一次函数与方程的关系
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
一元一次方程与一次函数关系
一元一次方程与一次函数关系One of the fundamental concepts in algebra is understanding the relationship between a linear equation and a linear function. 在代数学中，理解一元一次方程与一次函数之间的关系是其中一个基本概念。
A linear equation is an algebraic equation in which each term is either a constant or the product of a constant and the first power of a variable. 一元一次方程是一个代数方程，其中每个项要么是一个常数，要么是一个常数与一个变量的一次幂的乘积。
This type of equation can be represented graphically as a straight line on a coordinate plane, which is where the term "linear" comes from. 这种方程可以在坐标平面上以一条直线的形式进行图形表示，这也是“线性”这个术语的来源。
A linear function, on the other hand, is a function that can be written in the form f(x) = mx + b, where m and b are constants. 另一方面，一次函数是可以写成 f(x) = mx + b 的函数，其中 m 和 b 是常数。
When examining the relationship between a linear equation and a linear function, it is important to note that every linear equation corresponds to a linear function. 当研究一元一次方程与一次函数的关系时，重要的是要注意到每个线性方程都对应一个线性函数。
一次函数、方程及一次不等式的关系
文峰说：
满200,再购的商品9折
金鹰的优惠方案的起点是购物满
300 元．
文峰的优惠方案的起点是购物满 200 元．
一样 ⑴如果累计购物不超过200元,则两家商场的花费____ ．
文峰 ⑵如果累计购物超过200元而不超过300元,则在____ 花费少. ⑶如果累计购物超过300元. 解:设累计购物 x元 ( x 300) ,如果在文峰花费少则
随堂演练
1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ；
2、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 3、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象， 观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (2)x取何值时，-2x+8>0? (3)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (4)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的 图象与X轴所围成的三角形的面积吗？
收获和体会
实际问题与一元一次不等式
重客隆和新世纪两商店以同 问题1： 样价格出售同样的商品，并且又各自 推出不同的优惠方案：
新世纪
我店累计购买100元商品 后，再购买的商品按原 价的90%收费。
我店累计购买50元商品后，再购 买的商品按原价的95%收费。
重客隆
讨论开始
分析：若新世纪收费＜重客隆收费
系数化为1，得
∴累计购物超过150元时在新世纪购物花费小。
答：
当 0 x 50或 x 150 时，在两家 商店购物没有区别； 当 50 x 150 时，在重客隆购物花 费小； 当 时，在新世纪购物花费小
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
一次函数与一次方程的关系
一次函数与一次方程的关系
一次函数与一次方程的关系
一次函数是指一元函数的函数，它的定义式属于 x 的一个一次多项式，即形如 y = ax + b，而一次方程指形如 ax + b = 0 的一元一次方程。
一次函数与一次方程之间存在着密切的联系。
一次方程可以表示为一次函数的值，而一次函数可以用来解决一次方程。
