x |-1<x <2}.13.已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解析 由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在[-1,+∞)上恒成立, 令g (x )=x 2-2ax +2-a ,即Δ=4a 2-4(2-a )≤0,或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,a ≤-1,g (-1)≥0,解得-3≤a ≤1.。

分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母

分式不等式的解法分式不等式怎么解分式不等式怎么去分母

分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式,再进行求解。

一般分式不等式的解法:第一步去分母,第二步去括号,第三步移项,第四步合并同类项,第五步化未知数的系数为1。

分式不等式解法可以用同解原理去分母,解分式不等式;如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0),则f(x)g (x)>0,或f(x)g(x)<0。

然后因式分解找零点,用穿针引线法。

分式不等式与分式方程类似,像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)这样,分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式第一种解法为:令分子、分母等于0,并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式第二种解法为:移项、通分将右面化为0,左面为分式的形式;令分子、分母等于0,并求出解;画数轴在数轴上找出解的位置;判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过。

1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法:在分母不为0的前提下,两边同乘以分母的平方。

2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。

1、移项将不等式右边化为0。

2、将不等式左边进行通分。

3、对分式不等式进化简,变换成整式不等式。

4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。

分母恒为正时可去分母;分母不恒为正时不能去分母,应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式,最后用标根法求解。

解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式,进行求解。

分式不等式的解法:分母恒为正时可去分母;分母不恒为正时不能去分母,应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式,最后用标根法求解。

解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式,进行求解,即。

数学解分式不等式

数学解分式不等式

数学解分式不等式导入:教师可以通过提问、引入实例等形式,引起学生的兴趣,激发他们对分式不等式的思考。

主体:一、分式不等式的概念及性质(250字左右)1.1 分式不等式的定义分式不等式是含有分式的不等式,其中分子和分母都是多项式。

例如:$\frac{2}{x+1}>1$。

1.2 分式不等式的解集解分式不等式需要找出使得不等式成立的变量取值范围。

绝对值不等式的解集可以用数轴表示,也可以用区间表示。

二、解分式不等式的基本方法(500字左右)2.1 消去分母法对于一元分式不等式,可以通过乘以不等式两边的分母的乘积,然后整理化简,得到一个不等式。

例如:$\frac{2}{x+1}>1$,乘以分母$(x+1)$得到$2>(x+1)$,进一步化简得到$x<1$。

2.2 分离定点法对于含有分式的复合不等式,可以先通过分离定点法将其分为两个简单的一元分式不等式,然后用相应的方法求解。

例如:$\frac{2}{x+1}>1$与$\frac{3}{x-2}<2$联立,可以通过分离定点法将其分别转化为$x<1$和$x<2$。

综合两个不等式的解得到解集为$x<1$。

三、分式不等式的特殊情况(500字左右)3.1 分式不等式的倒数形式对于形如$\frac{1}{f(x)}>0$的分式不等式,可以通过考虑分子和分母的正负性及零点,得到不等式的解集。

例如:$\frac{1}{x-1}>0$,则当$x>1$时,不等式成立。

3.2 分式不等式的根号形式对于形如$\sqrt{f(x)}>0$的分式不等式,可以通过考虑被开方式的正负性,得到不等式的解集。

例如:$\sqrt{x-1}>0$,表示$x-1>0$,即$x>1$,所以不等式的解集为$x>1$。

四、应用实例与拓展(250字左右)4.1 实际问题中的分式不等式向学生提供一些实际问题,例如水果配送中的运费分摊问题、费用比较问题等,让他们运用所学解决实际问题。

分式不等式的解法

分式不等式的解法

分式不等式的解法郭浴琼目标:掌握简单的分式不等式的解法.重难点:简单的分式不等式的解法.一.知识要点1.进行同解变形:()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>;分式不等式转化为整式不等式来解.()()()0()00()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩; 2.有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解,但必须注意分母不为零.二.例题精讲例1.解关于x 的不等式。

