专题曲线与方程
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
专题02 曲线的切线方程(解析版)
专题02 曲线的切线方程(解析版)曲线的切线方程(解析版)切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线上某一点处的变化趋势。
在本专题中，我们将重点探讨曲线的切线方程的求解方法，并应用于具体的实例中。
本文将以清晰的语言和整洁的排版，详细介绍曲线的切线方程的推导过程和应用要点，让读者更好地理解和掌握该知识点。
一、切线的定义与性质在开始讨论曲线的切线方程之前，首先需要了解切线的定义与性质。
切线是指曲线上一点处切线与曲线相切的直线。
切线具有以下几个性质：1. 切线与曲线相切于切点，切点的坐标可以通过求解方程组得到；2. 切线的斜率等于曲线在切点处的导数值；3. 切线与曲线的切点处的曲线方程相同。
了解了切线的定义与性质后，我们可以进一步推导切线方程的求解方法。
二、切线方程的求解方法求解曲线的切线方程有几种不同的方法，如点斜式、两点式和一般式。
在本文中，我们将着重介绍点斜式和两点式这两种方法。
1. 点斜式点斜式是一种简单、直观的求解切线方程的方法。
设曲线的方程为y = f(x)，切点坐标为(x0, y0)，曲线在切点处的斜率为k。
则切线的方程可以表示为：y - y0 = k(x - x0)其中，k可以通过求解曲线的导数得到。
通过代入切点的坐标和斜率的值，即可得到切线方程。
2. 两点式两点式是另一种常用的求解切线方程的方法。
设曲线上两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则切线的方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)通过代入曲线上已知的两点坐标，即可得到切线方程。
三、切线方程的应用切线方程作为解析几何中的重要工具，在数学和实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 切线与法线切线和法线是曲线上两条最基本的直线。
切线与曲线在切点处相切，而法线与切线垂直。
根据切线方程的求解方法，我们可以进一步得到法线的方程。
2. 最大和最小值对于一个函数，其最大值和最小值通常出现在函数曲线的切线与x轴相交的点处。
2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。
高考数学总复习考点知识专题讲解17 狭义曲线系与广义曲线系方程
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题17 狭义曲线系与广义曲线系方程知识点一圆锥曲线与两相交直线构成的圆系方程（四点共圆问题）圆锥曲线上的四点共圆问题：圆锥曲线221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上存在四点P 、Q 、M 、N,且PQ 与MN 相交于点T ，若满足TQ TP TN TM ⋅=⋅，则P 、Q 、M 、N 四点共圆（如图）．根据初中的相交弦定理（左图）或切割线定理（右图）即可证明，当然也有同学觉得需要更严谨的证明，不妨利用相似来证明．下面我们来理解四点共圆的曲线系方程形式，由于是221(,)0f x y Ax By Dx Ey F =++++=上四点形成的圆，不妨设0:11=+-m y x k l MN ，0:22=+-m y x k l PQ ，而⋅+-=)(),(112m y x k y x f0)(22=+-m y x k 表示满足直线MN 和直线PQ 上的任意点方程，0),(),(21=+y x f y x f λ表示过圆锥曲线和两直线构成的弱化二次曲线交点的一系列曲线方程，而这一系列曲线中，有一个满足圆的方程),(111223=++++=F y E x D y x y x f ，即()()2211220Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+=，或者221122()()Ax By Dx Ey F k x y m k x y m l +++++-+-+22111()x y D x E y F m =++++．由于没有xy 的项，必有120k k --=．即PQ 与MN 斜率互为相反数．定理：圆锥曲线的内接四边形PQMN 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其方程可以写成22(Ax By Dx Ey F kx l +++++12)()0y m kx y m -+--+=，此时2A k B l l -=+，方程表示一个圆．推论:若圆锥曲线221()f x y Ax By Dx Ey ，=+++0F +=上存在四点P 、Q 、M 、N ，斜率互为相反数，且PQ 是MN 中垂线，则1MN k =±； 证明四点共圆的步骤：1．设出曲线系方程，解出l ；2．根据222440R D E F =+->证明四点一定共圆．【例1】（2021•新课标1卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(0)F ，20)F ，点M 满足12||||2MF MF -=．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【例2】（2005•湖北）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(13)N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由．【例3】（2011•全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足0OA OB OP =++． （1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．知识点二狭义曲线系之以坐标定曲线模型构造：123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，如图，A 、B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，M 、N 为椭圆上任意两点，MN 与x 轴交于点Q ，AM 与BN 交于点P ，我们可以理解为A ，M ，B ，N 四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致），那么四点之间连线有6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线1()0f x y =，，再选取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线2()0f x y =，，可以理解为两条弱化的二次曲线形成了这个椭圆22322()10x y f x y a b=+-=，，即123()()()f x y f x y f x y λμ+=，，，注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质2P Q x x a =，故在设计:0AB l y =，:0MN l x ky m --=，1()()0f x y y x ky m =⋅--=，，1:0AM l x k y a -+=，2:0BN l x k y a --= 212()()()0f x y x k y a x k y a =-+⋅--=，，从而得出：221222()()()(1)x y y x ky m x k y a x k y a a bλμ⋅--+-+⋅--=+-；记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出λ和μ，k ，1k ，2k 均是斜率倒数，不是斜率．【例4】（2020•新课标Ⅰ卷）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB =．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【例5】（2023•江苏月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)bC x y a b a +=>>的离心率是12，焦点到 相应准线的距离是3． （1）求a ，b 的值；（2）已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，(10)F ，，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．【例6】（2011•四川）如图，椭圆有两顶点)01(，-A 、)01(，B ，过其焦点)10(，F 的直线l 与椭圆交于D C ，两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．当点P 异于B A ，两点时，求证：OQ OP ⋅为定值．【例7】(2022全国甲卷)已知抛物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ，点(,0)D p 过焦点F 做直线l 交抛物线于,M N 两点，当MD x ⊥轴时，||3MF =. (1)求抛物线方程(2)若直线,MD ND 与抛物线的另一个交点分别为,A B .若直线,MN AB 的倾斜角为,αβ，当αβ-最大时，求AB 的方程【例8】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)22(，，离心率为22．（1）求椭圆的方程;（2）过点)10(，P 做椭圆的两条弦AB ，CD （A ，C 分别位于第一、二象限），若BC ，AD 与直线1=y 分别交于M ，N ，求证：PN PM =．【例9】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为23，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点1F 斜率为11(0)k k ≠的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(10)R ，，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C 、D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求12k k 的值及直线CD 所经过的定点坐标．知识点三广义曲线系之以斜率定曲线回到那个话题，就是曲线系是不需要解方程的，只需要对比方程的系数，为什么呢？只要满足同解同根，满足方程同构，这样构造的方程就是以这些根为基准的一系列曲线方程，通过系数锁定，找出他们共同的关系，体现了方程中的动中求静，从而实现定点定值的锁定。
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
高三C专题(曲线与方程：轨迹方程的求法3星)
专题：曲线与方程：轨迹方程的求法（★★★）教学目标（1）理解曲线与方程的概念（两个关系）； （2）知道求曲线方程需要适当选取坐标系的意义； （3）掌握求曲线方程的一般方法和步骤；（4）体会通过坐标系建立曲线方程、再利用代数方法研究曲线几何性质的基本思想。
知识梳理5 min.1. 曲线方程的定义：一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； ②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线。