以一次函数形式表示的一次方程可以表示为： ax + b = 0，其中 a 和 b 都是常数。
把 ax + b 中的变量 x 用 y 代替，可以得到：ay + b = 0，即：y = -b/a，此时，已经完全表示为一次函数形式。
用一次函数解决一次方程的具体过程是：首先用一次函数表示一次方程，然后把方程中的变量用 y 代替，最后把函数带入方程，求解变量的值。
例如：3x + 2 = 0，用一次函数表示可以得到：y = - 2/3，根据 y = - 2/3 可以求出 x = - 2/3，即为该方程的解。
一次函数与一次方程之间的联系可以总结为：一次函数可以表示一次方程，也可以用来解决一次方程。
- 1 -。
一次函数与方程不等式的关系 说课课件
80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 t(小时) 乙 甲
---辅助练习--某单位用车,又不打算买车,他们准备和一个个体车主和一国营出租车公司中的一家签 定月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公
司的月费用是y2元.y1’y2与x之间的函数的图象(两条射线)如图所示.观察图象,回答下列问
开始，如果设甲班的植树时间为t(小时)，植树的棵数分别为y甲、y乙。你认为哪个
班植树比较多？结合函数图像的有关知识解决。.........（你还有其他方法吗？） y(棵)
由图像可知:2小时时一样多,不
足2小时时甲班多,超过2小时时 乙班多. y甲=20t(t≥o) y乙=40t-40(t≥1) y甲=y乙 、y甲≥y乙 、 y乙≥y甲
师真正成为学生学习的参与者和合作者；帮助者和引导者。
教学流程图
●复习回顾
教学过程
●动手动脑
●试着做做
●总结概括
●探索新知
●试试身手
●思维延伸
单击鼠标可按顺序播 点击●可进 一次函数的定义 ☆ ☆ 函数图像的概念 一次函数的图像的画法
k
(0,b) (1,k)
o
x
1
图像，联想结论。
（2）在讲课过程中可能会有一些学生不能很好的理解本节内容，一方面
我可以增加辅助练习，在实际的解决问题过程中让学生进一步体会它们之 间的联系；另一方面，我留给学生思考的时间，其间采取单独辅导予以补 救，尽量做到让每一个学生都能在本节课中有收获，有感悟。
板书设计
一、复习回顾
二、试着做做：问题引入（随堂练习）
（2）解不等式5x-1＞3x+2时,我们除了可以直接求出解集以外，还可以借
一次函数与二元一次方程
一次函数与二元一次方程
一次函数是指形如y = ax + b 的函数，其中a 和b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
这种函数的特点是图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
在坐标系中，一次函数的图像可以用一条直线来表示。
二元一次方程是指形如ax + by = c 的方程，其中a、b 和c 是已知常数，x 和y 是未知数。
这种方程的特点是其中包含两个未知数，并且未知数的次数均为1。
在坐标系中，二元一次方程的图像可以用一条直线来表示。
一次函数和二元一次方程之间存在着密切的联系。
二元一次方程的通解形式为y = mx + n，其中m 和n 都可以表示为a、b、c 和x、y 的线性组合。
因此，二元一次方程的解也可以表示为一次函数的形式。
反之，一次函数也可以表示为二元一次方程的形式，即y - ax = b，其中a 和b 是常数，x 和y 是未知数。
总之，一次函数和二元一次方程都是数学中非常基础的概念，二者之间存在着密切的联系。
了解它们的定义和特点，对于学习更高级的数学概念非常重要。
人教版数学八年级下册一次函数与一元一次方程的关系(教案)
例：如何根据一次函数的斜率和截距正确绘制出函数图像，并利用图像求解方程？
-逻辑推理能力的培养：学生在解决问题时，可能缺乏严密的逻辑推理，导致解题过程不完整或错误。
例：在求解一元一次方程时，学生可能忽视了对k（斜率）不为0的条件的判断。
1.加强数形结合思想的培养，让学生在理解一次函数与一元一次方程的关系时，能够更好地运用几何直观。
2.注重实际问题的引入，让学生在学习过程中感受到数学的实用性。
3.提高学生逻辑推理能力，培养他们严谨的解题思路。
4.加强课堂互动，关注学生思维过程，提高他们的思考能力和创新意识。