(1)222232x x x x x +-<+-;(2)2251031372x x x x -+≥-+.例2.已知对任意x R ∈,总有222321x tx x x +--<<-+,求实数t 的取值范围. 例3.设1a <,解关于x 的不等式2220x ax a x x a +>+--.例4.设函数()2f x ax =+,不等式()6f x <的解集为()1,2-,试求不等式()1x f x ≤的解集.例5.若不等式()()0x a x b x c ++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞,求a+b 的值。

例6.已知函数()23x f x x a +=-(x a ≠,a 为非零常数). (1)解不等式()f x x <;(2)设x a >,()f x 的最小值为6,求a 的值.例7.(1)解关于x 的不等式220ax x a x a --+≤;(2)解关于x 的不等式221ax x +≥+; (3)已知关于x 的不等式()()2226149282120k k x k x k k ⎡⎤⎡⎤++-+--<⎣⎦⎣⎦的解集M 与整数集Z 满足{}1MZ =,求实数k 的取值范围.。

分式不等式解法公式

分式不等式解法公式

分式不等式解法公式例1:求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。

首先,我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。

$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零,所以上述方程没有解。

接下来,我们可以观察到分式的分子为正数,并且分母为$x-4$。

根据零点的概念,我们知道当$x-4>0$时,分式是正数。

因此,我们只需要求解$x-4>0$即可。

$$x>4$$所以,原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。

例2:求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。

首先,我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下,表达式是相对稳定的。

因此,我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。

以$x+1$为基准,我们可以得到以下三种情况:-当$x+1<0$时,不等式成立。

-当$x+1=0$时,不等式不成立,因为分母不能为零。

-当$x+1>0$时,我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。

对分子和分母进行比较,我们得到以下几种情况:-当$x>0$时,$x+1>0$,分式成立。

-当$x=0$时,$x+1>0$,分式成立。

-当$x<0$且$x+1>0$时,分式成立。

综上所述,我们可以得出以下解集:$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$),即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

因此,原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

例3:求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。

我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。

首先,我们可以将不等式改写为以下形式:$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式,我们可以得到:$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后:$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来,我们需要观察分子和分母的大小关系。

分式不等式的解法课件

分式不等式的解法课件

转化为一元二次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理,将分式不等式转化为简单的一元二次不等 式组,然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式,通过移项和整理,将其转化为 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次 不等式。然后,根据一元二次不等式的解法,求解这个不等 式组,得出解集。
VS
详细描述
综合练习题将分式不等式与其他数学知识 相结合,如代数、函数、方程等。这些题 目通常需要学生综合运用多个知识点来解 题,旨在提高学生的数学综合素质和问题 解决能力。解决这些题目需要学生具备扎 实的数学基础和灵活的思维,能够从多个 角度分析问题并找到合适的解题方法。
感谢观 看
THANKS
分子和分母同号时,解集为空集;分子和分母异号时,解集为全体实数。
02
分式不等式的解法
转化为一元一次不等式组的方法
总结词
通过消去分母,将分式不等式转化为简单的一元一次不等式组,然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的分母,通过乘以适当的正数消去分母。然后,将不等式 两边进行整理,使其成为一元一次不等式的形式。最后,解这个一元一次不等 式组,得出解集。
转化为一元高次不等式组的方法
总结词
通过移项和整理,将分式不等式转化为简单的一元高次不等式组,然后求解。
详细描述
首先观察分式不等式的形式,通过移项和整理,将其转化为形如 ax^n + bx^(n1) + ... + c > 0 或 ax^n + bx^(n-1) + ... + c < 0 的一元高次不等式。然后, 根据一元高次不等式的解法,求解这个不等式组,得出解集。