2.利用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合；}0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。
于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于 ⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =。
3.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。
4.求曲线方程的方法；（1）直译法：根据条件中提供的等量关系，直接列出方程；（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （3）参数法：单参数法；交轨法；坐标法；定形法。
典例精讲例1.（★★★）若点p 到直线1-=x 的距离比它到点)2,0(的距离小1，则点p 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线．答案：D例2.（★★★）已知两点)0,2(),0,2(N M -，点p 为坐标平面内的动点，满足| MN u u u u r |·|MP u u u r |＋MN u u u u r ·MP u u u r＝0，则动点),(y x p 的轨迹方程为 ( )A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-=【答案】：|MN u u u u r |＝4，|MP u u u r |＝(x ＋2)2＋y 2，MN u u u u r ·MP u u u r＝4(x －2)，∴4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x . 答案：B例3.（★★★）从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点P 的轨迹方程为____________．【答案】：设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，则N (2x －x 1,2y －y 1)，∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又∵Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴21x －21y ＝1.∴(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1. 整理，得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0即为中点P 的轨迹方程．例4.（★★★）已知圆C 的方程为422=+y x .(1)直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32=AB ，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【答案】：(1)①当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23满足题意；②当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 设圆心到此直线的距离为d ， 则23＝24－d 2，得d ＝1. ∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．∵OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)．∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点．课堂检测1.（★★★）如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ， 设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】：由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线．∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)， 又显然|MO |>|FO |，∴点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆． 答案：A2.（★★★）已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1 D ．2y ＝8x 2＋1 【答案】：设AP 的中点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入220x －y 0＝0，得2y ＝8x 2－1. 答案：C3.（★★★）平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】：设C (x ，y )，则OC u u u r ＝(x ，y )，OA u u u r＝(3,1)，OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A4.（★★★）已知点P (x ，y )对应的复数z 满足|z |＝1，则点Q (x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线的一部分C ．椭圆D ．双曲线的一部分 【答案】：由题意知x 2＋y 2＝1，∴(x ＋y )2－2xy ＝1.令x ＋y ＝m ，xy ＝n ，则有m 2－2n ＝1，∴m 2＝2n ＋1. 又∵2|xy |≤x 2＋y 2＝1，∴－12≤n ≤12.∴点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 答案：B5.（★★★）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【答案】：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[-4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[-4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．回顾总结4 min.。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
十年高考理科数学真题 专题九 解析几何 二十九 曲线与方程及答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2; ③ 曲线C 所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率是22，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为5,0)，5（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 3．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程答案部分1. 由221x y x y +=+可得221y x y x -=-.配方得2230241x x y ⎛⎫-≥ ⎪ ⎪⎝⎭-=，解得234x ≤.所以x 可取的整数值为-1，0，1，则曲线经过()()()()()()1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,----这6个整点，结论①正确；当x ＞0时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=≤（当x=y 时取等号），所以222x y +≤，所以222x y +≤，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，结论②正确；根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．如图所示，()()()()0,1,1,0,1,1,0,1A B C D -13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=， 根据对称性可知23ABCD S S >=心形. 即心形区域的面积大于3，故③错误． 正确结论为①②. 故选C ．2．解析 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得24PF AO '==，设P 的坐标为（m,n ），可得2343m -=，可得32m =-，15n =，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为15215322=-+．3.解析 （1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图所示，联结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --. 4. 解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.5.解析（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠.由241x y y kx ⎧=-⎨=-⎩，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,Mx y N x y 则124x x=-.直线OM 的方程为11y y x x =，令1y =-，得点A 的横坐标为11A x x y =- 同理可得点B 的横坐标22B x x y =-.设点()0,Dn ，则()()2212122212121144x x x x DA DB n n y yx x ⋅=++=++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r()()221216141n n x x =++=-++. 令0,DA DB ⋅=uu u r uu u r 即()2410n -++=，得1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点()()0,10,-3和．6．解析（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．7．解析 （I ）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+G （2，0）.8.解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =.所以，椭圆的方程为22154x y +=. （Ⅱ）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-.在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或. 2010-2018年1．