希望通过以上措施，能够使学生在一次函数与一元一次方程的关系这一知识点上取得更好的学习效果。同时，我也将继续努力，提高自己的教学水平，为学生们提供更优质的教学。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数与一元一次方程的内在联系以及数形结合思想这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数与一元一次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过绘制一次函数图像，观察图像与一元一次方程解的关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与一元一次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数与方程的关系
一次函数与方程（组）、不等式的关系
1、一次函数与一元一次方程
直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。
求直线与轴交点的横坐标，可令得方程，解得方程，是直线
与轴交点的横坐标。
反之，由函数的图像也能求出对应的一元一次
方程的解。
2、一次函数与二元一次方程组
一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元
一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上。
3、一次函数与一元一次不等式
①、使得一次函数的函数值的自变量的取值范围，即求的解集；反之，求的解集，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。
（此处常用图解法求一元一次不等式的解集）
②、用图像法求一元一次不等式（例子）的解集步骤：
、设：设，则求，即求一次函数的函数值的自变量的取值范围。
、作：根据五点作图法，作出一次函数的图像
、求：求出一次函数与轴的交点坐标
、解：根据直角坐标系特点，轴上方，恒成立；反之，轴下方，恒成立，故求，即看图。
一次函数与方程不等式的关系
一次函数与方程不等式的关系一、什么是一次函数一次函数是指一个未知数的最高次数为1的多项式函数，也就是一次函数的表达式为 y= kx+b ，其中 k 和 b 分别是斜率和截距。
二、一次函数的图像特征对于一次函数，它的图像是一条直线，有以下的图像特征:1. 斜率 k 决定了图像在坐标系中的倾斜程度。
2. 截距 b 决定了图像与 y 轴的交点位置。
三、一次函数的解析式一次函数的解析式为 y= kx+b ，其中 k 和 b 是常数。
通过给定的 k 和 b 的值，可以构建出这个一次函数的解析式。
四、一次不等式的解法对于一次不等式 ax+b >0 （其中 a 和 b 都是实数，在本节中我们以一次不等式大于0为例），解法如下：1. 如果 a > 0 ，则不等式的解集为 x>-b/a 。
2. 如果 a < 0 ，则不等式的解集为 x<-b/a 。
注：不等式的解集指的是所有满足不等式的实数 x 的集合。
五、一次函数与一次不等式的关系一次函数与一次不等式之间有着紧密的联系。
如果一个一次函数的表达式为y= kx+b ，则对于x 的取值范围可以转化为一次不等式的形式：1. 当 k>0 ，b>=0 时，函数图像位于 y 轴上方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x>-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b >0，此时其解集为 x>-b/k 。
2. 当 k>0 ，b<0 时，函数图像位于 y 轴下方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x>-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b >0，此时其解集为 x>-b/k 。
3. 当 k<0 ，b>=0 时，函数图像位于 y 轴上方，此时函数图像上的点对应的 x 值范围应为 x<-b/k 。
因此，该一次函数对应的一次不等式为kx+b <0，此时其解集为 x<-b/k 。
一次函数与一元一次方程、不等式
2
易错小结
－1＜x＜2
易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐 标的关系不理解导致出错(数形结合思想).
例1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
先将方程化为ax＋b＝0的形式， 再在坐标系中画出函数y＝ax＋ b的图象，然后观察出直线y＝ ax＋b与x轴的交点坐标，从而 取定所求x的值．
导引：
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函 数y＝2x－6的图象，如图所示， 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.