专题二、分式不等式的解法

专题二、分式不等式的解法

〔一〕分式不等式:型如:0)()(>x x f ϕ或0)()(<x x f ϕ〔其中)(、x x f ϕ)(为整式且0≠)(x ϕ〕的不等式称为分式不等式。

〔2〕归纳分式不等式与整式不等式的等价转化:〔1〕0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ〔3〕0)()(0)()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ〔2〕⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ 〔4〕⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ 〔3〕小结分式不等式的解法步骤:〔1〕移项通分,不等式右侧化为"0〞,左侧为一分式 〔2〕转化为等价的整式不等式〔3〕因式分解,解整式不等式〔注意因式分解后,一次项前系数为正〕 〔1〕分式不等式的解法:解关于*的不等式0231>-+x x方法一:等价转化为: 方法二:等价转化为:⎩⎨⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一:0231≥-+x x等价转化为:⎩⎨⎧≠-≥-+0230)23)(1(x x x比拟不等式0231<-+x x 及0231≤-+x x 的解集。

〔不等式的变形,强调等价转化,分母不为零〕 练一练:解关于*的不等式 例1、 解关于*的不等式:232≥+-x x 解:0232≥-+-x x 即,038≥+--x x 038≤++x x 〔保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正〕等价变形为:⎩⎨⎧≠+≤++030)3)(8(x x x∴原不等式的解集为[)3,8--例2、解关于*不等式23282<+++x x x 方法一:322++x x恒大于0,利用不等式的根本性质方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。

简单分式不等式的解法

简单分式不等式的解法
简单分式不等式的解法
精选课件
1
试解不等式: x 1 0 .
3x 2
分析:当且仅当分子 x 与1 分母 3x同号2 时, 上
述不等式成立.
因此
1
x 1 3x
2
0, 0;

2
x 1 3x 2
0, 0.
不等式组(1)的解集是 ( 2 , ,不) 等式组(2)的解集是 3
所以,原不等式的解集为 (,1) (2,). 3

(x2)(x3) 0 x1 0
所以解集为
( , 3 ) ( 2 ,1 ) (1 , ).
精选课件
12
改为如下不等式又如何?
解:
(x 1)(x 2) 0 (x 1)(x 3)
整理后得, (x2)(x3)0,
(x1)(x3)0.
所以解集为
( , 3 )[ 2 ,1 )(1 , ).
精选课件
9
试一试:
x 1 2. 3x 2
精选课件
10
解: x 1 2 3x 2
移项、通分得
5x 5 0. 3x 2
所以
(5x5)(3x2) 0, 3x20.
解得
x
|
2 3
x
1.
精选课件
11
试解不等式:
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3)
0ห้องสมุดไป่ตู้
解:
约分,得
x2 0 x3 x10
精选课件
(, 1)
2
试解不等式: x 1 0 .
3x 2
分析:当且仅当分子 x 与1 分母 3x同号2 时,
上述不等式成立,而两个数的商与积同号.
因此,上述不等式可转化为

分式不等式解法课件

分式不等式解法课件
分式不等式解法课件
欢迎来到分式不等式解法课件。在这个课件中,我们将深入了解分式不等式 的各种解法,包括消元法、通分法、数轴法等等。让我们一起开始吧!
什么是分式不等式
分式不等式是一种包含分数的数学不等式表达式。它们通常涉及分式的大小 关系,我们将学习如何解决这些问题。
分式不等式的基本形式
分式不等式有几种基本形式,包括单独的分数、分数与整数的组合,以及分 式与分式的比较。我们将学习如何识别和解决这些基本形式。
消元法解分式不等式
消元法是解决分式不等式的常用方法之一。通过合并分母或分子,我们可以 简化不等式,并找到解的范围。让我们学习如何应用消元法解决问题。
通分法解分式不等式
通分法是解决包含多个分式的不等式的方法。通过找到公共分母并进行通分,我们可以将不等式 简化为更简单的形式,并找到解的范围。
数轴法解分式不等式
一维图像法解分式不等式
一维图像法是一种直观解决分式不等式的方法。通过绘制分式的图像并观察 图像的特征,我们可以找到解的范围。
数轴法是解决分式不等式的可视化方法。通过在数轴上绘制分式的零点和不 等式的符号,我们可以直观地找到解的范围。
规律法解分式不等式
规律法是解决特殊分式不等式的方法。通过观察分式中的模式和规律,我们 可以找到解的范围,并简化解决问题的过程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻找零点解分式不等式
寻找零点是解决分式不等式的重要策略之一。通过将分子或分母设置为零,并求解方程,我们可 以确定分式不等式的解的范围。