【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)44364(48)20x x y y y x =--+-=-=∆． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=7AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+2．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r ，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 3．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为1()24P ． 4．【解析】（Ⅰ）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-， 可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ．解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B． 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF . 由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=．设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k ． 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y ． 5．【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(t k A >>，则直线AM的方程为(y k x =，联立()2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x t tk x t k t +++-=解得x t =-或23t tk tx -=-，所以2223611t tk t t AM k t k -=+-+=+⋅ 由题意MA NA ⊥，所以AN 的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233k tk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 6．【解析】（Ⅰ）设点(,0)D t (||2)t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即00222t x x ty y -=-⎧⎨=-⎩，且0(2)0t t x -=．由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221164x y +=．（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=． 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-．② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．7．【解析】（1）由题意，得c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当AB ⊥x 轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k +-+-=，则1,2x=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k AB k+===+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2223112k PC k k +=+． 因为2PC AB=，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 8．【解析】（1）由已知，点在椭圆E 上．因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2a =，b =所以椭圆的方程为22142x y +=． （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M、N 两点．则M ，(0,N ， 由||||||||QMPM QN PN ==，解得01y =或02y =． 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q ． 下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =．当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=． 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++． 因此121212112x x k x x x x ++==． 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-．又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线． 所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='．故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 9．【解析】（Ⅰ）由题意得2221,,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2．故椭圆C 的方程为2212x y +=． 设M (N x ，0)．因为0m ≠，所以11n -<<．直线PA 的方程为11n y x m--=， 所以M x =1m n -，即(,0)1mM n-．（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -， 设(,0)N N x ，则N x =1mn+． “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ∠=ONQ ∠等价”，“存在点(0,)Q Q y 使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =．因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n ===-．所以Q y或Q y =故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ∠=ONQ ∠． 点Q的坐标为或(0,．10．【解析】（Ⅰ）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22112y x b m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=．因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以224Δ220b m=-++>，① 设M 为AB 的中点，则2222(,)22mb m bM m m ++， 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-．②由①②得3m <-或3m >．（Ⅱ）令1((0,)22t m =∈-U ，则2||2AB t =+且O 到直线AB的距离21t d +=． 设ΔAOB 的面积为()S t ，所以1()||2S t AB d =⋅= 当且仅当212t =时，等号成立． 故ΔAOB． 11．【解析】（Ⅰ）可知c =c a =，3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=； （Ⅱ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=，2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根，同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k k ∴⋅-=202049y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=． 12．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为r ，P 点上下两段分别为,m n ，24r =，由射影定理得2r mn =，三角形的面积s ==≥=当2m n ==时，s取得最大，此时P∵222cc b a a==+，P 在双曲线上 ∴222321c b a ===，，，∴双曲线的方程为22-12y x = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点为，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >，由P 在2C 上，得213b =，∴2C 的方程为22163x y +=， 显然，l 不是直线0y =，设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y ，由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)-30m y ++=，∴12122-32y y y y m +==+①11220(PA PB x y x y =•=u u u r21212(1))m y y m y y =++++由①②得220m +=，解得12m m ==因此直线l的方程02x y -=或02x y -= 13．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1．设点Q 的坐标为(x ，y )．(ⅰ)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭． (ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2． 因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(1x ，k 1x ＋2)，(2x ，k 2x ＋2)， 则|AM |2＝(1＋k 2)21x ，|AN |2＝(1＋k 2)22x ． 又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)2x ． 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32.由②可知，12x x +＝2821k k -+，12x x ＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上， 所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x ∈⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∪⎛ ⎝⎭.