3
C
已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是( ) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1
4
C
【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
5
B
【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝ －2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
2
已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1 200米， 从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟； ②小刚从家出发5分钟时乘上公交车； ③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一次函数与一元一次方程之间的关系
一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。
通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。
2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。
一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。
3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。
一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。
通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。
而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。
5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。
通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。
6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。
通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。
7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。
首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。
8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。
首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
一元一次方程与一次函数的关系
一元一次方程与一次函数的关系
一次方程与一次函数的关系:
1. 什么是一次方程：
一次方程是以一次未知数为未知量表示的方程，一般其本身的形式为
ax+b=0。
2. 什么是一次函数：
一次函数是一类在给定区间上连续可微的函数，它的图像恒过原点，
具有一个明确的切线，如函数y=mx+n (m≠0) 就是一次函数。
3. 一次方程与一次函数之间的关系：
一次方程 alx+b=0 的解就是一次函数 y=–l/ax+b，而一次函数 y=mx+b
的参数 m、b 由一次方程的未知量 a、b 决定。
因此一次方程与一次函
数之间是紧密联系的，它们具有对应性。
从解析角度看，一次方程的
解可以求出一次函数，而一次函数也可以求得一次方程的解，它们是
相互转换的。
4. 一次方程与一次函数所体现的思想
一次方程是一类特定的数学问题，其思想体现在把未知量用关系表示
出来，而一次函数又是对其解析解形式的图形描述，表示它们之间的
联系，整个思想是给出未知的空间条件，根据空间的几何特性和联系，
一次方程可以把未知量用一条直线表示，而一次函数又给出了该直线的数学公式和几何表示形式。
一次函数和一元一次方程的关系
一次函数和一元一次方程的关系
一次函数和一元一次方程：
1. 一次函数是指在定义域内满足一次顺序导数为常数的函数，即函数
y=f(x) 在定义域 D 上满足 y'=k=常数，这里 k 称为函数 f 的一次导数，f 称为一次函数。
2. 一元一次方程是指由一元一次未知函数和常数之间的关系形成的方程，即 y=ax+b，这里 y 是一个未知函数，a 和 b 是常数，我们需要求
出 y 的值，该方程的解是 y 的值。
3. 一次函数和一元一次方程之间的关系是：由一次函数所描述的函数
和一元一次方程的系数 a 和 b 是一一对应的。
一次函数表示为 y=kx+b，一元一次方程表示为 y=ax+b，这里的 k 就等于一元一次方程中的 a，b 是一元一次方程中的 b，即一次函数和一元一次方程的系数是相等的。
4. 一次函数和一元一次方程都可以表示实际中的某种物理关系，而其
中的系数对应了关系的特化表达，通过对系数的变化，可以直观地表
示物理关系的变化。
比如，当一次函数 k 值变大，表示某种物理关系
加强，变小则表示物理关系减弱，所以一次函数和一元一次方程都可
以用来表示实际问题。
5. 一次函数和一元一次方程可以用来解决实际中的问题。
对于一元一次方程，可以通过解方程的方法求解出 y 的取值范围。
而一次函数的求解则比较简单，可以直接计算得到系数，然后将其代入函数中求出函数值等。
因此，一次函数和一元一次方程都可以用来帮助我们解决实际问题。
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一次函数与方程的关系
一：导入与探讨。 二：练习巩固 三：归纳小结及作业。
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问题：我们先来看下面的两个问题有什么联系? 1 解方程2x+20=0 2 当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为零？
一元一次方程问题 解方程3x-2=0 解方程8x+3=0
一次函数问题 当x为何值时，y=3x-2的值为0
当x为何值时，y=-7x+2的值为0
陈 庄 阵 中 1 3 4 班 加 油！--杜 老 师 问题2 根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解， 并直接写出相应的方程的解。
(1) y=5x (2)y=x+2 (3)y=-3x+6 (4)y=x+1
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问题3：一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒
增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？ 解法1：设在过x秒，它的速度为17米/秒，列方程 2x+5=17 得x= 解法2：速度y是时间t的函数y=2x+5 由2x+5=17得2x-12=0
由图象看出直线y=2x-12与横轴的交点为（6，0）得x=6
追问： 1 对于以上两问从形式上看，有什么
相同和不同的地方？ 2 从本质上看，1和2有什么联系？
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问题2 从前面的讨论中我们可以看到：
一个一元一次方程的求解问题与解某个相应的一次 函数问题相一致，你以为在一般情况下怎样的解一 元一次方程问题与怎样的解一次函数问题是统一的？
归纳
由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可 以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量 的从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b确定它 与x轴交点的横坐标。
陈 庄 阵 中 1 3
以下的一元一次方程的问题与一次函数问题是同一个问题，填空
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例题：若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的面积为24， 求常数k的值为多少？
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三：归纳小结及作业。
从数和的方面总结出一次函数与一元一次方程的关系 从数的角度 求ax+b=0(a≠0)的解←→x为何值时，y=ax+b的值为0 从形的角度看 求ax+b=0(a≠0)的解←→确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。