第一章 1.1.3.0.4简单分式不等式的解法

第一章 1.1.3.0.4简单分式不等式的解法

x 1 0 3x 2
( x 1)(3x 2) 0
3x 2 0
所以,原不等式的解集为
x | x 1或x 2 3
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
x 13x 2 x 3 0
3x 2 0
所以原不等式的解集为
2 x | 1 x 或x 3 3
思路总结
分式不等式
同解 变形
整式不等式
化 归
未知
等价 变换
已知
作业
x 2 2 x 24 2 2 x 7 x 12
x 1 ?如何求解: 2 3x 2
解: 转化为
x 1 2 0, 3 x 2 7 x 5 0, 3 x 2
(7 x 5)(3x 2) 0,
2 5 x | x 或 x 3 7
整理,得 即
故,解集为
解法小结2
ax b (a ' x b ') k 0 cx d (cx d ) ax b (a ' x b ') k 0 cx d (cx d )
(ax b)(cx d ) 0 ax b 0 cx d cx d 0
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
(ax b)(cx d ) 0 ax b 0 cx d cx d 0
所以,原不等式的解集为 x | x 1或x
2 3

一个简单分式不等式的三种解法

一个简单分式不等式的三种解法

一个简单分式不等式的三种解法例:解不等式:对于此不等式,曾有学生作出如下解法:对于此种解法,其思路是将原不等式两边同时乘以,然后移项、变形。

其思路好像没什么问题。

但细心的同学马上会发现,这个解集里面有0,而0显然不是原不等式的解,也就是说,这个答案是有问题的。

那这种解法的问题出在哪里呢?回顾一下初中的知识,我们便知道:不等式两边同时乘(或除)以一个正数,不等号的方向不变;不等式两边同时乘(或除)以一个负数,不等号的方向要改变。

这种解法在对原不等式两边同时乘以时,没有考虑到的正负。

从题目来看,显然不可能为0。

如此一来,就可能为正也可能为负。

当为正时,原不等式的不等号方向不变;当为负时,原不等式的不等号方向要改变。

所以应该对的正负进行讨论。

其正确解法如下:解法一:(分类讨论)解法一对进行了讨论。

这种方法属于分类讨论法,是高中数学的一个重要的方法,也是高中数学考试中的重难点。

学生需要逐渐理解并掌握此方法。

另外,对于此不等式,除了解法一的方法外,还可以用其他的方法进行解答。

解法二:(等价变形)解法三:(数形结合)原不等式即,由图可得:的取值范围是 ∴原不等式的解集为:三种解法各有特色,其中解法三充分运用了函数图象的直观性,展现了数形结合的优点。

32->x⎪⎭⎫⎝⎛∞+-∴->∴->->∴->,原不等式的解集为即3232233232x x x xx x x x x x x x ()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞--<-<-<<>∴->>≠,,原不等式的解集为:综上,,解得即时,原不等式等价于当此时显然成立时,原不等式等价于当由题可知,032.3223320.0.320.0x x x x x x x x x ()()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∴-<>>+>+>+⇔->,,原不等式的解集为:或解得:即即03232003203203232x x x x xx xx ()()的图象如下:,则设x f xx f 2=()3->x f x032>-<x x 或()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,032。