又0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈,22⎛- ⎝⎭. 由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y ∈1,225⎛- ⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎛⎝⎭，y ∈1,22⎛- ⎝⎦. 14．【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =．解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =．（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得 2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400[16]6400y y k k k k -+==.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400． 15．【解析】（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意，可得212||||,PF F F =2.c = 整理得22()10,1cc c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为8(,),(,),(,)55x y AM x c y c BM x y =--=+u u u u r u u u ur 则，由),.3y x c c x y =-=-得于是38(,),15555AM y x y x =--u u u u r().BM x =u u u u r 由2,AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r即38()()215555y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --=将22105,0.316x y c x y c x +==-=>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>16．【解析】（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得21128y x x =-+，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为21128y x x =-+（4541<<-x ）． （2）曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=，即圆E ：2549)2()(22=-+-y a x ，其圆心坐标为)2,(a E ，半径57=r ，设圆G 与直线l ：20x y -+=相切于点(,)T T T x y ，75=，即5a =±．过点(,2)N a 与直线l 垂直的直线l '的方程是21()y x a -=-⨯-，即20x y +-=．由2020x y x y a -+=⎧⎨+--=⎩，解得2T a x =，22T ay =+．当5a =-时，1210T x -<<-<． ∵1,2-分别是D 上的点的最小和最大横坐标，∴切点T D ∈，故min 5a =-．。
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专题曲线与方程1 知识填空 1.曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．2．点在曲线上的充要条件：如果曲线C 的方程是f （x ,y ）=0，那么点P 0=（x 0,y 0）.在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0.3．求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合{}|()P M P M =;（3）用坐标表示条件()P M ，列出方程(,)0f x y =；（4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明。
另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程。
4．求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，进而通过消参化为轨迹的普通方程(,)0F x y =.4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点'P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点'P 的坐标，然后把'P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
2 典型例题一：概念巩固1.方程与曲线1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．2.典型例题例1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？例3设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式训练：（1）到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？（2）已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？二：求轨迹方程的常用方法1：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
2：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。
例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？3：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例3．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
4：用代入法求轨迹方程例4. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A by a x B )02(12222=+轨迹方程。
【变式】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程B Q R AP o y x5、用交轨法求轨迹方程 例5.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2，求A 1P 1与A 2P 2交点M 的轨迹方程.6、用点差法求轨迹方程例6. 已知椭圆1222=+y x 。
（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；三、轨迹方程其他应用例1 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．变式训练：说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．例2曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k )5124(42+--=k k )52)(12(4---=k k ∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点． 当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点． 变式训练：若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．例3 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：变式训练：已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状。
3.当堂检测（概念基础训练）1．判断下列点是否在方程229x y +=的曲线上。
()()()()()()11,2222,333cos ,3sin M P Q θθ-2．若点P 的坐标为(),a b ，曲线C 的方程为(),0F x y =，则“(),0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的______________条件。
y3．下列方程表示如图所示的直线的是（ ）(A)0x y -= (B) 220x y -= (C) 0x y -= (D) 220x y -=4．“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5．若曲线C 上的点坐标),(y x 满足方程0),(=y x F ，则（ ）A ．曲线C 的方程是0),(=y x FB ．方程0),(=y x F 的曲线是CC ．坐标满足方程0),(=y x F 的点在曲线C 上D ．坐标不满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上6. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2x y x = B ．2y x = C ．33y x = D ．2log 2x y = 7．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段8．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=(01)x ≤≤B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=(01)x ≤≤D ．10x y -+=(01)x ≤≤9．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ． 10．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ． 轨迹方程训练1.在ABC ∆中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是______________.2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 __________ .3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦OA ，则弦的中点M 的轨迹方程是 _____4.当参数m 随意变化时，则抛物线()y x m x m =+++-22211的顶点的轨迹方程为______。
5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，则点M 的轨迹方程为________。
6:求与两定点()()0,030O A 、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线x y 42=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。