一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1.一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为(1)当a>0时,解集为{x|x>b a}.(2)当a<0时,解集为{x|x<b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1=-b-Δ2a,x2=-b+Δ2a有两相等实根x1=x2=-b2a无实根ax2+bx+c>{x|x<x1或x{x|x≠-b2a,x R0(a>0)的解集>x2} ∈R}ax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2} ∅∅口诀:大于取两边,小于取中间.3.分式不等式的解法(1)f(x)g(x)>0f(x)·g(x)>0,f(x)g(x)<0f(x)·g(x)<0;(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0,g(x)≠0,,f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0,g(x)≠0,;(3)f(x)g(x)>mf(x)g(x)-m>0f(x)-m·g(x)g(x)>0.4.简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解,步骤是先求出各表达式为零时的根,再作图求解.作图口诀:“自右向左,自上向下,奇穿偶不穿”,其中“奇穿偶不穿”含义为,若对应根对应根为奇数个,则穿过该点,如果为偶数个,则作图时不穿过该点.例如解不等式x (x-1)2(x-2)3>0,在作图时,由于0,2这两个根分别是1个、3个,有奇数个根,因此作图时应穿过;而1这个根有2个,也就是有偶数个,因此作图时不穿过,如下图所示:由图知不等式x (x -1)2(x -2)3>0解集为{x |x <0或x >2}.5.几点注意事项(1)对于不等式ax 2+bx +c >0(或>0),若二次项含有字母参数时,不一定是二次不等式,要分a =0和a ≠0讨论.(2)解分式不等式f (x )g (x )>m 时,不要直接在不等式两边同乘以分母,因为此时g (x )正负不确定.正确做法是移项将右边化为0,即化为f (x )g (x )-m >0,然后通分求解. 典例剖析题型一 一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)-3x 2-2x +8≥0;(2) x 2-3x +2≥0;解析 (1)原不等式可化为3x 2+2x -8≤0,即(3x -4)(x +2)≤0.解得-2≤x ≤43, 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ -2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x -1)(x -2)≥0,解得x ≤1或x ≥2. 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}.变式训练 解不等式0<x 2-x -2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或x <-1,-2≤x ≤3.借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为{}x |-2≤x <-1或2<x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时,一般先通过变形,将不等式右边化为0,左边x 2前系数化为正,求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边,小于取中间”写出解集.题型二 分式不等式解法例2 不等式x -3x -1≤0的解集为________. 答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x -3)(x -1)≤0,x ≠1,∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )= 1-x x +2的定义域为________. 答案 (-2,1]解析 1-x x +2≥0⇔x -1x +2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -1)(x +2)≤0,x +2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ -2≤x ≤1,x ≠-2⇔-2<x ≤1.解题要点 求解分式不等式时,需要将各个因式x 前系数化为正,然后也可以借助口诀“大于取两边,小于取中间”写出解集.但应注意等号问题,分母不可为0.题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3 关于x 的不等式x 2+(a +1)x +ab >0的解集是{x |x <-1或x >4},则a +b =________.答案 -3解析 由题意知,-1,4为方程x 2+(a +1)x +ab =0的两根,∴ a +1=-3,ab =-4.∴ a =-4,b =1.∴ a +b =-3.变式训练 已知f (x )=ax 2-x -c ,不等式f (x )>0的解集为{x |-2<x <1},则a =________,c =________.答案 -1,-2 解析 由根与系数的关系知1a =-2+1,-c a=-2,得a =-1,c =-2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系,一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根,利用一元二次方程的根,结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式.因此反过来,由一元二次不等式的解集,可以得到对应的一元二次方程的根,结合根与系数关系即可求出参数值. 题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2-2x -1<0恒成立,则m 的取值范围是________.答案 (-∞,-1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0(-2)2-4m (-1)<0,解得m <-1.变式训练 已知不等式x 2-2x +k 2-1>0对一切实数x 恒成立,则实数k 的取值范围为______________.答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)解析 由题意,知Δ=4-4×1×(k 2-1)<0,即k 2>2,∴k >2或k <- 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx +c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a =b =0,c >0,或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx +c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a =b =0,c <0,或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0,Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2-2ax -3a 2>0(a ∈R ,a ≠0) 解析 由x 2-2ax -3a 2>0知(x -3a )(x +a )>0.由于a ≠0故分a >0与a <0讨论.当a <0时,x <3a 或x >-a ;当a >0时,x <-a 或x >3a .综上,a <0时,解集为{}x |x <3a 或x >-a ;a >0时,解集为{}x |x >3a 或x <-a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论: 讨论二次项系数、讨论Δ,讨论两根的大小,具体如下:(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.当堂练习1.(2015江苏)不等式2x 2-x <4的解集为________.答案 {x |-1<x <2}解析 ∵2x 2-x <4=22,∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,解得-1<x <2.2.不等式x -2x 2-1<0的解集为________. 答案 {x |x <-1或1<x <2}解析 (x -2)(x 2-1)<0,(x +1)(x -1)(x -2)<0,数轴标根可得,x <-1或1<x <2.3. 不等式x -1x +2<0的解集为________. 答案 (-2,1)解析 原不等式化为(x -1)(x +2)<0,解得-2<x <1,∴原不等式的解集为(-2,1).4.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,-13,则不等式x 2-bx -a <0的解集是________.答案 (2,3)解析 由题意知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的根,所以由根与系数的关系得-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=b a ,-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1a ,解得a =-6,b =5,不等式x 2-bx -a <0即为x 2-5x +6<0,解集为(2,3).5.若关于x 的不等式12x 2+(2-m )x <0的解集是{x |0<x <2},则实数m =________.答案 3解析 由题知x =0或x =2是方程12x 2+(2-m )x =0的根,可得m =3.课后作业一、 填空题1.不等式x -12x +1≤0的解集为________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1 解析 不等式x -12x +1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)(2x +1)≤0,2x +1≠0⇒-12<x ≤1. 2.不等式(x -1)x +2≥0的解集为________.答案 {x |x ≥1或x =-2}解析 由(x -1)x +2≥0,可知⎩⎪⎨⎪⎧ x +2>0,x -1≥0或x +2=0,解得x ≥1或x =-2.3.若0<m <1,则不等式(x -m )(x -1m)<0的解集为________. 答案 {x |m <x <1m }解析 当0<m <1时,m <1m. 4.已知不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},则不等式2x 2+bx +a <0的解集为________.答案 {x |-1<x <12} 解析 由题意知x =-1,x =2是方程ax 2+bx +2=0的根.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ -1+2=-b a ,(-1)×2=2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1.∴不等式2x 2+bx +a <0,即2x 2+x -1<0.可知x =-1,x =12是对应方程的根,∴不等式2x 2+bx +a <0的解集为{x |-1<x <12}. 5.若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-4,1),则不等式b (x 2-1)+a (x +3)+c >0的解集为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,1 解析 由不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-4,1)知a <0,-4和1是方程ax 2+bx +c =0的两根,所以-4+1=-b a ,-4×1=c a ,即b =3a ,c =-4a .故所求解的不等式为3a (x 2-1)+a (x +3)-4a >0,即3x 2+x -4<0,解得-43<x <1.。

高中数学 必修5 简单分式不等式的解法

高中数学 必修5 简单分式不等式的解法

课堂小结
解分式不等式的基本方法是同解转化法, 简便方法是数轴标根法。
相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系,又要了解他们的区 别,尤其要注意等号取舍问题。
含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
f (x) 0 f (x)g(x) 0
g ( x)
f (x) g (x)
0
f g
(x)g(x) (x) 0
0
f ( x) 0 f (x)g(x) 0
g (x)
f ( x) g ( x)
0
f (x) g ( x)
g(x) 0
0
例4:解不等式
x 1 2 3x 2
解:原不等式可化为
1
2
3
此不等式与不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为:
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
0 问:如果不等式是
x2 3x2 x2 2x3
该如何解?
例题2:解不等式
x2 2x 24 x2 7x 12 2
解:移项通分得
3x2 16x x2 7x 12
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即: (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3 x 4 0 x5
所以原不等式等价于
(3x 4)(x 5) 0
x
5
0
即原不等式的解集为
探究:解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0

简单分式不等式的解法

简单分式不等式的解法

简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不为零.3.含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式.[1]当0a >时,不等式的解为:b x a>; [2]当0a <时,不等式的解为:b x a<; [3]当0a =时,不等式化为:0x b ⋅>;① 若0b >,则不等式的解是全体实数;② 若0b ≤,则不等式无解.【例题选讲】例1 解下列不等式:(1) 260x x +-> (2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+ ⑴解法一:原不等式可以化为:(3)(2)0x x +->,于是:3020x x +<⎧⎨-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩3322x x x x <->-⎧⎧⇒⎨⎨<>⎩⎩或32x x ⇒<->或所以,原不等式的解是32x x <->或. 解法二:解相应的方程260x x +-=得:123,2x x =-=,所以原不等式的解是32x x <->或.(2) 解法一:原不等式可化为:240x x -+≤,即240(4)0x x x x -≥⇒-≥于是: 00044040x x x x x x ≤≥⎧⎧⇒≤≥⎨⎨-≤-≥⎩⎩或或,所以原不等式的解是04x x ≤≥或. 解法二:原不等式可化为:240x x -+≤,即240x x -≥,解相应方程240x x -=,得120,4x x ==,所以原不等式的解是04x x ≤≥或.说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解.例2 解下列不等式:(1) 2280x x --< (2) 2440x x -+≤ (3) 220x x -+<例3 已知对于任意实数x ,22kx x k -+恒为正数,求实数k 的取值范围.例4 解下列不等式: (1)2301x x -<+ (2) 132x ≤+例5 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解.解:原不等式可化为:(2)2m m x m ->-(1) 当202m m ->>即时,1mx >,不等式的解为1x m >; (2) 当202m m -<<即时,1mx <.① 02m <<时,不等式的解为1x m <; ② 0m <时,不等式的解为1x m>; ③ 0m =时,不等式的解为全体实数.(3) 当202m m -==即时,不等式无解.综上所述:当0m <或2m >时,不等式的解为1x m>;当02m <<时,不等式的解为1x m<;当0m =时,不等式的解为全体实数;当2m =时,不等式无解.【巩固练习】1.解下列不等式:(1) 220x x +< (2) 23180x x --≤(3) 231x x x -+≥+ (4) (9)3(3)x x x +>-2.解下列不等式:(1) 101x x +≥- (2) 31221x x +<- (3) 21x >- (4) 221021x x x -+>+3.解下列不等式:(1) 22222x x x ->+(2) 21110235x x -+≥4.解关于x 的不等式(2)1m x m ->-.5.已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数,求m 的取值范围.6.若不等式2231x x k k+->+的解是3x >,求k 的值.7.a 取何值时,代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0?。

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2 (, 1) ( , ). 3
2004年10月21日
不等式
x 1 0 3x 2
解法比较
分类讨论 需要解两个不等式 组,再取这两个不 等式组解集的并集 转化(化归)
通过等价转换,变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等 式C

2004年10月21日

?思考:不等式
解:

2 x | x 1 . 3
试解不等式:
解:
约分,得
( x 1)( x 2) 0 ( x 1)( x 3)
x2 0 x3
x 1 0
即 所以解集为
( x 2)( x 3) 0 x 1 0
(, 3) (2,1) (1, ).
2004年10月21日
试解不等式
解:
2x 1 1 2 x x 1
x 2 x 1 恒大于0
2 x 1 x 2 x 1,
整理即得
x 2 3x 2 0,
所以,原不等式的解集为
(1, 2).
2004年10月21日
思路总结
分式不等式
同解 变形
整式不等式
x 1 0 的解 3x 2
x 1 0 3x 2
( x 1)(3x 2) 0
3x 2 0
所以,原不等式的解集为
2 , 1 , . 3
2004年10月21日
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
2004年10月21日
试解不等式:
x 1 x 3 0
3x 2
解:原不等式可等价转化为
x 1 3x 2 x 3 0
3x 2 0
所以原不等式的解集为
2 [1, ) [3, ). 3
2004年10月21日
x 1 ?如何求解: 2 3x 2
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m 3) x m 6,
如果m3,那么原方程的解是 x 方程的解是正数,即
m6 0, m3
(, 6) (3, ).
m6 , m3
化 归
未知
等价 变换
已知
2004年10月21日
练习
解:
移项,得 即
x 2 2 x 24 2 2 x 7 x 12
3x 2 16 x 0 2 x 7 x 12
x( x 3)( x 4)(3x 16) 0
解集为
2004年10月21日
16 (, 0) (3, 4) ( , ). 3
解法综述
• 解分式不等式的基本思路是将其转化
为整式不等式。在此过程中,等价性 尤为重要,因此解分式不等式一般不 去分母,而是先将它化归为 f ( x) 0 g ( x) 等形式,再实施同解变形.
f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 g ( x) f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) g ( x) 0
得解集
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m 3) x m 6,
如果m3,那么原方程的解是 x 方程的解是负数,即
m6 0, m3
(6,3).
m6 , m3
得解集
2004年10月21日
s , v
s v v0 2 ,
由题意,得
整理可得,
2004年10月21日
s s . v v v 0 2
v 2v0 .
某地铁站上,甲乙两人为了赶 地铁,分别从楼梯和运行中的 自动扶梯上楼(楼梯和自动扶 梯的长度相同).如果甲的上楼 速度是乙的2倍,他俩同时上 楼,且甲比乙早到楼上. 问: 甲的速度至少是自动扶梯运行 速度 b 0 cx d cx d 0
2004年10月21日
解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax b 0 (ax b)(cx d ) 0 cx d
(ax b)(cx d ) 0 ax b 0 cx d cx d 0
移项、通分、化整式
2004年10月21日
试一试:
x 1 2. 3x 2
2004年10月21日
解:
移项、通分得
x 1 2 3x 2 5 x 5 0. 3x 2
(5 x 5)(3 x 2) 0, 3 x 2 0.
所以
解得
2004年10月21日
简单分式不等式的解法
上海· 格致中学 郑仲义
问题
• 某地铁站上,甲乙两人为了赶地铁,分别
从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和 自动扶梯的长度相同).如果甲的上楼速度 是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到 楼上. 问:甲的速度至少是自动扶梯运行速 度的几倍?
2004年10月21日
分析与解
设楼梯的长度为s,甲的速度为v,自动扶梯的 运行速度为 v0 . 于是甲上楼所需的时间为 乙上楼所需的时间为
2004年10月21日
改为如下不等式又如何?
( x 1)( x 2) 0 ( x 1)( x 3)
解:
整理后得,
( x 2)( x 3) 0, ( x 1)( x 3) 0.
所以解集为
(, 3) [2,1) (1, ).
2004年10月21日
定义
s s . v v v 0 2
v是未知数, 且在分母中
• 分子、分母都是整式,并且分母含有未知
数的不等式叫做分式不等式.
2004年10月21日
试解不等式:
x 1 0. 3x 2
分析:当且仅当分子 x 1与分母 3x 2 同号时, 上述不等式成立.
因此
x 1 0, 1 3 x 2 0;
解:
转化为
x 1 2 0, 3x 2 7 x 5 0, 3x 2
(7 x 5)(3x 2) 0,
2 5 , , 3 7
整理,得 即
故,解集为
2004年10月21日
解法小结2
ax b (a ' x b ') k 0 cx d (cx d ) ax b (a ' x b ') k 0 cx d (cx d )
作业和练习
• 练习册第10页11题 • 研读《导引》29~34页
下 课!
2004年10月21日

x 1 0, 2 3 x 2 0.
2 不等式组(1)的解集是 ( , ) ,不等式组(2)的解集是 (, 1) 3
2 所以,原不等式的解集为 (, 1) ( , ). 3
2004年10月21日
试解不等式:
x 1 0. 3x 2
分析:当且仅当分子 x 1与分母 3x 2 同号时, 上述不等式成立,而两个数的商与积同号. 因此,上述不等式可转化为 整式不 等式 x 1 3x 2 0 所以,原不等式的解集为
解法小结3
• 对于分子、分母可约分的分式不等
式,先约去公因式,再把它等价转 换成前面讨论过的情形。
2004年10月21日
应用
• 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m 3) x m 6,
如果m=3,那么原方程无解.
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